REPRESENTACION DE UNA FMM ROTANTE SINUSOIDAL POR …

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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Conversión y Transporte de Energía Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. REPRESENTACION DE UNA FMM ROTANTE SINUSOIDAL POR UNA DISTRIBUCION ROTANTE SINUSOIDAL DE CORRIENTE. Hoja Nº I-92 Definiciones: α→ ángulo mecánico; a la periferia de la maquina corresponde el ángulo 2π pnúmero de pares de polo ω→ Velocidad angular de las corrientes que forman un sistema trifásico. (ω= frecuencia angular). De esta manera, la fundamental rotante de la FMM resultante se representa por: ( ) ( t p t ) FMM FMM R R ω α α = . cos . , Si nos imaginamos esta FMM rotante originada por una distribución uniforme de una corriente ficticia , entonces la FMM deberá obtenerse por integración de esta distribución de corriente supuesta a lo largo de α. i * Para la suma de las FMM’es entrelazadas con un camino de integración que recorre el diámetro eléctrico, se debe escribir: ( ) ( ) α α α α π α d t t p R i FMM . , . , * = Para la distribución de corriente se obtiene así: i * ( ) ( ) t p sen p t FMM i R ω α α = . . . 2 , * Prueba: Sustituyendo se encuentra: ( ) ( ) α ω α α α π α d t p sen p t p R R FMM FMM = . . . 2 , = ( ) ) cos( . . cos 2 / t p FMM t p R p R FMM ω α ω α α π α = + Una FMM rotante sinusoidal puede ser representada por lo tanto como originada por una distribución rotante sinusoidal de corriente. Esta distribución de corriente tiene respecto a la FMM un desfasaje constante en un ángulo eléctrico de . 2 π

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REPRESENTACION DE UNA FMM ROTANTE SINUSOIDAL POR UNA DISTRIBUCION ROTANTE SINUSOIDAL DE CORRIENTE.

Hoja Nº I-92

Definiciones:

α→ ángulo mecánico; a la periferia de la maquina corresponde el ángulo 2π p→ número de pares de polo ω→ Velocidad angular de las corrientes que forman un sistema trifásico. (ω= frecuencia angular). De esta manera, la fundamental rotante de la FMM resultante se representa por:

( ) ( tpt )FMMFMM RR ωαα −= .cos.,

Si nos imaginamos esta FMM rotante originada por una distribución uniforme de una corriente ficticia , entonces la FMM deberá obtenerse por integración de esta

distribución de corriente supuesta a lo largo de α. i *

Para la suma de las FMM’es entrelazadas con un camino de integración que recorre el diámetro eléctrico, se debe escribir:

( ) ( ) αααα

παdtt

p

R iFMM .,., *∫ −

=

Para la distribución de corriente se obtiene así: i *

( ) ( )tpsenpt FMMi R ωαα −−= ...2

,*

Prueba: Sustituyendo se encuentra:

( ) ( ) αωααα

παdtpsenpt

p

RR FMMFMM −−= ∫ −...

2,

= ( ) )cos(..cos2 /

tpFMMtp RpRFMM ωαωα α

πα−=−+

Una FMM rotante sinusoidal puede ser representada por lo tanto como originada por una distribución rotante sinusoidal de corriente. Esta distribución de corriente tiene respecto a la

FMM un desfasaje constante en un ángulo eléctrico de .2

π

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REPRESENTACION DE UNA FMM ROTANTE SINUSOIDAL POR UNA DISTRIBUCION ROTANTE SINUSOIDAL DE CORRIENTE.

Hoja Nº I-93

El ejemplo muestra la fundamental de la FMM y la correspondiente distribución sinusoidal de corriente para una máquina con 3 pares de polos en el instante de t=0. Los tres arrollados de fase de una máquina trifásica, alimentados por un sistema simétrico, proporcionan una FMM resultante. Esta se puede descomponer en FMM’es rotantes sinusoidales individuales. A cada FMM rotante (fundamental y armónicas) se le puede hacer corresponder una distribución sinusoidal de corriente. La suma de todas las distribuciones sinusoidales de corriente equivale por lo tanto a la suma de todas las FMM’es de las ranuras. Con ello, tanto las corrientes como las FMM’es originadas por estas en los tres arrollados de fase, pueden sustituirse por otras magnitudes que ahora corresponden a toda la máquina y no únicamente a los arrollados de fase individualmente.

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Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. REPRESENTACION DE UNA FMM ROTANTE SINUSOIDAL POR UNA DISTRIBUCION ROTANTE SINUSOIDAL DE CORRIENTE.

