Intensidad y nivel de intensidad sonora Escala de decibeles (dB)

La intensidad sonora, I, y el nivel de intensidad sonora, β, son básicamente la misma cosa, miden el mismo fenómeno: cuán intenso es un sonido en el lugar en que se escucha. En el lenguaje coloquilal se lo llama volumen.

Pero ocurre que entre el sonido más suave que podemos escuchar y el más fuerte que soportamos, hay un un factor de un billón (1.000.000.000.000); es decir el más intenso soportable es un billón de veces más intenso que el más suave.

Intensidades de sonido típicas (en W/m²)

Al lado de una turbina de avión

10

Umbral de dolor 1

Discoteca moderada 0,1

En una habitación con música fuerte

0,01

En medio del tráfico intenso 0,001

Concierto en un teatro 0,000.1

Música ambiental 0,000.001

Conversando en privado 0,000.000.1

Murmullos en una biblioteca

0,000.000.001

Susurros 0,000.000.000.1

Ruido de hojas 0,000.000.000.01

Umbral de sensibilidad 0,000.000.000.001

En el medio se desarrolla nuestra audición. Eso hace que el rango de intensidades sonoras interesantes sea enorme e incómodo para describirlo a la usanza común y corriente. A cada rato tendríamos que estar colocando catidades industriales de ceros y las operaciones se harían escabrosas.

Pero hay otro motivo todavía más importante que hace que desistamos de la escala común y nos busquemos una más adecuada. Es que nuestro oído no se comporta de modo uniforme a lo largo de ese enorme rango de intensidades. Nuestra sensibilidad para distinguir dos sonidos de diferente intensidad es proporcional a la intensidad de los sonidos que queremos comparar.

O sea: cuando estamos escuchando sonidos muy suaves podemos distinguir pequeñas variaciones de intensidad. En cambio, cuando escuchamos sonidos a mucho volumen sólo distinguimos diferencias de volumen muy altas.

Tenemos una solución muy práctica para este tipo de fenómenos de rango tan extendido, que consiste en el uso de escalas logarítmicas. La escala logarítmica de intensidades se denomina nivel de intensidad. La unidad de esa escala es el decibel, (dB). Acá tenés la misma tabla de arriba, pero medida en la escala de decibeles.

Intensidades de sonido típicas (en dB )

Al lado de una turbina de avión

130

Umbral de dolor 120

Discoteca moderada 110

En una habitación con 100

El umbral de sensibilidad, I0, se usa como valor de referencia para definir el decibel.

I0 = 10-12 W/m²

música fuerte

En medio del tráfico intenso 90

Concierto en un teatro 80

Música ambiental 60

Conversando en privado 50

Murmullos en una biblioteca

30

Susurros 20

Ruido de hojas 10

Umbral de sensibilidad 0

Contra este valor de referencia (por ser el menor valor que podemos percibir con nuestros oídos), se compara cualquier otro, I, realizando un cociente:

comparación: ( I / I0)

A ese cociente (que como ya te conté antes puede valer hasta 1 billón, o más) se le aplica logaritmo. Así se define el nivel de intensidad sonora, β, que como todo logaritmo no tiene unidades, y le inventamos una unidad ad-hoc para que los lectores sepan a qué nos estamos refiriendo: el decibel (dB).

Hacé algunas pruebas con la calculadora científica para familarizarte con las escala de medición logarítmica.

β = 10 log ( I / I0) (en dB)

La escala de nivel de intensidad sonora no sólo es más práctica, también se ajusta mejor a la fisiología y la psicología de la audición.

CHISMES IMPORTANTES

Los sonidos intensos cercanos al umbral de dolor producen daños irreparables en el sistema de audición. Los daños son imperceptibles, pero acumulativos. Cuando nos queremos dar cuenta... ya es tarde. En muchos lados se ha adquirido la pésima costumbre de sonorizar recintos con ruido insalubre: pistas de baile de discotecas, recitales, etc. Cuando las personas salen del lugar escuchan pitidos agudos en los oídos... esa es la señal inconfundible del daño irreparable: se han perdido decenas de células sensitivas que ya nunca van a volver a funcionar. Se avecina una sordera prematura que en ambientes sanos recién llega a los 70 u 80 años.

