Parametrización de curvas

Integrales de linea

h"p://www.sc.ehu.es/sqwpolim/Metodos_Matema6cos/

Curvas en el espacio En el espacio, una curva se define por el corte de dos superficies.

La forma más general de dar una superficie es mediante la relación

f(x, y, z) = 0

que permite –al menos de forma implicita- definir la función z = !(x, y)

La primera expresión puede considerarse un caso particular de esta definición

2

Superficies Una forma simple de definir una superficie en el espacio es mediante una relacion que establece el valor de una de las coordenadas en función de las otras dos.

z = !(x, y)

La forma más general de dar una superficie es mediante la relación

f(x, y, z) = 0

que permite –al menos de forma implicita- definir la función z = !(x, y)

La primera expresión puede considerarse un caso particular de esta definición

Ejemplos

Plano: x + y + z = µ

Esfera de radio a centrada en el origen x2 + y2 + z2 = a2

Paraboloide de revolución: x2 + y2 = !z

3

Curvas en el espacio En el espacio, una curva se define por el corte de dos superficies.

f1(x, y, z) = 0

f2(x, y, z) = 0

Así por ejemplo, la interseción de un cilindro con un plano,

define una elipse.

4

Parametrización de una curva

Suponiendo que las funciones fi(t) son continuas –al variar infinitesimalmente t, la variación de la función también es infinitesimal- al ir variando t en el intervalo la funcion describe una curva en R3.

!

! f (t )

Se dice que la equación (1) es entonces una parametrizacion de la curva dada.

Sea t un parámetro definido en un intervalo [a,b], entonces la función donde fi(t) (i=1,3) son funciones escalares, define un punto del espacio para cada valor del parametro t en el intervalo [a,b].

(1)!f(t) = f1(t)!ux + f2(t)!uy + f3(t)!uz

La parametrización de una curva no es única.

Así, por ejemplo describen una semicircunferencia de radio a en

el plano z=2

!f(") = a cos(")!ux + a sin(")!uy + 2a!uz, 0 ! " ! #

!f(t) = t!ux +!a2 ! t2!uy + 2a!uz; !a " x " a

5

Ejemplos en 2D:

!

,x " #2,2[ ]

!

y = 2x2 el arco de parábola

!

! f (t ) = t

! u x + 2t 2 ! u y

!

t " #2,2[ ]

puede parametrizarse como donde

!

x = t

y = 2t 2" # $

las componentes

En este caso la variable x hace el papel de parametro.

6

Ejemplos en 2D:

!

x 2+ y 2

= a2La circunferencia

t

La elipse

!

x 2

a2+y 2

b2=1

puede parametrizarse como

!

! f (t ) = a cos(t )

! u x + b sin(t )

! u y

donde

!

0 " t < 2#

x

y

x

y

t

puede parametrizarse como

donde

!

0 " t < 2#

!

! f (t ) = a cos(t )

! u x + a sin(t )

! u y

7

Ejemplo en 3D: linea recta en R3:

y

z

x

x0

y0

esta parametrización no es única. La parametrización más general es

!

x = x0 +"t

y = y0 + #t

z = t

$

% &

' &

x = x0+! '!t

y = y0+! '!t

z = z0+! '!t

!

"#

$#

donde x0 y y0 son las coordenadas del punto donde la recta corta el plano XY (z=0)

Obviamente ambos parámetros - y las constantes α, β, γ y α’, β’, γ’ - son diferentes.

!

t y ! t

8

!

! f (t ) = t

! u x + cos(t )

! u y + sin(t )

! u z

!

x = t

y = cos(t )

z = sin(t )

"

# $

% $

Ejemplo en 3D: la linea helicoidal

9

Problema: Calcular la ecuacion paramétrica de la curva definida por el corte de la superficie cilíndrica x2+ y2=4 con el plano z+2x+2y=5 .

Los puntos del cilindro se pueden escribir en función de un parámetro t y de la altura z

!

x = 2 cos(t )

y = 2 sin(t )

z

"

# $

% $

0 & t < 2'

Si imponemos la condición de que tambien esten en el plano z+2x+2y=5

!

x = 2 cos(t )

y = 2 sin(t )

z = 5 "4 cos(t ) "4 sin(t )

#

$ %

& %

0 ' t < 2(

!f(t) = 2 cos(t)!ux + 2 sin(t)!uy + [5! 4 cos(t)! 4 sin(t)]!uz

La parametrizacion de esa elipse es

10

SeaunacurvaCenR3,definidaparamétricamente

Tangente a una curva

Elvectortangenteenelpuntoarbitarior(t)delacurvaestádefinidoporlaecuación

!T (t) = f !1(t)!ux + f !