Hoja Nº I-94

Una FMM rotante sinusoidal de numero de pares de polos P1 y velocidad angular ω1/p1 puede ser representada por :

( ) ( )ttR pFMMFMM R ωαα11

.cos., −=

A ella se le puede hacer corresponder la distribución sinusoidal de corriente:

( )tsent pFMMpiR

ωαα 11..

1),(* .

21

−= −

La expresión de un campo de inducción rotante sinusoidal, de un numero de pares de polos arbitrario p2 y velocidad angular ω2/p2 es : ( ) ( )δαα ω +−= tt pBBR

22max cos.,

2pδ es el ángulo mecánico, que para el instante t=0 existe entre la posición de la amplitud y el

lugar 0=α . Por la interacción de la inducción y la distribución sinusoidal de corriente se origina el par:

( ) ( ) αααπ

dttldt Bi R .,.),(.2

2

0

*∫=Τ d→ diámetro

Sustituyendo las ecuaciones anteriores se obtiene:

( ) ( ) ( ) αδαα ωωπ

dttsenldt ppBFMMp R ..cos.......41

22

2

011max1

+−−−=Τ ∫

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Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. ORIGINACION DEL PAR ENTRE INDUCCIONES ROTANTES SINUSOIDALES Y DISTRIBUCIONES ROTANTES SINUSOIDALES DE CORRIENTE.

Hoja Nº I-95

mediante una transformación trigonométrica, el integrando cambia a:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]δδα ωωαωω −−−+++−+−= − tsentsenegrando pppp .21.21int 2112121

La integral definida del primer término desaparece. Con ello:

( ) ( ) ( ){ } αδαπ

ωω dtsenldt ppBFMMp R ∫ −−−−−−Τ2

02121max1

........81

Aquí hay que distinguir los siguientes casos: a) , pp 21

≠ ωω 21/ arbitrario : el par vale cero

b) pp 21

= , ωω 21 ≠

( )tΤ

: El integral sobre α proporciona un valor, pero el valor medio

aritmético de vale cero. c) , pp 21

= ωω 21= : el par es constante en el tiempo.

Para c) se obtiene:

δπ senBFMMpld R ......

4 max1=Τ

============================================ Una inducción rotante sinusoidal en interacción con una distribución sinusoidal de corriente proporcionan un par solo si y solo si los números de pares de polos son idénticos Si los pares de polos son iguales, el valor medio aritmético es sin embargo nulo si las velocidades angulares no son iguales. Únicamente si tanto los números de pares de polos como las velocidades angulares son iguales, se obtiene un par constante en el tiempo y con ello un par útil; siempre y cuando el desfasaje entre la inducción y la FMM no sea igual a 0 ó π.

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Sección de Maquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. OBTENCION DEL PAR A PARTIR DE LAS FMM’ES ROTANTES SINUSOIDALES DEL ESTATOR Y ROTOR.

Hoja Nº I-96

Si una FMM rotante sinusoidal del estator y una FMM rotante del rotor tienen igual número de pares de polos e iguales velocidades angulares, entonces juntas proporcionan una FMM rotante resultante del mismo número de pares de polos e igual velocidad angular. Sea: FMM del estator ( )tpFMMFMM R

R ωα −=111 .cos.

FMM del rotor ( )ξωα +−= tpFMMFMM R

R

122 .cos.

Así se obtiene para la FMM rotante resultante:

( ) ( )tpFMMFMMFMMFMM RR

RR ωαξ −+=+12121 .cos.cos.

( )tsensen pFMM R ωαξ −−

12 ...

Con el diagrama correspondiente de los vectores se obtiene: (se opera con ángulos eléctricos).

[ ]δωαξ +−++=+ tpFMMFMMFMMFMMFMMFMM RRRRRR

1212

22

121 cos.cos2

Aquí es:

ξ

ξδcos..2

.

212

221

2

RRRR

R

FMMFMMFMMFMMsenFMMsen

++=

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OBTENCION DEL PAR A TRAVES DE LAS FMM’ES ROTANTES SINUSOIDALES DEL ESTATOR Y ROTOR

Hoja Nº I-97

Bajo la condición de que el hierro no esté saturado, se puede despreciar la caída de tensión magnética en él. Entonces la expresión resultante de aplicar la Ley de Ampére al camino de integración señalado se simplifica a:

( ) ( ) ( )tBtt FMMFMM RR ,.1..2,,0

021 αααµδ=+

La inducción en el entrehierro originada por la FMM resultante es por tanto:

( ) ( )FMMFMM RRtB 2!0

2,

0

+=δµ

α

La amplitud vale:

ξδµ

cos.22 21

22

21

0

0max FMMFMMFMMFMMB RRRR ++=

Por interacción de esta onda de inducción con la FMM del estator se origina según las Hojas II-22,23 el par constante:

ξπ

δµ

senld FMMFMMp RR ...2

....2 211

0

0

2=Τ

=============================================

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Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. OBTENCION DEL PAR A TRAVES DE LAS FMM’ES ROTANTES SINUSOIDALES DEL ESTATOR Y ROTOR. EJEMPLO.

