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La funci´on zeta de una curva completa no singular Alberto Casta˜ no Dom´ ınguez * Departamento de ´ Algebra Universidad de Sevilla Resumen En el siguiente texto se presentan diversas series de Dirichlet, llamadas funciones ζ o zeta (dependiendo del caso), hasta llegar a la funci´on zeta asociada a una curva completa no singular sobre un cuerpo finito, lo que da lugar al enunciado y estudio preliminar del resultado an´alogo a la hip´otesis de Riemann para estas ´ ultimas funciones. 1. Introducci´on Las funciones zeta asociadas a curvas se definieron siguiendo los patrones de las funciones ζ de Riemann y Dedekind, como veremos en los siguientes apartados. El matem´atico austr´ ıaco Emil Artin (1898-1962) conjetur´o ya en el seminario de su tesis doctoral (alrededor de 1920) el an´alogo de la hip´ otesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos, pero no fue capaz de probarlo. Se tuvo que aprender a traducir en cierto modo las propiedades de las funciones ζ de Riemann y Dedekind (que veremos sin demostraci´on) para poder conseguir resultados con curvas. De hecho, en 1931, el matem´atico alem´an Friedrich Karl Schmidt (1901- 1977) prob´o en [10] la ecuaci´on funcional de la funci´on zeta, y el tam- bi´ en alem´an Helmut Hasse (1898-1979) demostr´o la conjeturada hip´otesis en el caso de curvas el´ ıpticas en [7]. El caso general fue demostrado por el matem´atico franc´ es Andr´ e Weil (1906-1998) en 1948 (ver [12]). Es m´as, * Escrib´ ı las presentes notas durante el per´ ıodo de disfrute de una Beca-Colaboraci´on otorgada por el Ministerio de Educaci´on y Ciencia para el curso 2007-2008, bajo la direc- ci´ on del profesor D. Luis Narv´aez Macarro. 1

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La funcion zeta de una curva completa no singular

Alberto Castano Domınguez *

Departamento de Algebra

Universidad de Sevilla

Resumen

En el siguiente texto se presentan diversas series de Dirichlet, llamadas

funciones ζ o zeta (dependiendo del caso), hasta llegar a la funcion zeta

asociada a una curva completa no singular sobre un cuerpo finito, lo

que da lugar al enunciado y estudio preliminar del resultado analogo

a la hipotesis de Riemann para estas ultimas funciones.

1. Introduccion

Las funciones zeta asociadas a curvas se definieron siguiendo los patrones

de las funciones ζ de Riemann y Dedekind, como veremos en los siguientes

apartados. El matematico austrıaco Emil Artin (1898-1962) conjeturo ya

en el seminario de su tesis doctoral (alrededor de 1920) el analogo de la

hipotesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos, pero no fue capaz

de probarlo. Se tuvo que aprender a traducir en cierto modo las propiedades

de las funciones ζ de Riemann y Dedekind (que veremos sin demostracion)

para poder conseguir resultados con curvas.

De hecho, en 1931, el matematico aleman Friedrich Karl Schmidt (1901-

1977) probo en [10] la ecuacion funcional de la funcion zeta, y el tam-

bien aleman Helmut Hasse (1898-1979) demostro la conjeturada hipotesis

en el caso de curvas elıpticas en [7]. El caso general fue demostrado por

el matematico frances Andre Weil (1906-1998) en 1948 (ver [12]). Es mas,

*Escribı las presentes notas durante el perıodo de disfrute de una Beca-Colaboracion

otorgada por el Ministerio de Educacion y Ciencia para el curso 2007-2008, bajo la direc-

cion del profesor D. Luis Narvaez Macarro.

1

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Weil conjeturo una serie de asertos relacionados con las funciones zeta aso-

ciadas a variedades de dimension arbitraria (cf. [6], apendice C). Estas con-

jeturas resultaron ciertas, aunque hubo que esperar hasta 1974, cuando el

matematico frances Pierre Deligne (1944) demostro la conjetura correspon-

diente al analogo de la hipotesis de Riemann en [5].

A pesar de este exito sobre cuerpos finitos, la hipotesis de Riemann (y

su generalizacion a cuerpos de numeros) sigue siendo un problema abierto

(de los mas importantes de las matematicas actuales) y aunque numerosos

matematicos han intentado resolverla durante el ultimo siglo, sigue sin de-

mostrarse.

Este texto esta basado fundamentalmente en el capıtulo VII de [1].

2. Funciones ζ de Riemann, Dedekind y de un do-

minio de Dedekind

Definicion.

Sea {an : n ∈ N} una sucesion infinita en C. Una serie de Dirichlet es una

serie formal del tipo∞∑

n=0

ann−s.

Sea r ∈ R, y sea Hr el semiplano de C con Re(s) > r.

Si existe un s0 para el que la la serie∑∞

n=0 ann−s0 converge, entonces la serie

converge en todo el semiplano HRe(s0). De hecho, converge uniformemente

en cualquier compacto de dicho semiplano, y la funcion es holomorfa.

Definicion.

La serie de Dirichlet ζ(s) :=∞∑

n=0

1ns

se llama funcion zeta, o ζ (la letra

griega dseda) de Riemann.

Esta funcion tiene gran importancia en teorıa de numeros, y a continuacion

se exponen algunos resultados sin demostracion. Para mas detalles, consultar

por ejemplo [11], una referencia muy completa.

Teorema.

La funcion ζ define una funcion holomorfa ζ : H1 → C, que se puede ex-

tender a una meromorfa en todo C, con un unico polo, simple, en s = 1.

Ademas, lıms→1 ζ(s)(s− 1) = 1.

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Definicion.

Sea z ∈ H0. Se define la funcion Γ (Gamma) de Euler como:

Γ(z) =∫ ∞

0e−ttz−1dt .

Esta funcion se puede extender analıticamente al plano complejo salvo los

enteros no positivos, dando lugar a una funcion meromorfa sin ceros y con

polos en dichos puntos.

La funcion Gamma de Euler cumple que Γ(z + 1) = zΓ(z), y en particular,

Γ(n) = (n− 1)! si n ∈ N.

Teorema. (Ecuacion funcional)

Sea Γ(s) la funcion Gamma de Euler. Entonces, la funcion ζ verifica la

ecuacion:

π−s/2Γ(s

2

)ζ(s) = π(s−1)/2Γ

(1− s

2

)ζ(1− s).

