DINAMICA ROTACIONAL: BACHILLERATO

DINÁMICA ROTACIONAL

PROFESOR: FLORENCIO PINELA

Junio de 20101FLORENCIO PINELA - ESPOL

TORQUE Y BRAZO DE PALANCA

r F

rFsen

La distancia perpendicular r┴ medida desde el eje de

rotación a la línea de acción de la fuerza es llamada

brazo de palanca y es igual a r sin θ. El torque, o fuerza

de torsión, que produce movimiento rotacional, se define

como el producto de la fuerza y el brazo de palanca.


( )Fsen r

( )F rsen

Solo la fuerza perpendicular a la “palanca” produce un torque.


The three forces shown all

have the same magnitude:

Fa = Fb = Fc.

Which force produces the

greatest torque about the

point O (marked by the red

dot)?

1. the force Fa

2. the force Fb

3. the force Fc

4. not enough information

given to decide

Q10.1


In which of the

situation(s) shown

here does the force

produce a torque

about O that is

directed into the

plane of the

drawing?

1. situation (i)

2. situation (ii)

3. situation (iii)

4. situation (iv)

5. more than one of the above

Q10.2


A plumber pushes

straight down on the

end of a long wrench

as shown.

What is the

magnitude of the

torque he applies

about point O?

1. (0.80 m)(900 N)sin 19°

2. (0.80 m)(900 N)cos 19°

3. (0.80 m)(900 N)tan 19°

4. none of the above

Q10.3


EL TORQUE: COMO CANTIDAD

VECTORIAL


EQUILIBRIO

0 FFneta

0

neto

Se dice que un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio

mecánico si se cumplen las dos condiciones:

EQUILIBRIO TRASLACIONAL

EQUILIBRIO ROTACIONAL


A massless rod of length L is

suspended from the ceiling by a

string attached to the center of the

rod. A sphere of mass M is

suspended from the left-hand end

of the rod. Where should a

second sphere of mass 2M be

suspended so that the rod

remains horizontal?

1. at x = 2L/3

2. at x = 3L/4

3. at x = 4L/5

4. at x = 3L/5


Q11.2


1. T = w sin

2. T = w cos

3. T = w/(sin )

4. T = w/(cos )


Q11.3

A metal advertising sign (weight

w) is suspended from the end of a

massless rod of length L. The rod

is supported at one end by a hinge

at point P and at the other end by

a cable at an angle from the

horizontal.

What is the tension in the cable?


1. L = w, T = 0

2. L = w(1 + a/b), T = w(a/b)

3. L = w(1 – a/b), T = w(a/b)

4. L = w(a/b), T = w(1 + a/b)

5. L = w(a/b), T = w(1 – a/b)

Q11.4

When an airplane is flying at

a constant altitude, three

vertical forces act on it —

the weight w, an upward lift

force L exerted by the wing,

and a downward force T

exerted by the tail.

In equilibrium, what are the

magnitudes L and T?


Torque Example and ACTA person raises one leg to an angle of 30 degrees. An ankle

weight (89 N) attached a distance of 0.84 m from her hip. What is the torque due to this weight?

1) Draw Diagram

2) = F r sin F r

F r cos(30)

If she raises her leg higher, the torque due to the weight will

A) Increase

B) Same

C) Decrease

30F=89 N

= 65 N m


Equilibrium Acts

A rod is lying on a table and has two equal but opposite forces acting on it. What is the net force on the rod?

A) Up B) Down C) Zero

Will the rod move? A) Yes B) No F

F

y

x


Equilibrium

Conditions for Equilibrium

F = 0 Translational EQ (Center of Mass)

= 0 Rotational EQ

Can choose any axis of rotation…. Choose Wisely!

A meter stick is suspended at the center. If a 1 kg weight is placed at x=0. Where do you need to place a 2 kg weight to balance it?

A) x = 25 B) x=50 C) x=75 D) x=100

E) 1 kg can’t balance a 2 kg weight.

9.8 N 19.6 N

50 cm d = 0

9.8 (0.5) – (19.6)d = 0

d = 25


Static Equilibrium and Center of Mass

Gravitational Force Weight = mg

Acts as force at center of mass

Torque about pivot due to gravity = mgd

Object not in static equilibrium

Center of mass

pivotd

W=mg

i

iicm

m

mrr


Center of mass

pivotd

W=mg

Torque about pivot 0

Center of mass

pivot

Torque about pivot = 0

A method to find center of mass of an irregular object

Not in equilibrium Equilibrium

Static Equilibrium


Pre-VUELO The picture below shows two people lifting a heavy log. Which of the two people is supporting the greatest weight?