Hoja Nº I-98

El gráfico vale para el ejemplo: p =1

FMMFMM RR 12 .2= πξ43

=

de aquí: 2πδ =

De la correspondencia ⊗i*

B Se concluye: Sobre el estator se ejerce un par en contra del sentido de rotación o sea, sobre el rotor un par en el sentido de rotación. (Motor).

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Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. TENSION INDUCIDA EN UNA FASE DEL ARROLLADO Hoja Nº I-99

Las magnitudes de un campo rotante (FMM, inducción, flujo) en general son una función del espacio y del tiempo y por tanto no representables por favores. Si se considera sin embargo la magnitud en referencia en un punto determinado de la máquina (α = const.) entonces únicamente será una función del tiempo (y con ello representable por favores). Esto es válido por ejemplo para el flujo entrelazado con un arrollado. Si se considera el eje de simetría (eje del arrollado de fase A-a) en el punto αu , entonces el flujo que atraviesa un paso polar es:

( ) )(.,2. 2

2

tdtBdlu

p

p

u

u

u

φφ αα

α

α

π

π

== ∫+

)(t

uφ es únicamente función del tiempo (puede ser representado por un favor)

La tensión inducida u por )(ui

)(tuφ es entonces:

111

)()()( pd

ures

ui

KKdt

td

dt

tdu NNu

φφ==−

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Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. ORIGINACION DEL PAR EN MAQUINAS DE CAMPO ROTANTE

Hoja Nº I-100

Aplicación de la expresión de la tensión inducida en la ecuación del par: (para el caso αu=0 ). La corriente del estator en la fase A-a sea:

tIiu ω11 cos..2=

( ) ( )tpt FMMFMM R ωαα111 .cos, −= 0=α µ

( ) ( )δαα ω +−= tptB B 1max .cos.,

La velocidad angular del campo es la misma para el estator y rotor; p1 = p2 = p subíndice 1 → estator. Entonces es:

( ) ( ) =−=−= δωωφµ tsen

Pdl

dt

dKu KNBNu T

uTi 1111

max11

..

= )cos(..2)2

cos..

11111max

iT tEtPdl

KNB ϕωδπωω −=

+−

con δπϕ +=2i ( ϕ i

es el ángulo de retraso de u con respecto a i)(ui u)

Además significan:

dlBKpNfdl

pE TTKNB ..44,4......1.

21

max11

1111max == ω

Nótese que la tensión inducida en cada arrollado de fase tiene una estructura idéntica a la de la tensión inducida obtenida para los arrollados de un transformador.

De la expresión anterior se obtiene también ω111

max ...2

KNBTdlpE

=

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ORIGINACION DEL PAR EN MAQUINAS DE CAMPO ROTANTE

Hoja Nº I-101

Por otra parte:

IKNFMM TR p 1111 ...3.22π

= , ϕδi

sen cos−=

Para el par se obtiene (como en la hoja II-22,23):

( )ϕω

δπiR IFMMB EpsenpldT cos.3.

2...

2.

11

1max −=+=

PR

PT .1ω

=

Si PR es la potencia absorbida, entonces T actúa sobre el rotor en sentido del campo rotante; si PR es potencia cedida, entonces T actúa sobre el rotor en contra del sentido del campo. Para alcanzar un par motor determinado, al estator debe suplirse una potencia determinada, independiente de la velocidad y con ello de la potencia cedida por la máquina. Al considerar el signo T y PR hay que tomar nota, que en el sistema de potencia absorbida (sistema pasivo) vale para la tensión terminal: um = - ui

Si es φi el ángulo entre i y um , entonces: : ( ) ϕϕϕ πmiii coscoscos =−=−

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Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. EL ROTOR DE LA MAQUINA DE CAMPO ROTANTE Hoja Nº I-102

Un par constante se obtiene, si el número de polos y la velocidad del campo rotante del rotor referida al estator, corresponden a los valores del estator. Si los valores del estator son p y ω =2π f1 1 , entonces la FMM del rotor será:

( )tpFMMFMM R ωα122 .cos −=

Si el rotor gira con el número de revoluciones n en sentido del campo rotante y si α* es el ángulo referido al rotor, entonces se obtiene para la FMM del rotor referida al rotor:

( )[ ]tnppFMMFMM R πωα 2.cos 1

*

22 −−=

con ntπα α 2*+=

y 2πnt = ángulo de rotación del rotor La frecuencia angular de la corriente del rotor debe tener por tanto el valor:

npπωω 212−=

y la velocidad

npp −=ϕππ

ωω22

12

Se introducen las siguientes definiciones:

πω

21

0

pn = : velocidad sincrónica, velocidad del campo estator.

ωω π

1

1

0

0 2 npnn

S n −=

−= : Deslizamiento

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EL ROTOR DE LA MAQUINA DE CAMPO ROTANTE Hoja Nº I-103

nsn

0)1( −= : velocidad del rotor

Para la frecuencia angular de la corriente del rotor se obtiene:

ωωωωω

π11

1

12

.2

snp

=

−= ó ff s

12.=

======= Esta condición debe cumplirse para obtener un par constante. Se originan las siguientes velocidades angulares:

Campo rotante del estator: nfpp 0

11 22

ππω ==

Rotor: nsn 02)1(2 ππ −=

Campo rotor respecto rotor: nsp 0

2 2. πω =

Campo rotor respecto estator: np 01 2πω =

Si f2 se fija desde fuera, entonces solo es posible una velocidad: Máquina Sincrónica. Si f2 toma siempre un valor tal que la condición f2 = s. f 1 se cumple para cualquier velocidad, entonces se obtiene siempre un par constante en el tiempo : Máquina Asincrónica. Así son posibles los siguientes estados de operación: s>1 → n<o : el rotor gira en contra del sentido del campo (freno). s=1 → n=0 : Máquina parada s=0 → n= n0 : Velocidad sincrónica s<0 → n>n0 : f 2 es negativo. Una frecuencia negativa significa una inversión de las fases. (A rotación inversa de la FMM rotante corresponde una secuencia inversa de las fases). La máquina opera como generador.

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Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. DIAGRAMA FASORIAL DE LA MAQUINA

ASINCRONICA Hoja Nº I-104

Suposiciones previas: El rotor contiene un arrollado trifásico, cortocircuitado a través e anillos (puede ser intercalando resistencias). Las FMM’es rotantes del estator y rotor giran con la misma velocidad. Siendo los arrollados de fase en el estator y rotor simétricos, basta considerar una fase. La FMM, referida a un eje de arrollado, puede ser considerada como un fasor en forma análoga a como se considera el flujo. La FMM está en fase con la corriente que la origina. X1 está determinado por los flujos que no ayudan a la formación del campo rotante.

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Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. DIAGRAMA FASORIAL DE LA MAQUINA

ASINCRONICA Hoja Nº I-105

ROTOR: X2 está determinado por los flujos que no ayudan a la formación del campo rotante, referidos a la frecuencia del estator.

kNmIFMM Tp 111

11 .22π

=

kNmIFMM Tp 222

21 .22π

=

kNmIFMMFMM Tres p 111

0.22

0 π==

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Sección de Máquinas Eléctricas Prof. E. Daron B. DIAGRAMA FASORIAL DE LA MAQUINA

ASINCRONICA Hoja Nº I-106

Las FMM’es se pueden reemplazar por las corrientes que las originan.

Con la definición mXE

I 10

= resultan las expresiones:

Estator: Rotor: 0.2 =V

XIIXIRIV mjj 1

1

2111111).( +++= ( ) sjsj XIIXIRI m1

1

21

12

1

2

12

1

2

1

2...0 +++==V

Los factores de reducción para las magnitudes del secundario :

Tensiones: kNkNaT

Tu

22

11=

Corrientes: mmaa ui

2

1=

Resistencias mmaa uR

2

12=

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CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MAQUINA ASINCRONICA

Hoja Nº I-107

A las expresiones para las tensiones del Estator y Rotor corresponden el siguiente circuito equivalente:

Potencias y par: Potencia del campo rotante : ϕ mR IEmP cos.. 1=

Par: nPR

02π=T

Potencia Mecánica: : ( ) PP Rmec ssn )1(12 0 −=Τ−= π

Pérdidas en el rotor: : RImRImPPPP RmecRV s 12212

2222 .1....

2

===−= Potencia en el Secundario:

PPPIRmP RRRR sss

.)1(1..2

2

12

1+−===