Prof. Guillermo Corbacho C. gcorbach@uc.cl

NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA I. Elementos de la circunferencia:

O es centro de la ; OT OBOQ, y son radios de la ; AB cuerda de la ; QT dimetro de la ;

son rectas secantes a la ; 1L y L2 es tangente a la ; 3L es ngulo interior de la ; es ngulo exterior a la ;

II. Propiedades:

O bien; el ngulo inscrito mide la mitad que el ngulo del centro.

1. El ngulo del centro mide el doble que el ngulo inscrito.

Ejemplos: Para hallar el valor incgnito, usar la primera representacin de la propiedad indicada ser suficiente: el ngulo del centro mide el doble que su ngulo inscrito.

2. El ngulo del centro subtiende un arco de circunferencia de igual medida que el. Tal como se ilustra en la figura.

Ejemplos:

AB AOB= =

12

Solucin:

2 /

=

=

126

63

Solucin:2 52

104 = =

12

Solucin:

60 2 /

30

=

=

122AB = = 80AB =115 =

Parinacota, Quilicura, 2k09 1

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O bien, el ngulo del centro mide el doble que todos los ngulos inscritos que subtienden el mismo arco que el, cuya medida de este ltimo, es tambin el doble que ellos.

3. Los ngulos inscritos que subtienden el mismo ngulo del centro -o arco de circunferencia, son iguales entre s y miden la mitad que el ngulo del centro as como del arco que subtiende.

Ejemplos:

Recordatorios: En ejercicios de esta unidad, aparecen en ocasiones tringulos inscritos (adentro) de una circunferencia. Por lo tanto es pertinente recordar de los tringulos que: La suma de los ngulos interiores de un tringulo suman 180. Un ngulo exterior es igual a la suma de los ngulos interiores no adyacentes a

el.

180

+ + =+ =

Dos ngulos adyacentes suplementarios suman 180. En la figura anterior: 180 + =

En una circunferencia debemos tener que:

Toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, es dimetro de ella la dimidia en dos partes iguales-.

Todo tringulo dentro de una circunferencia que tengas

dos lados coincidentes con un radio, es issceles. Y los ngulos interiores -del mismo tringulo-, opuestos a dichos lados, son de igual medida entre s. En la circunferencia de la izquierda, r designa su radio. AB es una cuerda que pasa por su centro, por lo tanto es tambin un dimetro.

AO OC r= = . El tringulo AOC es issceles, puesY sus ngulos interiores, -opuestos a dichos lados- y de igual medida entre s, estn indicados por .

Parinacota, Quilicura, 2k09 2

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Ejemplos:

Observe que en las primeras figuras hemos indicado tambin el ngulo del centro. El cul tiene siempre la misma orientacin que su respectivo ngulo inscrito. As, en la primera figura un ngulo inscrito de 35 se abre hacia la derecha, por lo tanto su respectivo ngulo del centro que mide el doble, 70-, tambin se abre hacia la derecha. Hacia donde se halla el arco respectivo. En la segunda figura, un ngulo inscrito se abre hacia la izquierda y su respectivo ngulo del centro tambin. Pero no siempre hemos indicado el ngulo del centro y su arco. Las dos ltimas figuras se concentran nicamente en lo que estamos indicando al inicial este punto: que si dos lados del tringulo coinciden con los radios, entonces es un tringulo issceles. Esto significa que por tener dos lados de igual medida, los ngulos opuestos a dichos lados -llamados ngulos basales-, tambin tienen igual medida al interior del mismo tringulo. Otro punto que destacar relativo a ngulos al interior de una circunferencia es

que, un ngulo completo es aquel que subtiende un arco que coincide con la propia circunferencia y que por lo tanto, mide 360.

4. Debido a lo anterior, un ngulo del centro que subtiende un arco de media

circunferencia, mide 180. Y si dicho ngulo del centro tiene un ngulo inscrito, este mide, por lo visto anteriormente, su mitad, es decir, 90.

