INTEGRALES DEFINIDAS Y ÁREA BAJO UNA CURVA

INTEGRALES DEFINIDAS Y ÁREA BAJO UNA CURVA

CONTENIDO1. EL OPERADOR SIGMA ()...................................................................................................1

2. PROPIEDADES DEL OPERADOR SIGMA...........................................................................1

Ejercicios 2.1........................................................................................................................................................... 6Respuesta de los ejercicios 2.1...............................................................................................................................6

3. ÁREA BAJO UNA CURVA....................................................................................................7

Ejercicios 3.1......................................................................................................................................................... 16Respuesta de los ejercicios 3.1.............................................................................................................................16

4. LA SUMA DE RIEMANN Y LA INTEGRAL DEFINIDA.......................................................26

5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL.................................................18

6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA..................................................................18

6.1. INTEGRAL DEFINIDA DEL DIFERENCIAL...............................................................................................186.2. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA CONSTANTE..........................................................................................196.3. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL..............................................................................196.4. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN..............................................................206.5. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA SUMA DE FUNCIONES.............................................................................206.6. PROPIEDAD DEL SIGNO.................................................................................................................... 206.7. INTEGRAL DEFINIDA EN UN INTERVALO DE UN SOLO PUNTO................................................................216.8. PARTICIÓN DE UN INTERVALO...........................................................................................................216.9. INTEGRACIÓN POR PARTES DE UNA INTEGRAL DEFINIDA.....................................................................21

Ejercicios 6.1......................................................................................................................................................... 22Respuestas de los ejercicios 6.1...........................................................................................................................26

7. CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA USANDO INTEGRALES DEFINIDAS..........26

Ejercicios 7.1......................................................................................................................................................... 30Respuestas de los ejercicios 7.1...........................................................................................................................30

Integrales Definidas

1. EL OPERADOR SIGMA ()En el cálculo del área bajo una curva y en la definición y comprensión del concepto de la integral definida utilizaremos permanentemente el símbolo sumatoria (). Éste símbolo el lector ya lo ha usado en el estudio de otras áreas de la ciencia, fundamentalmente en la definición de algunas leyes que rigen a la naturaleza de la ciencia. A pesar de que ya ha sido usado el símbolo , es conveniente definir con rigurosidad el uso y las propiedades de dicho símbolo.

DEFINICIÓN DE SUMATORIA: Si m y n son números enteros y m ≤ n, entonces:

El miembro derecho de la igualdad es la suma de (n – m + 1) términos tales que, el primero se obtiene al reemplazar k por m en F(k), el segundo se obtiene al reemplazar m + 1 por k en F(k), y así sucesivamente, hasta que el último término se obtiene al reemplazar n por k en F(k).

El número m se le llama límite inferior de la sumatoria y al número n se le llama límite superior de la sumatoria. El símbolo o la variable k recibe el nombre de índice de la sumatoria.

Ejemplos:

a)

b)

c)

2. PROPIEDADES DEL OPERADOR SIGMALas siguientes propiedades del operador Sigma son útiles en el cálculo de ciertas sumas y son fácilmente demostrables.

PROPIEDAD Nº 1. Si C es una constante, entonces:

Preparadas por: Fernando A. Rincón A. 1


Demostración:

Ejemplos:

a) b)

PROPIEDAD Nº 2. Si C es una constante, entonces:

Demostración:

Factorizando C, se obtiene:

Agrupando los términos F en una sumatoria, se obtiene:

Ejemplos:

a) b)

PROPIEDAD Nº 3. La sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias, es decir:

Demostración:

Ordenando los términos y agrupando bajo un signo de sumatoria, se tiene:



Ejemplos:

a)

b)

PROPIEDAD Nº 4. Cambio de los límites de una sumatoria

Demostración: Efectuando la expansión de las dos sumatorias, se observa que se obtienen sumas idénticas:

Ejemplos:

a)

b)

PROPIEDAD Nº 5. La sumatoria Telescópica:

Demostración: realizando la expansión de la sumatoria y cancelando los términos iguales de signo contrario, se obtiene:

Ejemplos:

a)

b)