2(t)!uy + f !3(t)!uz

ydondefi’(t)(j=1,3),representaladerivadadelafuncionrespectoelparámetro

!f(t) = f1(t)!ux + f2(t)!uy + f3(t)!uz

11

Sea un punto de la curva:

!

! r (x , y ,z )

Demostración

!r(t) = x(t)!ux + y(t)!uy + z(t)!uz

= f1(t)!ux + f2(t)!uy + f3(t)!uz

y

z

x

Para calcular la tangente nos desplazamos infinitesimalmente por la curva. La variacion del punto, , correspondiente a dt es:

d!r = dx!ux + dy!uy + dz!uz

= df1(t)!ux + df2(t)!uy + df3(t)!uz

!r(t)d!r

!r(t+ dt)

d!r

El vector es tangente a la curva. d!r

=df1(t)

dt!ux +

df2(t)

dt!uy +

df3(t)

dt!uz

d!r

dt=

dx

dt!ux +

dy

dt!uy +

dz

dt!uz

Nótese que ell vector no es necesariamente unitario. d!r

dt

Construimos ahora un vector finito (no infinitésimal como ). d!r

12

El vector unitario , tangente a la curva en en !uT (t) !r(t)

!uT (t) =f !1(t) !ux + f !

2(t) !uy + f !3(t) !uz!

[f !1(t)]

2 + [f !2(t)]

2 + [f !3(t)]

2

13

Problema Se tienen dos curvas

1. Comprobar que se cortan en el punto P (1,0,1)

2. Calcular el ángulo que forman sus tangentes en ese punto.

C1 !f(t) = cos(2"t)!ux + sin(2"t)!uy + t!uz

El punto P pertenece a la curva C1:

1 = cos(2!t) ! t = n (entero)

1 = t

y también a la curva C2: w = 1

w = 1

componente x

componente y componente z

componente x

componente y componente z

0 ! 0 w = 1

<

t = 1

El punto P (1,0,1) pertenece a ambas curvas a valores de los parametros

t = 1

w = 1

C2 !g(w) = w!ux + w!uz

0 = sin(2!t) ! t =n

2(entero)

14

!T1(t) =df1(t)

dt!ux +

df2(t)

dt!uy +

df3(t)

dt!uz = !2!sin(2!t)"ux + 2!cos(2!t)"uy + "uz

!u1(t) =!2"sin(2"t)!ux + 2"cos(2"t)!uy + !uz!

1 + (2")2

= !ux + !uz

!u2(w) =1!2[!ux + !uz]

Curva C1 C1 !f(t) = cos(2"t)!ux + sin(2"t)!uy + t!uz

El vector tangente unitario

t = 1 ! !u1(t) =2"!uy + !uz!1 + (2")2

El vector tangente unitario

Constante como corresponde a una recta

Finalmente el angulo θ entre ambos vectores es !u1!u2 =| !u1 || !u2 | cos(") = cos(")

cos(!) =1!

2[1 + (2")2]

Curva C2 !g(w) = w!ux + w!uz

15

!T2(t) =dg1(w)

dw!ux +

dg2(w)

dw!uy +

dg3(w)

dw!uz

!T2(")

Curvas abiertas y cerradas Sea una curva C definida de forma paramétrica !r(t)

!r(t) = f1(t)!ux + f2(t)!uy + f3(t)!uz donde a ! t < b

Se dice que C es cerrada si verfica !r(t = a) = !r(t = b)

y

z

x!r(a)!r(b)

16

Pk

Pk+1

Para calcular la longitud de la curva en el intervalo [a,b], dividimos el intervalo en n arcos definidos por los valores, t0, t1, t2 … tn .

Cálculo de la longitud de un arco de curva SeaunacurvaCenR3,definidaparamétricamente !f(t) = f1(t)!ux + f2(t)!uy + f3(t)!uz a ! t < bdonde

Por lo tanto, la longitud ΔLk del del segmento que une ambos puntos

Pk‐1

Pk

C

=!

