An alisis Matem atico II, LFM. Tarea 2. ... doble An alisis Matem atico II, LFM. Tarea 2. Variante :

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  • En gr

    ap e aq

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    N o

    do bl

    e

    Análisis Matemático II, LFM. Tarea 2. Variante α.

    Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

    Ejercicio 1. 3 %. Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones fn : R→ R, donde fn es la función caracteŕıstica del intervalo cerrado [−3n,−n].

    1. Dibujar las gráficas de fn para n = 1, 2, 3.

    2. Para cada x en R hallar el siguiente ĺımite:

    g(x) := lim n→∞ fn(x)

    y escribir el razonamiento completo basándose en le definición del ĺımite.

    3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la función fn − g. Hacer una conclusión sobre la convergencia uniforme.

    Ejercicio 2. 5 %. En el conjunto X = (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesión de funciones fn : (0, 1]→ [0,+∞) definida mediante la regla

    fn(x) :=

    n− nx, 0 < x < 1 n ;

    0, 1n ≤ x ≤ 1.

    Demuestre que fn converge puntualmente a la función g = 0. Calcule∫ X

    ( lim n→∞ fn

    ) dµ y lim

    n→∞ ∫ X

    fn dµ.

    Explique por qué no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente función h y muestre que h no es integrable:

    h(x) := sup n∈N

    |fn(x)|.

    Tarea 2, variante α, página 1 de 2

  • En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesión (fn)

    ∞ n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

    a) Dibujar las gráficas de fn para n = 1, 2, 3.

    b) Para todo punto x en X calcular el ĺımite puntual g(x) := lim n→∞ fn(x).

    c) Para todo n en N calcular sup x∈X

    |fn(x) − g(x)|.

    d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

    e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

    f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

    g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) := ⋃∞ n=kA(ε, n).

    h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) := ⋂∞ k=1 B(ε, k).

    i) Calcular D := ⋃ ε>0C(ε).

    j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

    k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada también convergencia de Egórov).

    l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesión (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

    Ejercicio 3. 7 %.

    X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = e−n 2x2 .

    Ejercicio 4. 7 %. X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = χ[0,1/n).

    Tarea 2, variante α, página 2 de 2

  • En gr

    ap e aq

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    do bl

    e

    Análisis Matemático II, LFM. Tarea 2. Variante β.

    Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

    Ejercicio 1. 3 %. Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones fn : R→ R, donde fn es la función caracteŕıstica del intervalo (0, 1/n], multiplicada por n.

    1. Dibujar las gráficas de fn para n = 1, 2, 3.

    2. Para cada x en R hallar el siguiente ĺımite:

    g(x) := lim n→∞ fn(x)

    y escribir el razonamiento completo basándose en le definición del ĺımite.

    3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la función fn − g. Hacer una conclusión sobre la convergencia uniforme.

    Ejercicio 2. 5 %. En el conjunto X = (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesión de funciones fn : (0, 1]→ [0,+∞) definida mediante la regla

    fn(x) :=

    n− nx, 0 < x < 1 n ;

    0, 1n ≤ x ≤ 1.

    Demuestre que fn converge puntualmente a la función g = 0. Calcule∫ X

    ( lim n→∞ fn

    ) dµ y lim

    n→∞ ∫ X

    fn dµ.

    Explique por qué no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente función h y muestre que h no es integrable:

    h(x) := sup n∈N

    |fn(x)|.

    Tarea 2, variante β, página 1 de 2

  • En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesión (fn)

    ∞ n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

    a) Dibujar las gráficas de fn para n = 1, 2, 3.

    b) Para todo punto x en X calcular el ĺımite puntual g(x) := lim n→∞ fn(x).

    c) Para todo n en N calcular sup x∈X

    |fn(x) − g(x)|.

    d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

    e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

    f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

    g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) := ⋃∞ n=kA(ε, n).

    h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) := ⋂∞ k=1 B(ε, k).

    i) Calcular D := ⋃ ε>0C(ε).

    j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

    k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada también convergencia de Egórov).

    l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesión (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

    Ejercicio 3. 7 %.

    X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = e−n 2x2 .

    Ejercicio 4. 7 %. X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = χ[0,1/n).

    Tarea 2, variante β, página 2 de 2

  • En gr

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    N o

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    Análisis Matemático II, LFM. Tarea 2. Variante 1 (ASD,CFS,MZJA).

    Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

    Ejercicio 1. 3 %. Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones fn : R→ R, donde fn es la función caracteŕıstica del intervalo cerrado [−1/n, 2/n].

    1. Dibujar las gráficas de fn para n = 1, 2, 3.

    2. Para cada x en R hallar el siguiente ĺımite:

    g(x) := lim n→∞ fn(x),

    y escribir el razonamiento completo basándose en le definición del ĺımite.

    3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la función fn − g. Hacer una conclusión sobre la convergencia uniforme.

    Ejercicio 2. 5 %. En el conjunto X = (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesión de funciones fn : (0, 1]→ [0,+∞) definida mediante la regla

    fn(x) := nχ(0,1/n](x) =

    { n, 0 < x 6 1n ;

    0, 1n < x 6 1.

    Demuestre que fn converge puntualmente a la función g = 0. Calcule∫ X

    ( lim n→∞ fn

    ) dµ y lim

    n→∞ ∫ X

    fn dµ.

    Explique por qué no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente función h y muestre que h no es integrable:

    h(x) := sup n∈N

    |fn(x)|.

    Tarea 2, variante 1 (ASD, CFS, MZJA), página 1 de 2

  • En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesión (fn)

    ∞ n=1 de funciones fn : X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

    a) Dibujar las gráficas de fn para n = 1, 2, 3.

    b) Para todo punto x en X calcular el ĺımite puntual g(x) := lim n→∞ fn(x).

    c) Para todo n en N calcular sup x∈X

    |fn(x) − g(x)|.

    d) Determinar si (fn)n∈N converge a g uniformemente.

    e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

    f) Determinar si fn converge a g en medida µ.

    g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) := ⋃∞ n=kA(ε, n).

    h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) := ⋂∞ k=1 B(ε, k).

    i) Calcular D := ⋃ ε>0C(ε).

    j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

    k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada también convergencia de Egórov).

    l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesión (fn)n∈N converja a g uniformemente en X \ E.

    Ejercicio 3. 7 %. X = [0, 1], µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := 4

    nxn(1− x)n.

    Ejercicio 4. 7 %. X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ(−n−1,−n].

    Tarea 2, variante 1 (ASD, CFS, MZJA), página 2 de 2

  • En gr

    ap e aq

    úı

    N o

    do bl

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    Análisis Matemático II, LFM. Tarea 2. Variante 2 (JEA,MDCEA,SBE).

    Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

    Ejercicio 1. 3 %. Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesión de funciones fn : R→ R, donde fn es la función caracteŕıstica del intervalo cerrado [n, 2n].

    1. Dibujar las