Soluciones Matematicas Batchillerato 2 - Tema 5

download Soluciones Matematicas Batchillerato 2 - Tema 5

of 24

  • date post

    14-Jul-2016
  • Category

    Documents

  • view

    12
  • download

    6

Embed Size (px)

description

Soluciones Matematicas Batchillerato 2

Transcript of Soluciones Matematicas Batchillerato 2 - Tema 5

  • Pgina 114

    Troba lrea daquest parallelogram en funci de langle :

    rea = 8 5 sin = 40 sin cm2

    Troba lrea daquest triangle en funci de langle :

    rea triangle = cm2

    Pgina 115

    Troba el volum daquest paralleleppe-de en funci de i de .

    Volum = 400 sin cos cm3

    rea base = 40 sin Altura = 10 cos

    a b sin 2

    219Unitat 5. Vectors en lespai

    VECTORS EN LESPAIUNITAT 5

    8 cm

    5 cm

    a

    b

    8 cm

    5 cm

    10 cm

  • Quin ser el volum dun paralleleppe-de darestes a, b, c, tal que les duesarestes de la base formen entre si unangle , i les arestes laterals formenun angle amb la perpendicular?

    Volum = a b c sin cos

    Troba la diagonal dun or-toedre les dimensions delqual sn: c = 3 cm, b = 4 cmi a = 12 cm.

    Diagonal = =

    = = 13 cm

    Escriu lexpressi general de la diagonal dun ortoedre darestes a, b i c.

    En general: Diagonal =

    Pgina 117

    1. La propietat a (b v ) = (a b) v relaciona el producte de nombres per vec-tors amb el producte entre nombres.

    a) Dels quatre productes que hi apareixen, quins sn del primer tipus i quinsdel segon?

    b) Interpreta aquesta propietat per a a = 3, b = 2 i v un vector qualsevol re-

    presentat sobre el paper.

    a) Producte de nombres per vectors: b v; (a b)

    v; a (b

    v )

    Producte entre nombres: a b

    a2 + b2 + c2

    16932 + 42 + 122

    220Unitat 5. Vectors en lespai

    a

    b

    c

    a

    b

    b

    c

    c

  • b)3 (2

    v ) = 6

    v

    2. La propietat (a + b) v = a v + b v relaciona la suma de nombres amb la su-ma de vectors.

    a) De les dues sumes que hi apareixen, quina s de cada tipus?

    b) Interpreta aquesta propietat per a a = 3, b = 5 i v un vector qualsevol re-

    presentat sobre el paper.

    a) Suma de nombres: a + b

    Suma de vectors: av + b

    v

    b)8

    v = 3

    v + 5

    v

    Pgina 119

    3. Si u (3, 5, 1), v (7, 4, 2), troba les coordenades:

    a) 2u b) 0

    v c)

    u

    d) 2u +

    v e)

    u

    v f) 5

    u 3

    v

    a) 2u = 2 (3, 5, 1) = (6, 10, 2)

    b) 0 v = (0, 0, 0)

    c) u = (3, 5, 1) = (3, 5, 1)

    d) 2u +

    v = 2(3, 5, 1) + (7, 4, 2) = (1, 14, 0)

    e)u

    v = (3, 5, 1) (7, 4, 2) = (10, 1, 3)

    f) 5u 3

    v = 5(3, 5, 1) 3(7, 4, 2) = (36, 13, 11)

    4. Siguin els vectors x (1, 5, 2), y (3, 4, 1), z (6, 3, 5), w (24, 26, 6). Trobaa, b, c perqu es compleixi: a

    x + b

    y + c

    z =

    w

    a (1, 5, 2) + b (3, 4, 1) + c (6, 3, 5) = (24, 26, 6)

    (a + 3b + 6c, 5a + 4b + 3c, 2a b 5c) = (24, 26, 6)

    (a + b)

    v = 8

    v

    av + b

    v = 3

    v + 5

    v

    a (b

    v ) = 3 (2

    v )

    (a b) v = 6

    v

    221Unitat 5. Vectors en lespai

    3 (

    2v )

    6v

    2v

    v

    8v

    5v

    3v

    v

  • = 92a = = = 6; b = = = 2

    c = = = 4

    Soluci: a = 6, b = 2, c = 4, s a dir, 6x 2

    y + 4

    z =

    w.