[f1(tk+1)! f1(tk)]2 + [f2(tk+1)! f2(tk)]2 + [f3(tk+1)! f3(tk)]2

ΔLk

=n!

k=1

"!f1(tk)2 +!f2(tk)2 +!f3(tk)2

donde!fj(tk) = fj(tk+1)! fj(tk), j = 1, 3

Las coordenadas del punto k-simo (Pk ) y del punto siguiente (Pk+1) son

Pk = !f(tk) ! [f1(tk), f2(tk), f3(tk)]

Pk+1 = !f(tk+1) ! [f1(tk+1), f2(tk+1), f3(tk+1)]

17

!Lk =| !f(tk+1)! !f(tk) |

La longitud de la poligonal

Pi‐1

Pi

C

Pk+1

Pk

!Lk =!!f2

1 +!f22 +!f2

3

en el limite coincide con la longitud de la curva. n ! "

La longitud total de la curva es la suma de las longitudes de todos los intervalos

Lpolig =n!

k=1

!Lk

En el limite , el intervalo entre puntos es infinitesimal, asi que podemos calcular la longitud del intervalo k-esimo aproximando el incremento de las coordenadas:

n ! "!tk = tk+1 ! tk " 0

!fj ! dfj = f !jdt (j = 1, 3)

lim!t!0 L =|! b

a

"(f !

1)2 + (f !

2)2 + (f !

3)2dt |

Se elige la determinacion de la raiz cuadrada que hace que la longitud sea positiva.

lim!t!0dL =

!df2

1 + df22 + df2

3 =|!(f !

1)2 + (f !

2)2 + (f !

3)2dt |

Lpolig =n!

k=1

!Lk =n!

k=1

"!f1(tk)2 +!f2(tk)2 +!f3(tk)2

18

19

Aquí hemos utilizado dos conceptos básicos del calculo diferencial

Es la magnitud –en nuestro caso un número real- que hace proporcionales la variacion de la funcion y la de la variable (se sobreentiende que es en el límite ).

!f = f !!t

!t ! 0

donde el tanto el dominio D, como la función f y la variable pueden ser cualquiera. La integral es el resultado de las siguientes operaciónes:

!

Df(!)d!

1.- Dividir el dominio de integracion en pequeños elementos Δζ .

2.- En cada elemento –ζk– de la partición calcular el valor de la función f(ζ) en un punto interior.

volveremos a esta definición más adelante.

3.- El valor de la integral es la suma de las contribuciones de todas las particiones !

Df(!)d! = lim!!!0

"

k

f(!k)!!k

19

Ejemplo: Longitud del arco de la parábola y=x2 entre el origen y un punto arbitrario

y

x

Podemos parametrizar la parábola simplemente como

de forma que

!r(t) = f1(t)!ux + f2(t)!uy = t!ux + t2!uy

f1(t) = t

f2(t) = t2

la longitud del arco entre el origen (t=0) y un punto dado por el valor t del parámetro es

!r(t)

L =|! t

0

"(f !

1)2 + (f !

2)2dt |

=1

4[2t

!1 + 4t2 + arcsinh(2t)]

=|! t

0

"1 + 4t2dt |

If t>0 podemos tomar la determinacion positiva de la raiz

20

Ejemplo: Longitud de una elipse

La elipse

t

sea a>b

= 4aE(a2 ! b2

a2)

donde E(x) es una funcion llamada Integral Elíptica de Segundo Tipo

x

y

a

b

x2

a2+

y2

b2= 1

puede parametrizarse como

donde

!

0 " t < 2#

!r(t) = acos(t)!ux + b sin(t)!uy

21

dL = a

!1! a2 ! b2

a2cos2(t) dt

L = a

! 2!

0

"1! a2 ! b2

a2cos2(t) dt

y

z

x

Problema propuesto

Se tiene una curva helicoidal. En paramétricas se escribe como

x = acos(2!t)

y = asin(2!t)

z = "t

Calcular la longitud del arco entre el punto (a,0,0) (t=0) y un punto arbitratrio dado por el parametro t.

Calcular la longitud correspondiente a una espira.

Comprobar que en el caso α=0 se recupera la expresion de la circunferencia

donde α es una constante

22

En este caso el dominio de integracion es una curva C.

2.- En cada elemento de la partición calcular el valor de la función f en un punto interior del elemento

El procedimiento para ‘obtener’ la integral es el mismo visto antes:

y

z

xC

!lk

!lk1.- Dividir la curva en pequeños elementos definidos en el punto . !rk

3.- El valor de la integral es la suma de las contribuciones de todas las particiones !

cf(!r)dl = lim!l!0

"

k

f(!rk)!lk

Dependiendo de si la función f es escalar o vectorial, así como de la posibilidad de considerar el vector se pueden tener diferente tipos de integrales. d!l

Las más interesantes son: un campo escalar y también escalar. El cálculo de la longitud de una curva es un ejemplo.

f(!r) dl

!