Si definimos ξ(s) = 12s(s−1)π−s/2Γ(s/2)ζ(s), la ecuacion funcional se vuelve

mas sencilla: ξ(s) = ξ(1− s).

Como ya se ha dicho en la introduccion, el siguiente aserto es una de las

conjeturas mas importantes de las matematicas y a pesar del trabajo de

grandes matematicos durante el ultimo siglo sigue sin estar resuelta.

Hipotesis de Riemann.

Los unicos ceros de la funcion ζ situados en la banda crıtica 0 ≤ Re(s) ≤ 1

estan en la lınea crıtica Re(s) = 1/2.

Generalicemos un poco lo anterior. Consideremos un cuerpo de numeros K,

y para cada n ∈ N, sea jn el numero de ideales I de OK , el anillo de enteros

de K, tales que ||I||OK:= |OK/I| = n. El siguiente lema nos muestra que

este numero es finito para todo n:

Lema 1.

Sean A o bien Z o bien Fq[x], y B la clausura ıntegra de A en determinada

extension finita y separable de cuerpos. Sea λ ∈ R. Entonces, existe un

numero finito de ideales en B tales que ||I||B ≤ λ. Ademas, B es de cocientes

finitos.

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Demostracion

Como la norma es multiplicativa y toma valores positivos, y B es un dominio

de Dedekind basta verlo para los ideales maximales m ∈ Max(B).

||m||B = |B/m| = |A/m ∩ A|fm/m∩A = ||m ∩ A||fm/m∩A

A , ası que basta con

tener el resultado en A, pues cada maximal de B esta contenido en finitos

maximales de A.

Si A = Z es obvio, ası que vamos a considerar A = Fq[x], caso tampoco muy

difıcil:

Los maximales de Fq[x] son aquellos de la forma (f(x)), siendo f un poli-

nomio irreducible. La norma de uno de esos ideales es |Fq[x]/(f(x))| = qgr(f).

Por otro lado, es facil ver que a lo sumo hay qλ ideales maximales (poli-

nomios) de norma menor o igual que λ (o, equivalentemente, de grado menor

o igual que lnλ/ ln q), por lo que el lema se cumple tambien con Fq[x].

Definicion.

Sea K un cuerpo de numeros. La serie de Dirichlet ζ(K, s) :=∞∑

n=0

jnn−s se

llama funcion ζ de Dedekind del cuerpo K.

En particular, la funcion ζ de Dedekind de Q es la funcion ζ de Riemann.

Los siguientes teoremas generalizan a los anteriores sobre la funcion ζ de

Riemann:

Teorema.

Sea K un cuerpo de numeros. La funcion ζ de Dedekind ζ(K, s) define una

funcion holomorfa ζ(K, s) : H1 → C, que puede ser extendida a una funcion

meromorfa en C con un unico polo, simple, en s = 1. Ademas,

lıms→1 ζ(K, s)(s− 1) =2r1(2π)r2hKRK

µK

√dK

,

donde:

hK = |Cl(OK)| es el numero de clases de K.

dK es un generador del discriminante.

µK es el numero de raıces de la unidad contenidas en K.

r1 es el numero de inmersiones reales de K y r2 el de pares de inmersiones

complejas conjugadas.

RK es el regulador del cuerpo K (cf. def. VIII.9.6 en [1]).

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Teorema. (Ecuacion funcional)

La funcion ζ de Dedekind de un cuerpo de numeros K verifica la siguiente

ecuacion funcional:

ζ(K, s) = d12−s

K

(πs−1/2Γ

(1−s2

)

Γ(s/2)

)r1 ((2π)2s−1Γ(1− s)

Γ(s)

)r2

ζ(K, 1− s).

Esta ecuacion resulta mas simple si definimos

χ(K, s) := ζ(K, s)(

Γ(s/2)πs/2

)r1(

Γ(s)(2π)s

)r2 (√dK

)s.

Entonces, la ecuacion funcional adopta la expresion χ(K, s) = χ(K, 1− s).

Como veremos, la funcion ζ(K, s) se puede determinar conociendo unica-

mente los ideales maximales del anillo de enteros OK , y por el penultimo

teorema, la funcion determina a su vez varias propiedades del anillo de en-

teros en el residuo del polo. Sin embargo, no determina totalmente al cuerpo

de numeros (cf. [9]).

Tambien se conjetura que las funciones ζ de Dedekind verifican el analogo

a la Hipotesis de Riemann, y, como ocurrıa con la funcion ζ de Riemann,

este hecho no esta probado y tiene multitud de consecuencias en teorıa de

numeros.

Generalizando aun mas, definiremos y estudiaremos ahora la funcion ζ de un

dominio de Dedekind arbitrario A con cocientes finitos, es decir, que todos

los ideales sean de norma (la definida antes) finita.

Definicion.

Sea A un dominio de Dedekind con cocientes finitos, y sea M(A) el monoide

de los ideales no nulos de A (con la multiplicacion). La funcion ζ de A se

define como la expresion formal ζ(A, s) :=∑

I∈M(A)

1||I||s .

Si jn representa, como antes, al numero de ideales de M(A) de norma n,

y este es finito para todo n, podemos reordenar los sumandos para escribir

ζ(A, s) =∞∑

n=1

jn

ns. En particular, si A = OK , ζ(A, s) = ζ(K, s).

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Proposicion.

I∈M(A)

1||I||s =

m∈Max(A)

(1− 1

||m||s)−1

Demostracion

Como A es un dominio de Dedekind, todo ideal no nulo I se puede factorizar

de manera unica en un producto de maximales. Numeremoslos.

Formalmente, tenemos el desarrollo (1−x)−1 = 1+x+x2+x3+· · · = ∑∞i=0 xi.

Por tanto, ∑

I∈M(A)

1||I||s =

∑ 1||m1||a1s · · · ||mr||ars

=

=∏

m∈Max(A)

(1 +

1||m||s +

1||m||2s

+ · · ·)

=∏

m∈Max(A)

(1− 1

||m||s)−1

.

La expresion anterior se denomina Producto de Euler, por analogıa al que

hallo Euler originalmente:

∞∑

n=0

1ns

= ζ(s) = ζ(Z, s) =∏

p primo

(1− 1

ps

)−1

.

Esta ultima igualdad no es solo formal, sino que ambas expresiones son

funciones meromorfas identicas.

