Matemáticas Ejercicios Resueltos Soluciones La Circunferencia 1º Bachillerato

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Nivel 1º Bachillerato Opción Ciencias de la Naturaleza

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ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA1 DEFINICIN Y ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA1.1. DEFINICINLa circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de un punto fijo C. Al punto fijo C, de coordenadas (, ), se le llama centro de la circunferencia, y a la distancia constante r (un nmero real no negativo), radio de la circunferencia.

1.2. ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIAy

r C

Siendo el centro de la circunferencia un punto de coordenadas C(, ) y las de un punto genrico sobre ella de coordenadas P(x, y), el radio r es la distancia entre estos dos puntos. Por definicin se cumple: d(P,C) = r

2 2 ( x ) + ( y ) = r0 x

(vase pg. 414)

Se elevan al cuadrado ambos miembros 2 2 2 2 ( x ) + ( y ) = (r )

(

)

2 2 2 En este caso es posible eliminar la raz con el cuadrado: ( x ) + ( y ) = (r ) Al hacer las cuentas y reordenar se obtiene la ecuacin:

2 2 2 2 2 x + y 2x 2 y + + r = 0

1

EJEMPLO:

Hallar la ecuacin de una circunferencia (C) de centro en (2, 3) y radio igual a 5.

Para hallar la ecuacin pedida, basta con sustituir los datos en la ecuacin de la circunferencia deducida en el punto anterior. El centro de la circunferencia es: = 2 = 3 radio r = 5.

2 2 2 2 2 x + y 2(2)x 2( 3)y + (2) + (3) (5) = 0

(C )

2 2 x + y 4x + 6 y 12 = 0

Antes de continuar, es conveniente hacer del ejercicio 475 parte 1 y 2, en la pgina 456.

1.3. OTRA FORMA PARA LA ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIAPara determinar la ecuacin de la circunferencia es necesario encontrar las coordenadas del centro C(, ) y el radio r. Pero en muchos casos, cuando se pide hallar la ecuacin de una circunferencia es ms sencillo tomar como incgnita el centro de la circunferencia C(, ) y el trmino independiente F. Se hace la siguiente sustitucin: 2 2 2 + r = F

Ecuacin de la circunferencia:

2 2 x + y 2x 2 y + F = 0

2

EJEMPLO:

Determinar la ecuacin de la circunferencia (C) conociendo las coordenadas de tres de sus puntos: (9, 5) (7, 1) (3, 5).

Para hallar la ecuacin de esta circunferencia (C) se forma un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas. (9, 5) (C) 81 + 25 18 10 + F = 0 (7, 1) (C) 49 + 1 14 2 + F = 0 (3, 5) (C) 9 + 25 6 10 + F = 0 18 10 + F = 106 14 2 + F = 50 6 10 + F = 34 Resultados del sistema: = 6 (C ) =4 A partir de la ecuacin general de la circunferencia se exige que los puntos dados la verifiquen, al sustituir x e y por las coordenadas dadas. El primer paso para resolver este sistema es multiplicar una de las ecuaciones por 1 y sumarla a las otras dos, para eliminar en primer lugar F. F = 42

2 2 x + y 12x 8 y + 42 = 0

EJEMPLO:

Hallar la ecuacin de la circunferencia (C) sabiendo que los puntos de coordenadas (3, 5) y ( 7, 7) son extremos de un dimetro.

Dos puntos diametralmente opuestos son suficientes para determinar la ecuacin de una circunferencia, pues por punto medio se obtienen las coordenadas del centro, y para calcular el trmino independiente se exige que uno de los puntos extremos del dimetro pertenezca a la circunferencia. El centro de la circunferencia es el punto medio entre los extremos de un dimetro.

3 +(7) 5 + 7 , Centro = (2, 1) 2 2

o sea: = 2

=1

2 2 Se plantea la ecuacin de la circunferencia: (C) x + y 2(2)x 2(1)y + F = 0 para luego hallar el valor de F, considerando que uno de los extremos del dimetro pertenece a la circunferencia: (3, 5)(C) (3) + ( 5) + 4(3) 2( 5) + F = 0 2 2 x + y + 4x 2y 56 = 02 2

F = 56

(C )

Antes de continuar, es conveniente hacer del ejercicio 475 parte 3 a 7, en la pgina 456.

3

2 RECONOCIMIENTO DE LA ECUACIN DE UNA CIRCUNFERENCIAEJEMPLO:2 2 Dada la ecuacin: x + y 2x 6 y 18 = 0 Indicar si es la ecuacin de una circunferencia y por qu.

Se parte de la ecuacin general de segundo grado en dos incgnitas: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 Para que la anterior ecuacin represente a una circunferencia deben cumplirse las tres condiciones siguientes:2 2

1)

A = C (Los coeficientes de x e y deben ser iguales en valor y signo). En el ejemplo propuesto, esta condicin se cumple. Se constata en forma inmediata observando la ecuacin. B = 0 (No debe tener trmino en xy). El ejemplo no lo tiene. Se ve en forma inmediata observando la ecuacin.

2) 3)

El radio debe ser positivo. Se deben efectuar los clculos necesarios para hallarlo. Clculo del centro: 2 = 2=1

2 = 6

=3

Clculo del radio:

r=

2 2 + F

r=

2 2 (1) + (3) (18)

r=

28

2 2 Por lo tanto, la ecuacin: x + y 2x 6 y 18 = 0 representa una circunferencia de centro (1, 3) y radio igual a 28 .