1. The person on the left is supporting the greatest weight

2. The person on the right is supporting the greatest weight

3. They are supporting the same weight


A 75 kg painter stands at the center of a 50 kg 3 meter plank. The supports are 1 meter in from each edge. Calculate the force on support A.

Equilibrium Example

A B

1 meter1 meter

FA FB

Mgmg

1) Draw FBD

2) F = 0

3) Choose pivot

4) = 0

FA + FB – mg – Mg = 0

-FA (1) sin(90)+ FB (0) sin(90) + mg (0.5)sin(90) + Mg(0.5) sin(90) = 0

FA = 0.5 mg + 0.5 Mg = 612.5 Newtons

1 meter

0.5meter


If the painter moves to the right, the force exerted by support A

A) Increases B) Unchanged C) Decreases

Equilibrium Example

A B

1 meter1 meter


How far to the right of support B can the painter stand before the plank tips?

Equilibrium Example

A B

1 meter1 meter

Just before board tips, force from A becomes zero

FB

Mgmg

1) Draw FBD

2) F = 0

3) Choose pivot

4) = 0

FB – mg – Mg = 0

FB (0) sin(90) + mg (0.5)sin(90) – Mg(x) sin(90) = 0

0.5 m = x M

0.5meter x


Equilibrium Example

1) Draw FBD2) Choose Axis of rotation3) = 0 Rotational EQ

F1 (1.2) – mg (4.6) = 0F1 = 4.6 (50 *9.8) / 1.2F1 = 1880 N

4) F = 0 Translational EQ F1 – F2 – mg = 0F2 = F1 – mg = 1390 N

mg

F1

F2

A 50 kg diver stands at the end of a 4.6 m diving board. Neglecting the weight of the board, what is the force on the pivot 1.2 meters from the end?


Una escalera de 15 kg descansa contra una pared lisa. Un

hombre con una masa de 78 kg está parado en la escalera

como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza de fricción debe

actuar sobre la base de la escalera para que no resbale.


Una escalera de 15 kg

descansa contra una pared

lisa. Un hombre con una

masa de 78 Kg. sube por la

escalera, inclinada 50

grados, como se muestra en

la figura. ¿Cuál es la altura

máxima que puede subir el

hombre en la escalera sin

que esta resbale?, el

coeficiente de rozamiento

estático entre la escalera y el

piso es de 0,3


Estabilidad y centro de gravedad

(a) Cuando un objeto se encuentra en equilibrio estable,

cualquier desplazamiento desde su posición de equilibrio

resulta en una fuerza o torque que lo retorna a su

posición de equilibrio estable


CUANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD ESTÁ ARRIBA DEL ÁREA

DE SOPORTE DE UN OBJETO Y DENTRO DE ELLA, EL OBJETO

ESTÁ EN EQUILIBRIO ESTABLE.


MOMENTO DE INERCIA (I)

Al actuar una fuerza neta sobre un cuerpo, la inercia es la propiedad de la materia que determina la aceleración que experimentará.

Al actuar un torque neto sobre un cuerpo, la propiedad de la materia que determina la aceleración angular que experimentará, se denomina Momento de Inercia

netaFa

m

neto

I

DINÁMICA ROTACIONAL


CANTIDADES LINEALES Y

ANGULARES Y SUS RELACIONES

s r

v r

tan

( )tv ra r r

t t t

22

rad

va r

r

sr

t t

Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 27

EL TORQUE, LA VELOCIDAD ANGULAR (ω)

Y LA ACELERACIÓN ANGULAR ()

neto Fr I

t

t

Si la velocidad angular es

constante, el torque neto y

valen cero!

Si la velocidad angular varía,

existe un torque neto y es

diferente de cero!

0neto Fr


Analogías entre cantidades lineales

(traslación) y angulares (rotación)

Denominación representación Denominación Representación

distancia s ángulo Velocidad lineal v Velocidad

angular

Aceleración

lineala Aceleración

angular

Fuerza F Torque Masa m Momento de

inerciaI


Linear and Angular: Relation

Linear Angular

Displacement x

Velocity v

Acceleration a

Inertia m I

KE ½ m v2 ½ I 2

2Da Newton. F=ma = I

Momentum p = mv L = I


Tension…..

m2m1T1 T2

T1 < T2 since T2 – T1 = m2 a. It takes force to accelerate block 2.

m3F

m3

m1m2

T1

T2

T1 < T2 since RT2 – RT1 = I2 . It takes force (torque) to accelerate the pulley.

Compare the tension T1 and T2 as the blocks are accelerated to the right.