Las partituras musicales indican la intensidad del sonido con las iniciales pp (pianísimo), p (piano), mp (mezzopiano), mf (mezzoforte), f (forte), ff (fortísimo).El cuadro muestra los niveles de intensidad aproximados medidos en decibeles. Sin embargo cada instrumento tiene un rango limitado. Y por su puesto depende de la distancia entre el ejecutante y el oyente, y de la acústica del

Intensidades musicales (en dB )

pp (pianísimo) 40

p (piano) 50

mp (mezzopiano) 60

mf (mezzoforte) 70

f (forte) 80

ff (fortísimo). 90-100

lugar de la ejecusión.

1 decibel, es la variación de intensidad mínima que pueden distinguir nuestros oídos. Pero se trata -claro- de un valor subjetivo y promedio dentro de la población. Lo curioso es que físicamente 1 dB puede corresponder a una variación de 1 W/m² o a una variación 1 billón de veces menor, 10-12 W/m², dependiendo se si hablamos de sonidos fuertes o de sonidos débiles. Nuestro sistema de audición y el cerebro se comportan logarítmicamente.

Los artefactos electrónicos suelen tener indicadores volumen medido en decibeles o en otra escala arbitraria. El instrumento indicador se llama vúmetro. Su lectura suele inducir a error por dos motivos.

El primer motivo es obvio: la intensidad sonora (y el nivel de intensidad sonora) son magnitudes que dependen fundamentalmente de la potencia de la funete de y de la distancia entre la fuente y el lugar (donde se pone la oreja).

El segundo motivo es que la escala de decibleles y la arbitraria no tienen ninguna correlación. El cero de la escala arbitraria indica el nivel de sonoridad (potencia) y funcionamiento óptimo para el artefacto.

PREGUNTAS CAPCIOSAS ¿Cuál es la relación que existe entre la frecuencia de un sonido y su

nivel de intensidad respecto de la percepción auditiva? ¿Por qué cuando vemos a una persona escuchando su walkman a todo

volumen sólo percibimos los sonidos agudos? ¿Por qué cuando vemos pasar una auto con un loquito adentro escuchando música a un volumen como para alegrar al vecindario, sólo escuchamos los graves?

¿Quién es el tío de la foto?

Clasificación de funciones

Funciones algebraicas

En las func iones a lgebra icas las operac iones que hay que efectuar

con la var iab le independiente son: la ad ic ión, sustracc ión,

mult ip l i cac ión, d iv is ión, potenc iac ión y rad icac ión.

Las func iones a lgebra i cas pueden se r :

Func iones expl íc i tas

S i se pueden ob tener l a s imágenes de x po r s imp le sus t i tuc ión .

f ( x ) = 5x − 2

Func iones impl íc i tas

S i no se pueden ob tener l a s imágenes de x po r s imp le sus t i tuc ión , s i no

que es p rec i so e fec tua r operac iones .

5x − y − 2 = 0

Funciones pol inómicas

Son las func iones que v ienen def in idas por un po l inomio.

f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x ² + a 2 x ³ + · · · + a n x n

Su domin io es , e s dec i r , cua lqu ie r número rea l t i ene imagen .

Func iones constantes

E l c r i ter io v iene dado por un número rea l .

f (x)= k

La g rá f i ca es una rec ta ho r i zon ta l pa ra le la a a l e j e de absc i sas .

Func iones po l inómica de pr imer grado

f (x) = mx +n

Su g rá f i ca es una rec ta ob l i cua , que queda de f in ida po r dos puntos de l a

func ión .

Func ión af ín .

Func ión l inea l .

Func ión ident idad .

Func iones cuadrát icas

f (x) = ax² + bx +c

Son func iones po l i nómicas es de segundo g rado , s i endo su g rá f i ca una

pa rábo la .

Func iones a t rozos

Son func iones de f in idas po r d i s t i n tos c r i t e r i os , según l os i n te rva los que

se cons ide ren .

Func iones en va lor abso luto .

Func ión parte entera de x .

Func ión mant isa .

Func ión s igno .

Funciones racionales

E l c r i t e r i o v iene dado po r un coc ien te en t re po l i nomios :

E l domin io l o f o rman todos l os números rea les excepto l os va lo res de x

que anu lan e l denominador .