5. Un ngulo semi inscrito que tiene por uno de sus lados una cuerda de circunferencia y por otro, un segmento externo y tangente a ella-, tiene la misma propiedad que un ngulo inscrito. Es decir, mide la mitad que el ngulo del centro y lo mismo que el ngulo inscrito con los cuales subtienda el mismo arco. Tal como lo ilustra la siguiente figura.

Ejemplos: Lo usual es que no nos enc s y ngulos resaltados o diferenciados como arriba (es el caso de la ltima de las siguientes figuras.)

ontremos con los arco

Parinacota, Quilicura, 2k09 3

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ngulos en la Circunferencia Listado n1: Ejercicios Resueltos

ngulos inscritos, del centro y semi inscritos. ABEjercicios: En cada circunferencia, O es centro y es cuerda.

1. es dimetro de la . ? =AB 2. 3. ? = ? =

Solucin: es un inscrito y mide la mitad que el del centro con el cual

subtiende el mismo arco AB de .

Es decir, 180= = 902

Solucin: es un del centro y por lo tanto, mide el doble que el inscrito que subtiende el mismo arco de que el.

= 250=100

Solucin: Los ngulos inscritos y del centro

subtienden el mismo arco BC . En tales casos, el ngulo del inscrito mide SIEMPRE la mitad que el del centro.

120= = 602

5. ? =?AB = = 6. 4. ?AB = =

Solucin: Todo arco de SIEMPRE mide lo mismo que el del centro que lo subtiende. Por lo tanto:

AB =160 O bien: =152

Solucin: es un ngulo inscrito, por lo tanto, mide la mitad que el arco que subtiende:

110= = 552

Solucin: Ahora es un arco y al igual que un ngulo del centro, mide el doble que el ngulo inscrito:

= 240= 80 .

8. El tringulo ABC es equiltero.

9. Se tiene un nongono regular (polgono de nueve lados congruentes) inscrito en la .

7. ?, ?, ? = = = ?, ? = =

?, ?, ? = = =

Solucin: es un ngulo del centro y por lo tanto, mide el doble que el ngulo inscrito que subtiende el mismo arco de , es decir: = 242 =84. y son un inscritos que subtienden el mismo arco que el de 48. Por lo tanto, miden lo mismo que este.

s

Es decir: = = 48.

Solucin: Cada vrtice del tringulo equiltero divide los 360 de la en tres arcos y ngulos del centro congruentes (de igual medida).

Es decir, 360= =120.3

Mientras, 120= = 60.2

Solucin: Cada vrtice del polgono equiltero divide los 360 de la en 9 arcos y ngulos del centro congruentes (de igual medida). Es decir, el ngulo del centro mide: = 360 /9 = 40. Cada ngulo inscrito mide: = /2 = 40 /2 = 20. y mide cuatro veces : = 4 = 420= 80 .

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11. 12. ? = ? =?= =AB es dimetroAB 10. .

Solucin: La figura se puede completar a:

AD + DB = 180 (forman media

circunferencia)

De donde: AD =180 62=118 . Y como es un ngulo inscrito, del arco AD que subtiende.

=AD 118= = 59.2 2

Solucin: La figura se puede completar a:

Esto debido a que se tiene ngulos adyacentes suplementarios (que sumados dan 180).

Y sabemos que = BC mide el doble que el inscrito que lo subtiende: = 254=108 .

Solucin: Por ser un ngulo del centro que subtiende el mismo arco

BC que el ngulo inscrito , tenemos: CAB

si CAB = 35

= 2 CAB = 2 35= 70.

13. ?= =AB

Solucin:

Como OA OC r= = , los s que se oponen a tales lados son iguales ( s basales) y miden 37. En este caso:

ACB = AOC = 37 . Y el arco es igual al ngulo del centro del AOC. Este ltimo se puede deducir mediante la suma de los interiores en todo (iguales a 180).

s

AOC =180 74=106= .