NOTACuando A = C 1, para hallar las coordenadas del centro y del radio debe dividirse primero toda la ecuacin entre el valor de A.

Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 476, de la pgina 456.

4

3 ALGUNOS CASOS PARTICULARES DE LA ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIACENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS y CENTRO SOBRE EL EJE DE LAS ABSCISAS y CENTRO SOBRE EL EJE DE LAS ORDENADAS y

0

x

0

0

x

Si el centro de la circunferencia C(, ) est situado en el origen de coordenadas, su abscisa y su ordenada valen cero: = 0 = 0.TANGENTE AL EJE DE LAS ORDENADAS y

Si el centro de la circunferencia est sobre el eje de las abscisas, = 0. Las coordenadas del centro son: C(, 0).

Si el centro de la circunferencia est sobre el eje de las ordenadas, = 0. Las coordenadas del centro son: C(0, ).

TANGENTE AL EJE DE LAS ABSCISAS y

TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS y

0 x 0

r x 0 r

x

Si la circunferencia es tangente al eje de las ordenadas, el radio es igual a: ||

Si la circunferencia es tangente al eje de las abscisas, el radio es igual a: | |

Si la circunferencia es tangente a ambos ejes coordenados, se cumple la relacin || = || = r entre las coordenadas del centro y el radio.

NOTAEl radio de la circunferencia siempre es positivo. Debe prestarse atencin con los signos cuando o sean negativos y se quiera poner que: r = o r = . Se debe considerar que: r = | | r = ||

5

CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS y

Al aplicar el teorema de Pitgoras en un tringulo rectngulo se cumple la siguiente relacin entre las coordenadas del centro y el radio:r x

0

+ =r

2

2

2

o sea que:

+ r =0

2

2

2

Por lo tanto, la ecuacin de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas no tiene trmino independiente.

NOTATngase en cuenta que la ecuacin de una curva que pase por el origen de coordenadas no tiene trmino independiente.

Una propiedad geomtrica de la circunferencia, que en algn caso particular puede resultar til, es: Si A y B son puntos diametralmente opuestos, para cualquier punto P sobre la circunferencia, el ngulo APB es recto.

EJEMPLO:

Hallar la ecuacin de una circunferencia tangente a los ejes coordenados y que pasa por ( 4, 2).

Si es tangente a los ejes coordenados, || = | | = r. En este caso, la ecuacin de la 2 2 2 circunferencia se puede expresar como: x + y 2x 2y + = 0 . Si ( 4, 2) pertenece

a la circunferencia se cumple que:2

2 2 2 ( 4) + (2) 2(4) 2( 2) + = 0 .

Se hacen

cuentas y resulta: + 12 + 20 = 0. Ecuacin de segundo grado en , de solucin: = 2 = 10 Existen dos soluciones: Con = 2 2 2 x + y + 4x + 4 y + 4 = 0 2 2 x + y + 20x + 20 y + 100 = 0

Con = 10

Antes de continuar, es conveniente hacer los ejercicios 477 y 478, de la pgina 456.

6

4 PUNTOS DE CORTE DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTALa manera de hallar los puntos de corte entre una circunferencia y una recta es resolver el sistema formado por sus respectivas ecuaciones.

2 2 x + y 2x 2 y + F = 0 y = mx + n

Una forma de resolver este sistema es despejar la x o la y en la ecuacin de primer grado (recta) y sustituir en la de segundo grado (circunferencia). Se obtiene una ecuacin de segundo grado en una sola incgnita, la cual segn sea su discriminante tendr:

Dos soluciones reales y distintas, que se interpreta geomtricamente como que la recta es secante a la circunferencia y la corta en dos puntos.

Responder verdadero o falso, y justificar la respuesta.i) Si los puntos A, B y C forman un tringulo rectngulo en A, entonces los tres puntos se ubican en una circunferencia donde el segmento [BC] es un dimetro. ii) 4x2 + 4y2 3 = 0 es la ecuacin cartesiana de una circunferencia. iii) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 es siempre la ecuacin de una circunferencia real.

Dos soluciones reales e iguales, que se interpreta geomtricamente como que la recta es tangente a la circunferencia y tiene un solo punto en comn con ella.

Soluciones imaginarias, que se interpreta geomtricamente como que la recta es exterior a la circunferencia, por lo cual no tiene ningn punto de contacto con ella.

Vanse los resultados en la pgina 493.

7

EJEMPLO:

Encontrar las coordenadas de los puntos de corte de la 2 2 circunferencia dada por la ecuacin: x + y + 3x 4 y = 0 y la recta de ecuacin: y = 2x.

2 2 x + y + 3x 4 y = 0 y = 2x2 2 x + ( 2x ) + 3 x 4 ( 2x ) = 0 2 5x 5x = 0

Se resuelve el sistema formado por la ecuacin de la circunferencia y la ecuacin de la recta, por sustitucin. En este caso se sustituye el valor de y obtenido de la ecuacin de la recta y = 2x, en la ecuacin de la circunferencia.y

De races x = 0 y x = 1. Se sustituye en la ecuacin de la recta y se