Matematicas Resueltos (Soluciones) Triángulos Rectángulos 4º ESO Opcion B

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Resolución de triángulos rectángulos 1. Circunferencia goniométrica Escribe la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia de radio 1 m, y calcula, en función de π, la lon- gitud del arco correspondiente a: a) 90° b) 180° c) 270° d) 360° Solución: 2π L = —— · nº 360° 2π π 2π 2π 3π 2π a) —— · 90° = m b) —— · 180° = π m c) —— · 270° = m d) —— · 360° = 2π m 360° 2 360° 360° 2 360° PIENSA Y CALCULA Pasa los ángulos siguientes a radianes: a) 30° b) 120° c) 270° d) 315° Pasa los ángulos siguientes a grados: a) 0,5 rad b) 1 rad c) 1,5 rad d) 2,5 rad Determina cos a sabiendo que el ángulo a está en el 2° cuadrante y que sen a = 0,2 Calcula tg a, sabiendo que el ángulo a está en el 3 er cuadrante y que cos a = – 0,7 4 Solución: sen 2 a + cos 2 a = 1 0,2 2 + cos 2 a = 1 ò cos a = – 0,9798 3 180° c) 1,5 rad · —— = 85° 56’ 37’’ π rad 180° d) 2,5 rad · —— = 143° 14’ 22’’ π rad Solución: 180° a) 0,5 rad · —— = 28° 38’ 52’’ π rad 180° b) 1 rad · —— = 57° 17’ 45’’ π rad 2 Solución: π rad π a) 30° · —— = rad 180° 6 π rad 2π b) 120° · —— = rad 180° 3 π rad 3π c) 270° · —— = rad 180° 2 π rad 7π d) 315°· —— = rad 180° 4 1 APLICA LA TEORÍA a 1 cos a 0,2 1
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Nivel 4ª Enseñanza Secundaria Opcion B

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Resolucin de trin gulos rectngulos

1. Circunferencia goniomtrica

PIENSA Y CALCULAEscribe la frmula de la longitud de un arco de circunferencia de radio 1 m, y calcula, en funcin de , la longitud del arco correspondiente a: a) 90 b) 180 c) 270 d) 360 Solucin: 2 L = n 360 2 a) 90 = m 360 2

2 2 3 b) 180 = m c) 270 = m 360 360 2

2 d) 360 = 2 m 360

APLICA LA TEORA1 Pasa los ngulos siguientes a radianes:

a) 30

b) 120

c) 270

d) 315

180 c) 1,5 rad = 85 56 37 rad 180 d) 2,5 rad = 143 14 22 rad3 Determina cos a sabiendo que el ngulo a est en

Solucin: rad a) 30 = rad 180 6 rad 2 b) 120 = rad 180 3 rad 3 c) 270 = rad 180 2 rad 7 d) 315 = rad 180 4

el 2 cuadrante y que sen a = 0,2 Solucin:

0,2

1 cos a

a

2 Pasa los ngulos siguientes a grados:

a) 0,5 rad Solucin:

b) 1 rad

c) 1,5 rad

d) 2,5 rad sen2 a + cos2 a = 1 0,22 + cos2 a = 1 cos a = 0,97984 Calcula tg a, sabiendo que el ngulo a est en el

180 a) 0,5 rad = 28 38 52 rad 180 b) 1 rad = 57 17 45 rad

3er cuadrante y que cos a = 0,7

1

Solucin: 30 sec 30 O cos 30

1

0,7 tg a sen a 1

a

cotg 30

1+

tg2

a=

sec2

a2

1 1 + tg2 a = 0,7 tg a = 1,0408

( )

1 30 O

tg 30

5 Determina las razones trigonomtricas del ngu-

lo a si est en el 4 cuadrante y sen a = 0,4 Solucin:7 Dibuja en la circunferencia unidad los ngulos si-

guientes: a) 1 485a cos a 0,4 tg a

b) 2 370

c) 2 100

Solucin: a) 1 485 = 45 + 4 360

sen2 a + cos2 a = 1 ( 0,4)2 + cos2 a = 1 cos a = 0,9165 sen a tg a = = 0,4364 cos a sec a = 1,0911 cosec a = 2,5 cotg a = 2,2915210

45

b) 2 370 = 210 + 6 360

6 Dibuja en la circunferencia unidad el ngulo de 30

y dibuja el segmento que representa a cada una de las razones trigonomtricas. Solucin:1 Oec cos 30

c) 2 100 = 300 + 5 360

30

sen 30

300

2

2. Reduccin de razones, identidades y ecuaciones

PIENSA Y CALCULADibuja en la circunferencia unidad todos los ngulos que cumplen que: a) sen a = 1/2 b) cos a = 1/2 Solucin: a)1/2

b)1/2

APLICA LA TEORA8 Dibuja en la circunferencia unidad dos ngulos que

cumplan: a) sen a = 3/4 c) sec a = 2,5 Solucin: a)3/4

d) tg a = 2

b) cos a = 1/4 d) tg a = 22

b)1/4

9 Calcula, reduciendo al 1er cuadrante, las razones

trigonomtricas siguientes: a) cos 120 b) sen 300 c) sec a = 2,5 cos a = 0,4 Solucin: a)2,5 120 60

0,4

1 cos 120 = cos 60 = 2

3

b)300 60

b) 1 230 = 150 + 3 360

150

30

3 sen 300 = sen 60 = 210 Calcula, reduciendo al 1er cuadrante, las razones

3 cos 1 230 = cos 150 = cos 30 = 2 c) 2 385 = 225 + 6 360

trigonomtricas siguientes: a) tg 210 Solucin: a)210

b) sen 135225 45

30

tg 2 385 = tg 225 = tg 45 = 1 d) 2 820 = 300 + 7 360 3 tg 210 = tg 30 = 3 b)135 45