PROPIEDAD Nº 6. Suma de los n primeros números naturales



Demostración: Usando la propiedad Nº 5 se puede demostrar la validez de esta propiedad de la siguiente forma:

Desarrollando la potencia y agrupando términos en el primer miembro, se tiene:

Queda demostrada la propiedad

Ejemplos:

a)

b)

PROPIEDAD Nº 7. Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales





Queda demostrada la propiedad

Ejemplos:

a)

b)

PROPIEDAD Nº 8. Suma de los cubos de los n primeros números naturales





Ejemplos:

a)

b)

Ejercicios 2.1Usar las propiedades del operador Sigma para calcular las siguientes sumas:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Respuesta de los ejercicios 2.11) 6702) 1270

3) –192/494) 5700

5) 40956) 265020

3. ÁREA BAJO UNA CURVAPor área bajo una curva, se debe entender como el área de la superficie limitada por la curva y = f(x), el eje x, la recta x = a y la recta x = b. (Ver la superficie sombreada de la Figura Nº 1).

Para calcular el área de la superficie sombreada de la Figura Nº 1, inicialmente recurriremos a la aproximación por rectángulos y posteriormente calcularemos el área de la superficie de manera exacta usando el cálculo de límites.

Obsérvese que el área de la superficie sombreada de



la Figura Nº 1 es aproximadamente igual a la suma de las áreas de los cinco rectángulos, de áreas A1, A2, A3, A4, A5, de la Figura Nº 2, o también es aproximadamente igual a la suma de las áreas de los cinco rectángulos, de áreas A1, A2, A3, A4, A5, de la Figura Nº 3. Si se usa la suma de las áreas de los rectángulos de la Figura Nº 2 para aproximar el área de la superficie, se dice que el área ha sido aproximada por defecto, y se usa la suma de las áreas de los rectángulos de la Figura Nº 3 para aproximar el área de la superficie, se dice que el área ha sido aproximada por exceso.

Para calcular por defecto el área de la superficie sombreada de la Figura Nº 1, entonces, recurriremos a la suma de las áreas de los cinco rectángulos, de áreas A1, A2, A3, A4, A5, de la Figura Nº 2, es decir:

Área de la superficie sombreada = A A1 + A2 + A3 + A4 + A5 (3.1)

Que puede ser expresada como:

Obsérvese que esta suma es menor que el área de la superficie que se desea encontrar.

Si se tiene en cuenta que:

Y si se considera que:

x1 – x0 = x2 – x1 = x3 – x2 = x4 – x3 = x5 – x4 = x (3.2)

es decir

Podemos decir que:

Y la ecuación 3.1, puede ser escrita como:

O, usando sumatorias:



Es fácil concluir que si el número de segmentos en que se divide el intervalo (a, b) es n (ver Figura Nº 2a), entonces el área de la superficie se calcularía como:

(3.3)

Dónde Ak es el rectángulo fundamental o diferencial que permite aproximar el área de la superficie

Para calcular por exceso el área de la superficie sombreada de la Figura Nº 1, recurriremos a la suma de las áreas de los cinco rectángulos, de áreas A1, A2, A3, A4, A5, de la Figura Nº 3, es decir:

Área de la superficie sombreada = A A1

+ A2 + A3 + A4 + A5 (3.4)

Obsérvese que esta suma es mayor que el área de la superficie que se desea encontrar.

Si se tiene en cuenta que:

Y si se usa la misma definición para x que aparece en la ecuación 3.2 podemos decir que:

Y la ecuación 3.4, puede ser escrita como:

O, usando sumatorias:



Y aquí resulta fácil concluir que si el número de segmentos en que se divide el intervalo (a, b) es n (ver Figura Nº 3b), entonces el área de la superficie se calcularía como:

(3.5)

Dónde Ak es el rectángulo fundamental o diferencial que permite aproximar el área de la superficie

Ejemplos:

a) Calcular el valor aproximado del área de la superficie que se encuentra debajo de la curva y = 6 + 2x – ½ x2, encima del eje x y a la derecha del eje y.

Solución: En la Figura Nº 4 se puede observar la superficie que debemos calcular de manera aproximada.