Funciones radicales

E l c r i t e r i o v iene dado po r l a va r i ab le x ba jo e l s i gno rad i ca l .

E l domin io de una func ión i r rac iona l de í nd i ce impar es R .

E l domin io de una func ión i r rac iona l de í nd i ce pa r es tá fo rmado por todos

l os va lo res que hacen que e l rad i cando sea mayor o i gua l que ce ro .

Funciones trascendentes

La var iab le independiente f igura como exponente, o como índ ice

de la ra íz , o se ha l la a fectada de l s igno logar i tmo o de cua lquiera de

los s ignos que emplea la t r igonometr ía .

Función exponencial

Sea a un número rea l pos i t ivo . La func ión que a cada número rea l

x le hace corresponder la potenc ia a x se l lama func ión exponenc ia l de

base a y exponente x .

Funciones logarítmicas

La func ión l oga r í tm ica en base a es l a func ión i nve rsa de l a exponenc ia l

en base a .

Funciones tr igonométricas

Func ión seno

f(x) = sen x

Func ión coseno

f (x) = cos x

Func ión tangente

f (x) = tg x

Func ión cosecante

f (x) = cosec x

Func ión secante

f (x) = sec x

Func ión cotangente

f (x) = cotg x

Tono/Frecuencia

Aunque entre los dos términos exista una muy estrecha relación, no se refieren al mismo fenómeno. El tono es una magnitud subjetiva y se refiere a la altura o gravedad de un sonido. Sin embargo, la frecuencia es una magnitud objetiva y mensurable referida a formas de onda periódicas.

El tono de un sonido aumenta con la frecuencia, pero no en la misma medida. Con la frecuencia lo que medimos es el número de vibraciones. Su unidad de medida es el herzio (Hz). Para expresar una frecuencia lo hacemos refiriéndonos a vibraciones por segundo. Así un frecuencia de 1 Herzio es lo mismo que decir que el sonido tiene una vibración por segundo (por cierto, un sonido de esta frecuencia sería imposible de percibir por el oido humano).

Muchas veces en aparatos relacionados con el sonido suele aparecer una gráfica que expresa su respuesta a determinadas

:: Técnica del sonido ::

:: Física del sonido ::

:: Transformación y procesamiento ::

:: Técnica del sonido::

El ojo ve, pero el oido imagina

frecuencias. Si en esta gráfica vemos una línea recta significará que todas las frecuencias son manipuladas del mismo modo. Si la curva cae en determinadas frecuencias nos estará comunicando que determinadas frecuencias las manipula más debilmente.

Timbre y Frecuencia Armónica

El timbre es la cualidad gracias a la cual podemos diferenciar el sonido de un piano de el de una flauta aunque estén interpretando la misma nota, es decir: aunque dos instrumentos emitan un sonido con la misma frecuencia podemos diferenciarlos gracias a su timbre característico. Este fenómeno es debido a que un sonido no esta formado sólo de una frecuenca, sino por la suma de otras que son múltiplos de la fundamental. Estas otras frecuencias varían en intensidad y son llamadas armónicos. La proporción e intensidad de estos armónicos son diferentes en cada instrumentos y es por ello que podemos diferenciar sus sonidos.

Jean Foirier demostró matemáticamente que toda función periodica no senoidal puede ser descompuesta en una serie de funciones senoidales. Las senoidales carecen de armónicos, por lo cual podemos considerarlas puras. Este modo de descomponer una señal es conocido como análisis de Fourier. Si a una señal se le van añadiendo armónicos, la forma de onda irá variando pero su frecuencia fundamental permanecerá inalterada. Por lo tanto vemos que el timbre varía en razón de los armónicos mientras que la frecuencia se mantiene. Las amplitudes relativas de cada armónico varían en función de la forma de onda, siendo el de mayor amplitud el que se considera fundamental.