Cf(!r)dl

23

un campo vectorial y también vector. En este caso se define la integral: llamada circulación del campo (es un escalar). Esta integral se llama circulación del campo sobre la linea C

d!l!f(!r)!

c

!f(!r)d!l

!f(!r)

Sea una curva C definida de forma paramétrica

!r(t) = f1(t)!ux + f2(t)!uy + f3(t)!uz donde a ! t < b

Se pueden definir otras integrales asociadas a esa curva

!

Cf(!r)dx =

! x(b)

x(a)f [x(t), y(t), z(t)]dx

!

Cf(!r)dy =

! y(b)

y(a)f [x(t), y(t), z(t)]dy

!

Cf(!r)dz =

! z(b)

z(a)f [x(t), y(t), z(t)]dz

=

! x(b)

x(a)f [x(t), y(t), z(t)]

dx

dtdt

=

! y(b)

y(a)f [x(t), y(t), z(t)]

dy

dtdt

=

! z(b)

z(a)f [x(t), y(t), z(t)]

dz

dtdt

y

z

x

C!r(a)

!r(b)x(a)

x(b)

24

Ejemplo: Integral de linea de un campo escalar

y

z

x

(1,1,2)

(0.0.0)

Sea el campo escalar V (!r) = x2 + y2 + z2

donde x, y, z son las coordenadas de !r

Calcular la integral a lo largo de la recta C que une los puntos (0,0,0) y (1,1,2)

!

CV (!r)dl

1.  Parametrizamos la linea de integración C:

x = t

y = t

z = 2t

!r = x!ux + y!uy + z!ux

2. Cálculo de la longitud de arco correspondiente a un dt dl

dl =!(f !

1)2 + (f !

2)2 + (f !

3)2dt =

!6dt

3. Cálculo del campo en el punto !r(t)

V (!r) = x2 + y2 + z2 = 6t2

4. Cálculo de la integral: !

CV (!r)dl = 6

!6

! 1

0t2dt = 2

!6

25

Ejemplo: Integral de linea de un campo escalar

y

z

x

(1,1,2)

(0.0.0)

V (!r) = x2 + y2 + z2

Calcular la integral a lo largo de la curva formada por los dos segmentos de recta: C1 que une los puntos (0,0,0) y (1,1,0) y C2 que une este punto con (1,1,2)

!

CV (!r)dl

1.  Parametrizacion

2. Cálculo de la longitud de arco dl

dl =!(f !

1)2 + (f !

2)2 + (f !

3)2dt

3. Cálculo del campo en el punto !r(t) V (!r) = x2 + y2 + z2

26

(1,1,0)

1er Tramo (0,0,0) y (1,1,0)

!r = t!ux + t!uy

x = t

y = t

z = 0

=!2dt

= 2t2

=

! 1

02t2

!2dt =

2

3

!2

4. Cálculo de la 1ª integral: !

C1

V (r)dl

C1

C2

yx

(1,1,2)

(0.0.0)

1.  Parametrizacion

2. Cálculo de la longitud de arco dl

dl =!(f !

1)2 + (f !

2)2 + (f !

3)2dt

3. Cálculo del campo en el punto !r(t) V (!r) = x2 + y2 + z2

27

(1,1,0)

2º Tramo (1,1,0) y (1,1,2)

!r = !ux + !uy + t!uz, 0 < t < 2

x = 1

y = 1

z = t

= dt

= t2

=

! 2

0t2dt =

8

3

La integral total !

C1!C2

V (r)dl =2

3(4 +

!2)

4. Cálculo de la 2ª integral: !

C2

V (r)dl

C1

C2

Ejemplo: Circulación de un campo vectorial (2D)

Sea el campo vectorial !F (!r) = !y!ux+ x!uy

Calcular la circulación de este campo en la circunferencia de radio unidad, recorrida en el sentido positivo (antihorario)

y

x

C

1.  Parametrizamos la linea de integracion C:

!r(t) = x!ux + y!uy

t

2. Cálculo del vector tangente correspondiente a un dt d!r

d!r

3. Cálculo del campo en el punto !r(t)!F (!r) = !y!ux+ x!uy = !sin(t)!ux+ cos(t)!uy

4. Cálculo de la integral:

d!r = [!sin(t)!ux + cos(t)uy]dt

!