300

60

cos 2 820 = cos 300 = cos 60 = 1/2

2 sen 135 = sen 45 = 211 Calcula, reduciendo al 1er cuadrante, las razones

12 Demuestra que:

a) sec2 x tg2 x = 1 b) (cosec x + tg x) cos x = sen x + cotg x Solucin: b) cos 1 230 d) cos 2 820 1 sen2 x 1 sen2 x cos2 x a) = = = 1 cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x 1 sen x cos x b) + cos x = + sen x = sen x cos x sen x = cotg x + sen x

trigonomtricas siguientes: a) sen 1 830 c) tg 2 385 Solucin: a) 1 830 = 30 + 5 360

(

)

30

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonomtricas:13 2 sen x = 1

sen 1 830 = sen 30 = 1/2

Solucin: sen x = 1/2

4

16 3 sen x 2 cos2 x = 0150 30

Solucin:1/2

3 sen x 2(1 sen2 x) = 0 3 sen x 2 + 2 sen2 x = 0 2 sen2 x + 3 sen x 2 = 0 3 9 + 16 3 5 sen x = = = 4 4 1/2

x1 = 30 + 360k, k x2 = 150 + 360k, k 14 cos x = sec x

2 La solucin sen x = 2 no tiene sentido, porque |sen x | 1 sen x = 1/2

Solucin: 1 cos x = cos x cos2 x = 1 cos x = 1 a) cos x = 1 x1 = 30 + 360k, k

150 30

1/2

x2 = 150 + 360k, k 0

17 sen 2x = 1

x1 = 360k, k b) cos x = 1

Solucin: 2x = 90 x = 45

180

45

x2 = 180 + 360k, k 15 2 cos x = 3

x = 45 + 360k, k 18 sen x cos x = 0

Solucin: Solucin: 3 cos x = 2330 30 180 0

{

sen x = 0 cos x = 0

a) sen x = 0

x1 = 30 + 360k, k x2 = 330 + 360k, k

5

x1 = 360k, k x2 = 180 + 360k, k b) cos x = 0

}

x = 180k, k

x3 = 90 + 360k,k x4 = 270 + 360k,k

}

x = 90 + 180k, k

270

90

3. Resolucin de tringulos rectngulos

PIENSA Y CALCULAEscribe la razn trigonomtrica que relaciona directamente el valor de los datos conocidos en el tringulo del margen y el ngulo correspondiente. Utilizando la calculadora, halla dicho ngulo.a = 5 cm b = 4 cm

B?

Solucin: 4 sen B = 5 B = 53 7 48

APLICA LA TEORA19 En un tringulo rectngulo se conocen la hipotenusa a = 5 m y un cateto b = 4 m. Calcula los dems elementos.

Solucin:DatosC? b=4m

Incgnitas c B C rea

Frmulas

Resolucin

a=5m b=4m

a2 = b2 + c2 c = a2 b2b sen B = a C = 90 B 1 rea = b c 2

c = 52 42 = 3 m4 sen B = B = 53 7 48 5 C = 36 52 12 1 rea = 3 4 = 6 m2 2

a=5m rea?

B? c?

6

20 En un tringulo rectngulo se conocen la hipotenusa a = 4,5 m y el ngulo B = 35 24 17. Calcula los dems

elementos. Solucin:Datos a = 4,5 m B = 36 52 12C? a = 4,5 m rea? B = 35 24' 17'' c? b?

Incgnitas C b c rea

Frmulas C = 90 B b sen B = b = a sen B a c cos B = c = a cos B a 1 rea = b c 2

Resolucin C = 54 35 43 b = 4,5 sen 35 24 17 = 2,61 m c = 4,5 cos 35 24 17 = 3,67 m 1 rea = 2,61 3,67 = 4,79 m2 2

21 En un tringulo rectngulo se conocen el cateto b = 2,8 m y el ngulo opuesto B = 47 35 20. Calcula los

dems elementos. Solucin:DatosC? a? rea? B = 47 35' 20'' c?

Incgnitas C a c rea

Frmulas C = 90 B b b sen B = a = a sen B c tg C = c = b tg C b 1 rea = b c 2

Resolucin C = 42 24 40 2,8 a = = b = 3,79 m sen 47 35 20 c = 2,8 tg 42 24 40 = 2,56 m 1 rea = 2,8 2,56 = 3,58 m2 2

22 En un tringulo rectngulo se conocen los dos catetos b = 4,5 cm y c = 3,5 cm. Calcula los dems elementos.

Solucin:DatosC? b = 4,5 cm

b = 2,8 m

a = 2,8 m B = 47 35 20

Incgnitas a B C rea a2 = b2

Frmulas + c2

Resolucin

b = 4,5 cm c = 3,5 cm

a = b2 + c2 c = 4,52 + 3,52 = 5,70 cm4,5 tg B = B = 52 7 30 3,5 C = 37 52 30 1 rea = 4,5 3,5 = 7,88 cm2 2

a? rea? B? c = 3,5 cm

b tg B = c C = 90 B 1 rea = b c 2

7

4. Aplicaciones al clculo de distancias, reas y volmenes

PIENSA Y CALCULACalcula mentalmente el ngulo relleno de rojo del siguiente pentgono regular.

a

Solucin: a = 360 : 5 = 72

APLICA LA TEORA23 Una antena de telefona mvil est en una llanura

dentro de una cerca en la que est prohibido entrar. Para hallar su altura, medimos desde un punto exterior el ngulo de elevacin y se obtienen 65. Nos alejamos 50 m y el nuevo ngulo de elevacin es de 43. Calcula la altura de la antena de telefona mvil.

h tg 65 = x h tg 43 = 50 + x x = 38,47 m h = 82,50 m

}3,6 cm

La antena de telefona mvil mide 82,5 m de alto.24 Calcula el rea de un heptgono regular en el que

el lado mide 3,6 cm Solucin: 360 : 14 = 25 42 5165 50m 43

Solucin:D a

25 42' 51''

a

25 42' 51''

1,8 cm

1,8 cm

h

1,8 tg 25 42 51 = a a = 3,74 cm Pa rea = 290 A x 65 B 50 m 43 C

7 3,6 3,74 rea = = 47,12 cm2 2

8

25 Calcula el rea de un prisma regular pentagonal en

el que la arista de la base mide 6 m, y la altura, 15 m Solucin:6m

jamos en la misma direccin 100 m y el nuevo ngulo de elevacin es de 38. Halla la altura de la catedral.