14. ?, ?, ? = = = 15. . BT ? =

Solucin: OB y OC son radios sus

s opuestos son iguales. = 25 [ s basales en un issceles). Un del centro mide el doble que el inscr. con el cual subtiende el mimo arco. As, = 50. Y dado que en todo : int.=180. En el DOC: = 180 (90+50) = 40

Solucin: Un semi inscrito mide lo mismo que un inscrito con el cual subtienda el mismo arco de . En este caso, el arco en

comn es AB . Es decir, = = 43. ACB

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18. . BT ?, ? = =

Solucin: Anlogo al anterior. Resp.: = 35

16. . BT BT17. ? = ?, ? = = .

Solucin: Un semi-inscrito (al igual que un

inscrito) siempre mide la mitad que el arco que subtiende. En este caso, es semi-inscrito en la y subtiende al arco AB. Por lo tanto:

. AB 126= = = 632 2

Solucin: El tringulo AOB es issceles, BT = OBA (son s basales) opuestos a lados iguales del .

19. ?, ? = =. s

Y el ngulo del centro mide siempre el doble que el semi-inscrito con el cual subtiende el mismo arco.

Y qu se puede concluir de los ejercicios 17, 18 y 19?

As, la figura se puede completar a:

Hallaremos por la suma de los ngulos interiores. As, lo que falta son 60, (que se reparten en los dos ngulos ). Esto es, 2 = 60 = 30 .

Solucin: dem a los anteriores. Resp.: = 42 Conclusin(es): El ngulo basal y el semi

inscrito son complementarios suman 90.

La tangente a la circunferencia es perpendicular a su radio en el punto de tangencia.

22. ? =20. AC dimetro. ?, ? = =

Solucin:

AB y BC forman una media circunferencia.

AB + BC = 180 AB + 84 = 180 AB =180 84= 96 Y como un ngulo del centro mide siempre lo mismo que el arco que subtiende: = 96.

21. 212.=BA ? =

Solucin: Por ser un ngulo semiinscrito, mide la mitad que su ngulo del centro, con el cul

subtiende la cuerda AB

= =AOB AB2 2

Todo se reduce a hallar el AB y dividirlo por dos.

AB + BA = 360

AB + 212 = 360

AB = 148 = 74.

Solucin: El es inscrito, por

lo tanto el arco

CBA =124

AC que subtiende hacia la derecha est de ms decirlo-, mide SU DOBLE.

AC = 2124= 248 Luego,

AC +CA = 360

CA248 + = 360

CA = =112. Pues es ngulo del centro y subtiende al arco CA .

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24. ? =

Resp.: = 91

23. 25. ? =? = Qu se puede concluir de este ejercicio y del 23 y 24? Y cul es la diferencia con el ejercicio 22?

Solucin:

Resp.: = 100. Conclusiones: Se puede concluir que: Los ngulos opuestos en un

cuadriltero inscrito en una circunferencia suman 180 (son suplementarios).

La diferencia es que el

cuadriltero del ejerc. 22 tiene uno de sus vrtices en el centro de la circunferencia. Por ello no satisface la conclusin anterior.

Como 105 y son ngulos inscritos, sus arcos -adems de completar una circunferencia- miden el doble que ellos.

26. ? =

3602 210 360

2 150 75

BD DB

+ =+ =

==

Solucin:

es ngulo inscrito, por tanto

27. ? = 2

( s op. vrtice)

BOC=

B'OC'=

2

( )

( )2

+B'A AC'=

234+240=

2

2=

( )34+402

= 74

Qu se puede concluir de este ejercicio y del anterior (ejercicio 26)?

Resp.: = 63

Conclusin: Para cuadrilteros con tres vrtices en la y el otro en el centro de ella, uno de sus ngulos inscritos es igual a la suma de los otros dos ngulos inscritos.

Parinacota, Quilicura, 2k09 7

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Volviendo con puntos de contenidos,

6. Cuadriltero inscriptible o inscrito en una circunferencia.

7. Trapecio Issceles inscrito en una circunferencia.

Un cuadriltero est inscrito en una circunferencia cuando todos sus vrtices estn en ella.

Hay que notar la diferencia entre circunferencia y crculo.

Un trapecio es una figura de cuatro lados (cuadriltero) con un par de lados opuestos paralelos y el otro par de lados opuestos no paralelos.