En el gráfico adjunto vemos una instatánea de la proporción de armónicos de un sonido. Si a una onda pura, una senoidal, le añadimos sólo armónicos impares (3f, 5f, 7f, .....Nf) estaremos transformándola cada vez más en una onda cudrada. Llegados a los 21 armónicos habremos logrado una forma de onda razonablemente cuadrada. Intensidad y Sonoridad.Frente a las presiones sonoras el oido alcanza a soportar desde 2 * 10E-4 bar (umbral auditivo) hasta los 200 bar (umbral del dolor). Este es un rango muy amplio, para hacernos una idea sólo hay que pensar que el sonido de un rifle produce una presión sonora 100.000.000 de veces mayor que una hoja seca que cae de un árbol. La intensidad es una magnitud física, por definición, es la energía sonora transportada por unidad de tiempo y que atraviesa un área perpendicular a la dirección de propagación. Más concretamente se refiere a la potencia acústica por unidad de superficie y se expresa en W/cm2 La sensación subjetiva de la intensidad se define como "sonoridad" y depende de la frecuencia, ancho de banda y duración del sonido.

Según Fechner y Weber la sensación subjetiva de la intensidad es proporcional al algoritmo de la intensidad según la forma:

n = 10 log I/I0

• n es el nivel de la sonoridad en decibelios (db).

• I0 es el valor de la intensidad umbral que percibe el oido humano, que es de 10 -10

W/cm2, equivalente a 2 * 104 bar de presión sonora.

Dado que la sonoridad define un fenómeno subjetivo de gran amplitud, con unos valores extremos muy alejados, es necesario utilizar una unidad más manejable y objetiva. Para ello se utiliza una escala comprimida, logarítmica en lugar de lineal. Las cantidad varían en una relación de 1:100.000.000 (1:10E6), es por ello que se utiliza una escala logarítmica, siendo la unidad de dicha escala el Belio. El Belio resulta se una unidad demasiado grande en le práctica por lo que habitualmente se utiliza la décima parte, el decibelio (db).

El decibelio se utiliza como referencia, está referido a un nivel de referencia predeterminado. Se utiliza para expresar ganancias o relaciones de potencia.

db = 10 log Po/Pi

• Pi = Potencia de Entrada

• Po = Potencia de Salida.

En acústica se emplea el db para medir niveles de presión sonora referidos a un nivel definido Ps. Entonces se define el nivel de presión sonora P como el número de decibelios que P se halla por encima de Ps. El nivel de referencia de presión acústica Ps adoptado universalmente es el correspondiente al umbral de audición humano, es decir, 2 * 10E-4 bar, equivalente a 0db SPL (Sound Pressure Level o Nivel de Presión Sonora).

Con todos estos datos podemos crear una tabla aproximada para ver la magnitud de todos estos valores.

Estimación en db

Estudio de grabación vacío.

0 db

Murmullo a tres metros. 10 db

Paso de las hojas de un libro

10 db

Susurro a un metro 20 db

Calle sin tráfico en zona residencial

30 db

Dormitorio tranquilo de día

25 db

Conversación a tres metros

45 db

Orquesta de cuerda y viento

60 db

Orquesta de metales 70 db

Despertador a 40 cm 80 db

Calle ruidosa con mucho tráfico

90 db

Fábrica industrial ruidosa 100 db

Umbral del dolor 120 db

Avión a reacción a 200m 140 db

Cohete espacial a unos 3.000m

200 db

La tabla siguiente se refiere a la sensación subjetiva y el cambio físico, objetivo que la provoca.

Sensación SubjetivaCambio FísicoVolumen AmplitudTimbre Forma de onda (Contenido Armónico)Tono Frecuencia.

EL SONIDO Y LAS ONDAS

Una onda es una perturbación que avanza o que se propaga en un medio material o incluso en el vacío. A pesar de la naturaleza diversa de las perturbaciones que pueden originarlas, todas las ondas tienen un comportamiento semejante. El sonido es un tipo de onda que se propaga únicamente en presencia de un medio que haga de soporte de la perturbación. Los conceptos generales sobre ondas sirven para describir el sonido, pero, inversamente, los fenómenos sonoros permiten comprender mejor algunas de las características del comportamiento ondulatorio.

LA NATURALEZA DEL SONIDO

Las ondas sonoras constituyen un tipo de ondas mecánicas que tienen la virtud de estimular el oído humano y generar la sensación sonora. En el estudio del sonido se deben distinguir los aspectos físicos de los aspectos fisiológicos relacionados con la audición. Desde un punto de vista físico el sonido comparte todas las propiedades características del comportamiento ondulatorio, por lo que puede ser descrito utilizando los conceptos sobre ondas. A su vez el estudio del sonido sirve para mejorar la comprensión de algunos fenómenos típicos de las ondas. Desde un punto de vista fisiológico sólo existe sonido cuando un oído es capaz de percibirlo.