15 m68 100m 38

Solucin:6m a a 36 3m D

h

3 tg 36 = a a = 4,13 m 5 6 4,13 AB = = 61,95 m2 2 AL = 5 6 15 = 450 m2 AT = 2 61,95 + 450 = 573,90 m290 68 x A 38 B 100 m C

h tg 68 = x h tg 38 = 100 + x x = 46,13 m h = 114,17 m

}

26 Para medir la altura de una catedral, medimos el

ngulo de elevacin de la parte ms alta desde un punto determinado y obtenemos 68; nos ale-

La catedral mide 114,17 m de alto.

9

Ejercicios y problemas1. Circunferencia goniomtrica27 Pasa los ngulos siguientes a radianes:

sec a = 1,25 cosec a = 1,6667 cotg a = 1,333330 Si la tg a = 0,5 y a est en el 4 cuadrante, deter-

a) 45 c) 210 Solucin: rad a) 45 = rad 180 4 rad 5 b) 150 = rad 180 6 rad 7 c) 210 = rad 180 6

b) 150 d) 330

mina el resto de las razones trigonomtricas. Solucin:

0,5

rad 11 d) 330 = rad 180 6 tg a = 0,528 Pasa los ngulos siguientes a grados

1 + tg2 a = sec2 a 1 + ( 0,5)2 = sec2 a sec a = 1,1180 cos a = 0,8944 sen a tg a = sen a = 0,4472 cos a cosec a = 2,2361 cotg a = 231 Si el ngulo a est en el 2 cuadrante y tenemos

a) 2 rad c) 5/3 rad Solucin:

b) /9 rad d) 1,7 rad

180 a) 2 rad = 114 35 30 rad 180 b) rad = 20 9 rad 5 180 c) rad = 300 3 rad 180 d) 1,7 rad = 97 24 10 rad29 Determina todas las razones trigonomtricas del

cosec a = 2,5, determina las razones trigonomtricas del ngulo a Solucin: cosec a = 2,5 sen a = 0,42,5 a

ngulo a si cos a = 0,8 y el ngulo a est en el 3er cuadrante. Solucin: cos a = 0,8 sen2 a + cos2 a = 10,8 a

0,42 + cos2 a = 1 cos a = 0,9165 sec a = 1,0911 sen a tg a = = 0,4364 cos a

sen2 a + cos2 a = 1 sen2 a + ( 0,8)2 = 1 sen a = 0,6 sen a tg a = = 0,75 cos a

cotg a = 2,291532 Dibuja en la circunferencia unidad el ngulo de

45 y dibuja el segmento que representa a cada una de las razones trigonomtricas.

10

Ejercicios y problemasSolucin:co se c 45

sen 45

240

45 tg 240 45 cos 45se c 45

cotg 240

2. Reduccin de razones, identidades y ecuacionescotg 45 tg 45 45

34 Dibuja en la circunferencia unidad los ngulos que

cumplan que: a) sen a = 0,7 Solucin: a)0,7

b) cos a = 0,4

33 Dibuja en la circunferencia unidad el ngulo de

b)0,4

240 y dibuja el segmento que representa a cada una de las razones trigonomtricas. Solucin:

240 sen 240

35 Dibuja en la circunferencia unidad dos ngulos

que cumplan que: a) cosec a = 2,5cosec 240

b) tg a = 1,5

cos 240 240

Solucin: a) cosec a = 2,5

2,5

sec 240

11

b) tg a = 1,5

d)240 1,5

60

3 sen 240 = sen 60 = 237 Demuestra la siguiente identidad:

cos3 a + cos a sen2 a = cos a36 Calcula, reduciendo al 1er cuadrante, las razones

trigonomtricas siguientes: a) sen 330 c) tg 120 Solucin: a)330

Solucin: cos3 a + cos a sen2 a = = cos3 a + cos a (1 cos2 a) = = cos3 a + cos a cos3 a = cos a38 Demuestra la siguiente identidad:

b) cos 210 d) sen 240

tg a cosec a (cos a sen a) = 1 tg a30

Solucin: tg a cosec a (cos a sen a) = 1 = tg a (cos a sen a) = sen a

1 sen 330 = sen 30 = 2 b)210

cos a = tg a tg a = 1 tg a sen a

Resuelve las siguientes ecuaciones:30

39 2 sen2 x = 1

3 cos 210 = cos 30 = 2 c)

Solucin: 2 sen x = 2 2 a) sen x = 2 2 2 2 2

135

45

120 60

tg 120 = tg 60 = 3

x1 = 45 + 360k, k x2 = 135 + 360k, k

12

Ejercicios y problemas 2 b) sen x = 2 x1 = 30 + 360k, k x2 = 150 + 360k, k b) sen x = 1/2315 2 2 225 2 2 1/2 210 330 1/2

x3 = 225 + 360k, k x4 = 315 + 360k, k 40 tg 2x = 3

x3 = 210 + 360k, k x4 = 330 + 360k, k

Solucin: Se considera la raz positiva.42 2 sen x + 1 = 3 cosec x

Solucin: 3 2 sen x + 1 = sen x240 60

2 sen2 x + sen x 3 = 0 1 1 + 24 1 5 sen x = = = 4 4 sen x = 1

1

3/2 sen x = 3/2 no tiene sentido, porque |sen x| 1

2x1 = 60 + 360k, k x1 = 30 + 180k, k 2x2 = 240 + 360k, k x2 = 120 + 180k, k 41 4 sen x = cosec x