C

!F (!r)d!r =

! 2!

0[!sin(t)!ux+ cos(t)!uy][!sin(t)!ux+ cos(t)!uy]dt = 2!

28

x = cos(t)y = sin(t) 0 < t ! 2!

y

z

x

(1,1,2)

Ejemplo: Circulacion a lo largo de una curva

Sea el campo vectorial , donde k es una constante. !F (!r) = k!r

(0.0.0)

donde C es el segmento de la curva

que corresponde al arco de parábola representada en la figura.

1. Cálculo de d!r

d!r

2. Calculo del producto !F (!r)d!r

Se pide calcular la circulacion W =

!

C

!F (!r)d!r

esta es la contribucion del intervalo dt a la circulación.

3. La circulación a lo largo de toda la linea:

!F [!r(t)]

!r(t) = t!ux + t!uy + 2t2!uz, 0 ! t ! 1

d!r(t) = [!ux + !uy + 4t!uz]dt

= k[2t+ 8t3]dt

W =

!

C

!F (!r)d!r = k

! 1

0[2t+ 8t3]dt = k[t2 + 2t4] |10 = 3k

!F (!r)d!r = k[t!ux + t!uy + 2t2!uz][!ux + !uy + 4t!uz]dt

Sobrelalinea: !F (t) = k[t!ux + t!uy + 2t2!uz]

29

y

z

x

CalcularlacirculacióndelafunciónalolargodelarectaqueuneelorigenconelpuntoP(1,1,2)

!F (!r) = k!r(1,1,2)

(0.0.0)

Sepuededefinircomoelcortededosplanosx+ y ! z = 0

x = y

Porlotanto:!r(t) = t!ux + t!uy + 2t!uz, 0 ! t ! 1

1. Cálculo de d!r

2. Calculo del producto !F (!r)d!r

3. La circulación a lo largo de toda la linea:

d!r = [!ux + !uy + 2!uz]dt

!Fd!r = k[t!ux + t!uy + 2t!uz][!ux + !uy + 2!uz]dt= 6ktdt

W =

!

C

!F (!r)d!r = 6k

! 1

0tdt = 3kt2 |10= 3k

quesugierelaparametrización:

x = t

y = t

z = 2t

!F (t) = k[t!ux + t!uy + 2t!uz]Sobrelalinea:

30

C1

Problemas propuestos:

Calcular la circulación de los siguientes campo definido en R2:

A lo largo de las siguientes curvas:

2º La poligonal de la figura C2

y

x(1,0)

(1,1)

(‐1,0)

1º Semicircunferencia de radio unidad, que une los puntos (1,0) y (-1,0) en sentido positivo (antihorario)

y

x(1,0)(‐1,0)

(1,0)(‐1,0)

C3 y

x

3º El arco de parábola y = 1! x2

!F1(!r) = !y!ux + x!uy

!F2(!r) = !r = x!ux + y!uy

31

Problemas propuestos:

Calcular la circulación del campo definido en R3:

!H(!r) = !y!ux + x!uy

a lo largo del primer ciclo de la curva helicoidal definida paramétricamente como

32

!r(t) = a cos(2"t)!ux + a sin(2"t)!uy + t!uz

Problemas propuestos:

y

z

x

Sea C la circunferencia en el plano XY, de radio a y centro en el origen, y un punto arbitrario en el eje Z

!r0 ! (0, 0, z0)

!r0

z0

33

d!r!r

1.  Calcular la la integral de linea

donde

!

C

dr

| !r ! !r0 |dr =| d!r |

2. Calcular el vector definido por la siguiente la integral de linea !

Cdr

!r ! !r0| !r ! !r0 |

4. Calcular el vector definido por la siguiente la integral de linea !

Cd!r ! !r " !r0

| !r " !r0 |3

3. Calcular el escalar definido por la siguiente la integral de linea !

Cd!r

!r ! !r0| !r ! !r0 |

Problemas propuestos:

Sea C la curva en paramétricas

!r(t) = cos(t)!ux + sin(t)!uy + sin(t)!uz, 0 ! t ! 2"

Calcular las siguientes integrales

!

C(xdy ! ydx)

!

C(xdz ! zdx)

y la circulación !

C!rd!r

34