El sonido y su propagación

Las ondas que se propagan a lo largo de un muelle como consecuencia de una compresión longitudinal del mismo constituyen un modelo de ondas mecánicas que se asemeja bastante a la forma en la que el sonido se genera y se propaga. Las ondas sonoras se producen también como consecuencia de una compresión del medio a lo largo de la dirección de propagación. Son, por tanto, ondas longitudinales.

Si un globo se conecta a un pistón capaz de realizar un movimiento alternativo mediante el cual inyecta aire al globo y lo toma de nuevo, aquél sufrirá una secuencia de operaciones de inflado y desinflado, con lo cual la presión del aire contenido dentro del globo aumentará y disminuirá sucesivamente. Esta serie de compresiones y encarecimientos alternativos llevan consigo una aportación de energía, a intervalos, del foco al medio y generan ondas sonoras. La campana de un timbre vibra al ser golpeada por su correspondiente martillo, lo que da lugar a compresiones sucesivas del medio que la rodea, las cuales se propagan en forma

de ondas . Un diapasón, la cuerda de una guitarra o la de un violín producen sonido según un mecanismo análogo.

En todo tipo de ondas mecánicas el medio juega un papel esencial en la propagación de la perturbación, hasta el punto de que en ausencia de medio material, la vibración, al no tener por donde propasarse, no da lugar a la formación de la onda correspondiente. La velocidad de propagación del sonido depende de las características del medio. En el caso de medios gaseosos, como el aire, las vibraciones son transmitidas de un punto a otro a través de choques entre las partículas que constituyen el gas, de ahí que cuanto mayor sea la densidad de éste, mayor será la velocidad de la onda sonota correspondiente. En los medios sólidos son las fuerzas que unen entre sí las partículas constitutivas del cuerpo las que se encargan de propagar la perturbación de un punto a otro. Este procedimiento más directo explica que la velocidad del sonido sea mayor en los sólidos que en los gases.

Sonido físico y sensación sonora

No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oído humano, el cual es sensible únicamente a aquellas cuya frecuencia está comprendida entre los 20 y los 20 000 Hz. En el aire dichos valores extremos corresponden a longitudes de onda que van desde 16 metros hasta 1,6 centímetros respectivamente. En general se trata de ondas de pequeña amplitud.

Cuando una onda sonora de tales características alcanza la membrana sensible del tímpano, produce en él vibraciones que son transmitidas por la cadena de huesecillos hasta la base de otra membrana situada en la llamada ventana oval, ventana localizada en la cóclea o caracol. El hecho de que la ventana oval sea de 20 a 30 veces más pequeña que el tímpano da lugar a una amplificación que llega a aumentar entre 40 y 90 veces la presión de la onda que alcanza al tímpano. Esta onda de presión se propaga dentro del caracol a través de un líquido viscoso hasta alcanzar otra membrana conectada a un sistema de fibras fijas por sus extremos a modo de cuerdas de arpa, cuyas deformaciones elásticas estimulan las terminaciones de los nervios auditivos. Las señales de naturaleza eléctrica generadas de este modo son enviadas al cerebro y se convierten en sensación sonora. Mediante este proceso el sonido físico es convertido en sonido fisiológico.

CUALIDADES DEL SONIDO

El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas con diferentes propiedades de las ondas sonoras.

Intensidad

La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad acústica. La intensidad acústica es una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el medio como consecuencia de la propagación de la onda.

Se define como la energía que atraviesa por segundo una superficie unidad dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación. Equivale a una potencia por unidad de superficie y se expresa en W/m2. La intensidad de una onda sonora es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de su amplitud y disminuye con la distancia al foco.

La magnitud de la sensación sonora depende de la intensidad acústica, pero también depende de la sensibilidad del oído. El intervalo de intensidades acústicas que va desde el umbral de audibilidad, o valor mínimo perceptible, hasta el umbral del dolor es muy amplio, estando ambos valores límite en una relación del orden de 1014

Debido a la extensión de este intervalo de audibilidad, para expresar intensidades sonoras se emplea una escala cuyas divisiones son potencias de diez y cuya unidad de medida es el decibelio (dB). Ello significa que una intensidad acústica de 10 decibelios corresponde a una energía diez veces mayor que una intensidad de cero decibelios; una intensidad de 20 dB representa una energía 100 veces mayor que la que corresponde a 0 decibelios y así sucesivamente.