A) T1 < T2 B) T1 = T2 C) T1 > T2

Compare the tension T1 and T2 as block 3 falls

A) T1 < T2 B) T1 = T2 C) T1 > T2


MOMENTO DE INERCIA DE UNA PARTÍCULA

DE MASA m

rv

m

Frv

ta r

Si sobre la partícula actúa una fuerza

tangencial, ella experimentará una aceleración

tangencial, además de la aceleración centrípeta.t

va

t

ta rt


r

vm

F

t tF ma

( )tF m r

2( )tF r mr

2( )mr

netaF ma

neto I

2mrI Momento de inercia de una partícula

Segunda Ley de Newton para

la traslación

Segunda Ley de Newton para

la rotación

ta r

Multipliquemos ambos lados de la

ecuación por r


The Hammer!

You want to balance a hammer on the tip of your finger, which way is easier

A) Head up

B) Head down

C) Same

= I

m g R sin() = mR2 mg

R

Torque increases with R

Inertia increases as R2

g sin() / R =

Angular acceleration decreases with

R!, so large R is easier to balance.


neto I

AL APLICAR LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA

ROTACION, RECUERDE QUE EL MOMENTO DE INERCIA SE

CALCULA CON RESPECTO AL MISMO PUNTO QUE SE

DETERMINO EL TORQUE NETO.

En cuál de los dos casos el sistema rotará con mayor aceleración angular?


2 2

1 1 2 2

2 2 230(0,5) 30(0,5) 15 .

I m x m x

I kg m

2 2

1 1 2 2

2 2 240(0,5) 10(0,5) 12,5 .

I m x m x

I kg m

2 2

1 1 2 2

2 2 230(1,5) 30(1,5) 135 .

I m x m x

I kg m


Para el sistema de masas mostrado, determine el momento de

inercia en torno a:

a) El eje x

b) El eje y

c) Un eje que pasa por el origen y es perpendicular a la página.


2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4

2 2 2 2 22(2,5) 3(2,5) 4(2,5) 1(2,5) 62,5

y

y

I m x m x m x m x

I kgm

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4

2 2 2 2 2 2 2 2 22(2,5 1,5 ) 3(2,5 1,5 ) 4(2,5 1,5 ) 1(2,5 1,5 ) 85

z

z

I m z m z m z m z

I kgm

2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4

2 2 2 2 22(1,5 ) 3(1,5 ) 4(1,5 ) 1(1,5 ) 22,5

x

x

I m y m y m y m y

I kgm


Moments of inertia of some uniform-density objects with

common shapes


Rotation ACTTwo wheels can rotate freely about fixed axles through their centers. The wheels have the samemass, but one has twice the radius of the other. If the same force F is applied to each wheel, compare their angular accelerationsRecall: = F d sin , and I = MR2 for the wheel

(A) 1 > 2 (B) 1 = 2 (C) 1 < 2

F

F

1 2

2

neto Fr

I MR


Teorema de los ejes paralelosEl momento de inercia respecto a un eje paralelo a otro que

pasa por el centro de masa del cuerpo es I = ICM + Md2, donde

M es la masa total del cuerpo y d es la distancia entre los ejes.


2

.

2

2

2

2

1

12 2

1 1

12 4

1

3

extremo C M

extremo

extremo

extremo

I I Md

LI ML M

I ML

I ML


1. m2g = T2 = T1

2. m2g > T2 = T1

3. m2g > T2 > T1

4. m2g = T2 > T1


Q10.4

A glider of mass m1 slides without friction on a horizontal air track.

It is connected to an object of mass m2 by a massless string. The

string turns the pulley without slipping or stretching.

If the glider and object are released, the glider accelerates to the

right and the object accelerates downward. During this motion,

what is the relationship among T1 (the tension in the horizontal

part of the string), T2 (the tension in the vertical part of the string),

and the weight m2g of the object?


A string is wrapped several times around

the rim of a small hoop. (The weight of the

string is negligibly small compared to the

weight of the hoop.)

1. T = w

2. T > w

3. T < w

4. not enough information given to decide

Q10.5

If the free end of the string is held in place and the hoop

is released from rest, the string unwinds and the hoop

descends.

As the hoop descends, how does the tension in the

string (magnitude T) compare to the weight of the hoop

(w)?


A solid bowling ball rolls

down a ramp.

Which of the following

forces exerts a torque

on the bowling ball

about its center?

