Soluciones a los Ejercicios de Integrales Eulerianas

1. Γ(3) = 2; Γ(9/2) = 10516

π; β(√

2, 1) = 1√2; β

(15, 3

)= 625

528.

2. Todas las integrales de este ejercicio pueden conducirse a la funcion gamma, me-diante un cambio de variable apropiado. Se recuerda que los valores de la funcionΓ(p) estan tabulados, y por tanto puede dejarse el resultado en funcion de ellos; sinembargo, cuando p ∈ N o p = 1/2, deben sustituirse los valores correspondientes.

(a) Cambio t = 2x. Su valor es 127 · Γ(7) = 45

8.

(b) Cambio t = x3. El resultado es√

π/3.

(c) Cambio t =√

x. Su valor es 209· Γ(2/3).

(d) Cambio t = x5. Su valor es 15· Γ(1/5).

(e) Cambio t = 3x2. Su valor es 532(√

3)9/2 · Γ(1/4).

(f) Conviene observar que e√

x+1 = e · e√

x; extrayendo e fuera de la integral, yhaciendo el cambio t =

√x, se tiene que la integral vale, finalmente, 3e

2· √π.

(g) Debe escribirse a = eLa, y realizarse el cambio t = 3La · x. Finalmente, el valorde la integral es 40

243(La)6.

(h) Cambio t = L(1/x), se donde x = e−t. Su valor es 13· Γ(1/3).

(i) Primero hacemos el cambio t = Lx. La integral recuerda a una gamma pero aunno lo es. Realizamos entonces el cambio t = −z, y pasamos finalmente a unagamma, cuyo valor es 24.

3. Todas estas integrales pueden conducirse a la funcion beta.

(a) Es β(6/5, 4/5).

(b) Cambio t = x3. El valor de la integral es 13· β(4/3, 3/2).

(c) Es β(4/3, 1/3).

(d) Es β(2, 1/2) = 4/3.

(e) Cambio x = 2t. La integral entonces se transforma en 2 · 161/5 · β(8/5, 6/5).

(f) Cambio x = 5t. Su valor es 80√

53

.

(g) Cambio x = at. Su valor es ap+q−1β(p, q).

(h) Cambio t = x5. Su valor es 15· β(1/5, 3/2).

(i) Cambio t = 1− senx. Su valor es 2.

4. Todas estas integrales pueden calcularse mediante la funcion beta.

(a) 8/21

(b) 768/21945

(c) Observese que 2p− 1 = 7, 2q − 1 = 0, luego se trata de 12· β(4, 1/2). Su valor es

16/35.

(d) Es necesario separar en suma de dos integrales (la primera entre 0 y π/2, lasegunda entre π/2 y π). La primera es una beta; para la segunda, aplicamosel cambio x = t + π/2, y, mediante trigonometrıa elemental, observamos quesen(t + π/2) = cost, cos(t + π/2) = −sent (se puede razonar graficamente, oaplicar la formula del seno de la suma y del coseno de la suma). Ası, vemos quela segunda integral tambien es una beta, y de hecho su valor coincide con el dela primera. El valor final de la integral pedida es π/16.

5.

(a) Observamos que d(x2) = 2xdx. Ademas, extrayendo factor comun a x2 dentrode la raız, se tiene que

√x2 − x3 = x

√1− x. La integral es del tipo beta, y su

valor final es 32/105.