Una Circunferencia es el lugar geomtrico de todos los puntos

equidistantes o que tienen una misma distancia respecto de otro, llamado este ltimo, centro. Mientras que un crculo es el espacio al interior de la circunferencia. El cuadriltero ABCD de arriba est inscrito en la circunferencia de centro O. Y los ejercicios 23, 24 y 25 hacen referencia a que en un cuadriltero inscriptible, los ngulos opuestos suman 180 -son suplementarios. As, en la figura anterior:

180 + = y 180 + =

Y al igual que en un tringulo, a ngulos contiguos de igual medida entre s se oponen tambin lados de igual medida entre s (congruentes).

Un ejemplo de ello es el siguiente trapecio. Sin embargo, lo ms comn es que la mayora de los trapecios que se dibujan en la prctica, no tengan dos ngulos y lados opuestos que sean de igual medida o congruentes. Pero esto SIEMPRE ocurre si el trapecio dibujado est inscrito en una circunferencia. Un ejemplo es la figura de la derecha.

8. ngulo interior a una circunferencia. 9. ngulo exterior a un tringulo. Podemos hallar un ngulo interior a una circunferencia y a la vez, exterior a un tringulo inscrito.

Un ngulo interior a una circunferencia es aquel ngulo formado por dos cuerdas que se cortan, como se muestra en la figura. Su medida es igual

a la suma de los ngulos interiores del , no contiguos a el.

Y su medida se obtiene mediante la frmula:

ABx = CD2+

O bien,

2

x +=x

En la figura: = +

10. ngulo exterior a una circunferencia formado por dos secantes.

La medida de un ngulo exterior x, formado por dos secantes

11. ngulo exterior a la circunferencia con al menos uno de sus lados como tangente.

La obtencin del ngulo exterior no difiere del caso anterior:

PA PD y , se obtiene mediante la frmula:

AB CD2

x =2

x = O bien:

2

= x

Nota aparte: La tangente es siempre perpendicular al radio y dimetro de la .

Parinacota, Quilicura, 2k09 8

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ngulos en la Circunferencia Listado n 2: Ejercicios Resueltos

Cuadrilteros inscritos. ngulos interiores y exteriores. Ejercicios: En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es dimetro. Mientras que AB es arco. Calcular las medidas que se piden y/o se indican tras un signo igual.

1. 3. Halle los ngulos del cuadriltero.

2. ?; ?x = = ?; ? = =

Solucin: En todo cuadriltero inscrito en una , los ngulos opuestos son suplementarios (suman 180). As, en la figura de arriba: + 95=180 = 85 +80=180 =100

Solucin: Los ngulos opuestos suman 180. As, en la figura de arriba, solo nos sirve en un principio los ngulos opuestos que presentan en la suma un solo valor desconocido, x.

Ahora reemplazamos el valor hallado de x en la otra pareja de ngulos opuestos.

Solucin: Como en cada pareja de ngulos opuestos hay una sola incgnita, basta tomar cualquier pareja.

Ahora reemplazamos este valor en cada expresin algebraica de cada vrtice y los ngulos pedidos son: 100, 120, 80 y 60.

x xx x

10 + 8 =180

18 =180 =10

xx x

25 + 80=180

25 =100 = 4

.

x

21 + =180

214 + =180

84 + =180 = 96

4. , y estn en la razn de 5 : 4 : 7. Hallar .

Solucin: y son ngulos opuestos, por lo tanto suman 180. Adems, estn entre s en la razn 5 : 7. + = 180 5p + 7p = 180 (donde p es cada parte)

12p = 180 p = 18012

= 15.

Ahora vamos a ver la pareja de ngulos opuestos a . + = 180 + 4p = 180 + 4 15 = 180 = 120

5. = 2x+3; = 2x; 3 -3x = Hallar .