1. the weight of the ball

2. the normal force exerted by the ramp

3. the friction force exerted by the ramp

4. more than one of the above

5. answer depends on whether or not the ball is rolling

without slipping

Q10.6


Polea con inercia

APLICACIONES DE LA DINÁMICA ROTACIONAL

Un bloque de masa m cuelga de

una cuerda que pasa por una

polea, de masa M y radio R,

cuyo eje no presenta fricción. Si

el bloque se suelta desde el

reposo. ¿Qué magnitud tendrá

la aceleración lineal del bloque,

en función de M, m, R?

(desprecie la masa de la

cuerda)


Traslación del bloque

netaF ma

mg T ma

Rotación de la polea

neto eje ejeI

TR I

Relación entre la aceleración lineal y la aceleración angular: la aceleración del bloque es igual a la aceleración tangencial de la polea

a R


mg T ma

TR I21

2I MR

21

2

aTR MR

R

1

2T Ma

1( )

2mg a m M

2

2

2

2

mg mRa g

m M mR I

Tomemos las ecuaciones de traslación, rotación y su relación:

a R Momento de inercia de la polea (cilindro)


Falling weight & pulley

A mass m is hung by a string that is wrapped around a pulley of radius Rattached to a heavy flywheel. The moment of inertia of the pulley + flywheel is I. The string does not slip on the pulley.Starting at rest, how long does it take for the mass to fall a distance L.

I

m

R

T

mg

a

LWhat method should we use to solve this problem

A) Conservation of Energy (including rotational)

B) I and then use kinematics


Falling weight & pulley: Experimental procedure...

Using 1-D kinematics we can solve for the time required for the weight to fall a distance L:

I

m

R

T

mg

a

L

L at1

2

2 tL

a

2

amR

mRg

2

2 Iwhere

2

0 0

1

2y y v t at

Using this result we can calculate the moment of

inertia of the pulley


A string is wrapped several times

around the rim (weight w) of a small

hoop. (The weight of the string is

negligibly small compared to the

weight of the hoop.)

If the free end of the string is held in place

and the hoop is released from rest, the

string unwinds and the hoop descends. As

the hoop descends, what is the acceleration

of the center of mass of the hoop?


T

mg

o

a

F = ma => mg – T = ma

o = I => TR = I R

a = R

TR = I (a/R)

mg – I a/R2 = ma

a(m + I/R2) = mg

2/

mga

m I R


Dos masas penden de una polea. La polea tiene una masa de 0,2 Kg.

y un radio de 0,15 m y un momento de fuerza constante (torque) de

0,35 N.m debido a la fricción entre ella y el eje sobre el que gira.

¿Cuál es el valor de la aceleración de las masas? Si m1= 0,4 Kg. y m2

= 0,8 Kg.


F ma

2 2 2m g T m a

1 1 1T m g m a

eje ejeI

2 1 friccionT R T R I

2

2 1

1

2friccion

aT R T R MR

R

2 1

1

2

fT T Ma

R

2 1 1 2( ) ( / 2)f

g m m a m m MR

2 2 2m g T m a

1 1 1T m g m a

2 1 friccionT R T R I

2 1

2 1

( ) /

( / 2)

fg m m Ra

m m M


LOS BLOQUES MOSTRADOS EN LA FIGURA NO

PRESENTAN ROZAMIENTO CON EL PLANO. DETERMINE

LAS TENSIONES EN LA CUERDA Y EL MOMENTO DE

INERCIA DE LA POLEA, SUPONGA QUE LA POLEA TIENE UN

RADIO EFECTIVO DE 20 cm..


1 1 1

2 2 2

2 1

30

60

o

o

T m gsen m a

m gsen T m a

T R T R I

2 1 2

aT T I

R

1 1( 30 )oT m gsen a

2 2 ( 60 )oT m gsen a


Una esfera uniforme de 2 Kg. y 0,15 m de diámetro rueda desde la parte

superior (H= 1m) de un plano inclinado 30 grados como se indica en la

figura.

a) ¿Qué aceleración tiene el centro de masa de la esfera?

b) La velocidad del centro de masa al llegar a la parte inferior del plano.

c) La velocidad angular en la parte inferior del plano.

Rolling


. . .puntodecont p cI

2

.( ) ( )C MMgsen r I Mr

2 22( ) ( )

5Mgsen r Mr Mr


2( ) ( )cmMgsen r I Mr a r

2( ) ( )cm

aMgsen r I Mr

r

2

2

cm

Msen ra g

I Mr


Rolling

An object with mass M, radius R, and moment of inertia I rolls without slipping down a plane inclined at an angle with respect to horizontal. What is its acceleration?

