Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Resolución de Triángulos 1º Bachillerato o antiguo...

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Nivel 1º Curso de Bachillerato o antiguo 2º de BUP Opcion Ciencias de la Naturaleza y de la Salud Perfil alumnas/os edades: 15 o 16 anos

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TRINGULOS RECTNGULOS

Hipotenusa : a Catetos : b y c Proyeccin del cateto b : Pb Proyeccin del cateto c : Pc Altura : h ngulo recto : = 90 ngulos agudos : y

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RELACIONES MTRICAS

RELACIONES TRIGONOMTRICAS

RELACIONES TRIGONOMTRICAS

grados seagesimales rad radianes g grados centesimales 2R = Dimetro de la circunferencia circunscrita

1.- En un tringulo rectngulo issceles la hipotenusa mide 7 cm. Cunto miden los catetos?Lo primer que tenemos que darnos cuenta, al leer con calma el enunciado, es que un tringulo issceles, es aquel que tiene dos lados iguales. Acordaos, lo primero que deberis de hacer, es un dibujo, para que sea todo mucho ms grfico y ms comprensible.

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b

c Vamos a aplicar el Teorema de Pitgoras: Ahora vamos a sustituir valores en esta frmula: - Lo primero acordarnos, que como el tringulo es issceles, se cumple: c = b

Por tanto: b = 4,94 cm

y c = 4,94 cm.

2.- Un lado de un tringulo es a y su ngulo opuesto mide 30. Calcular el valor del lado a, sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita es 3.Como siempre, lo primero que haremos, ser hacer un dibujo, para verlo claro.

Ahora, tenemos que buscar en nuestra memoria, una frmula que nos ligue el valor de un ngulo, con la medida de una circunferencia, es la siguiente: El Teorema del Seno

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Ahora, vamos a sustituir valores en esa frmula:

Ya tenemos la frmula para resolverlo.

Comenzamos a trabajar, sustituyendo valores:

Por tanto a = 3.

3.- Calcular el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo ABC, sabiendo que el lado a mide 3 cm y en ngulo A mide 60.

Ahora, tenemos que buscar en nuestra memoria, una frmula que nos ligue el valor de un ngulo, con la medida de una circunferencia, es la siguiente: El Teorema del Seno

Ahora, vamos a sustituir valores en esa frmula:

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Comenzamos a trabajar, sustituyendo valores:

Para dar una solucin coherente, vamos a racionalizar el denominador

Por tanto

4.- En un tringulo se conocen el valor de los lados b = 3 m y c = 4 cm, y el ngulo comprendido = 60. Calcular el valor del lado a.

Ahora, tenemos que buscar en nuestra memoria, una frmula que nos ligue el valor de un ngulo, con la medida de una circunferencia, es la siguiente: El Teorema del Coseno:

Ahora, vamos a sustituir valores en esa frmula:

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Por tanto

5.- Los lados de un tringulo, son del ngulo A.

b = 1 y c = 1. Calcular el valor

Bien, llegado a este punto, lo que tenemos que buscar, es la frmula que ligue, el conocer los 3 lados de un tringulo, con la posibilidad de calcular un ngulo. Bien, es la siguiente, que hemos visto anteriormente, y que debemos de tener presente en nuestra memoria, siempre, para la resolucin de problemas de este tipo.

Vamos a despejar de la frmula y sustituir, nos queda:

b = 1 c = 1 Vamos a sustituir estos valores:

Ahora, tan solo tenemos que interpretar este resultado: Cos = 0. Cul es ngulo, cuyo coseno, tiene por valor 1? Pues el ngulo de 90. Por tanto, valor del = 90

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6.- Dos fuerzas de 10 N y de 20 N han dado como resultante un vector, mdulo .Determinar el ngulo que forman dichas fuerzas

Bien, llegado a este punto, lo que tenemos que buscar, es la frmula que ligue, el conocer los 3 lados de un tringulo, con la posibilidad de calcular un ngulo. Bien, es la siguiente, que hemos visto anteriormente, y que debemos de tener presente en nuestra memoria, siempre, para la resolucin de problemas de este tipo.

Vamos a despejar de la frmula y sustituir, nos queda:

Vamos a sustituir estos valores:

Ahora, tan solo tenemos que interpretar este resultado: Cul es ngulo, cuyo coseno, tiene por valor -1/2? Pues el ngulo de 60 en el segundo cuadrante. Entonces: Por tanto,

7.- En un tringulo rectngulo issceles, la hipotenusa mide 7 cm. Cunto miden los catetos?

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Si estamos atentas/atentos, ya debemos de conocer, un dato esencial, para poder resolver este problema. Cmo indican qu es el tringulo rectngulo? Ahhhhhhhhhhhhhhhhhh, nos dicen que es issceles. Qu es un tringulo issceles? Sencillo: el que tiene 2 lados iguales. Vamos a dibujarlo, como siempre, y poner datos sobre la figura, para verlo mejor.

Nos acordaremos del Teorema de Pitgoras? Bueno, vamos a escribirlo, no ms sustos:

Ahora, puede ser un buen momento, para sustituir valores en la frmula:Como ya sabemos por el enunciado b = c, hagamos este cambio

Por tanto

b = 4,95 cm

y

c = 4,95 cm.