    Pgina 121

    5. Respecte a base ortonormal, les coordenades de tres vectors sn u (3, 1, 5),v (4, 7, 11),

    w (2, k, 8)

    a) Calcula u

    v

    b) Troba k per tal que v i

    w siguin perpendiculars.

    a) 3 4 + (1) 7 + 5 11 = 60

    b) 4 (2) + 7 k + 11 8 = 0 k =

    Pgina 123

    6. Donats els vectors u (5, 1, 2), v (1, 2, 2), calcula:

    a) u

    v b) u i v c) (u, v )

    d) Proj. de u sobre

    v i proj. de

    v sobre

    u (segment i vector).

    e) Quant ha de valer x perqu el vector (7, 2, x) sigui perpendicular au?

    a)u

    v = 5 2 4 = 11

    b) u = = 5,48v = = = 3

    c) cos (u,

    v ) = = 0,669 (

    u,

    v ) = 132 1' 26''

    d) Proj. de u sobre

    v = = = 3,67

    Significa que el vector projecci de u en la direcci de

    v t mdul 3,67 i sentit

    contrari al de v.

    113

    u

    v

    v

    11

    30 3u

    v

    u v

    91 + 4 + 43025 + 1 + 4

    807

    36892

    1 3 24 5 4 26 2 1 692

    18492

    1 24 6 5 26 3 2 6 592

    55292

    24 3 6 26 4 3 6 1 592

    1 3 65 4 32 1 5

    a + 3b + 6c = 245a + 4b + 3c = 262a b 5c = 6

    222Unitat 5. Vectors en lespai

  • Proj. de v sobre

    u = = 2,008

    e) (5, 1, 2) (7, 2, x) = 35 2 + 2x = 33 + 2x = 0 x =

    17. Obtn tres vectors perpendiculars a v que no siguin parallels entre si:v (3, 2, 7)

    Un vector, u(x, y, z), s perpendicular a

    v(3, 2, 7) si:

    u

    v = 3x + 2y + 7z = 0

    Per exemple: (0, 7, 2); (7, 0, 3); (2, 3, 0)

    18. Troba un vector que sigui perpendicular als dos vectors donats:u (5, 1, 2)

    v (1, 2, 2)

    Volem trobar les coordenades dun vector w(x, y, z) que sigui perpendicular a

    u i a

    v:

    Aquest sistema t infinites solucions proporcionals. Una delles s x = 2, y = 8, z = 9.

    s a dir, el vector buscat pot ser (2, 8, 9) o qualsevol altre parallel a aquest.

    Pgina 126

    19. Troba el producte vectorial de u (3, 7, 6) i v (4, 1, 2).u

    v = (3, 7, 6) (4, 1, 2) = (8, 18, 25)

    10. Troba un vector perpendicular a u (3, 7, 6) i a v (4, 1, 2).u

    v = (3, 7, 6) (4, 1, 2) = (8, 18, 25) o qualsevol vector proporcional a ell.

    11. Troba lrea del triangle determinat pels vectors: u (3, 7, 6) i v (4, 1, 2)

    rea del parallelogram determinat per u i

    v:

    |u

    v|= |(3, 7, 6) (4, 1, 2)|= |(8, 18, 25)|=

    = =

    rea del triangle = 15,91 u2

    Pgina 127

    12. Troba el volum del paralleleppede definit per u(3, 5, 1), v(7, 4, 2) i w(0, 6, 1)

    [u,

    v,

    w] = = 53 Volum = 53 u33 5 17 4 20 6 1

    1 0132

    1 01382 + 182 + 252

    w u (5, 1, 2) (x, y, z) = 5x y + 2z = 0w v (1, 2, 2) (x, y, z) = x + 2y 2z = 0

    332

    11

    30u

    v

    u

    223Unitat 5. Vectors en lespai

  • 13. Troba el valor de x perqu els vectors u (3, 5, 1), v (7, 4, 2) i z(1, 14, x)siguin coplanaris (s a dir, que el volum del paralleleppede determinat peraquests sigui zero).