90

Solucin: 1 4 sen x = sen x 4 sen2 x = 1 sen x = 1/2 a) sen x = 1/2

x = 90 + 360k, k

43 sen x = cos2 x + 1

Solucin: sen x = 1 sen2 x + 1150

1/2

30

1/2

sen2 x + sen x 2 = 0 1 1 + 8 1 3 sen x = = = 2 2 sen x = 1

1

2 sen x = 2 no tiene sentido, porque |sen x| 1

13

a) sen x = 090

180 0

x = 90 + 360k, k x1 = 360k, k x2 = 180 + 360k, k b) cos x = 144 sen x cos x = sen x

}

x = 180k, k

Solucin: sen x cos x sen x = 0 sen x (cos x 1) = 0

0

{

sen x = 0 cos x = 1 x3 = 360k, k

3. Resolucin de tringulos rectngulos45 En un tringulo rectngulo se conocen la hipotenusa a = 12 m y un cateto c = 7,5 m. Calcula los dems elementos.

Solucin:DatosC?

Incgnitas b B a2 = b2

Frmulas + c2

Resolucin

a = 12 m c = 7,5 mb?

b = a2 c2 b = 122 7,52 = 9,37 m7,5 cos B = B = 51 19 4 12 C = 38 40 56 1 rea = 9,37 7,5 = 35,14 m2 2

a = 12 m rea?

c cos B = a C = 90 B 1 rea = b c 2

CB? c = 7,5 m

rea

46 En un tringulo rectngulo se conocen la hipotenusa a = 7,2 cm y el ngulo B = 42 35 23. Calcula los dems

elementos. Solucin:DatosC? a = 7,2 cm rea? B = 42 35' 23'' c? b?

Incgnitas C b c rea

Frmulas C = 90 B b sen B = b = a sen B a c cos B = c = a cos B a 1 rea = b c 2

Resolucin C = 47 24 37 b = 7,2 sen 42 35 23 = 4,87 cm c = 7,2 cos 42 35 23 = 5,30 cm 1 rea = 4,87 5,30 = 12,91 cm2 2

a = 7,2 cm B = 42 35 23

14

Ejercicios y problemas47 En un tringulo rectngulo se conocen el cateto c = 6,4 m y el ngulo contiguo B = 56 23 44. Calcula los

dems elementos. Solucin:DatosC?

Incgnitas C a

Frmulas C = 90 B c c cos B = a = a cos B b tg B = b = c tg B c 1 rea = b c 2

Resolucin C = 33 36 16 6,4 a = = 11,56 m cos 56 23 44 b = 6,4 tg 56 23 44 = 9,63 m 1 rea = 9,63 6,4 = 30,82 m2 2

c = 6,4 m B = 56 23 44b?

a? rea?

b rea

B = 56 23' 44'' c = 6,4 m

48 En un tringulo rectngulo se conocen los dos catetos b = 9,5 cm y c = 7,6 cm. Calcula los dems elementos.

Solucin:DatosC? b = 9,5 cm

Incgnitas a B C rea

Frmulas

Resolucin

b = 9,5 cm c = 7,6 cm

a2 = b2 + c2 a = b2 + c2 c = 9,52 + 7,62 = 12,17 cmb tg B = c C = 90 B 1 rea = b c 2 9,5 tg B = B = 51 20 25 7,6 C = 38 39 35 1 rea = 9,5 7,6 = 36,10 cm2 2

a? rea?

B? c = 7,6 m

4. Aplicaciones al clculo de distancias, reas y volmenes49 Una torre de alta tensin est colocada dentro del

Solucin:D

mar sobre un soporte. Desde la orilla de la playa se mide el ngulo de elevacin de la parte ms alta y se obtiene 67. Alejndose en la misma direccin 50 m, el nuevo ngulo de elevacin es de 25. Calcula la altura de la torre.

h

A

67 x

25 B 50 m C

h tg 67 = x h tg 25 = 50 + x x = 12,34 m67 50 m 25

}15

h = 29,07 m La torre de alta tensin mide 29,07 m de alto.

50 Calcula la apotema de un octgono regular en el

52 Se quiere medir la anchura de un ro. Para ello se

que el lado mide 7,2 cm Solucin: 360 : 16 = 22 307,2 cm

observa un rbol que est en la otra orilla. Se mide el ngulo de elevacin desde esta orilla a la parte ms alta del rbol y se obtienen 53.Alejndose 30 m del ro se vuelve a medir el ngulo de elevacin y se obtienen 35. Calcula la anchura del ro.

a 22 30'

a 22 30'

3,6 cm

3,6 cm

3,6 tg 22 30 = a a = 8,89 cm51 Calcula el volumen de una pirmide regular cua53 35 30 m

drangular en la que la arista de la base mide 6 cm y el ngulo que forma la base con las caras laterales es de 65 Solucin:

Solucin:D

h H 90 65 3 cm 6 cm A x 53 B 30 m 35 C

H tg 65 = 3 H = 6,43 cm AB = 62 = 36 cm2 1 V = 36 6,43 = 77,16 cm2 3

h tg 53 = x h tg 35 = 30 + x x = 33,51 m h = 44,47 m

}

El ro mide de ancho 33,51 m

16

Ejercicios y problemasPara ampliar53 Pasa los ngulos siguientes a radianes:

cosec a = 1,67 cotg a = 1,3356 Calcula todas las razones trigonomtricas de a

a) 120 c) 240 Solucin: rad 2 a) 120 = rad 180 3 rad 3 b) 135 = rad 180 4 rad 4 c) 240 = rad 180 3 rad 5 d) 300 = rad 180 3

b) 135 d) 300

sabiendo que cotg a = 3/2 y a est en el 3 er cuadrante. Solucin:

54 Pasa los ngulos siguientes a grados:

a) 3,5 rad c) 2,6 rad Solucin:

b) 3 rad d) 0,4 rad

1+ cotg2 a = cosec2 a 1 + ( 3/2)2 = cosec2 a 13 cosec a = 2 2 2 13 sen a = = 13 13 tg a = 2/3 cos a cotg a = cos a = cotg a sen a sen a 3 2 13 3 13 cos a = = 2 13 13 13 13 sec a = = 3 3 13

180 a) 3,5 rad = 200 32 7 rad 180 b) 3 rad = 171 53 14 rad 180 c) 2,6 rad = 148 58 9 rad 180 d) 0,4 rad = 22 55 6 rad55 Calcula todas las razones trigonomtricas de a

( )

sabiendo que sen a = 0,6 y a est en el 2 cuadrante. Solucin:

57 Calcula todas las razones trigonomtricas de a

sabiendo que tg a = 2/5 y a est en el 2 cuadrante.0,6

Solucin:

2/5

sen2 a + cos2 a = 1 0,62 a + cos2 a = 1 cos a = 0,8 sen a tg a = = 0,75 cos a sec a = 1,25 1+ tg2 a = sec2 a 1 + ( 2/5)2 = sec2 a

17

5 5 29 cos a = = 29 29 sen a tg a = sen a = cos a tg a cos a 5 29 2 2 29 sen a = = 29 5 29 29 29 cosec a = = 2 29 2

29 sec a = 5

b)

1,5

( )

60 Calcula, reduciendo al 1er cuadrante, las razones

trigonomtricas siguientes: a) sec 3 270 b) cos 3 000 d) sen 2 850 c) tg 2 040 Solucin: a) 3 270 = 30 + 9 360

58 Dibuja en la circunferencia unidad dos ngulos

que cumplan que: a) sen a = 0,6 b) cos a = 0,4 Solucin: a) b)

30

0,6

0,4

23 sec 3 270 = sec 30 = 3 b) 3 000 = 120 + 8 360

59 Dibuja en la circunferencia unidad dos ngulos

que cumplan que: a) tg a = 2,5 b) sec a = 1,5 Solucin: a)

120 60

cos 3 000 = cos 120 = cos 60 = 1/2 c) 2 040 = 240 + 5 3602,5

240

60

tg 2 040 = tg 240 = tg 60 = 3

18

Ejercicios y problemasd) 2 850 = 330 + 7 36063 Dibuja en la circunferencia un ngulo a tal que

sec a = 3/2. Calcula cos(a + ) Solucin:

330

30

1,5

sen 2 850 = sen 330 = 1/2

61 Calcula las razones trigonomtricas siguientes

sabiendo que sen 15 = 0,2588: a) sen 165 c) sen 345 e) cos 255 Solucin: a) sen 165 = sen (180 15) = sen 15 = 0,2588 b) sen 195 = sen (180 + 15) = sen 15 = = 0,2588 c) sen 345 = sen (360 15) = sen 15 = = 0,2588 d) cos 105 = cos (180 75) = cos 75 = = sen 15 = 0,2588 e) cos 255 = cos(180 + 75) = cos 75 = = sen 15 = 0,2588 f) cos 285 = cos(360 75) = cos 75 = = sen 15 = 0,2588 b) sen 195 d) cos 105 f) cos 285

cos (a + ) = cos a = 2/3

64 Demuestra la siguiente identidad:

tg a (cos a + cosec a sen a) = sen a + cos a Solucin: sen a (cos a + cosec a sen a) cos a 1 sen2 a sen a + cos a cos a 1 cos2 a sen a + sec a cos a sen a + sec a sec a + cos a sen a + cos a

65 Demuestra la siguiente identidad:

2 tg2 a = 2 sen a sen a (1 + tg2 a) Solucin: 2 tg2 a = sen a sec2 a 2 sen2 a sen a = : = cos2 a cos2 a 2 sen2 a cos a = : = cos2 a cos2 a 2 sen2 a cos a = = cos2 a sen2 a = 2 sen a

62 Sabiendo que sen a = 0,4 y a es un ngulo del

1er cuadrante, calcula: a) sen (180 a) b) sen (360 a) c) sen (90 + a) Solucin: a) sen (180 a) = sen a = 0,4 b) sen (360 a) = sen a = 0,4 c) sen (90 + a) = cos a Se calcula cos a sen2 a + cos2 a = 1 0,42 + cos2 a = 1 cos a = 0,9165

66 Demuestra la siguiente identidad:

1 + sen a cos a = cos a 1 sen a

19

Solucin: (1 + sen a)(1 sen a) = cos2 a 1 sen2 a = cos2 a cos2 a = cos2 a67 Demuestra la siguiente identidad:180 0

cos2

1 tg2 a = sec2 a a sen2 a

x1 = 360k, k x2 = 180 + 360k, k 70 3 tg x = 2 cos x

}

x = 180k, k

Solucin: sen2 a 1 1 a cos2 a = = cos2 a sen2 a cos2 a sen2 a tg2 a a = = cos2 a (cos2 a sen2 a) 1 = = sec2 a cos2 a Resuelve las siguientes ecuaciones:68 sen (x + 45) =

Solucin: 3 sen x = 2 cos2 x 3 sen x = 2(1 sen2 x) 2 sen2 x + 3 sen x 2 = 0 3 9 + 16 3 5 sen x = = = 4 4 La solucin sen x = 2 no es vlida. sen x = 1/2 1/2 2

cos2

sen2

32

3 sen (x + 45) = 2 Se toma la raz positiva.