3. La funcion zeta de una curva no singular

Sea ahora f ∈ Fq[x, y] un polinomio absolutamente irreducible, es decir,

irreducible en Fq[x, y] y Fq[x, y], y supongamos que Zf (Fq) es una curva no

singular. Entonces, el anillo Cf = Fq[x, y]/(f) es un dominio de Dedekind

con cocientes finitos:

Lema 2.

Sea k un cuerpo finito y f ∈ k[x, y] un polinomio irreducible y no sin-

gular. Consideremos el homomorfismo de anillos ϕ(a,b) : Cf → k tal que

ϕ(a,b)(g(x, y)) = g(a, b), para cada (a, b) ∈ Zf (k).

Entonces, todo maximal m de Cf = k[x, y]/(f) es el nucleo de cierto ϕ(a,b).

En consecuencia, Cf es un dominio de Dedekind con cocientes finitos.

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Demostracion

Sean los homomorfismos ψ(a,b) : k[x, y] → k con ψ(a,b)(g(x, y)) = g(a, b), y

ψ(a,b) la restriccion de este ultimo a k, siendo (a, b) ∈ k× k en ambos casos .

A la vista de las definiciones, ϕ(a,b) es la aplicacion inducida por ψ(a,b) en el

anillo cociente.

Vamos a probar primero que sea cual sea el maximal m de k[x, y], este es el

nucleo de algun ψ(a,b):

Sea m = m k[x, y]. Por el lema de Nakayama, m 6= k[x, y], ası que existe un

maximal n = (x− a, y − b) = ker(ψ(a,b)) de k[x, y] que lo contiene. Como m

es maximal, m = (x− a, y − b) ∩ k[x, y] = ker(ψ(a,b)).

Ahora podemos probar que todo maximal m (cuidado con la notacion del

anterior parrafo) de Cf es el nucleo de un ϕ(a,b), con (a, b) ∈ Zf (k).

Sea π la proyeccion canonica de k[x, y] en Cf .

π−1(m) = ker(ψ(a,b)), pues es maximal. Como f(x, y) ∈ π−1(m), tenemos

que (a, b) ∈ Zf (k).

ker(ϕ(a,b)) 6= (0), pues π−1(0) = (f(x, y)) deberıa ser entonces maximal y

no lo es. Por tanto, ker(ϕ(a,b)) es un maximal tal que contraıdo por π es

π−1(m). En conclusion, m = ker(ϕ(a,b)).

Todo esto era independiente del cardinal del cuerpo k. Ahora es cuando lo

vamos a usar. Como Cf/m = Cf/ker(ϕ(a,b)) ∼= k(a, b), k es finito y a y b son

algebraicos, Cf tiene cocientes finitos.

Sea

ζ(Zf/Fq, s) := ζ(Cf , s) =∏

m∈Max(Cf )

(1− 1

||m||s)−1

.

Sea bd el numero de maximales m de Cf tales que [Cf/m : Fq] = d.

Lema 3.

En las condiciones anteriores, bd < ∞.

Demostracion

Sea Fq la clausura algebraica de Fq, y sea Fqn la unica extension del anterior

de grado n en dicha clausura.

Para cada (a, b) ∈ Zf (Fq), sea ϕ(a,b) el homomorfismo de anillos del lema 2.

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Consideremos la aplicacion siguiente:

σ : Zf (Fqn) →⋃

d|n{m ∈ Max(Cf ) : [Cf/m : Fq] = d}

(a, b) 7→ ker(ϕ(a,b))

Si probamos que σ esta bien definida y es sobreyectiva, habremos terminado,

pues |Zf (Fqn)| ≤ q2n.

Sea m = ker(ϕ(a,b)), y sea d = [Cf/m : Fq]. Como Fq(a, b) ∼= Cf/m es un

subcuerpo de Fqn , necesariamente d|n. Por tanto, σ esta bien definida.

Sea ahora m ∈ Max(Cf ) con d = [Cf/m : Fq] y d|n. Entonces, Cf/m ∼= Fqd .

Ya que d|n, existe una inmersion ι : Cf/m → Fqn . Sea (a, b) = (ι(x), ι(y)).

ι(f(x, y)) = f(a, b) = 0, luego (a, b) ∈ Zf (Fqn). Ahora, como m = ker(ϕ(a,b)),

σ es sobreyectiva.

Si [Cf/m : Fq] = d, ||m|| = qd, por lo que

ζ(Zf/Fq, s) =∏

d∈N

(1− 1

qsd

)−bd

.

Haciendo el cambio de variable T := q−s, se define la funcion

Z(Zf/Fq, T ) =∏

d∈N(1− T d)−bd ,

y se denotara tambien por Z(T ). Puede escribirse como una serie de poten-

cias, de coeficientes Nn, aunque para ello necesitamos los siguientes concep-

tos:

Definicion.

Sea k un cuerpo, y sea k[[T ]] el anillo de series formales con coeficientes en

k. Definimos una topologıa en k[[T ]], llamada (T )-adica, dando los entornos

del cero, {(Tn) : n ∈ N}.

Con esta topologıa, una serie∑∞

n=1 an converge si y solo si an tiende a 0, es

decir, para todo N existe un natural n0 tal que si n ≥ n0, an ∈ (TN ).

Si∑∞

n=1 an es una serie convergente,∏∞

n=1(1 + an) es un producto conver-

gente. Esto es porque agrupando los productos parciales, obtenemos una

suma finita, que tiende a una serie convergente.

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Definicion. Sea k ahora un cuerpo de caracterıstica 0, y sean U1 ⊂ k[[T ]] el

subgrupo de series con termino independiente igual a 1 y M el ideal maximal

de k[[T ]]. Se definen el logaritmo y la exponencial como:

log : U1 → M

α 7→∞∑

n=1

(−1)n+1 (α− 1)n

n

exp : M → U1

β 7→∞∑

n=0

βn

n!

Se puede probar que transforman sumas en productos o viceversa y que

una es la inversa de la otra, como habitualmente. Ademas, si el producto∏∞

n=1(1 + αn) es convergente, log (∏∞

n=1(1 + αn)) =∑∞

n=1 log(1 + αn).

Volvamos con la funcion Z(T ). Es un producto convergente en Q[[T ]], ası que

log(Z(T )) = −∑

d∈Nbdlog(1− T d) =

d∈Nbd

∞∑

r=1

T dr

r=

∞∑

n=1

d|ndbd

Tn

n

Lema 4.

