TRIGONOMETRIA (Trígono=Triángulo; metria=medida)

1.- TEOREMA DE PITAGORAS

La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado

2.- RAZONES TRIGOMENTRICAS

Se definirán las razones trigonométricas para el ángulo

EJEMPLOS

1.- Escribir las razones trigonométricas para el ángulo β

2) En el triangulo de la figura hallar las razones trigonométricas para los ángulos dados

3) En el triangulo de la figura, determine el valor de x

4.-En el triangulo de la figura, determine el valor de x

EJERCICIOS1.- En los siguientes triángulos, hallar las razones trigonométricas de los ángulos dados

3- Determina en cada caso el valor de x

2.- Determina el valor de x en cada caso

RAZONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS(Si se conocen los lados y se desea saber el valor de los ángulos)

Permiten conocer el valor de un ángulo, teniendo el valor de la razón trigonométrica asociada

EJEMPLO: Si quisiéramos conocer el valor del ángulo Ѳ

Por ejemplo: sabemos que cos θ = 0,5

SHIFT cos-1 0,5 =60º

EJEMPLOS1.- Determina el valor de β

2.- Determina el valor de Ѳ

ACTIVIDADES1.- Determina en cada caso el valor del ángulo α. Aproxima tu resultado

REPASO1.- En el triangulo de la figura, calcular:

a) sen α b) sen β c) cos α d) cos β e) el lado que faltaf) tan α g) tan β h) α i) β

2.- Del ejercicio anterior, calcule las mismas incógnitas, si los valores de los catetos son:j) 10 y 15 cmk) 12 y 18 cml) 2 y 4 cmm)9 y 13 cm

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA

Ya que la trigonometría relaciona la medida de los lados y los ángulos en un triángulos rectángulo

nos será de gran utilidad en problemas de medición de longitudes difíciles para el hombre, tales como:

alturas de montañas, arboles anchura de ríos o lagos altura de edificios, puentes etc.

EJEMPLODetermina la altura del árbol, sabiendo que su sombra mide 8 m cuando el ángulo de elevación del sol es de 60º

Definiciones previas Angulo de elevación: Se llama ∢ de elevación al angulo formado

por la horizontal y la recta que une al observador con el objeto cuando el objeto esta sobre el observador

Angulo de depresión: Se llama ∢ de elevación al angulo formado por la horizontal y la recta que une al observador con el objeto cuando el objeto esta bajo el observador

EJERCICIOS1.- Determina la altura del árbol, sabiendo que su sombra mide 8 m cuando el ángulo de elevación del sol es de 53º R: 10,6 m

2.- ¿Cuál es la sombra que proyecta un hombre que mide 1,93 m si el sol forma un ángulo de elevación de 30º? R: 3,34 m

3.- Una escalera de 8 m se encuentra apoyada en una pared y forma con esta un ángulo de 40°. Calcula la distancia entre la pared y el pie de la escalera R: 5,14 m

4.- Un niño eleva un volantín con una cuerda tensa que forma un ángulo de elevación de 60° con la horizontal. ¿A qué altura se encuentra el volantín del suelo si la longitud de la cuerda es de 18 m y el niño mide 1,5 m? R: 17 m

5.- ¿Cuál es la altura de un puente que cruza un rio de 35 m de ancho, si desde uno de los extremos del puente se ve la base del mismo, pero del lado opuesto, con un ángulo de depresión de 15º? R: 9,4 m

6.-Un topógrafo necesita medir la altura de una montaña. Para esto, mide el ángulo de elevación desde dos puntos diferentes. En el primer punto el ángulo mide 42º, avanza medio kilometro y el ángulo aumenta en 5º. ¿Cuál es la altura de la montaña?

7.- Un automóvil sube por un camino cordillerano que tiene una inclinación de 5º. ¿Cuántos metros debe recorrer para alcanzar una altura de 10 m?

8.- Un avión asciende con un ángulo de 40º mientras viaja a velocidad de 800 Km/h. ¿Cuánto tiempo tardara en llegar a una altura de 10.000 metros?

9.- Un avión se encuentra a 2.300 m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º? R: 5.442

10.-Desde un punto P situado a nivel del suelo se observa la punta de una chimenea bajo un ángulo de elevación de 30° y acercándose 20 metros desde otro punto Q el ángulo de elevación es de 60°. Determine la altura de la chimenea y la distancia desde ésta hasta el primer punto de observación P R: y= 10 m; x=17,3 m