Solucin:

1/2

150

30

1/2

120 60

x1 = 30 + 360k, k x2 = 150 + 360k, k 71 cos2 x sen2 x = sen x

x1 + 45 = 60 + 360k, k x1 = 15 + 360k, k x2 + 45= 120 + 360k, k x2 = 75 + 360k, k 69 cos2 x = 1 + sen2 x

Solucin: 1 sen2 x sen2 x = sen x 2 sen2 x + sen x 1 = 0 1 1 + 8 1 3 sen x = = = 4 4 a) sen x = 1/2 1/2 1

Solucin: cos2 x = 1 + sen2 x 1 sen2 x=1+ sen2 x 2 sen2 x = 0 sen x = 0

1/2

150

30

1/2

20

Ejercicios y problemasx1 = 30 + 360k, k x2 = 150 + 360k, k b) sen x = 1 1 1 + 8 1 3 sen x = = = 4 4 a) cos x = 1/2 1/2 1

270

300

60

1

x3 = 270 + 360k, k 72 sen2 x cos2 x = 1/2

x1 = 60 + 360k, k x2 = 300 + 360k, k b) cos x = 1

Solucin: sen2 x 1 + sen2 x = 1/2 2 sen2 x = 1/2 sen x = 1/2 a) sen x = 1/2 x3 = 180 + 360k, k 1/2 150 30 1/2 180

74 sen x cos x = 2 cos x

Solucin: sen x cos x 2cos x = 0 x1 = 30 + 360k, k x2 = 150 + 360k, k b) sen x = 1/2 cos x (sen x 2) = 0 cos x = 0 sen x 2 ? 0 para todo valor de x Si cos x = 0

210 1/2 330 1/2

270

90

x3 = 210 + 360k, k x4 = 330 + 360k, k 73 cos2 x + cos x = sen2 x

x1 = 90 + 360k, k x2 = 270 + 360k, k

}

x = 90 + 180k, k

75 tg x = 2 sen x cos x

Solucin: cos2 x + cos x = 1 cos2 x 2 cos2 x + cos x 1 = 0

Solucin: sen x = 2 sen x cos2 x sen x 2 sen x cos2 x = 0

21

sen x (1 2 a) sen x = 0

cos2

x) = 0

{

sen x = 0 1 2 cos2 x = 0 cos x = 2/2180 0

180 0

x1 = 360k, k x2 = 180 + 360k, k b) cos x = 1

}

x = 180k, k

x1 = 360k, k x2 = 180 + 360k, k 2 b) cos x = 2

}

x = 180k, k 0

45 315

x3 = 360k, k Es la misma que una anterior.

x3 = 45 + 360k, k x4 = 315 + 360k, k 2 c) cos x = 277 sen x cos x = 0

Solucin: sen x = cos x sen x = 1 cos x tg x = 1

225

135

x5 = 135 + 360k, k x6 = 225 + 360k, k

135

45

76 tg x sen x = 0

Solucin: sen x sen x cos x = 0 sen x (1 cos x) = 0 a) sen x = 0

{

sen x = 0 1 cos x = 0 cos x = 178 En un tringulo rectngulo un cateto mide el

doble que el otro. Calcula la amplitud de sus ngulos agudos.

22

Ejercicios y problemasSolucin:b 5m 2x a a x 4m 4m a

Solucin:b 5m

2x tg a = = 2 a = 63 26 6 x b = 90 63 33 54 = 26 33 54

4 cos a = a = 36 52 12 5 b = 180 2 36 52 12 = 106 15 36

Con calculadora79 En un tringulo rectngulo un cateto mide 5 m, y el

rea, 10 m2. Halla los dems elementos del tringulo rectngulo. Solucin:B? a? rea = 10 m2 C? b=5m c?

81 Calcula el ngulo correspondiente en cada caso:

a) sen a = 0,4 estando a en el 1er cuadrante. b) cos a = 0,65 estando a en el 2 cuadrante. c) tg a = 1,4 estando a en el 3er cuadrante. d) cos a = 0,8 estando a en el 4 cuadrante. Solucin: a) 23 34 41 b) 130 32 30 c) 234 27 44 d) 323 7 48

1 rea = bc 2 1 5c = 10 2 5c = 20 c=4m a = 52 + 42 = 41 = 6,40 m 5 tg B = B = 51 20 25 4 C = 90 51 20 25 = 38 39 353

82 Calcula el ngulo correspondiente en cada caso:

a) cos a = 0,2 estando a en el 1er cuadrante. b) tg a = 1,6 estando a en el 2 cuadrante. c) sen a = 0,7 estando a en el 3er cuadrante. d) tg a = 0,5 estando a en el 4 cuadrante. Solucin: a) 78 27 47 b) 122 19

80 En un tringulo issceles, cada uno de los lados

iguales mide 5 m, y el desigual, 8 m. Halla la amplitud de sus ngulos.

c) 224 25 37 d) 333 26 6

23

83 Calcula el ngulo correspondiente en cada caso:

Solucin: a) 63 26 6 b) 115 50 31 c) 246 25 19 d) 342 32 33

a) tg a = 2 estando a en el 1er cuadrante. b) sen a = 0,9 estando a en el 2 cuadrante. c) cos a = 0,4 estando a en el 3er cuadrante. d) sen a = 0,3 estando a en el 4 cuadrante.

Problemas84 Calcula la longitud del arco correspondiente a un

ngulo central de 80 en una circunferencia de 20 cm de radio. Solucin: 20 80 = 27,93 cm 18085 En una circunferencia de 8 cm de radio, el arco

Los ngulos del rombo son: 2A = 106 15 37 2B = 73 44 24

87 Halla el valor de x en el siguiente tringulo rec-

tngulo:C x A a = 3 cm B = 31 B

correspondiente a un ngulo central mide 32 cm. Calcula en radianes lo que mide dicho ngulo. Solucin: 32 = 4 rad 886 Las diagonales de un rombo miden 12 cm y