Sea Nn = card(Zf (Fqn)). Entonces, Nn =∑

d|n dbd.

Demostracion

Sea p = (a, b) ∈ Zf (Fqn) tal que [Fq(p) : Fq] = d.

Sea Gp el estabilizador de p por la accion del grupo de Galois Gal(Fq|Fq).

La orbita de p tendra los mismos elementos que Gal(Fq|Fq)/Gp.

Por otro lado, Gp = Gal(Fq|Fq(p)) = {ϕ ∈ Gal(Fq|Fq) : ϕ|Fq(p) = idFq(p)}por definicion.

Fq(p)/Fq es, por ser Fq perfecto, una extension finita y separable, ası que por

teorıa de Galois Fq(p) = FGp

q y [Fq(p) : Fq] = |Gal(Fq|Fq)/Gp|. Por tanto, la

orbita de p contiene a d puntos distintos.

La extension Fqn/Fq es de Galois, ası que la orbita de p esta contenida en

Zf (Fqn), pues se puede probar ([3], seccion V.2, teorema 2.8) que todo auto-

morfismo de Galois de Fqn es la restriccion de alguno de Fq. Entonces, la cur-

va afın Zf (Fqn) es union disjunta de las orbitas por la accion de Gal(Fq|Fq)

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que contiene.

Sea σ la aplicacion del lema anterior. Esta es inyectiva sobre las orbitas ([1],

Proposicion VII.3.2), ası que para cada d|n, Zf (Fqn) contiene bd orbitas de

cardinal d. En conclusion, Nn =∑

d|n dbd.

Definicion. La serie de potencias

Z(Zf/Fq, T ) = exp

( ∞∑

n=1

NnTn

n

)

se llama funcion zeta de la curva afın Zf (Fq) sobre Fq.

Ejemplos.

1) Sea A1 la recta afın. Como |A1(Fqn)| = qn, su funcion zeta es

Z(A1/Fq, T ) = exp

( ∞∑

n=1

qn Tn

n

)= exp(−log(1− qT )) =

11− qT

.

2) Sea q = pr, con p 6= 2, y sea f(x, y) = x2+y2−1 ∈ Fq[x, y]. Consideremos

F (x0, x1, x2) = x21 + x2

2− x20, el homogeneizado de f . Sabemos que la conica

proyectiva asociada XF (Fq) ∼= P1(Fq) es no singular y mas abajo veremos

que |XF (Fq)| = qn + 1.

Sea i una raız cuadrada de −1 en Fq.

Entonces, XF (Fq) = Zf (Fq) t {(0 : 1 : i), (0 : 1 : −i)}, viendo a Zf (Fq)

inmersa en P2(Fq). Vamos a distinguir dos casos:

i ∈ Fq. Por tanto, Nn = |Zf (Fq)| = qn − 1. La funcion zeta de Zf (Fq) sobre

Fq queda:

Z(Zf/Fq, T ) = exp

( ∞∑

n=1

(qn − 1)Tn

n

)= exp

( ∞∑

n=1

qn Tn

n−

∞∑

n=1

Tn

n

)=

1− T

1− qT

i /∈ Fq. Entonces, i ∈ Fq2 , luego Nn = qn +1 si n 6= 2 y Nn = qn−1 si n = 2.

En este caso:

Z(Zf/Fq, T ) = exp

n 6=2

(qn + 1)Tn

n+

n=2

(qn − 1)Tn

n

=

= exp

( ∞∑

n=1

qn Tn

n+

(T − T 2

2+

T 3

3− · · ·

))=

1 + T

1− qT

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Definicion. Sea F ∈ Fq[x0, x1, x2] un polinomio homogeneo, y sea Nn el

numero de puntos de la curva proyectiva asociada sobre Fqn, |XF (Fqn)|. Se

define la funcion zeta de XF (Fq) sobre Fq como:

Z(XF /Fq, T ) = exp

( ∞∑

n=1

NnTn

n

)

Ejemplo.

Sea F ∈ Fq[x0, x1, x2] un polinomio homogeneo de grado 2. Si F es reducible,

o bien existe un polinomio de grado 1 L tal que F = L2 o bien F = LM ,

con L 6= M y ambos de grado 1. Vamos a distinguir casos:

F = L2 En este caso XF (Fq) = XL(Fq) es una recta, luego Nn = qn + 1.

Entonces,

Z(XF /Fq, T ) = exp

( ∞∑

n=1

(qn + 1)Tn

n

)=

1(1− T )(1− qT )

F = LM Aquı XF (Fq) son dos rectas distintas y por tanto Nn = |XL(Fqn)|++|XM (Fqn)| − |XL(Fqn) ∩XM (Fqn)| = 2qn + 1. La funcion zeta resulta:

Z(XF /Fq, T ) = exp

( ∞∑

n=1

(2qn + 1)Tn

n

)=

1(1− T )(1− qT )2

F es irreducible Entonces XF (Fq) es una conica no singular, y se sabe que

si XF (Fqn) 6= ∅, XF (Fqn) ∼= P1(Fqn) y Nn = qn + 1.

Ahora bien, el teorema que veremos a continuacion nos lo garantiza, teniendo

el isomorfismo en cualquier extension. Ası

Z(XF /Fq, T ) = exp

( ∞∑

n=1

(qn + 1)Tn

n

)=

1(1− T )(1− qT )

Lema 5.

Sean i1, . . . , in enteros no negativos. Entonces,

(a1,...,an)∈(Fq)n

ai11 · · · ain

n = 0 ∈ Fq

a no ser que todos los ij sean multiplos no nulos de q − 1.

Demostracion

Supongamos primero que n = 1. Si i = 0,∑

a∈Fqa0 = q = 0.

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Supongamos ahora que i 6= 0, y sea α un generador del grupo multiplicativo

F∗q . Si (q − 1) - i,

a∈Fq

ai =q−2∑

j=0

αji =(αi)q−1 − 1

αi − 1= 0.

Por otro lado, si i es un multiplo de (q − 1), a(q−1)k = 1 para todo a ∈ F∗q ,ası que la suma vale q − 1 6= 0.

El caso general se puede deducir del anterior, pues

(a1,...,an)∈(Fq)n

ai11 · · · ain

n =

a1∈Fq

ai11

· · ·

an∈Fq

ainn

,

que se anulara salvo que todos los exponentes ij sean multiplos no nulos de

(q − 1).