8.- Un tringulo rectngulo tiene un ngulo B = 37 4528. Calcular el ngulo C.Bien conocemos, el valor del ngulo B, porque nos dan este dato en el enunciado, pero, pero , pero tambin nos dan otro dato encubierto, y es que el tringulo es rectngulo. Por tanto, otro de los ngulos mide 90. Por consiguiente, tan solo nos queda por conocer, el valor del ngulo pedido.

Este problema, es bien sencillo, ya que sabemos que la suma de los 3 ngulos de un tringulo es de 180.

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Vamos a sustituir datos en esta frmula:

Por tanto ngulo C = 52 14 28

9.- En un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, debemos de calcular la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, as como el valor de la altura.Bien, observando el enunciado del problema, cuando conocemos los dos catetos de un tringulo rectngulo, la nica forma de calcular la hipotenusa, es aplicar el Teorema de Pitgoras.

Por tanto primera solucin: Valor de la hipotenusa a = 5 cm. Pero vamos a dibujar el tringulo, para verlo mejor.

Ahora, vamos a calcular el valor de las proyecciones sobre la hipotenusa. Para ello, debemos de recordarnos la frmula oportuna, y es aplicando el teorema de los catetos.

En nuestro caso: sobre la hipotenusa, es m.

La Proyeccin del lado b, sobre

En nuestro caso:

La Proyeccin del lado c, sobre

sobre la hipotenusa, es n.

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Por tanto los valores de las proyecciones son: m = 1,8 cm y n = 3,2 cm. Ahora, vamos a calcular el valor de la altura, que es el segmento rojo, que parte del vrtice del ngulo de 90, hasta la hipotenusa. Para ello, tenemos el teorema de la altura, que vamos a aplicar directamente

Por tanto el valor de la altura, h = 2, 4 cm.

10.-En un tringulo rectngulo ABC, se conocen la hipotenusa, a = 15 cm. y el ngulo B= 20. Calcular los restantes elementos del citado tringulo.Al lorito, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh, todas y todos, si el tringulo es rectngulo, ya sabemos que uno de los ngulos tiene que valer 90. Vamos a dibujarlo, para ir vindolo de forma grfica.

En primer lugar, vamos a calcular, el valor del ngulo que nos falta. Ya sabemos que la suma de los ngulos de un tringulo es de 180

Por tanto el valor del ngulo C = 70 Y ahora como seguiremos? Siempre tenemos que tener en la memoria las frmulas que ligan el valor de ngulos y lados:

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Lo primero, que vamos a hacer, es calcular el valor del lado b. Para ello despejamos b, en la primera frmula:

Ahora, vamos a calcular, el valor del lado c. Para ello despejamos c en la segunda frmula:

Por tanto el valor de los lados, son: b = 5,13 cm y c = 14,09 cm.

11.-En un tringulo rectngulo ABC, se conoce el lado b = 102,4 metros y el ngulo B = 55. Calcular el valor del ngulo que falta y la longitud, de los otros lados.Ms de lo mismo, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh, todas/todos, si el tringulo es rectngulo, ya sabemos que uno de los ngulos tiene que valer 90. Vamos a dibujarlo, para ir vindolo de forma grfica.

En primer lugar, vamos a calcular, el valor del ngulo que nos falta. Ya sabemos que la suma de los ngulos de un tringulo es de 180

Por tanto el valor del ngulo C = 35

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Lo primero, que vamos a hacer, es calcular el valor del lado b. Para ello despejamos b, en la primera frmula:

Por tanto el valor del lado a = 125,0076 m. Lo segundo, que vamos a hacer, es calcular el valor del lado c. Para ello despejamos c, en la segunda frmula:

Daros cuenta, que podemos aplicar esta frmula, porque acabamos de calcular el valor del cateto a, que es 125,0076 m.

Por tanto el valor del lado a = 71,70 m.

12.- La hipotenusa de un tringulo rectngulo, mide a = 25 m y el cateto b = 20 m. Resolver el tringulo.Otro tpico problema de los tringulos rectngulos, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh, todas/todos, si el tringulo es rectngulo, ya sabemos que uno de los ngulos tiene que valer 90. Vamos a dibujarlo, para ir vindolo de forma grfica.

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Bien, observando el enunciado del problema, cuando conocemos un cateto y la hipotenusa de un tringulo rectngulo, la nica forma de calcular el otro cateto, es aplicar el Teorema de Pitgoras.

Por tanto el valor del lado a = 15 metros. Ahora, ya estamos en condiciones de calcular el ngulo C, aplicando las relaciones entre los lados y los ngulos de trigonometra:

Ahora ya estamos en condiciones de calcular el ngulo C, aplicando las relaciones entre los lados y los ngulos, de nuevo

Por tanto el valor del ngulo C = 36 52 11 Ahora ya conocemos, el valor de 2 ngulos, del tringulo, como ya sabemos que la suma de los 3 ngulos de un tringulo es de 180, calculamos:

Por tanto el valor del ngulo B = 53 7 49

13.-Los catetos de un tringulo rectngulo miden b= 8 cm. y c = 24 cm. Calcular los dems elementos del tringulo.Otro ms de tringulos rectngulos, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh, todas/todos, si el tringulo es rectngulo, ya sabemos que uno de los ngulos tiene que valer 90. Vamos a dibujarlo, para ir vindolo de forma grfica.

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Bien, observando el enunciado del problema, cuando conocemos los dos catetos de un tringulo rectngulo, la nica forma de calcular la hipotenusa, es aplica