3.1 Integrales de línea

Integral en R Propiedades

Longitud de arco Teorema de Green

Integración de una variable Operación inversa de la derivación.

∫ ∑=

→ΔΔ=

b

a

n

iii xwfdxxf

10||||)(lim)(

Integral definida de f de a a b, si el límite existe

||Δ|| es la norma de la partición: la máxima longitud de los subintervalos.

x a b

f(x) integrando

Partición: división del intervalo de integración en subintervalos

Significado geométrico:

∫ ∑=

→ΔΔ=

b

a

n

iii xwfdxxf

10||||)(lim)(

x

f(x)

La integral es al Área bajo la curva en el intervalo de integración

a b

Cada término es el área de un rectángulo de base Δix y altura f(wi). La integral es la suma de todos los rectángulosà

Δix

x

f(wi)

Reglas de integración

•  Como la integral es un límite, se aplican las reglas de éste.

•  Existen tablas y técnicas de integración. •  En particular, la integración por partes es una

consecuencia de la regla de la derivada de un producto de funciones

∫ ∫−= vduuvudv

INTEGRAL DE LÍNEA: SOBRE CURVA PARAMETRIZADA

Integral de línea: curva parametrizada

Integral de línea de la función f(x,y) a lo largo de la curva suave C

Limite existe si la función f(x,y) es continua

Longitud de arco: función y=f(x) La función y=f(x) define la curva C que pasa por los puntos P0, P1,…Pn. La longitud L de C es

Teor. del valor medio y=f(x*)

Longitud de arco: curva en el plano

Ejemplos Cap. 13

β

α

Longitud de arco e integral de línea

Como la longitud de la curva C es

La integral de línea de f(x,y) a lo largo de la curva C es

Ejemplos Cap. 16

β

β

α

α

Propiedades 1. C una curva suave a trozos que puede dividirse en otras curvas

2. Parametrización define orientación de la curva C La orientación es muy importante al integrar sobre x,y

Ejemplos Cap. 16

f (x, y)ds =−C∫ f (x, y)ds

C∫

INTEGRALES DE LÍNEA: CAMPOS VECTORIALES

Campo vectorial

•  Vector: Una magnitud física que requiere, además de magnitud, la dirección para su caracterización

•  Campo vectorial: asocia un vector a un punto

•  Sean f,g, h funciones reales definidas en R3,la función vectorial

F (x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + S(x,y,z) k

Integral de línea (R2)

Si ahora tenemos funciones de dos variables (x,y): Intervalo pasa a ser una curva de integración Dividimos la región en pequeñas trayectorias (partición Δ) definidas por vector Δri

x

y

A

B

C

),( kk ηξ Δrk (xk, yk)

C

(xk-1, yk-1) ΔxK

ΔyK

!F(x, y) =M (x, y)i + N(x, y) j

Integral de línea es un límite

{P(x, y)dx +Q(x, y)dy} =C∫

= lim|n→∞

{P(ξk,ηk )Δxk +Q(ξk,ηk )Δyk}i=1

n

∑

=!F(x, y)•d!r

C∫

!F(x, y) = P(x, y)i +Q(x, y) j

Campo vectorial

I = P(x, y)dx + Q(x, y)dyC∫

C∫

[Pdx +Qdy]=A

B

∫ − [Pdx +Qdy]B

A

∫

[Pdx +Qdy]=A

B

∫ [Pdx +Qdy]A

D

∫ + [Pdx +Qdy]D

B

∫

Algunas propiedades de la Integral de línea

La curva C se divide en dos trayectorias . En este caso C= C1+C2

C1 A B

D C2

Integral negativa positiva

Tipos de curvas y regiones

Curvas Regiones

Simple, No cerrada No simple,

No cerrada

Simple, cerrada No simple,

cerrada

Conectada Simple

Conectadas no simple

R

Otras propiedades Teorema. Una condición necesaria y suficiente para que la integral de línea sea independiente de la trayectoria C, que une dos puntos dados en una región R, es que en R

∫ +C

QdyPdx ][

xQ

yP

∂∂

=∂∂

donde las derivadas parciales son continuas en R.

C

Diferenciales exactas Esta condición equivale a La diferencial es exacta, es decir, existe una función Φ(x,y) tal que el integrando se escribe como su diferencial. En tal caso

φdQdyPdx =+

Si la curva es cerrada, la integral de línea es cero.

∫∫ −==+B

A

B

A

ABdQdyPdx )()(][ φφφ

Aplicaciones en Física: Trabajo

Mecánico: realizado por fuerza F para el desplazamiento dr

rdFdW !"•=

Termodinámico: realizado por fuerza generalizada F para el desplazamiento generalizado dλ

λ!"dFWd •='

1.  Producto Fdτ tiene dimensiones de energía 2.  Representa interacción física

!F •d"r

C∫ =

!F • ""r (t)dt

α

β

∫ =!F •T ds

C∫

Campos conservativos

Esta condición equivale a ∇xF=0 Si F representa un campo de fuerzas que actúa sobre un objeto, la diferencial es exacta, es decir, existe una función ϕ(x,y) llamada potencial

El trabajo realizado no depende de la trayectoria. Si la curva es cerrada, la integral de línea es cero y el trabajo realizado es cero. El campo de fuerza es conservativo.

∫∫ −==+B

A

B

A

ABdQdyPdx )()(][ φφφ

Otra formulación: teorema de la divergencia en el plano

dAFdivdsNyxFRC∫∫∫ =•

!!!),(

Integrales de línea en dirección contraria a giro de manecillas de reloj

jzyxQizyxPzyxF ˆ),,(ˆ),,(),,( +=!

B