Solucin: De la figura, nos sirve: + = 180 (2x+3) + (3x 3) = 180 5x = 180 x = 36 Ahora que conocemos el valor de x, nos dirigimos a la pareja en donde se halla el ngulo pedido. + = 180 + 4x = 180 + 4 36 = 180 + 144 = 180

= 180 144 = 36

6. ; ?DC CB DCB =

Solucin: La figura se puede completar a

Pues a lados congruentes se oponen ngulos de igual medida. Por lo tanto, el ngulo pedido es suplementario con 64. As,

DCB + 64=180

DCB =116

Parinacota, Quilicura. 2k09. 9

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7. 8. ?x = 9. ?x = 21 , 63 = = . ?x =

Solucin: x es ngulo exterior del tringulo, por lo tanto, equivale a la suma de los dos ngulos interiores no adyacentes a el. x = + = 21 + 63 = 84

Solucin: Solo tenemos que x es ngulo interior entre las dos cuerdas, pero es suficiente. Su clculo viene dado por el promedio de los arcos que subtiende el y su opuesto por el

Solucin: Anlogo al anterior:

x 81+134 225= = =112,52 2

vrtice.

x 85 246= = =123 161+2 2

10. ?APC = 11. ? = 12. ? =

SolucinSolucin: El ngulo pedido tiene vrtice en P el punto medio de la notacin del ngulo- y est entre A y C.

Su clculo viene dado por elpromedio de los arcos que subtiende el y su opuesto por el vrtice.

x = = = 942 2

103+85 188

: Solucin: Esta vez conocemos el ngulo interior. Su relacin con las medidas de los arcos es que equivale a su promedio. Es decir,

+13085=

2

Ahora despejaremos .

Con los arcos dados, en principio solo podemos calcular al ngulo x y su opuesto por el vrtice, que se ha indicado en la figura.

85 2 = +130

170 130=

40=

x60+70 130

= = = 652 2

Pero x y son ngulos adyacentes rios, por lo ue: suplementa

x q

+ =18065 + =180 =18065 =115

Parinacota, Quilicura. 2k09. 10

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13. dimetro;AB ; = = ? ?

Solucin: El dimetro AB divide a la en dos arcos congruentes de 180. Aqu tenemos algunas med

e arcos, por lo que podemos idas

completar las semi a 180 cada uno:

d

ser ngulo terior: Y por in40+100

= = 702

.

14. dimetro;AB DA BC . Si 50 ;DA = CD = ? ; = ?

Solucin: Teniendo presente que el dimetro define dos arcos de circunferencia de 180 y que

DA BC con DA = 50

BC = 50

La figura puede completarse a:

Y que es ngulo interior igual l promedio del arco que

subtiende el y su opuesto por el vrtice-, entonces:

a

.

15. ? ; ? ; ?x = = =

Solucin: = 90 por ser inscrit

subtiencircx

o que de un arco de medi

unferencia. exterior del BCP por lo

tant igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a el.

Esto es, x = 40 + 90 = 130. Nos falta , el cual es

a

es o, es

s

suplementario con el ABC (por ser opuestos dentro de un cuadrilterio inscrito en una ) Tenemos:

180+80= =130

2Completando interiores en el ABC (para que su suma sea igual

ABC = 60 = 180 60 = 120.

Tambin se podra lograr

ando los ngulos interiores 180 en el ABP con lo que:

ABP = 20.

s

a

180) hallamos que:

completa

y = 120 (40+20) = 180 60 = 120.

Parinacota, Quilicura. 2k09. 11

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16. : = 5 :8. Hallar y .

Solucin:

ne de 5 partes (5p) y p).

anto,

se compode 8 partes (8 Adems, 52 es el ngulo interior de y . Por lo t

13

/

p

p p p

p

+

5 8 1352= = 2

2 2

104=13 /: p

13

8 =

Finalmente, = 5p = 40 y = 8p = 64.

17. y cumplen con: 2 3x = y 3 1

18. Si

= 138 y = 50. =

x= + .

Hallar y ?

.