Solucin: x sen 31 = 3 x = 3 sen 31 = 1,55 cm

16 cm. Calcula los ngulos del rombo. Solucin:B

88 Halla el valor de x en el siguiente tringulo rec-

tngulo:8 cm 6 cm A A C a = 3,5 cm B = 26 30' x

B

Solucin: x cos 26 30 = 3,5 x = 3,5 cos 26 30 = 2,81 cm 8 4 tg A = = 6 3 A = 53 7 48 B = 90 53 7 48 = 36 52 1289 Halla el valor de x en el siguiente tringulo rec-

tngulo:

24

Ejercicios y problemasC C

b = 2,8 cm

x

b = 2,8 cm

a = 4,5 cm

B = 35 15' A B A

x B

Solucin: 2,8 sen 35 15 = x 2,8 x = = 4,85 cm sen 35 1590 Halla el valor de x en el siguiente tringulo rec-

Solucin: 2,8 sen x = 4,5 x = 38 28 4393 El extremo de una escalera est apoyado sobre la

tngulo:C

pared de un edificio, y su base se encuentra a 4 m de la pared. Si el ngulo que forma la escalera con la pared es de 65, a qu altura del suelo llega la escalera? Solucin:

b = 2,5 cm

x A c = 4 cm B x

Solucin: 2,5 tg x = 4 x = 32 1991 Halla el valor de x en el siguiente tringulo rec65 4m

x tg 65 = 4 x = 4 tg 65 = 8,58 m

tngulo:C x b = 3 cm

94 Una torre de 50 m de altura proyecta un sombra

de 20 m a cierta hora del da. Calcula el ngulo con el que se ver el extremo superior de la torre desde el extremo de la sombra. Solucin:

A

c = 5 cm

B

Solucin: 5 tg x = 3 x = 59 2 10x 50 m

50 tg x = 20 tg x = 2,520 m

92 Halla el valor de x en el siguiente tringulo rec-

x = 68 11 55

tngulo:

25

95 A una distancia de 35 m del pie de una chimenea

se ve el extremo de la misma con un ngulo de 25. Calcula la altura de la chimenea. Solucin:1,72 cm37 75 m

x 25 35 m

a 2,25 cm

x tg 25 = 35 x = 35 tg 25 x = 16,32 m

Solucin: 1,72 tg a = 2,25 a = 37 23 45

96 Una cometa est sujeta al suelo con una cuerda de

98 En el centro de un lago sale verticalmente un chorro

80 m de largo y sta forma con el suelo un ngulo de 65. Si la cuerda est recta, a qu altura del suelo est la cometa?

de agua, y se quiere medir su altura. Para ello, se mide el ngulo de elevacin desde la orilla a la parte ms alta del chorro de agua y se obtienen 68; alejndose 75 m del lago se vuelve a medir el ngulo de elevacin y se obtienen 37. Calcula la altura del chorro de agua.

x

80 m

6568

Solucin: Solucin:x 80 m D

65

h

x sen 65 = 80 x = 80 sen 65 x = 72,50 mA 68 x B 37 75 m C

97 Una persona que mide 1,72 cm proyecta una

h tg 68 = x h tg 37 = x + 75

sombra de 2,25 cm. Cul es el ngulo de elevacin del Sol en ese momento?

}26

Ejercicios y problemash = x tg 68 h = (x + 75) tg 37 h = 2,48x h = 0,75(x + 75) x = 32,51 m h = 80,64 m99 Una cinta transportadora de sacos de cemento

}

h = 72 22 = 45 = 6,71 m

}

101 Calcula la apotema y el rea de un heptgono

regular cuyo lado mide 9,2 cm Solucin: 360 : 14 = 25 42 51

mide 350 m y se quiere que eleve el cemento a 75 m de altura. Qu ngulo de elevacin debe llevar la cinta?

9,2 cm

a

25 42' 51''

4,6 cm

75 m

350 m

4,6 tg 25 42 51 = a a = 9,55 cm 7 9,2 9,55 rea = = 307,51 cm2 2

Solucin:350 m 75 m a

102 Dos personas estn en una playa y ven un globo

75 sen a = 350 a = 12 22 25100 Dado un tringulo issceles en el que los lados

iguales miden 7 m, y el desigual, 4 m, calcula la altura relativa al lado desigual. Solucin:

desde los puntos A y B, respectivamente, de forma que las dos personas y el globo estn en un plano perpendicular al suelo. La distancia entre las dos personas es de 4 km. El ngulo de elevacin del globo desde el punto A es de 57, y desde el punto B, de 46. Calcula la altura a la que se encuentra el globo.

h

7m

h

7m

4m

2m

27

Solucin:D

Solucin: 3 tg x + = 4 tg x tg2 x + 3 = 4 tg x tg2 x 4 tg x + 3 = 0 4 16 12 42 tg x = = = 2 2 a) tg x = 3 3 1

h

57 A x B

46 4 km C 3

h tg 57 = x h tg 46 = x+4 h = x tg 57

}}

h = (x + 4) tg 46 h = 1,54x h = 1,04(x + 4) x = 8,32 km h = 12,81 km

}

Para profundizar103 Demuestra la siguiente igualdad:

1 + sen a cos a + = 2 sec a cos a 1 + sen a Solucin: 1 + sen a cos a + = cos a 1 + sen a (1 + sen + a = = cos a (1 + sen a) 1 + 2 sen a + sen2 a + cos2 a = = cos a (1 + sen a) 2 + 2 sen a = = cos a (1 + sen a) 2 (1 + sen a) = = cos a (1 + sen a) 2 = = 2 sec a cos a104 Resuelve la ecuacin trigonomtrica:

x1 = 71 33 54 + 360k, k x2 = 251 33 54 + 360k, k b) tg x = 1

225

45

a)2

cos2

x3 = 45 + 360k, k x4 = 225 + 360k, k

}

x = 45 + 180k, k

105 Resuelve la ecuacin trigonomtrica:

tg x sec x = 2 Solucin: sen x 1 = 2 cos x cos x

tg x + 3 cotg x = 4

28

Ejercicios y problemas sen x = 2 cos2 x sen x = 2 cos2 x sen x = 2 (1 sen2 x) 2 sen2 x + sen x 2 = 0 1 1 + 8 13 2 sen x = = = 2 2 2 2 2 /2 sen x = 2 no tiene sentido porque |sen x| 1 2 sen x = 2 h tg 55 = x h tg 40 = x + 300 h = x tg 55 h = (x + 300) tg 40 h = 1,43x h = 0,84(x + 300) x = 427,12 m h = 610,78 m107 Un faro est colocado sobre un montculo.Al lado del315 225