Si se usa el procedimiento de aproximación por defecto y se tiene en cuenta que la curva cruza al eje x en x=6, se debe dividir el intervalo [0, 6] del eje x, en partes iguales. Por comodidad, se dividirá el intervalo en 6 partes iguales. Por lo tanto, si adaptamos la fórmula 3.3 a una suma de seis rectángulos, tendremos (Ver figura Nº 5):

Dónde x = 1 y los xk serían:

x0 = 0; x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3; x4 = 4; x5 = 5.

Por lo tanto:

A f(0).1 + f(1).1 + f(2).1 + f(3).1 + f(4).1 + f(5).1

A 6 + 7,5 + 8 + 7,5 + 6 + 3,5

A 38,5 Unidades de área

Éste procedimiento puede ser implementado en una hoja electrónica como el Excel y realizar un mayor número de divisiones. Un ejemplo de esto, se ve en la tabla 3.1, donde el intervalo (0, 6) ha sido dividido en 24 intervalos (x = 6/24 = 0,25), para trazar 24 rectángulos (ver Figura Nº 6) y



al sumar las áreas de estos, determinar, con una mayor aproximación el área de la superficie que pide el ejemplo.

b) Calcular el valor aproximado del área de la superficie que se encuentra debajo de la curva y = 2 + 2ln(x2 +1) encima del eje x y entre las rectas x = 1 y x = 6.

Solución: En la Figura Nº 7 se puede observar la superficie que se debe calcular de manera aproximada.Si se usa el procedimiento de aproximación por exceso y se divide el intervalo [1, 6] del eje x, en 5 partes iguales. Podemos adaptar la fórmula 3.5 a una suma de cinco rectángulos, tendremos (Ver Figura Nº 8):

Dónde x = 1 y los xk serían:

x1 = 2; x2 = 3; x3 = 4; x4 = 5; x5 = 6.

Por lo tanto:

A f(2).1 + f(3).1 + f(4).1 + f(5).1 + f(6).1

A 5,21888 + 6,60517 + 7,66643 + 8,51619 + 9,22184

A 37,22850 Unidades de área

Realizando éste proceso en una hoja electrónica como el Excel y dividiendo el intervalo (1, 6) en veinte partes iguales (ver la Figura Nº 9), de tal forma que la base de cada uno de los rectángulos es x = 5/20 = 0.25, se obtendría como valor aproximado del área de la superficie sombreada de la Figura N° 7 el valor que aparece como total en la tabla 3.2

Con base en lo visto en los ejemplos anteriores, se puede afirmar que cuando se va a calcular el área bajo una curva, entre mayor sea el número n de partes en que se divide el intervalo (a, b), que es la base de la superficie, la suma del área de los n rectángulos se aproxima mas al valor real del área de la superficie, por esto, podemos afirmar que si el número n de rectángulos es infinito, es decir si n , la suma del área de los n rectángulos es exactamente igual al área bajo la curva. Esto nos lleva a modificar las fórmulas 3.3 y 3.5 y escribirlas, si se considera que n , de la siguiente forma:



Para el cálculo por defecto del área de la superficie que se encuentra bajo la curva y = f(x), encima del eje x y entre las rectas x = a y x = b, escribiríamos:

Que sería la fórmula 3.3 adaptada a infinitas divisiones del intervalo. Además:

Y

xk – 1 = a + (k – 1).x = x0 + (k – 1).x

Para el cálculo por exceso del área de la superficie que se encuentra bajo la curva y = f(x), encima del eje x y entre las rectas x = a y x = b, escribiríamos:

Que sería la fórmula 3.5 adaptada a infinitas divisiones del intervalo

Donde:

Y

xk = a + k.x = x0 + k.x

Ejemplos:



a) Calcular el área exacta de la superficie que se encuentra encima del eje x y debajo de la curva y = 4x – x2

Solución:

La superficie a la que se refiere el ejercicio es la que aparece sombreada en la Figura Nº 10.