Solucin : es ngulo exterior y , por lo tanto, se cumple:

de Solucin:

x x

xx

+49=

2 138 50= =2 2

88 =

2

x

2 3+ 3 +149=

2

100= 5

20= Reemplazando el valor de x en

98= 5 2 = 44

y obtenemos:

xx

= 2 3 = 37= 3 +1 = 61

?CA = 53BD =19. : = 36 : 13. = 46. ?; ? = =

Solucin:

p p p

p

p

pp

p

=

=236 13 23

46= 22 2

92= 23

92=

23= 36 =144

= 4=13 = 52

20. .PD DA 21. .PA PC ?CA =

? ; =

Solucin: El APD es issceles, con:

DAP = APD = 25

ADP =130

CDA =180 130= 50

CA =100

Usamos:

s basales -Suma de s interiores en ADP.

s adyacentes suplementarios.

-

- Tambin podamos usar exterior a un :

)(( )

DAP = APD = 25

y CA = 2 CDA

= 2 DAP + DPA

= 2 25+25

= 250

=100

Solucin: El APC es issceles, con:

Ad

CAP = ACP = 71

=180 142= 38

ems:

2

2

CA=

CA 5338=

76= CA 53 CA = 76+53

= 129 (No es el nico camino, tambin

lograr completando ngulos y arcos en la figura).

se puede

Parinacota, Quilicura. 2k09. 12

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22. ?; ?; ? = = = 23. ??; = =

Solucin:

100 50 50= = = 252

2+100 50 150

= = = 752 2

=105 s ady. suplentarios

Solucin:

+= 98 + =1962

= 72= 36

2 2 = 268 = 134 = 62

24. TP tangente. ? =

Solucin:

130 64=

274

= 2

= 37

25. TA dimetro, TP tangente. y . Hallar ,

Solucin: La figura se puede completar a:

Donde: = 42 pues + 48 = 90 en ABT. = 2 = 84 por ser arco que subtiende tal ngulo inscrito. = 48 pues + 42 = 90 en BPT.

26. ? = 242 ,QT =

Solucin

: El ngulo exterior al tringulo es igual a la suma de los dos ngulos interiores no adyacentes a el.

En la fig. Y el arco subtendido siempre mide el doble que el ngulo inscrito q e

. Por lo tanto:

48+55=103

u

27. .PT PQ Si.QPT Calcule el

Solucin: La figura se puede comp a: letar

lo subtiende = 206

De donde: 242 118 12

QPT = =4

2 2 =

relacin a este ejercicio en particular sino que en general, las tangentes trazadas desde un

ismo punto a una misma circunferencia son SIEMPRE

.

62 No solo en

m

congruentes

Parinacota, Quilicura. 2k09. 13

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ngulos en la Circunferencia Listado n 3: Ejercicios Propuestos

Ejercicios

: En cada circunferencia, O es centro y AB es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez dimetro. Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican.

ii) iii) ? = ? = i) Dibujar sobre la

: Una cuerda AB que coincida con un dimetro de la ; Una CDcuerda que toque otros dos puntos de la ; Una recta tangente PT

c, formando

un ngulo de 90 on un radio OT ; Una recta secante que corte a la en dos puntos.

AB 130 ?; ? = = = L

iv) ?AB = =

v)

viii) ? = vi) ?AB = = ?AB = =vii)

x)ix) y ngulos interiores iguales.

xi) lo ABC es equiltero. El tringu ?, ? = = La estrella tiene todos sus lados ?, ? = =

?, ? = =

xii) ?; ?;x = = ?; ?ABC CDA= =

xiii) ?x =

xiv) ?x =

Parinacota, Quilicura. 2k09. 14

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S olucionario de Listado de Ejercicios n 3

Ejercicios:

ABEn cada circunferencia, O es centro y es cuerda y si pasa por el centro, es a su vez dimetro. Mientras que AB es arco. Calcular en cada caso, las medidas que se indican.

ii) iii) = ? =?i) Dibuja sobre la

Solucin:

un ngul nscrito, por lo tanto, mide la mitad que el ngulo del centro que subtiende el mismo arco que el:

es o i

144= = 72

2

Solucin:

s un ngulo del centro, por tanto mide el doble que el ngulo inscrito que subtiende el mismo arco que el:

e lo

= 2 60 =120

: ABUna cuerda que coincida

con un dimetro de la ; CDUna cuerda que toque otros

dos puntos de la ; Una semirecta tangente PT , formando un ngulo de 90 con

OT ; un radio Una recta secante que corte a la en dos puntos.