Teorema.

Sea f ∈ Fq[x1, . . . , xn] un polinomio de grado g < n, con q = pr, y sea N el

numero de raıces de f . Entonces, p|N , y en particular, si f es homogeneo,

N ≥ 2.

Demostracion

Sea h = 1 − f q−1 ∈ Fq[x1, . . . , xn]. Este polinomio se anula en todo (Fq)n

salvo en las raıces de f , en donde vale 1, ası que

N =∑

(a1,...,an)∈(Fq)n

h(a1, . . . , an).

Esta suma no es mas que N veces el 1 de Fq, que es un elemento de Fp

(visto como subcuerpo de Fq). Como el grado de h es g(q − 1) < n(q − 1),

en cualquier monomio de h de la forma xi11 · · ·xin

n al menos uno de los ij

sera menor que q − 1, cuando no nulo. Por tanto, como la suma es la clase

de N modulo p, el lema nos dice que dicha clase es cero, es decir, p|N .

Sea XF (Fq) una curva no singular. El grado de un punto p de la curva es

el cardinal de la orbita de p por la accion de Gal(Fq|Fq). A dicha orbita le

asignamos tambien un grado, que es el de un punto cualquiera de ella (es

decir, su cardinal). Con esto, podemos enunciar el siguiente lema:

12

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Lema 6.

Sea F ∈ Fq[x0, x1, x2] un polinomio homogeneo absolutamente irreducible,

y sea f(x, y) = F (1, x, y) su deshomogeneizado. Entonces, denotando a las

orbitas por la accion de Gal(Fq|Fq) de los puntos del infinito de Zf (Fq) por

o1, . . . , or, se tiene que

Z(XF /Fq, T ) = Z(Zf/Fq, T )r∏

i=1

(1− T gr(oi)

)−1

Demostracion

Sea bd el numero de orbitas de grado d. Veremos que Nn =∑

d|n dbd, por lo

que siguiendo un desarrollo analogo al de la funcion zeta para curvas afines,

tenemos que

Z(XF /Fq, T ) = exp

( ∞∑

n=1

NnTn

n

)=

d|n

(1− T d

)−bd

=

=∏

o∈XF /Gal(Fq |Fq)

(1− T gr(o)

)−1

Separando ahora los factores de las orbitas de puntos del infinito del resto,

es claro el resultado.

Poco a poco hemos ido generalizando o adecuando el mismo concepto a un

caso determinado. Este sera el ultimo paso:

Definicion.

Sea k un cuerpo. Una curva completa no singular es un par (X, k(X)/k),

siendo k(X) una extension finitamente generada y de grado de trascenden-

cia 1 sobre k y X un conjunto identificado con las valoraciones discretas,

sobreyectivas de k(X) y triviales sobre k como sigue.

Cada elemento p ∈ X se llama punto, y k(X) es el cuerpo de funciones (de

grado de trascendencia 1) de X. A cada punto (valoracion) p le corresponde

su anillo de valoracion discreta, Op, consistente en las funciones definidas en

p. Ademas, OX(X) =⋂

p∈X Op = k, es decir, las unicas funciones definidas

en todo X son las constantes.

Si k es perfecto, al grado de la extension [k(p) : k] se lo llama grado de p.

Dicho cuerpo k(p) es Op/mp∼= kGp, siendo Gp el estabilizador de p bajo la

accion de Gal(k|k), donde la imagen por σ ∈ Gal(k|k) de un punto q, σ(q),

es el punto cuyo dominio de valoracion discreta asociado es σ(Oq) ⊂ k(X).

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Definicion.

Sea X/Fq una curva completa no singular. La funcion zeta de esta curva es

Z(X/Fq) =∏

p∈X

(1− T gr(p)

)−1

Sean, para cada d ∈ N, bd el numero de orbitas de grado d, y sean, para

cada n ∈ N, Nn = |X(Fqn)|.

Lema 7.

Nn =∑

d|ndbd < ∞. En particular, esto tambien es cierto para curvas planas

proyectivas no singulares.

Demostracion

Un punto p ∈ X(Fq) esta en X(Fqn) si y solo si su cuerpo de definicion

Fq(p) ⊆ Fqn .

Sea Op el dominio de valoracion discreta asociado a un p ∈ X, y sea

Op = Op ∩ Fq(X). Sea y un generador del ideal maximal mp de Op. En-

tonces, σ(y) = y ∈ σ(Op), ası que la valoracion asociada a y es positiva

en todos los anillos σ(Op), pero eso solo puede ocurrir una cantidad finita

de ocasiones, ası que la orbita de p es finita. Es mas, como Fq es perfecto

y la orbita de p tiene r = |Gal(Fq|Fq)/Gp| puntos, por teorıa de Galois la

extension Fq(p)/Fq tambien es finita y de grado r.

Como Fq(p) es una extension finita de Fq, necesariamente sera isomorfo a

un Fqd . Por tanto, los puntos de X(Fqn) son exactamente aquellos tales que

d|n. Como los estabilizadores Gp de puntos en la misma orbita son conju-

gados, sus cuerpos de definicion seran isomorfos, ası que X(Fqn) es la union

disjunta de las orbitas de los puntos que contiene.

En conclusion, Nn =∑

d|n dbd.

El numero anterior es finito:

Como Fq(X) es un cuerpo de funciones, podemos escoger un elemento x tal

que la extesion Fq(x) ⊆ Fq(X) sea finita y separable (es decir, x es una base

de trascendencia separable).

Sea U ⊂ X el dominio de x. Se sabe que U es un abierto de Zariski de X, y

OX(U) es la clausura ıntegra de Fq[x] en el cuerpo de funciones. Por el lema

1, existe una cantidad finita de puntos tal que su cuerpo asociado Op/mp

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tiene un grado determinado sobre Fq. Como en el complementario de U hay

solo finitos puntos, en total en X(Fqn) habra una cantidad finita de puntos.

Al igual que con las curvas afines o proyectivas, podemos razonar usando el

lema para llegar a la expresion usual:

Z(X/Fq, T ) = exp

( ∞∑

n=1

NnTn

n

)

En este caso general estamos tratando con cuerpos y valoraciones, y al igual

que ocurrıa con los cuerpos de numeros, existen curvas no isomorfas con

igual funcion zeta (cf. [8]).