Consider CM motion and rotation about the CM separately when solving this problem

R

I

M


Rolling... Static friction f causes rolling. It is an unknown, so

we must solve for it. First consider the free body diagram of the object

and use FNET = Macm :In the x direction:

Mg sin - f = Macm

Now consider rotation about the CMand use = I realizing that = Rf and a = R

R

M

f

Ia

RfR

2

Ia

fR

Mg


Rolling...

We have two equations: Mg sin - f = Ma

We can combine these to eliminate f:

2

af I

R

2

2

MR sin g

MR Ia

A R

I

M

2

2 2

MR sin 5g sin

2 7MR MR

5

a g

For a sphere:



ROLLING EL MOVIMIENTO DE RODADURA COMO LA COMBINACION DE

LOS MOVIMIENTOS DE ROTACION Y TRASLACION

Ejemplo: si una bicicleta de mueve

con velocidad de 5 m/s. la velocidad

del centro de masa de una de las

ruedas será también de 5 m/s

EL MOVIMIENTO DE RODADURA COMO LA

COMBINACION DE LOS MOVIMIENTOS DE

ROTACION Y TRASLACION


RollingA wheel is spinning clockwise such that the speed

of the outer rim is 2 m/s.

What is the velocity of the top of the wheel relative to the ground?

What is the velocity of the bottom of the wheel relative to the ground?

x

y

You now carry the spinning wheel to the right at 2 m/s.

What is the velocity of the top of the wheel relative to the ground?

A) -4 m/s B) -2 m/s C) 0 m/s D) +2m/s E) +4 m/s

What is the velocity of the bottom of the wheel relative to the ground?

A) -4 m/s B) -2 m/s C) 0 m/s D) +2m/s E) +4 m/s

2 m/s

2 m/s


Si un objeto rueda sin resbalar, la longitud del arco

entre dos puntos de contacto en la circunferencia es

igual a la distancia lineal recorrida. Esta distancia es

s = rθ. La rapidez del centro de masa es vCM = rω.

Ejemplo: si una bicicleta de mueve

con velocidad de 5 m/s. y las ruedas

tienen un radio de 0,5 m. La

velocidad angular de las ruedas será

de 10 rad/s


Rotational Kinetic Energy

Consider a mass M on the end of a string being spun around in a circle with radius r and angular frequency

Mass has speed v = r

Mass has kinetic energy

K = ½ M v2

= ½ M 2 r2

K = ½ (M r2) 2 = ½ I 2

Rotational Kinetic Energy is energy due to circular motion of object.

M



TRABAJO ROTACIONAL Y ENERGÍA CINÉTICA

W Fs

( )W F r

W

El trabajo realizado por una fuerza tangencial para

hacer rotar un cuerpo se conoce como trabajo

rotacional


Teorema trabajo-energía y energía cinética

( ) ( )netoW I I

2 2 2( )o

2 2

2

onetoW I

Utilizando la ecuación del trabajo rotacional:

2 21 1

2 2neto oW I I

El trabajo neto es igual al cambio en la

energía cinética rotacional

2 21 1

2 2neto oW I I

neto oW K K K

21

2K I

ENERGÍA CINÉTICA

ROTACIONAL

21

2K mv

ENERGÍA CINÉTICA

TRASLACIONAL


Contest!


Inertia Rods

Two batons have equal mass and length.

Which will be “easier” to spin

A) Mass on ends

B) Same

C) Mass in center


Rolling Race (Hoop vs Cylinder)

A hoop and a cylinder of equal mass roll down a ramp with height h. Which has greatest KE at bottom?

A) Hoop B) Same C) Cylinder


Preflight Rolling Race (Hoop vs Cylinder)

A hoop and a cylinder of equal mass roll down a ramp with height h. Which has greatest speed at the bottom of the ramp?

A) Hoop B) Same C) Cylinder

I = MR2 I = ½ MR2


Merry Go Round

BA

Four kids (mass m) are riding on a (light) merry-go-round rotating

with angular velocity =3 rad/s. In case A the kids are near the

center (r=1.5 m), in case B they are near the edge (r=3 m). Compare

the kinetic energy of the kids on the two rides.

A) KA > KB B) KA = KB C) KA < KB


ENERGÍA CINÉTICA DE UN OBJETO QUE RUEDA SOBRE UNA

SUPERFICIE HORIZONTAL SIN RESBALAR.

21

2iK I

Ii es el momento de inercia respecto al eje instantáneo de rotación


21

2iK I

2

i CMI I MR

2 2 21 1

2 2CMK I MR

2 2 21 1

2 2CMK I MR

2 21 1

2 2CM CM

total Rotacion Traslacion

K I Mv

K K K

CMv R


Energy Conservation!

