Teorema de Thales

CASOS DE SEMEJANZA

A

B

C

D

E

F A

B

C

D

E

F

AB es homólogo de EDBC es homólogo de DFAC es homólogo de EF

Dos ángulos congruentes

A

B

C

D

E

F

Un ángulo congruente y los lados que lo forman son proporcionales

Sus tres lados proporcionales

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO

DE

DF

AB

ACEF

DE

BC

AB

Lados homólogos

DFAC

DEAB

DF

AC

EF

BC

DE

AB

Problemas de Contexto

SEMEJANZA

• Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes.

• Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

• Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

SEMEJANZAFiguras semejantes: Planos

Dos figuras del plano son semejantes si los

cocientes de los segmentos

determinados por pares cualesquiera de

puntos correspondientes son

iguales.

es la razón de semejanza

SEMEJANZA

Teorema de Tales

Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo semejante al grande.

Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes

SEMEJANZA .

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.

El cocientea b c

ka ' b ' c '

se llama razón de semejanza.

SEMEJANZA .

Primer criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

A B

C

A' B'

C'

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.

• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y los ángulos iguales.

• Por tanto ABC A'B'C'. ( “ ” es semejante ).

A = A‘ y B = B‘ C = C'

A' B'

C'

B''

C''

SEMEJANZA .

Segundo criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.

• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a los del triángulo A'B'C' con la misma razón de proporcionalidad.

• Por tanto ABC A'B'C'.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

a ' b ' c '

a b c

A' B'

C'

B''

C''

SEMEJANZA

6.3 – Tercer criterio de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.

• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener dos lados proporcionales con la misma razón de proporcionalidad y el ángulo comprendido igual.

• Por tanto ABC A'B'C'.

A B

C

ab

c A' B'

C'

b'

c'

a'

y A A' b' c'

b c

A' B'

C'

B''

C''

c

SEMEJANZA: PROBLEMAS

C D

E

5. Problema del contexto: Calcular BC, si AB =BC, BE=6, ED=4

A

6

4

x x

m<ADB

2/2=m<ADB

=m<ADB

Los triángulos ABE y ABD son semejantes:

A

B

E

6

x

A

B

D

x

152

15.4

60

60

6

102

x

x

x

x

x

x

Rpta: 2 raíz cuadrada de 15

B

6. Problema de contexto:

Una fotografía tiene por dimensiones 15cm y 9cm. En una fotocopiadora se hace una copia de área 170,5cm2. Determinar las dimensiones de la nueva fotografía.

15cm

9cm

Entonces:

15k.9k=170,5 (Área de la copia)

135k2=170,5

K2=170,5/135

K2= 1,2629

K=1,1238 (aproximadamente)

Por lo tanto las dimensiones de la copia de la fotografía serán:

15k=15(1,1238)= 16,857 cm.

9k= 9(1,12389=10,1142 cm.

Solución:

Respuesta: La copia tiene las dimensiones de 16,857 y 10,1142 aproximadamente.

7. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles, cuya base mide 20m y la altura 30m. Determina su perímetro del triángulo que se obtiene al unir los puntos medios de sus lados.

20

30

a

a

a

a

10 10

M N

P

Si M,N,P son puntos medio y los segmentos MN, NP, MP, son segmentos que unen los puntos medio, entonces, estas son paralelas a sus lados opuestos y

Por ejemplo: MN=20/2

A

B

El triángulo APB es rectángulo, donde :A

P B

30

10

Por pitágoras:

302+102=(2a)2

900+100=4a2

1000=a2

4

a2=250

105

250

a

a

MN+NP+PM=Perímetro

10+ + =Perímetro

=Perímetro

=Perímetro

105 105

)101(10

101010

Respuesta: El perímetro del triángulo que se obtiene al unir los puntos medios es .)101(10 m

C