Obsérvese que la curva y = 4x – x2 cruza al eje x en x = 0 y en x = 4. Estos valores se obtienen al resolver la ecuación 4x – x2 = 0

Para calcular el área usaremos la fórmula 3.7, es decir aproximación por exceso. Obsérvese que el rectángulo fundamental de área Ak que aparece en la figura Nº 10 tiene un área de:

Y con base en la fórmula 3.7, el área de la superficie sombreada se puede calcular como:

(Fórmula 3.7)

Donde

Ya que b=4 y a=0

Y

xk = 0 + k.x =4k/n

Por lo tanto:

Como y = f(xk) = 4xk – xk2, entonces

Y sustituyendo f(xk) y x en la fórmula 3.7, se obtiene:

Si se usan las propiedades de se obtiene:

Simplificando

Multiplicando y agrupando



Y aplicando las propiedades de los límites, obtenemos:

b) Calcular el área exacta de la superficie que se encuentra encima del eje x, a la izquierda del eje y y debajo de la curva y = 4 – 2x – 2x2

Solución:

La superficie a la que se refiere el ejercicio es la que aparece sombreada en la Figura Nº 11

Obsérvese que la curva y = 4 – 2x – 2x2 cruza al eje x en x = – 2 y en x = 1. Estos valores se obtienen al resolver la ecuación 4 – 2x – 2x2 = 0

Para calcular el área usaremos la fórmula 3.7, es decir aproximación por exceso. Obsérvese que el rectángulo de área Ak que aparece en la figura Nº 10 tiene un área de:

Y con base en la fórmula 3.7, el área de la superficie sombreada se puede calcular como:

(Fórmula 3.7)

Donde

Ya que b = –2 y a = 0

Yxk = –2 + k.x = –2 +2k/nPor lo tanto:Como y = f(xk) = 4 – 2xk – 2xk

2, entonces

Y sustituyendo f(xk) y x en la fórmula 3.7, se obtiene:

Si se usan las propiedades de se obtiene:



Simplificando

multiplicando y agrupando

Y aplicando las propiedades de los límites, obtenemos:

A = 20/3 Unidades de área

c) Calcular el área de la superficie que esta entre las curvas y = 4 – x2 y y = x2 – 2x

Solución:

La superficie a la que se refiere el ejercicio es la que aparece sombreada en la Figura Nº 12a.

Obsérvese que las curva y = 4 – x2 y y = x2 – 2x se cruzan en x = – 1 y en x = 2. Estos valores se obtienen al resolver la ecuación 4 – x2 = x2 – 2x

Como en éste caso la superficie se encuentra limitada por las curvas y = f(x) = 4 – x2 y y = g(x) = x2 – 2x, es necesario adaptar la fórmula 3.7 para calcular el área. Para hacerlo, obsérvese que el rectángulo fundamental Ak, de la Figura Nº 12b, tiene una base de longitud x y una altura igual a f(x) – g(x), esto significa que el área de dicho rectángulo es: Ak = (f(x) – g(x)) x, por lo tanto, la adaptación de la fórmula 3.7 para el caso de cálculo de el área de una superficie limitada por dos curvas es:

(3.8)

Dónde:y = f(x) es la curva que limita la superficie por encimay = g(x) es la curva que limita la superficie por debajo

Entonces, para calcular el área de la superficie sombreada de la Figura Nº 12ª, usaremos la fórmula 3.8. Luego:

Como: f(xk) = 4 – xk2 y g(xk) = xk

2 – 2xk, entonces:

f(xk) – g(xk) = 4 – xk2 – xk

2 + 2xk

f(xk) – g(xk) = 4 – 2xk2 + 2xk

Por lo tanto, el área de la superficie la calcularemos al resolver el límite de la ecuación:



Dónde:

ya que b= 2 y a= –1

Y

xk = –1 + k.x = –1 +3k/n

Por lo tanto, el área de la superficie es:

Resolviendo productos y potencias y agrupando, obtenemos:

Aplicando las propiedades de sigma, se obtiene:



Aplicando las propiedades de los límites, se concluye que:

A = 9 Unidades de área

Ejercicios 3.1En cada caso calcule el área de la superficie limitada por las líneas dadas1) y = 3x – x2 ; y = 02) y = x2 + 2x + 4; y = 0; x = –1; x = 23) y = 6 – x2 – x ; y = 04) y = 6 – x2 + x ; y = 0; x = 05) y = 6 – 5x – 4x2 ; y = 3x+66) y = ½ x2 + x – 4 ; y = 8 – ½ x2 7) y = ½ (x + 1)2 + ½ ; y = (x – 1)2 8) y = 5x2 – x3 ; y = 0

Respuesta de los ejercicios 3.11) 9/22) 183) 125/6

4) 27/25) 16/36) 343/6

7) 188) 625/12

4. LA SUMA DE RIEMANN Y LA INTEGRAL DEFINIDAEn la sección anterior, para calcular el área bajo una curva, se recurrió a la sumatoria:

Dónde cada rectángulo fundamental de área Ak, de base x y altura f(xk), se obtenía al dividir el intervalo (a, b) en n subintervalos iguales de tamaño x. Cada uno de estos x se usaba como la base de un rectángulo y como altura de cada rectángulo se tomaba la imagen del extremo izquierdo o derecho del subintervalo correspondiente.

El matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) planteó, para calcular el área bajo una curva, una configuración diferente de cada uno de los rectángulos que conformaban la suma. Riemann estableció que la base de la superficie se debe dividir en n subintervalos diferentes, tal que el subintervalo xk es de longitud: xk = xk – xk1. Éste subintervalo xk es la base del rectángulo Ak. Para obtener la altura del rectángulo Ak, se toma un valor real k tal que xk1 k

xk y se define la altura del rectángulo Ak como la imagen del número k, es decir f(k). Por lo



tanto, el k–ésimo rectángulo tendrá una superficie cuya área es: Ak = f(k).xk (ver Figura Nº 13).

Riemann demostró que el área aproximada de la superficie bajo la curva y = f (x), desde x = a hasta x = b, es igual a la suma de las áreas de los n rectángulos, es decir:

Riemann, también demostró que el área exacta de la superficie bajo la curva y = f (x), desde x = a hasta x = b es:

(3.9)

A ésta suma se le conoce como la suma de Riemann.

El mismo Riemann demostró que la sumatoria que aparece en la fórmula 3.9 es igual a la integral definida de f(x) desde a hasta b, es decir:

5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Sea F(x) una primitiva ó antiderivada de f(x), entonces:

Ejemplos

a)

b)

c)

d)

e)

f)



g)

6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDALas propiedades de la integral definida se basan en El Teorema Fundamental del Cálculo Integral y las reglas fundamentales de las integrales indefinidas.

6.1. Integral definida del diferencialSi x es una variable, entonces:

Ejemplos:

a)

b)

c)

6.2. Integral definida de una constante

Si K es una constante, entonces:

Ejemplos

a)

b)

c)

6.3. Integral definida de una función potencial

Si n es un número real diferente de –1, entonces:

En el caso de que n = –1, se usa la fórmula que aparece en el numeral 2.7 es decir:

Ejemplos:



a)

b)

c)

6.4. Integral definida de una constante por una función

Si k es alguna constante y f(x) es una función integrable, entonces:

Ejemplos:

a)

b)

6.5. Integral definida de una suma de funciones

Si f(x) y g(x) son funciones integrables, entonces:

Ejemplos:

a)

b)



6.6. Propiedad del signo

Si a ≠ b y existe, entonces:

Ejemplo: Con base en ésta propiedad, se puede afirmar que:

Para comprobarlo, resolveremos simultáneamente ambos lados de la igualdad:

Integrando se obtiene

Sustituyendo obtenemos:(27 + 12) – (1 + 4) = (– 1 – 4) – (– 27 – 12)39 – 5 = – 5 – (– 39)44 = 44

6.7. Integral definida en un intervalo de un solo puntoSi f(a) existe, entonces

Ejemplos:

a)

b)

6.8. Partición de un intervaloSi f(x) es integrable en el intervalo [a, b] y c es un número Real tal que a c b, entonces:

Ejemplo:Con base en ésta propiedad podemos afirmar que

Para comprobarlo, resolveremos simultáneamente ambos lados de la igualdad:

Integrando se obtiene

ln5 – ln2 = (ln4 – ln2) + (ln5 – ln4)

Eliminando los paréntesis:

ln5 – ln2 = ln4 – ln2 + ln5 – ln4

Simplificando en el Segundo miembro

ln5 – ln2 = ln5 – ln2



6.9. Integración por partes de una integral definidaSi u y v son funciones de la misma variable, entonces:

Ejemplos:

a) Calcular

Si se compara con la fórmula de integración por partes, se puede suponer que:

u = 2x du = 2dxdv = exdx v = ex

Por lo tanto:

b) Calcular

Si se compara con la fórmula de integración por partes, se puede suponer que:

u = lnx du = (1/x)dxdv = 4xdx v = 2x2

Por lo tanto:

Ejercicios 6.1Calcular las siguientes integrales:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)



10)

11)

12)

13)

14)

Respuestas de los ejercicios 6.1

1) 258

2) – 470

3) 3

4) 1,6225…

5) 0,0166…

6) 1,609…

7) 12

8) 21,640…

9) 1

10) 3,6268

11)

12) 3/16

13)

14) /3

7. CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA USANDO INTEGRALES DEFINIDAS

Una de aplicaciones que tienen las integrales definidas consiste en su uso para el cálculo del área de una superficie plana en el plano cartesiano, sin importar si la superficie se encuentra entre una curva y el eje x ó el eje y, o si se encuentra limitada por dos curvas.

A continuación vamos a estudiar cada uno de los casos que se nos pueden presentar.

Caso 1: La función es positiva en todo número del intervalo (a, b).

Cuando la superficie está limitada por el eje X, las rectas x = a y x = b y la curva y = f(x), y la curva está por encima del eje X (Ver Figura Nº 14), el área de la superficie se calcula de la siguiente forma:

Caso 2: La función es negativa en todo número del intervalo (a, b).

Cuando la superficie está limitada por el eje X, las rectas x = a y x = b y la curva y = f(x), y la curva está por debajo del eje X (Ver Figura Nº 15), el área de la superficie se calcula de la siguiente forma:

Caso 3: La función es positiva en el intervalo (a, c) y negativa en el intervalo (c, b). (Ver Figura Nº 16)

Cuando la superficie está limitada por el eje X, las rectas x = a y x = b y la curva y = f(x), y una parte de la curva está por encima



del eje X y la otra por debajo del eje X (Ver Figura Nº 16), el área de la superficie se calcula de la siguiente forma:

Caso 4: La Superficie está limitada por dos curvas.

Cuando la superficie está limitada por encima por la curva y = f(x), y por debajo por la curva y = g(x), (Ver Figura Nº 17), el área de la superficie se calcula de la siguiente forma:

Ejemplos:

a) Calcular el área de la superficie limitada por el eje X y la curva y = 3 + 2x – x2

Solución:

La zona sombreada de a Figura Nº 18 corresponde a la superficie a la que le debemos calcular el área. Como la curva, en la zona que limita la superficie, se encuentra siempre por encima del eje x, entonces el área de la superficie se calcula evaluando la integral:

Para calcular el área es necesario conocer los valores de a y de b. Estos valores se calculan resolviendo la ecuación:

3 + 2x – x2 = 0 (Procediendo algebraicamente, se obtiene:)x2 – 2x – 3 = 0(x – 3)(x + 1) = 0

Esto significa que los cortes de la curva con el eje x son:

x1 = 1 y x2 = 3

Luego:

a = x1 = 1 y b = x2 = 3

Por lo tanto:

b) Calcular el área de la superficie limitada por la curva F(x) = ½ x3 – 6x – 4, el eje X, el eje Y y la recta x = 3



Solución:

La zona sombreada de a Figura Nº 19, es la superficie a la que se le debe calcular el área. Como la curva, en la zona que limita la superficie, se encuentra siempre por debajo del eje x, entonces el área de la superficie se calcula como:

c) Calcular el área de la superficie que esta limitada por el eje X, por el eje Y y por la curva y = 4x2 – 16x + 12