Friction causes object to roll, but if it rolls w/o slipping friction does NO work!

W = F d cos d is zero for point in contact

No dissipated work, energy is conserved

Need to include both translation and rotation kinetic energy.

K = ½ m v2 + ½ I 2


Translational + Rotational KE Consider a cylinder with radius R and mass M,

rolling w/o slipping down a ramp. Determine the ratio of the translational to rotational KE.

H

I 1

2

2MR V

Ruse and

Translational: KT = ½ M v2

Rotational: KR = ½ I 2

KR = ½ (½ M R2) (V/R)2

= ¼ M v2

= ½ KT


Rolling Act Two uniform cylinders are machined out of solid

aluminum. One has twice the radius of the other.

If both are placed at the top of the same ramp and released, which is moving faster at the bottom?

(a) bigger one (b) smaller one (c) same

4

3V gH Independientedela masa

Ki + Ui = Kf + Uf

MgH MV 1

2

1

2

2 2I

MgH MRV

RMV

1

2

1

2

1

2

2

2

22


When an object rolls down an inclined

plane, potential energy is converted to

translational and rotational kinetic energy.

This makes the rolling slower than

frictionless sliding.


UN ANILLO DE RADIO R Y MASA M RUEDA POR UN

PLANO INCLINADO COMO SE INDICA EN LA

FIGURA. UTILIZANDO LA LEY DE CONSERVACION

DE LA ENERGIA DETERMINE LA VELOCIDAD DEL

CENTRO DE MASA DEL ANILLO AL LLEGAR A LA

PARTE INFERIOR DEL PLANO.


inicialE mgh

2 21 1

2 2final cmE mv I

22 2

2

1 1( )

2 2

cmcm

vmgh mv mR

R

cmv gh

UN ANILLO DE RADIO R Y MASA M RUEDA POR UN PLANO INCLINADO COMO SE

INDICA EN LA FIGURA. UTILIZANDO LA LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA

DETERMINE LA VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA DEL ANILLO AL LLEGAR A LA

PARTE INFERIOR DEL PLANO.

Comparelo con 2cmv gh


Translational + Rotational KE Consider a cylinder with radius R and mass M, rolling w/o

slipping down a ramp. Determine the ratio of the translational to rotational KE.

H

Energy conservation: Ki + Ui = Kf + Uf

MgH MV 1

2

1

2

2 2I

I 1

2

2MR V

Rbut and

MgH MRV

RMV

1

2

1

2

1

2

2

2

22

MgH MV MV MV 1

4

1

2

3

4

2 2 2

0+ MgH = ½ I 2 + ½ M v2 + 0

V gH4

3


Massless Pulley Example Consider the two masses connected by a

pulley as shown. Use conservation of energy to calculate the speed of the blocks after m2 has dropped a distance h. Assume the pulley is massless.

finalfinalinitialinitial KUKU

2

2

2

122

1

2

100 vmvmghm

21

22

mm

ghmv

2

2

2

122 vmvmghm

UKWNC


Massive Pulley Act Consider the two masses connected by a

pulley as shown. If the pulley is massive, after m2 drops a distance h, the blocks will be moving

A) faster than

B) the same speed as

C) slower than

if it was a massless pulley

finalfinalinitialinitial KUKU

22

2

2

122

1

2

1

2

10 Ivmvmghm

2

22

2

2

122

1

2

1

2

1

2

1

R

vMRvmvmghm

22

2

2

124

1

2

1

2

1Mvvmvmghm

2/

2

21

2

Mmm

ghmv

Slower because some energy goes into spinning pulley!


Una esfera de acero baja rodando por una pendiente y entra en un rizo de

radio R. A) ¿Qué rapidez mínima debe tener en el cenit del rizo para

mantenerse en su pista. B) A qué altura vertical h en la pendiente, en

términos del radio del rizo, debe soltarse la esfera para que tenga esa

rapidez en el cenit del rizo. (desprecie las pérdidas por fricción)

A) v=gR

B) h=2,7 R


Torque: ACTIDAD

When a force is applied to the string, the spool will

1) Roll right 2) Roll Left 3) Depends on angle

F


Spool on a rough surface..: Equilibrio

Consider all of the forces acting: tension Tand friction f.

Using FNET = 0 in the x direction:

a

b

T

f

y

x

0fcosT cosTf

aT bf 0 aT bf

Using NET = 0 about the CM axis:

b

acos

Solving:


Physics 101: Lecture 15, Pg 91

Spool on a rough surface...There is another (slick) way to see this:

Consider the torque about the point of contact between the spool and the ground. We know the net torque about this (or any other) point is zero.