}}

}

montculo hay una pequea llanura y desde ella se mide el ngulo de elevacin del punto ms alto del faro y se obtiene 47. Nos alejamos en la misma direccin 20 m, se vuelve a medir el ngulo de elevacin y se obtiene 32. Calcula la altura del faro ms el montculo.

x1 = 225 + 360k, k x2 = 315 + 360k, k 106 En una llanura, desde un punto cualquiera se mide

el ngulo B de elevacin de una montaa y se obtiene 40. Acercndose a la montaa una distancia de 300 m, se vuelve a medir el ngulo C de elevacin y se obtiene 55. Calcula la altura de la montaa.

47

32 20 m

Solucin:D

h

47 A C = 55 B = 40 300 m x B

32 20 m

C

h tg 47 = x h tg 32 = x + 20 h = x tg 47

Solucin:D

}}

h = (x + 20) tg 32h

}

h = 1,07x h = 0,62(x + 20)55 40 300 m

x = 27,56 mC

A

x

B

h = 29,49 m

29

Aplica tus competenciasClculo de alturas108

Clculo de reas109

Una escalera de bomberos que mide 20 m de longitud se apoya sobre una fachada. El ngulo que forma el suelo con la escalera es de 75. Qu altura alcanza la escalera sobre la fachada?

Una finca tiene forma de tringulo rectngulo. Uno de los catetos mide 250 m, y el ngulo opuesto, 52. Calcula el rea de la finca.52

20 m

75

250 m

Solucin: Solucin:52 c 20 m h

250 m

75

h sen 75 = 20 h = 20 sen 75 h = 19,32 m

250 tg 52 = c c = 195,32 m 1 rea = 250 195,32 2 rea = 24 415 m2

30

Comprueba lo que sabes1

Define qu es una identidad trigonomtrica y pon un ejemplo.

b) a = 244 23 57 c) a = 309 325

Solucin: Una identidad trigonomtrica es un igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable. Ejemplo: sen2 x + cos2 x = 12

Resuelve la siguiente ecuacin trigonomtrica: sen2 x + 2 = cos2 x + 3 sen x

Un ngulo mide 1,23 rad. Cuntos grados son?

Solucin: 2 sen2 x 3 sen x + 1 = 0 sen x = 1, sen x = 1/2 a) sen x = 1

Solucin: 180 1,23 rad = 70 28 26 rad390

Sabiendo que sen a = 3/5 y que el ngulo est en el 2 cuadrante, halla el valor del cos a x1 = 90 + 360k, k b) sen x = 1/23/5 cos a a 1/2 150 30 1/2

Solucin:

sen2 a + cos2 a = 1 3 2 + cos2 a = 1 5 9 cos2 a = 1 25 16 cos2 a = 25 4 cos a = 5

()

x2 = 30 + 360k, k x3 = 150 + 360k, k 6

Resuelve el siguiente tringulo rectngulo:

b = 2,5 cm

a

4

Calcula el ngulo a en los siguientes casos: a) sen a = 0,5678 y el ngulo est en el 2 cuadrante. b) cos a = 0,4321 y el ngulo est en el 3er cuadrante. c) tg a = 1,2345 y el ngulo est en el 4 cuadrante.

c = 3,5 cm

Solucin: 2,5 tg a = a = 35 32 16 3,5 b = 90 35 32 16 = 54 27 44 a2 = 2,52 + 3,52 a = 4,30 cm7

Solucin: a) a =145 24 11

Calcula el rea de un heptgono regular en el que el lado mide 1,5 cm

31

tancia de 200 m, se vuelve a medir el ngulo C de elevacin y se obtiene 57. Cunto mide de alto la montaa?25 42 52 a 0,75 1,5 cm

Solucin:D

Solucin: 360 : 14 = 25 42 51B 1,5 cm a 25 42' 51'' 0,75 cm 35 200 m 57 C x

h

A

h tg 57 = x h tg 35 = x + 200 h = x tg 57 h = (x + 200) tg 35 h = 1,54 x h = (x + 200) 0,7

0,75 tg 25 42 51 = a a = 1,56 cm 7 1,5 1,57 rea = = 8,24 cm2 28

} }

}

En la llanura, desde un punto cualquiera, se mide el ngulo B de elevacin de una montaa y se obtiene 35. Acercndose a la montaa una dis-

x = 166,67 m h = 256,67 m La montaa mide 256,67 m de alto.

32

Linux/Windows GeoGebraPaso a paso110

Estudia el signo de la razn trigonomtrica seno en cada cuadrante.

111

Dibuja un tringulo rectngulo en el que se conocen la hipotenusa a = 8 cm y el ngulo B = 65. Calcula todos sus elementos.

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado. Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.112

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemticas, curso y tema.

Practica113

Estudia el signo de la razn trigonomtrica coseno en cada cuadrante.

114

Dibuja un tringulo rectngulo en el que se conocen la hipotenusa a = 10 cm y c = 8 cm. Calcula todos sus elementos.

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.

33

Windows CabriDemuestra las siguientes identidades; primero dibuja el 1er miembro, y luego, el 2115

(sen x + cos x)2 = 1 + 2 sen x cos x

Solucin:

Resuelve las siguientes ecuaciones:117

3sen x 2cos2 x = 0

Solucin:

116

tg x + cotg x = sec x cosec x118

Solucin:

sen x cos x = 0

Solucin:

34