Otro de los factores de los que depende la intensidad del sonido percibido es la frecuencia. Ello significa que para una frecuencia dada un aumento de intensidad acústica da lugar a un aumento del nivel de sensación sonora, pero intensidades acústicas iguales a diferentes frecuencias pueden dar lugar a sensaciones distintas.

Tono

El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en la escala musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud física que está asociada al tono es la frecuencia. Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias bajas, mientras que los agudos son debidos a frecuencias altas. Así el sonido más grave de una guitarra corresponde a una frecuencia de 82,4 Hz y el más agudo a 698,5 hertzs.

Junto con la frecuencia, en la percepción sonora del tono intervienen otros factores de carácter psicológico. Así sucede por lo general que al elevar la intensidad se eleva el tono percibido para frecuencias altas y se baja para las frecuencias bajas. Entre frecuencias comprendidas entre 1 000 y 3 000 Hz el tono es relativamente independiente de la intensidad.

Timbre

El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resulta característica de cada individuo.

El timbre está relacionado con la complejidad de las ondas sonoras que llegan al oído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, sólo los diapasones generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados por una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a un sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una frecuencia y de una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se considerara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es característica de cada instrumento y define su timbre. Debido a la analogía existente entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le denomina también color del tono.

FENÓMENOS ONDULATORIOS

Las propiedades de las ondas se manifiestan a través de una serie de fenómenos que constituyen lo esencial del comportamiento ondulatorio. Así, las ondas rebotan ante una barrera, cambian de dirección cuando pasan de un medio a otro, suman sus efectos de una forma muy especial y pueden salvar obstáculos o bordear las esquinas.

El estudio de los fenómenos ondulatorios supone la utilización de conceptos tales como periodo, frecuencia, longitud de onda y amplitud, y junto a ellos el de frente de onda, el cual es característico de las ondas bi y tridimensionales. Se denomina frente de ondas al lugar geométrico de los puntos del medio que son alcanzados en un mismo instante por la perturbación.

Las ondas que se producen en la superficie de un lago, como consecuencia de una vibración producida en uno de sus puntos, poseen frentes de onda circulares. Cada uno de esos frentes se corresponden con un conjunto de puntos del medio que están en el mismo estado de vibración, es decir a igual altura. Debido a que las propiedades del medio, tales como densidad o elasticidad, son las mismas en todas las direcciones, la perturbación avanza desde el foco a igual velocidad a lo largo de cada una de ellas, lo que explica la forma circular y, por tanto, equidistante del foco, de esa línea que contiene a los puntos que se encuentran en el mismo estado de vibración.

Las ondas tridimensionales, como las producidas por un globo esférico que se infla y desinfla alternativamente, poseen frentes de ondas esféricos si el foco es puntual y si el medio, como en el caso anterior, es homogéneo.

Reflexión y refracción de las ondas

Cuando una onda alcanza la superficie de separación de dos medios de distinta naturaleza se producen, en general, dos nuevas ondas, una que retrocede hacia el medio de partida y otra que atraviesa la superficie límite y se propaga en el segundo medio. El primer fenómeno se denomina reflexión y el segundo recibe el nombre de refracción.

En las ondas monodimensionales como las producidas por la compresión de un muelle, la reflexión lleva consigo una inversión del sentido del movimiento ondulatorio. En las ondas bi o tridimensionales la inversión total se produce únicamente cuando la incidencia es normal, es decir, cuando la dirección,en la que avanza la perturbación es perpendicular a la superficie reflectante. Si la incidencia

es oblicua se produce una especie de rebote, de modo que el movimiento ondulatorio reflejado cambia de dirección, pero conservando el valor del ángulo que forma con la superficie límite.