Solución:

La zona sombreada de a Figura Nº 20 es la superficie a la que se le debe calcular el área. Como en el intervalo [0, a) la curva está por encima del eje x y en el intervalo (a, b] está por debajo, entonces el área de la superficie se calcula como:

Luego, antes de resolver las integrales, es necesario calcular los valores de a y de b, de la siguiente forma:

4x2 – 16x + 12 = 04(x – 3)(x – 1) = 0Luego:a = x1 = 3b = x2 = 1

Por lo tanto:

d) Calcular el área de la superficie que esta limitada por el eje X, la curva y = ln(2x) y la recta x = e

Solución:La zona sombreada de a Figura Nº 21 es la superficie a la que le calcularemos el área. Ya que la superficie está por encima del eje x y la curva cruza al eje x en x = ½, podemos decir que.



Usando integración por partes, decimos:

u = ln(2x)

dv = dx v = x

Por lo tanto:

Área = e.ln(2e) – (e – ½ )

Área = e.ln(2) + ½ Unidades cuadradas

e) Calcular el área de la superficie que esta limitada por el eje X, y la curva y = 8sen(x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2

Solución:

La zona sombreada de a Figura Nº 22 es la superficie a la que se le debe calcular el área. Como en el intervalo [0, 1) la curva está por encima del eje x y en el intervalo (1, 2] está por debajo, entonces el área de la superficie se calcula como:

Integrando y evaluando:

f) Calcular el área de la superficie limitada por las curvas F(x) = x2 – 3x y G(x) = 9 – x2

Solución:

La zona sombreada de a Figura Nº 23 es la superficie a la que se le debe calcular el área. El área de esta superficie se calcula como:

Antes de resolver la integral, es necesario calcular los valores de a y de b, de la siguiente forma:

x2 – 3x = 9 – x2 2x2 – 3x – 9 = 0

Resolviendo la ecuación

a = x1 = – 3/2b = x2 = 3

Por lo tanto:



g) Calcular el área de la superficie limitada por las curvas y Solución:

La zona sombreada de a Figura Nº 24 es la superficie a la que se le debe calcular el área. Primero calculamos los valores de x donde se cruzan las curvas:

x4 + x2 – 20 = 0

(x2 + 5)(x2 – 4) = 0

(x2 + 5)(x + 2)(x – 2) = 0Luego, las soluciones reales de la ecuación son:

a = x1 = – 2b = x2 = 2

Por lo tanto el área de la superficie es:

Por lo tanto:

h) Calcular el área de la superficie sombreada de la Figura Nº 25

Solución:Primero calculamos los valores de x donde se cruzan las curvas:

4senx = sen(2x)Usando las identidades trigonométricas, se tiene: 4senx =2 senx.cosx4senx – 2 senx.cosx = 02senx(2 – cosx) = 0La ecuación se verifica únicamente si senx = 0Luego, las soluciones reales de la ecuación son: xn = n dónde n es un número enteroPor lo tanto, los valores que se deben usar par el cálculo del área son:a = x1 = 0b = x2 =

Por lo tanto el área de la superficie es:



A = –4[cos() – cos(0)]+ ½ [cos(2) – cos(0)]A = 8 Unidades Cuadradas

Ejercicios 7.1

En cada caso, calcule el área de la superficie limitada por las líneas dadas

1) y = 2x – 3x2; el eje x2)

3)

4)5) y = lnx; y = 0; x = e6) y = ex; x = 0; y = 0; x = 27) y = 4 – x2; y = 8 – 2x2

8)

9) y = ex; y = lnx; x = 1; x = 410) y = xex; y = 4ex; x = −1

11)

12) y = sec2x; y = 0; x = 0; x = /413) y = cosx – senx; x = 0; y = 0

Respuestas de los ejercicios 7.11) 0,148…2) 5,333…3) 0.666…4) 0,533…5) 0,718…

6) e2 – 1 7) 10,666…8) 5,545…9) 47,720…10) 43,725…

11) – 2/312) 1 13) 0,4142…


INTEGRALES DEFINIDAS Y ÁREA BAJO UNA CURVA

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