L

Solucin:

AB 130 ?; ? = = =

En la figura, la recta L corta a la en los puntos E y F. Adems, toda recta tangente a una , forma un ngulo recto (90) con el radio. En la figura:

.

iv) ?AB = = v)

Solucin

OT PT:

Todo arco de SIEMPRE mide lo mismo que el del centro que lo subtiende. Por lo tanto:

Solucin: es un ngulo del centro que subtiende al AB , por lo tanto,

= 130. Mientras que todo ngulo inscrito mide la mitad que el arco que subtiende, es decir:

AB =160 O bien: =160 mide lo mismo que el. Es decir:

130= = 652

viii) ? = vi) ?AB = = vii) ?AB = =

AD DBSolucin:

El ngulo del centro mide el doble que el inscrito por subtender el

. Y como mide igual que el del centro se tiene que mismo arco

, = 68 .

Solucin: Completamos los s

sumadmedid

adyacentes suplementarios (que os dan 180) hallando la a del inscrito de 65.

l respectivo del centro y iden su doble:

Em = 265=130 .

Solucin: y forman media circunferencia, es decir 180.

As, AD =180 68=112 y es inscrito, que subtiende a 112. Por lo tanto, mide su mitad: =112 /2 = 56 .

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Prof.: Guillermo Corbacho C.

ix) ?, ? = =

Solucin: Todos los s inscritos que subtienden el mismo arco de son iguales. Es decir, = 21.

nd

ed el doble que este. =

de diez lados congruentes) esta inscrito en la .

x) El decgono regular (polgono

Y todo del centro que subtie a el mismo arco de que un inscrito, m irEs decir, = 2 21 42.

?; ?; ?EHF = = =

Solucin:

a vrtice del decgono regular de la circunferencia

Caddivide los 360en diez arcos y ngulos del centro congruentes.

Es decir, 360= = 36. 10

Entonces, el ngulo inscrito: 36

EHG = = =18.2 2

Y se rv puede obse ar que equivale a seis medidas de 18. Es decir:

= 618=108 .

ados y ngulos interiores iguales.

xi) La estrella tiene todos sus l

?, ? = =

Solucin: Cada vrtice de la estrella divide los 360 de la en 5 arcos y ngulos del centro co ntes. ngrue

. 360= = 725

Es decir,

Mientras, . 72= = = 362 2

xii) ?; ?;x = = ?; ?ABC CDA= =

Solucin:

opuestos en una son suplementarios (sumados dan 180) As pues, + 100 = 180 = 80 A su vez, ABC = 6 18 = 108. CDA = 4 18 = 72.

xiii)

s

?x =

x x6 + 4 =180 x x10 =180 =18

Solucin: terior y su medida queda determinada por:

x es in

x AB+CD 82+ 66 148= = =2 2

=74

2

xiv) ?x =

Solucin: x es exterior a la y su medida queda d rminada por: ete

AB CD 105 27 78= =x =

2 2 2 = 39

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Prof.: Guillermo Corbacho C.

ngulos en la Circunferencia

Listado n 4: Ejercicios Propuestos Ejercicios: Calcular las medidas de y segn corresponda.

1. 2. 3. ?; ? = = ?; ? = = ?; ? = =

4. 5. 6. ?; ? = = ?; ? = = ?; ? = =

7. 8. ? = ? = =AT 54; con OT radio

9. .. ? =y PT OT Entonces,

10. ?; ? = =

11. 12. ?; ? = = ? =

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Prof.: Guillermo Corbacho C.

3.1 AC es tangente a la = ; = ? ?

14. 15. ?; ? = = ?; ? = =

16. 17. ?; ? = = ?; ? = =

18. ?; ? = =

19. 20. ?; ? = =

?; ? = =

21. ?; ? = =

22. ? =

23. 24. ?; ? = = ?; ? = =

27. ABCDE es polgono regular. 25. ? = 26. PB es tangente. ? = ? =

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