En el caso de las ondas sonoras, la reflexión en una pared explica el fenómeno del eco. Si la distancia a la pared es suficiente, es posible oír la propia voz reflejada porque el tiempo que emplea el sonido en ir y volver permite separar la percepción de la onda incidente de la reflejada. El oído humano sólo es capaz de percibir dos sonidos como separados si distan uno respecto del otro más de 0,1 segundos, de ahí que para que pueda percibiese el eco la superficie reflectiva debe estar separada del observador 17 metros por lo menos, cantidad que corresponde a la mitad de la distancia que recorre el sonido en el aire en ese intervalo de tiempo (17 m = 340 m/s • 0,1 s/2).

En los espacios cerrados, como las salas, el sonido una vez generado se refleja sucesivas veces en las paredes, dando lugar a una prolongación por algunos instantes del sonido original. Este fenómeno se denomina reverberación y empeora las condiciones acústicas de una sala, puesto que hace que los sonidos anteriores se entremezclen con los posteriores. Su eliminación se logra recubriendo las paredes de materiales, como corcho o moqueta, que absorben las ondas sonoras e impiden la reflexión.

El fenómeno de la refracción supone un cambio en la velocidad de propagación de la onda, cambio asociado al paso de un medio a otro de diferente naturaleza o de diferentes propiedades. Este cambio de velocidad da lugar a un cambio en la dirección del movimiento ondulatorio. Como consecuencia, la onda refractada se desvía un cierto ángulo respecto de la incidente.

La refracción se presenta con cierta frecuencia debido a que los medios no son perfectamente homogéneos, sino que sus propiedades y, por lo tanto, la velocidad de propagación de las ondas en ellos, cambian de un punto a otro. La propagación del sonido en el aire sufre refracciones, dado que su temperatura no es uniforme. En un día soleado las capas de aire próximas a la superficie terrestre están más calientes que las altas y la velocidad del sonido, que aumenta con la temperatura, es mayor en las capas bajas que en las altas. Ello da lugar a que el sonido, como consecuencia de la refracción, se desvía hacia arriba. En esta situación la comunicación entre dos personas suficientemente separadas se vería dificultada. El fenómeno contrario ocurre durante las noches, ya que la Tierra se enfría más rápidamente que el aire.

La difracción

Las ondas son capaces de traspasar orificios y bordear obstáculos interpuestos en su camino. Esta propiedad característica del comportamiento ondulatorio puede ser explicada como consecuencia del principio de Huygens y del fenómeno de interferencias. Así, cuando una fuente de ondas alcanza una placa con un orificio o rendija central, cada punto de la porción del frente de ondas limitado por la rendija se convierte en foco emisor de ondas secundarias todas de idéntica frecuencia. Los focos secundarios que corresponden a los extremos de la abertura generan ondas que son las responsables de que el haz se abra tras la rendija y bordee sus esquinas. En los puntos intermedios se producen superposiciones de las ondas secundarias que dan lugar a zonas de intensidad máxima y de intensidad mínima típicas de los fenómenos de interferencias.

Ambos fenómenos que caracterizan la difracción de las ondas dependen de la relación existente entre el tamaño de la rendija o del obstáculo y la longitud de onda. Así, una rendija cuya anchura sea del orden de la longitud de la onda considerada, será completamente bordeada por la onda incidente y, además, el patrón de interferencias se reducirá a una zona de máxima amplitud idéntica a un foco. Es como si mediante este procedimiento se hubiera seleccionado uno de los focos secundarios descritos por Huygens en el principio que lleva su nombre.

-------------.

.

Escala Empírica de Temperaturas:

El principio anterior permite establecer la llamada "escala empírica de temperaturas". Para establecerla se debe tener:

Un cuerpo Termométrico: es decir un cuerpo en que alguna propiedad varíe en forma contínua y medible con la temperatura.

Un punto de partida: un origen, facilmente reproducible, desde donde partirá nuestra escala (en buenas cuentas el cero).

Una unidad: es decir la magnitud que queremos asociar a un grado de temperatura.

depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 --------> 1

2 --------> 4

3 --------> 9

4 --------> 16

x --------> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x2 o f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X Conjunto Y

Ángela 55

Pedro 88

Manuel 62

Adrián 88

Roberto 90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X Conjunto Y Desarrollo

− 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1

− 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1

0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3

1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5

2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9

4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Ejemplo 3

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:

Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo 4

Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.

En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo

Identificar dominio y rango de la función

Veamos:

Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.