    = 47x = 0 x = 0Pgina 131

    EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

    PER PRACTICAR

    Dependncia lineal

    14. Donats els vectors u(3, 3, 2), v(5, 2, 1), w(1, 1, 0):

    a) Troba els vectorsu 2

    v + 3

    w, 2

    u +

    v 4

    w.

    b) Calcula a i b tals queu = a

    v + b

    w.

    a)u 2

    v + 3

    w = (3, 3, 2) 2(5, 2, 1) + 3(1, 1, 0) = (4, 4, 0)

    2u +

    v 4

    w = 2(3, 3, 2) + (5, 2, 1) 4(1, 1, 0) = (5, 4, 3)

    b) (3, 3, 2) = a (5, 2, 1) + b (1, 1, 0) = (5a + b, 2a b, a)

    Soluci: a = 2, b = 7, s a dir: u = 2

    v 7

    w.

    15. Comprova que no s possible expressar el vector x (3, 1, 0) com a combi-naci lineal de

    u (1, 2, 1) i

    v (2, 3, 5). Sn linealment independents

    x,

    u i

    v ?

    x = a

    u + b

    v (3, 1, 0) = a (1, 2, 1) + b (2, 3, 5)

    A' = ( ) Com que |A'|= 28 0, el sistema s incompa-tible.

    Aix doncs, no s possible expressar x com a combinaci lineal de

    u i

    v.

    Com que ran (A' ) = 3, els tres vectors son linealment independents.

    16. Quins dels vectors segents tenen la mateixa direcci?a (1, 3, 2)

    b (2, 0, 1)

    c (2, 6, 4)

    d (5, 15, 10)

    e (10, 30, 5)

    a,

    c i

    d, ja que les seves coordenades sn proporcionals.

    17. Comprova que qualsevol dels vectors a (1, 2, 3), b (2, 1, 3), c (1, 0, 1) potexpressar-se com a C.L. dels altres dos.

    a = x

    b + y

    c (1, 2, 3) = x (2, 1, 3) + y (1, 0, 1)

    1 2 32 3 11 5 0

    3 = a + 2b1 = 2a 3b0 = a + 5b

    b = 7b = 7a = 2

    3 = 5a + b3 = 2a b2 = a

    3 5 17 4 21 14 x

    224Unitat 5. Vectors en lespai

  • Per tant: a = 2

    b 3

    c

    Daqu, tamb obtenim que: b =

    a +

    c;

    c =

    a +

    b

    18. Troba, en cada cas, tots els valors de m, n i p tals que mu + nv + pw = 0:

    a) u (3, 0, 1),

    v (1, 1, 0),

    w (1, 0, 1)

    b) u (1, 1, 0),

    v (1, 1, 1),

    w (2, 0, 1)

    a) m (3, 0, 1) + n (1, 1, 0) + p (1, 0, 1) = (0, 0, 0)

    A = ( )Com que |A|= 2 0, lnica soluci del sistema s: m = 0, n = 0, p = 0

    (Per tant u,

    v i

    w sn linealment independents.)

    b) m (1, 1, 0) + n (1, 1, 1) + p (2, 0, 1) = (0, 0, 0)

    A = ( )|A|= 0 i = 1 0; per tant ran (A) = 2.Resolem el sistema:

    Solucions: m = , n = , p =

    19. Estudia la dependncia o independncia lineal dels segents conjunts devectors:

    a) u (1, 2, 1),

    v (1, 0, 3),

    w (1, 2, 1)

    b) a (1, 2, 3),

    b (1, 4, 11),

    c (1, 1, 1),

    d (0, 1, 4)

    c) u (1, 1, 0),

    v (1, 0, 1),

    w (5, 2, 3)

    a) = 4 0. Per tant u, v , w sn linealment independents.b) Com que sn quatre vectors en 3, sn linealment dependents.

    c) = 0. Per tant, u, v , w sn linealment dependents.1 1 01 0 15 2 3

    1 2 11 0 31 2 1

    m = np = n

    m + n = 0

    n + p = 0

    1 10 1

    1 1 21 1 00 1 1

    m + n + 2p = 0m + n = 0

    n + p = 0

    3 1 10 1 01 0 1

    3m + n + p = 0 n = 0

    m + p = 0

    23

    13

    32

    12

    y = 3x = 2y = 3

    1 = 2x + y2 = x3 = 3x + y

    225Unitat 5. Vectors en lespai

  • 20. Determina k perqu els segents conjunts de vectors siguin linealment de-pendents:

    a) u (k, 3, 2),

    v(2, 3, k),

    w(4, 6, 4)

    b) u(3, 2, 5),

    v(2, 4, 7),

    w(1, 1, k)