Sea Fq(X) la clausura algebraica del cuerpo Fq(X). Sea k primo con p, y

sea Fqk el subcuerpo de Fq ⊆ Fq(X) de grado k sobre Fq.

Entonces, si llamamos Fqk(X) a la extension de escalares FqkFq(X) ⊂ Fq(X),

aquel es un cuerpo de funciones sobre Fqk , de grado k sobre Fq(X) ([1], lema

VII.4.14) tal que podemos considerar la curva completa no singular asociada.

Es mas, se pueden relacionar las funciones zeta de ambas curvas de la manera

siguiente:

Proposicion.

Sea XFqk

/Fqk la curva completa no singular asociada a la extension Fqk(X)/Fqk ,

y sea ξk una raız k-esima primitiva de la unidad. Entonces,

Z(XFqk

/Fqk , T k) =k∏

i=1

Z(X/Fq, ξikT ).

Demostracion

Sean N ′n = |XF

qk(Fqkn)|. Obviamente, N ′

n = Nkn.

log

(k∏

i=1

Z(X/Fq, ξikT )

)=

k∑

i=1

( ∞∑

n=1

Nnξink

Tn

n

)

La serie es convergente, ası que podemos cambiar los ındices de sumacion

sin problema. Teniendo en cuenta que∑k

i=1 ξink vale k si k|n y es nula en

otro caso,

log

(k∏

i=1

Z(X/Fq, ξikT )

)=

∞∑

n=1

Nn

(k∑

i=1

ξink

)Tn

n=

∞∑

n=1

NknT kn

n,

que no es mas que log(Z(XF

qk/Fqk , T k)

).

15

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4. La racionalidad, la ecuacion funcional y la hipotesis

de Riemann

Vamos a probar primero que la funcion zeta asociada a una curva completa

no singular es una funcion racional. Para ello necesitaremos el importante

teorema de Riemann-Roch. Aunque no lo enunciaremos rigurosamente, es-

tablece lo siguiente:

Existen un entero g, llamado genero de la curva (cuando X es proyectiva y

viene dada por un polinomio de grado d, g = (d− 1)(d− 2)/2), y una clase

K ∈ Pic(X/Fq) de grado 2g−2, tales que h0(L) = gr(L)+1−g+h0(K−L),

donde h0(L) = dimH0(L), siendo H0(L) = {α ∈ Fq(X) : div(α) + D ≥ 0} y

D un divisor de la clase de L.

En particular, se obtiene un corolario:

|EL| = qh0(L) − 1q − 1

,

siendo EL cierto espacio vectorial que definiremos, y si gr(L) ≥ 2g − 1,

entonces h0(L) = gr(L)− g + 1.

Teorema. (Racionalidad de la funcion zeta)

Sea X/Fq una curva completa no singular de genero g. Entonces,

Z(X/Fq) =f(T )

(1− T )(1− qT ),

donde f ∈ Z[T ], de grado 2g a lo sumo.

Es mas, la funcion zeta tiene un polo simple en T = 1 de residuo hq−1 , donde

h = |Pic0(X/Fq)| es el numero de clases de la curva.

Demostracion

Z(X/Fq, T ) =∏

p∈X

(1− T gr(p)

)−1. Desarrollando en serie de potencias ca-

da factor y agrupando terminos,

Z(X/Fq, T ) =∑

D∈Eff(X/Fq)

T gr(D) =∑

L∈Pic(X/Fq)

gr(L)≥0

( ∑

D∈Eff(X/Fq)

cl(D)=L

T gr(D))

Sea, para cada L ∈ Pic(X/Fq), EL = {D ∈ Eff(X/Fq) : cl(D) = L}. Por el

teorema de Riemann-Roch, si gr(L) ≥ 2g − 1, entonces |EL| = qgr(L)+1−g−1q−1 .

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El nucleo del homomorfismo grado gr : Pic(X/Fq) → Z es Pic0(X/Fq), de

orden h. Por tanto, los conjuntos Picd formados por las clases de divisores

de grado d seran o vacıos o de cardinal h. Sea k tal que gr(Pic(X/Fq)) = Zk.

Si g = 0, |EL| = 1 + q + · · ·+ qgr(L) para toda clase L de grado no negativo.

Entonces,

Z(X/Fq, T ) =∑

L∈Pic(X/Fq)

gr(L)≥0

( ∑

D∈EL

T gr(D))

= h∞∑

n=0

T kn qkn+1 − 1q − 1

.

Un facil calculo usando los desarrollos en serie de potencias nos da que

Z(X/Fq, T ) = h(1−T k)(1−qkT k)

.

Supongamos ahora que g > 0. Podemos descomponer la suma en dos, segun

si el grado de las clases de divisores es mayor o igual o menor que 2g−1 ≥ 1:

Z(X/Fq, T ) =∑

L∈Pic(X/Fq)

0≤gr(L)≤2g−2

|EL|T gr(L) +∑

L∈Pic(X/Fq)

gr(L)≥2g−1

|EL|T gr(L)

Si en el primer sumando hacemos el cambio de variable T k = x, obtenemos

un polinomio en x de grado 2g−2 a lo sumo. En el segundo sumando, gracias

a la formula para |EL| que tenemos y trabajando analogamente a cuando

g = 0, se deduce que

L∈Pic(X/Fq)

gr(L)≥2g−1

|EL|T gr(L) = hp(T k)

(1− T k)(1− qkT k),

siendo p(x) ∈ Z[x] de grado 2g como mucho.

Sumando los dos miembros obtenemos una expresion muy parecida a la tesis

del teorema:

Z(X/Fq, T ) =f(T k)

(1− T k)(1− qkT k).

Si probamos que k = 1, habremos terminado, pues la formula que cuantifica

el residuo es bien clara teniendo la expresion de la funcion zeta.

Consideremos la curva XFqk

/Fqk obtenida al cambiar de base, y sea ξk una

raız k-esima primitiva de la unidad. Hemos probado que Z(XFqk

/Fqk , T k) =

=∏k

i=1 Z(X/Fq, ξikT )

Gracias a la expresion que hemos hallado, el primer miembro tiene un polo

simple en T = 1, y el segundo es(

f(T k)(1−T k)(1−qkT k)

)k, que tiene en T = 1

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un polo de orden k. Por tanto, k = 1. En particular, el homomorfismo

gr : Pic(X/Fq) → Z es sobreyectivo y hemos demostrado la racionalidad de

la funcion zeta.