Since both Mg and f act through this point, they do not contribute to the net toque.

Therefore the torque due to T mustalso be zero.

Therefore T must actalong a line that passesthrough this point!

a

b

T

f

y

xMg


Spool on a rough surface...

So we can use geometry to get the same result.

a

b

T

b

acos

Giant yo-yo


Potencia rotacional

W

WP

t

P

t

P

La potencia se define como la relación entre el trabajo

realizado y el tiempo empleado en hacerlo.

P Fv

Rotación

Traslación


Linear and Angular

Linear Angular

Displacement x

Velocity v

Acceleration a

Inertia m I

KE ½ m v2 ½ I 2

N2L F=ma = I

Momentum p = mv L = I


CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

La fuerza es la razón de que los cuerpos cambien su momento lineal.

vF m

t

m vF

t

pF

t

•El torque es la razón de que

los cuerpos cambien su

cantidad de movimiento

angular.

r

m

F v p mv

( )p m r

2rp mr

L I

La cantidad de movimiento angular de un cuerpo tiene la

misma dirección que la velocidad angular

La cantidad de movimiento angular



vF m

t

m vF

t

pF

t

pF

t

EL TORQUE Y LA VARIACION DEL

MOMENTO ANGULAR

( )rpFr

t

L

t

Define Angular Momentum

Momentum Angular Momentum

p = mV L = I

conserved if Fext = 0 conserved if ext =0

Vector Vector!

units: kg-m/s units: kg-m2/s


El torque y la variación del

momento angular

F ma

vF m

t

pF

t

( )

I

It

I

t

L

t

La fuerza y la variación

del momento lineal



Right Hand Rule

Wrap fingers of right hand around direction of rotation, thumb gives direction of angular momentum.

What is direction of angular momentum for wheel

A) Up B) Down C) Left D) Right


CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

En ausencia de un momento de fuerza externo (torque) la cantidad de movimiento angular total (L) de un sistema se conserva.

0

0

0

0

0

neto

o

o

o

L

t

L L L

I I

I I

o oI I


Act: Two Disks A disk of mass M and radius R rotates around the

z axis with angular velocity i. A second identical disk, initially not rotating, is dropped on top of the first. There is friction between the disks, and eventually they rotate together with angular velocity f.

A) f = i B) f = ½ i C) f = ¼ i

i

z

f

z


Act: Two Disks

First realize that there are no external torques acting on the two-disk system. Angular momentum will be conserved!

ii MRL 2

112

10I

0

z2

1

f

z

ff MRL 2

2211 II

fi MRMR 22

2

1

fi 2

1


Pre-vueloYou are sitting on a freely rotating bar-stool with your arms stretched out and a heavy glass mug in each hand. Your friend gives you a twist and you start rotating around a vertical axis though the center of the stool. You can assume that the bearing the stool turns on is frictionless, and that there is no net external torque present once you have started spinning.

You now pull your arms and hands (and mugs) close to your body.


Bonus Question!

There are No External forces acting on the “student+stool” system.

A) True B) False C) What!?


Pre-vuelo What happens to the angular momentum as you pull in your arms?

1. it increases2. it decreases3. it stays the same L1 L

2


Pre-vueloWhat happens to your kinetic energy as you pull in your arms?

1. it increases2. it decreases3. it stays the same

1 2

I2I1

L L

K 1

2

2I 1

2

2 2

II

1

2

2

IL (using L = I )

You do work as you pull in your arms!

Si L es constante, al disminuir I aumenta K


What about Energy Conservation?

A) Energy isn’t conserved here

B) Energy comes from weights

C) Gravitational energy is being converted to rotational kinetic energy

D) Energy comes from “watallarin”.


Turning the bike wheelA student sits on a barstool holding a bike wheel. The wheel is initially spinning CCW in the horizontal plane (as viewed from above) L= 25 kg m2/s She now turns the bike wheel over. What happens?

A. She starts to spin CCW.B. She starts to spin CW.C. Nothing


Turning the bike wheel (more)

She is holding the bike wheel and spinning counter clockwise. What happens if she turns it the other ½ rotation (so it is basically upside down from how it started).

A) Spins Faster B) Stays same C) Stops


Turning the bike wheel... Since there is no net external torque acting on the student-

stool system, angular momentum is conserved. Remenber, L has a direction as well as a magnitude!

