TOPOGRAFIA I

Prof.ª Letícia P. Finamore

Revisão de Matemática

Geometria plana: relações trigonométricas 1.Triângulo retângulo: É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede 90º (Figura 2).

Figura 2

Propriedades: α + β + 90º = 180º α + β = 90º

ângulo cateto oposto cateto adjacente

α b c

β c b

Revisão de Matemática

A partir da Figura 2 podem ser estabelecidas as seguintes relações:seno: senα = cateto oposto.

hipotenusacosseno: cos α = cateto adjacente.

hipotenusatangente: tg α = cateto oposto._

cateto adjacente

Teorema de Pitágoras

Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva seu nome

Teorema de Pitágoras

Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras, entretanto, muitos autores concordam que ela teria sido feita através da comparação de áreas, conforme se segue:

1.Desenha-se um quadrado de lado b+a; 2.Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;3.Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;4.A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a b²+ a²5.Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.6.A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a c²Como b²+ a² representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áras dos triângulos retângulos, e c² representa a mesma área, então: b² + a² = c² .

Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida b e a foram chamados de catetos.

Revisão de Matemática

2. Triângulo qualquer a)Lei dos senos: Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante.(e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita, isto é 2R).

a = b = c = 2Rsen(α) sen(β) sen(ϴ)

Revisão de Matemática

b) Lei dos cossenos: Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.

a² = b² + c² - 2bc cos(α)

Erros em topografia

a) Naturais - ocasionados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, vento, refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc.

b) Instrumentais - ocasionados por defeitos ou imperfeições dos instrumentos ou aparelhos utilizados nas medições.

c) Pessoais - ocasionados pela falta de cuidado do operador.

Erros em topografiaCONSIDERAÇOES:

** É importante ressaltar que alguns erros se anulam durante a medição ou durante o processo de cálculo. Portanto, um levantamento que aparentemente não apresenta erros, não significa estar necessariamente correto.** Como na topografia vamos representar a superfície terrestre, considerada esférica, em uma superfície topográfica ou planta topográfica, ou ainda plano topográfico, comete-se o erro de esfericidade.

**Plano topográfico, é um plano horizontal tangente à superfície terrestre num ponto que esteja situado dentro da área a ser levantada.

Erros em topografia

Erro de esfericidade: corresponde diferença entre os comprimentos do segmento AB e do arco AF:

erro = AB - AF

Erros em topografia

1. Determinação do erro de esfericidade:

1.1 Determinação do segmento AB: do triângulo retângulo ABC, temos: AB = R.tgα em

que R é o raio da Terra. 1.2 Determinação do arco AF (regra de três):

2πR 360ºAF α AF = π.R.α/180º

Assim: erro = R.tgα – π.R.α/180º

Erros em topografia Conclusão:

Por exemplo, se fizermos o ângulo central igual a 30’ e utilizando um raio médio de 6.366.193 m, qual seria o erro de esfericidade?Resposta: AB =55.556,9 m; AF =55.555,5 m; e =1,4 m. Em topografia, o erro de 1,4 m para a distância em torno de 55 km pode ser considerada insignificante. Por essa razão em vez de corrigir o erro ocasionado pela esfericidade terrestre, procura-se limitar a extensão do terreno a ser levantado pelos recursos da Topografia a uma área correspondente à de um círculo de raio inferior a 50 km.

Considerando esse raio, a extensão é de aproximadamente 785.398 hectares. As propriedades agrícolas, em geral, não atingem essa área.

Grandezas Medidas num Levantamento Topográfico

O levantamento topográfico é definido como conjunto de operações, no campo e no escritório, por meio de métodos e instrumentos adequados a finalidade do trabalho, destinados à obtenção de elementos necessários para representação do terreno.

No trabalho de campo os pontos são os elementos necessários para representação do terreno. Estes pontos são definidos pela medição de ângulos e distâncias.

Desta forma, os instrumentos utilizados em levantamentos topográficos são divididos em duas partes: instrumentos para medição de ângulos e instrumentos para medição de distâncias.

Logo as operações realizadas no campo são: medidas de ângulos e distâncias, que definem os tipos de grandezas que medimos num levantamento topográfico:

GRANDEZAS ANGULARES E LINEARES.

Grandezas angulares

Os instrumentos que medem ângulos são chamados de goniômetros.

A parte especializada do goniômetro para avaliação de ângulo chama-se limbo, que é um círculo graduado em graus.Exemplos :1- Grafômetros

2- Bússolas - americana - (para rumos)

Grandezas angulares

3- Bussola francesa - (para azimutes)

4- Teodolitos - de leitura direta de ângulos: Aqueles instrumentos capazes de medir tanto ângulos horizontais como ângulos verticais

.

Grandezas angulares

Teodolito prismático.

.

Estação Total (teodolito com distaciômetro eletrônico integrado)

.

Ângulo Horizontal (Hz)

Ângulo Horizontal (Hz): é medido entre as projeções de dois alinhamentos do terreno, no plano horizontal (plano normal à vertical que passa pelo ponto topográfico), Figura 1.

Onde A, B e C são chamados de

pontos topográficos. O ponto A, onde instala o instrumen-

to de medição é chamado de Estação.

Fi

Figura 1.

Ângulo Horizontal (Hz) continuação.

A materialização de um ponto topográfico é feita por meio de um piquete e de uma estaca, geralmente de madeira. O piquete a ser cravado no terreno, deve ter sua parte superior a uma altura de 1 a 2 cm em relação a superfície. A estaca é utilizada para identificação do ponto. Na medição do ângulo utiliza-se, ainda, uma baliza para assinalar o ponto sobre o piquete (Figura 2).

(Figura 2).

Ângulo Horizontal (Hz) continuação

Azimutes São os ângulos horizontais que

têm origem na ponta norte do meridiano e são contados no sentido horário da graduação de 0º a 360º do limbo

Rumos

São os ângulos horizontais que têm origem tanto na ponta norte como na ponta sul do meridiano e são contados em quadrantes (0º a 90º).

Ângulo Horizontal (Hz) continuação

O cálculo de ângulos horizontais, horários ou anti-horários, entre alinhamentos a partir de azimutes, tarefa bastante comum em topografia, pode ser generalizado da seguinte forma:

Ai = Azij - Azik

Ângulo Horizontal (Hz) continuação

Embora a tendência seja padronizar o uso de azimutes, rumos ainda são empregados e se torna necessário conhecer a relação entre eles. A Figura

5 mostra para cada quadrante a equação que relaciona azimutes e rumos. 1º quadrante: RAB = AZAB NL (ou NE) AZAB = RAB 2º quadrante: RAC = 180º - AZAC SL (ou SE) AZAC = 180º - RAC

3º quadrante: RAD = AZAD – 180º SO AZAD = 180º + RAD

4º quadrante: RAE = 360º - AZAE NO AZAE = 360º - RAE

Ângulo Horizontal (Hz) continuação

Os azimutes são empregados para orientar plantas topográficas em relação ao eixo de rotação da Terra, ou seja, em relação ao Norte.

As bússolas são instrumentos que medem azimutes e rumos magnéticos diretamente, mas, estão em desuso para fins topográficos.

A tendência atual é utilizar receptores de sinais de satélites de navegação (GPS) para determinarem coordenadas de dois pontos e a partir destas, obter o azimute geográfico (ou verdadeiro).