Z(X/Fq, 0) = e0 = 1, luego f(0) = 1. Entonces, como f(T ) es un polinomio

entero, existiran 2g numeros ωi tales que f(T ) =∏2g

i=1(1 − ωiT ). Como

ω2gi f(1/ωi) = 0 y x2gf(1/x) ∈ Z[x], los ωi son enteros algebraicos. En par-

ticular, |Pic0(X/Fq)| = h = f(1) =∏

(1− ωi).

Ademas,

log(Z(X/Fq)) =2g∑

i=1

log(1− ωiT )− log(1− qT )− log(1− T ) =

=∞∑

n=1

(−

2g∑

i=1

ωni + qn + 1

)Tn

n.

Pero entonces, si igualamos la anterior expresion a la que ya conocıamos

para el logaritmo de la funcion zeta, Nn = qn + 1−∑ωn

i .

Aquı es cuando entra en juego la hipotesis de Riemann para curvas sobre

cuerpos finitos para hallar cotas a los Nn. Si trasladamos literalmente el

enunciado de la hipotesis de Riemann a la funcion zeta de una curva com-

pleta no singular, tenemos el siguiente aserto:

Si Re(s) ∈ [0, 1] y Z(q−s) = 0, entonces, Re(s) = 1/2.

Vamos a ver que significa esto cuando trabajamos con una curva.

Como en nuestro caso Z(X/Fq, T ) es racional, sus unicos ceros seran los

inversos de los ωi. Entonces, el enunciado de arriba es equivalente a que

|ωi| = √q, para todo i. Esto sı es lo que se conoce por analogo de la hipotesis

de Riemann en curvas sobre cuerpos finitos, y como ya se menciono en la

introducion, fue probada por el matematico frances Andre Weil (1906-1998)

en 1948.

En particular, por la expresion de los Nn y la hipotesis de Riemann, se tiene

que |Nn − qn − 1| ≤ 2g√

qn. Tambien obtenemos una cota para el numero

de clases de X/Fq, h. Como |ωi| =√

q, |(1 − ωi)| ∈ [1 −√q, 1 +√

q], luego

(1−√q)2g ≤ h = f(1) = |∏(1− ωi)| ≤ (1 +√

q)2g.

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Ejemplo.

Sea F (x0, x1, x2) = x40 + x4

1 + x42 ∈ F3[x0, x1, x2]. La curva XF (F3) es no

singular, y su genero es g = (4− 1)(4− 2)/2 = 3.

En F3, todas las potencias cuartas valen 1, ası que considerando las combi-

naciones posibles, XF (F3) = {(1 : 1 : 1), (2 : 1 : 1), (1 : 2 : 1), (1 : 1 : 2)}. En

este caso, N1 = 4, y |4− 3− 1| < 6√

3.

El grupo multiplicativo F∗9 tiene orden 8 y es cıclico, ası que hay 4 raıces

cuartas de -1 y otras cuatro raıces cuartas de 1. Consideremos los puntos

de la forma (α : β : 1), con α y β dos raıces cuartas de la unidad y los

puntos (a : 1 : 0), (1 : b : 0), (0 : 1 : c), siendo a, b, c raıces cuartas de

-1. Todos esos 28 puntos estan en XF (F9), y por la hipotesis de Riemann,

N2 ≤ 9 + 1 + 6√

9 = 28. Por tanto, XF (F9) consta de esos puntos, y lo que

es mas digno de atencion, la cota superior para los Nn que da la hipotesis

de Riemann se alcanza.

A continuacion probaremos la ecuacion funcional de la funcion zeta. Al

igual que ocurrıa con las funciones ζ de Riemann y Dedekind, aquella veri-

ficara cierta relacion entre Z(q−s) y Z(q−(1−s)), o equivalentemente, en-

tre Z(T ) y Z(1/qT ). Supongamos que los ωi no nulos son aquellos con

i = 1, . . . , c ≤ 2g. Veamos que expresion tiene esta ultima:

Z(1/qT ) = qT 2

∏ci=1

(1− ωi

qT

)

(1− qT )(1− T )= (−1)c

(c∏

i=1

ωi

)q1−cT 2−c

∏ci=1

(1− q

ωiT

)

(1− qT )(1− T )

Teorema. (Ecuacion funcional de la funcion zeta)

Sea X/Fq una curva completa no singular de genero g. Entonces, gr(f) = 2g,

y se cumplen las dos siguientes condiciones equivalentes:

1) Z(1/qT ) = (qT 2)1−gZ(T ).

2)∏

ωi = qg, y la aplicacion ωi 7→ q/ωi de {ωi : i = 1, . . . , 2g} en sı mismo

esta bien definida y es biyectiva.

Demostracion

Supongamos que se cumple la primera condicion. Por la expresion que

hallamos antes, si T = ωi/q, sea cual sea ωi 6= 0, Z(1/qT ) = 0, luego

Z(T ) = 0, ası que todos los q/ωi son raıces no nulas de f , con i = 1, . . . , c.

Por tanto, la aplicacion ωi 7→ q/ωi de {ωi : i = 1, . . . , c} en sı mismo

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esta bien definida y es biyectiva. Tenemos que ver que c = 2g (de mo-

mento sabemos que es par). Como∏c

i=1

(1− q

ωiT

)= f(T ), tenemos que

(∏c

i=1 ωi) q1−cT 2−c = (qT 2)1−g, luego necesariamente c = 2g y∏

ωi = qg.

Ademas, como los ωi son no nulos, f es de grado 2g.

Si se cumpliera la segunda condicion, es obvio que se tendrıa la primera por

la expresion de Z(1/qT ) y porque c = 2g.

Nos basta con probar entonces que se cumple la primera condicion.

Sea Z′(T ) = (q − 1)Z(T ). Entonces, usando el corolario al teorema de

Riemann-Roch que vimos podemos descomponer Z′(T ) como sigue:

Z′(T ) = (q − 1)∑

L∈Pic(X/Fq)

gr(L)≥0

|EL|T gr(L) =∑

L∈Pic(X/Fq)

0≤gr(L)≤2g−2

qh0(L)T gr(L)+

+∑

L∈Pic(X/Fq)

gr(L)≥2g−1

qh0(L)T gr(L) −∑

L∈Pic(X/Fq)

gr(L)≥0

T gr(L)

Llamemos al primer sumando α(T ) y a los otros dos β(T ). Usando de nuevo

dicho corolario,

β(T ) = h∑

d≥2g−1

qd+1−gT d − h∑

d≥0

T d = hq1−g(qT )2g−1 11− qT

− h

1− T

De este modo, β(1/qT ) = (qT 2)1−gβ(T ). Nos queda ver lo mismo para α(T ).