Initially: LINI = LW,I = + 25 kg m2/sFinally: LFIN = LW,F + LS

= -25 kg m2/s + Ls

Ls = 50 kg m2/s

LW,F

LS

LW,I

LW,I = LW,F + LS


Act 2 Rotations

A puck slides in a circular path on a horizontal frictionless table. It is held at a constant radius by a string threaded through a frictionless hole at the center of the table. If you pull on the string such that the radius decreases by a factor of 2, by what factor does the angular velocity of the puck increase?

(a) 2 (b) 4 (c) 8


Act 2 Solution Since the string is pulled through a hole at the center of

rotation, there is no torque: Angular momentum is conserved.

L1 = I11 = mR21

1m

R 2m

R/2

L2 = I22 = m 2=2

2

R

mR21 = m R224

1

4

11 = 2 2 = 41


Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que

pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con

velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la

masa de la polea es despreciable.

•¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?

•¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?


Un bloque de masa m=20 kg, unido mediante una cuerda a una polea sin masa

desliza a lo largo de una mesa horizontal con coeficiente de rozamiento

dinámico =0.1. La polea está conectada mediante otra cuerda al centro de un

carrete cilíndrico de masa M=5 kg, y radio R=0.1 m que rueda sin deslizar a lo

largo de un plano inclinado 30º (véase la figura).

a) Relacionar la aceleración del bloque y del centro de masas del cilindro.

b) Calcular la aceleración del centro de masas del cilindro y las tensiones

de las cuerdas.

c) Calcular la velocidad del centro de masas del cilindro cuando ha

descendido 3 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo


Un bloque y un cilindro de 2 y 8 Kg respectivamente, están unidos por un hilo

inextensible y sin peso que pasa por una polea en forma de disco de 0.5 Kg

de masa y 20 cm de radio, situada en la unión de dos planos inclinados de

30º y 60º de inclinación. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el

bloque y el plano es de 0,2 y que el cilindro rueda sin deslizar. Calcular:

• La(s) tensión(es) de la cuerda y la aceleración del sistema

• La velocidad de los cuerpos cuando se han desplazado 2 m a lo largo de los

planos, sabiendo que parten del reposo. Calcular por dos procedimientos este

apartado comprobando que se obtienen los mismos resultados


Un bloque de 6 kg y una esfera de 10 kg están unidos por un hilo inextensible y

sin peso que pasa a través de una polea en forma de disco de 2 kg de masa.

La esfera rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º.

Hallar

· La(s) tensión(es) de la cuerda.

· La aceleración del sistema

• La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m

partiendo del reposo (emplear dos procedimientos para el cálculo de este

apartado). Dato, el momento de inercia de la esfera es 2/5 mr2.


En la figura se muestra un cilindro de 4.5 kg de masa que rueda sin deslizar, a

lo largo de un plano inclinado 42º con la horizontal. El centro del cilindro está

unido mediante una cuerda al borde de una polea en forma de disco de 2.2 kg

de masa y 85 mm de radio. Sabiendo que en el eje de la polea existe un

rozamiento cuyo momento es de 1.3 Nm. Calcular:

• La aceleración del cilindro y la tensión de la cuerda.

• La velocidad del bloque una vez que haya descendido 3 m a lo largo del plano

inclinado, partiendo del reposo (emplear los dos procedimientos de cálculo para

este apartado, comprobando que salen los mismos resultados).


Dos discos iguales de masa m y radio R, están dispuestos como se indica en

la figura. Calcular

• La aceleración del c.m. del disco inferior

• La velocidad del c.m. del disco inferior cuando ha descendido x metros

partiendo del reposo (efectuando el balance energético)


Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m está en reposo y puede girar en torno a

un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco

hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200

g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicado en la figura.

¿Qué principio físico aplicas?. Razona la respuesta

Calcular:

La velocidad angular del disco después del disparo

El sentido en que gira.


Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se

indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg

de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad

angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del

sistema. Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m

del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta

que salen por los extremos. Calcular:

a) la velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se

encuentran en los extremos de la varilla. Qué principio físico aplicas?. Por

qué?.

b) Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.

Datos: momento de inercia de una esfera y de la varilla


Vamos a aplicar el principio de conservación de la

cantidad de movimiento angular

I1

I2

1 2 1 1 2 2L L I I

22 2 2

1

1 22 4,19

12 5 16

lI ml Mr M kg m

22 2 2

2

1 22 13,19

12 5 4

lI ml Mr M kg m

12 1

2

4,194 3,99 /

13,19

Irad s

I


21

2 IK L

(using L = I )

Como L es constante, podemos calcularlo de la condición inicial: L= I11

1

2

330,8

105

K J

K J


DINAMICA ROTACIONAL: BACHILLERATO

Education

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