Sea K ∈ Pic(X/Fq) la clase canonica que nos da el teorema de Riemann-

Roch. La aplicacion L 7→ K − L es una biyeccion entre las clases de grado

menor o igual que 2g − 2 y no negativo. Usando este cambio de variable,

α(T ) =∑

L∈Pic(X/Fq)

0≤gr(L)≤2g−2

qh0(K−L)T gr(K−L) =

=∑

L∈Pic(X/Fq)

gr(L)≤2g−2

qh0(L)−gr(L)−1+gT 2g−2−gr(L) =

= qg−1T 2g−2∑

L∈Pic(X/Fq)

0≤gr(L)≤2g−2

qh0(L)(qT )−gr(L) = (qT 2)g−1α(1/qT )

Entonces, como Z′(1/qT ) = (qT 2)1−gZ′(T ), tambien lo cumplira Z(T ), ter-

minando la demostracion.

20

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4.1. La funcion zeta de una cubica plana no singular

Terminaremos la seccion tratando el caso particular de las cubicas proyec-

tivas planas. Son lo suficientemente simples como para poder trabajar con

ellas y a la vez son muy utiles y proporcionan buenos ejemplos de lo que

hemos visto antes.

Proposicion.

Sea F ∈ Fq[x0, x1, x2] un polinomio de grado 3, homogeneo y no singular.

Entonces,

Z(XF /Fq, T ) =1 + (N1 − q − 1)T + qT 2

(1− T )(1− qT ).

En este caso, se verifica la ecuacion funcional Z(T ) = Z(1/qT ), y las raıces

de 1+(N1−q−1)T +qT 2 son conjugadas o√

q es entero y ω1 = ω2 = ±√q.

Demostracion

El genero de la curva es 1, ası que el numerador de la funcion zeta es f(T ) =

(1−ω1T )(1−ω2T ). Ahora bien, N1 = q+1−ω1−ω2 y, por otro lado, por la

ecuacion funcional, ω1ω2 = q. Por tanto f(T ) tendra la forma que aparece

en el enunciado.

Como g = 1, Z (T ) = Z (1/qT ).

Sabemos que la hipotesis de Riemann se cumple para esta curva. Entonces,

como |ωi| = √q y ω2 = |ω1|2/ω1, los ωi son complejos conjugados. Si ω1 ∈ R,

no queda mas remedio que ω1 = ω2 = ±√q. Ahora bien, como f(T ) =

(1∓ ω1T )2 ∈ Z[T ], necesariamente q es un cuadrado perfecto.

Corolario.

Sea XF (Fq) una cubica plana proyectiva no singular. Entonces, XF (Fq) 6= ∅.

Demostracion

N1 = |XF (Fq)| = f(1) = |Pic0(X/Fq)| 6= 0.

Ejemplo.

Sea XF (Fq) una cubica plana proyectiva no singular tal que N1 = q + 1. En

este caso, ω1 + ω2 = 0 y ω1ω2 = q, luego ω1 = ±√−q. Una curva de este

tipo alcanza las cotas inferior y superior para los Nn:

N2 = q2 + 1− ω21 − ω2

2 = q2 + 2q + 1, ası que N2 − q2 − 1 = 2g√

q2 = 2q.

Por otro lado, N4 = q4 + 1− ω41 − ω4

2 = q4 − 2q2 + 1.

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Entonces, N4 − q4 − 1 = −2g√

q4 = −2q2.

La condicion de que N1 = q+1 no es en absoluto estricta; la cumplen muchas

cubicas. Por ejemplo, la siguiente:

Sea F (x0, x2, x2) = x30 + x3

1 + x32 ∈ F2[x0, x1, x2]. La curva XF (F2) es no

singular, y XF (Fq) = {(1 : 1 : 0), (1 : 0 : 1), (0 : 1 : 1)}, ası que N1 = 3.

Referencias

[1] Dino Lorenzini: An invitation to Arithmetic Geometry, Graduate Stud-

ies in Mathematics vol. 9, American Mathematical Society (1996)

Como ya se dijo en la introduccion, esta ha sido la referencia princi-

pal. En cuestiones de algebra conmutativa, teorıa de Galois o teorıa de

cuerpos, tambien se usan:

[2] Michael F. Atiyah y Ian G. MacDonald: Introduction to commutative

algebra, Ed. Addison-Wesley (1994)

[3] Serge Lang: Algebra, 3a edicion. Ed. Springer (2002)

[4] Paulo Ribenboim: L’arithmetique des corps, Ed. Hermann (1972)

El resto de referencias son:

[5] Pierre Deligne: La conjecture de Weil, I, Publ. math. IHES 43 (1974),

273-307

[6] Robin Hartshorne: Algebraic geometry, Ed. Springer-Verlag (2006)

[7] Helmut Hasse, Beweis des Analogons der Riemannschen Vermutung

fur die Artinschen und F. K. Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen

in gewissen elliptischen Fallen, Vorlaufige Mitteilung, Nachrichten v.

d. Gesellschaft d. Wiss. zu Gottingen, Math. Phys. Kl. I 42 (1933),

253-262

[8] Everett W. Howe: Constructing distinct curves with isomorphic Jaco-

bians, J. of Number Theory 26 (1996), 381-390

[9] Robert Perlis: On the equation ζK(s) = ζK′(s), J. of Number Theory 9

(1977), 342-360

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Page 23: La funci¶on zeta de una curva completa no singularpersonal.us.es/narvaez/ACD-zeta.pdf · 2008-10-21 · La funci¶on zeta de una curva completa no singular Alberto Castano~ Dom¶‡nguez

[10] Friedrich Karl Schmidt: Analytische Zahlentheorie in Korpern der

Characteristik p, Math. Z. 33 (1931), 1-32

[11] Edward Charles Titchmarsh: The theory of the Riemann zeta-function,

2nd edition. Ed. Oxford Clarendon Press (1988)

[12] Andre Weil: Sur les courbes algebriques et les varietes qui s’en

deduisent, Paris, 1948

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