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1 Análisis clásico de series temporales Profesor: Antonio Caparrós Ruiz

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Análisis clásico de series temporales

Profesor: Antonio Caparrós Ruiz

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Análisis clásico de series temporales

1. Introducción

Hasta ahora nos hemos ubicado en el campo de la Econometría causal, es decir, una

variable dependiente es explicada y predicha por su relación con k variables

explicativas:

Yt = β1 + β2*X2t + ...+ βk*Xkt + ut

Este tipo de análisis conlleva una serie de problemas:

1) La ausencia de una teoría que justifique las posibles variables explicativas que se

han de introducir en el modelo.

2) Las predicciones de la variable Y se basan en predicciones de las X’s.

Por estas razones surge el análisis clásico de series temporales que permite realizar

predicciones de la variable con la única información procedente del pasado de la

misma.

2. Componentes de una serie temporal

Una serie temporal puede descomponerse en las siguientes cuatro fluctuaciones:

a) Tendencia de larga duración o secular (Tt):

Recoge el movimiento de la variable a largo plazo, debido a cambios

demográficos, tecnológicos o institucionales.

Ejemplos de variables con tendencia

1) Gasto público en becas en España

050000

100000150000200000250000

300000350000400000450000500000

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

Niveles nouniversitariosNiveles universitarios

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3

2) Paro registrado en España

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

4500000

1996

M01

1996

M09

1997

M05

1998

M01

1998

M09

1999

M05

2000

M01

2000

M09

2001

M05

2002

M01

2002

M09

2003

M05

2004

M01

2004

M09

2005

M05

2006

M01

2006

M09

2007

M05

2008

M01

2008

M09

2009

M05

2010

M01

3) Número de matrimonios

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

b) Movimiento oscilatorio o cíclico

Recoge las fluctuaciones originadas por el ciclo económico, que pueden durar

entre 4 y 8 años.

Ejemplo

Componente cíclico de los ocupados en el sector turístico

-4

-2

0

2

4

6

99 00 01 02 03 04 05 06 07

España Andalucía

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c) Fluctuaciones estacionales (Et):

Son movimientos que se presentan con una periodicidad inferior al año, mes,

trimestre, cuatrimestre,...Y suelen ser repetitivas mostrando el efecto de la

climatología, la estructura productiva o festividades.

Ejemplo.

Serie de índice del comercio al por menor

020406080

100120140160180

1995

M01

1995

M11

1996

M09

1997

M07

1998

M05

1999

M03

2000

M01

2000

M11

2001

M09

2002

M07

2003

M05

2004

M03

2005

M01

2005

M11

2006

M09

2007

M07

2008

M05

d) Variaciones irregulares (It):

Muestra aquellos factores asociados al muy corto plazo y que quedan fuera del

control del analista. Dentro de este componente también denominado residual, se

encuentran aquellos factores inusuales, pero fácilmente reconocibles como una

catástrofe natural.

Ejemplo

Serie de licitaciones de los ayuntamientos de superficies industriales

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1990

M01

1991

M02

1992

M03

1993

M04

1994

M05

1995

M06

1996

M07

1997

M08

1998

M09

1999

M10

2000

M11

2001

M12

2003

M01

2004

M02

2005

M03

2006

M04

2007

M05

2008

M06

2009

M07

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Ejemplo de descomposición de una serie en componentes

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

4500000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

PARO

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

4500000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

TENDENCIA

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

IRREGULAR

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

ESTACIONALIDAD

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

CICLO

Dado que los componentes de una serie no se observan aisladamente, se necesita aplicar

hipótesis que representen el proceso generador de los datos:

1) Hipótesis aditiva: Yt = Tt + Ct + Et + It

1) Hipótesis multiplicativa: Yt = Tt * Ct * Et * It

2) Hipótesis mixta: Yt = Tt * Ct * Et + It

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A nivel práctico hay que elegir entre uno u otro esquema. Hay que considerar que en la

hipótesis aditiva los cuatro componentes son independientes, por ejemplo, la existencia

de tendencia no condiciona el efecto de la estacionalidad; mientras que en la hipótesis

multiplicativa, los elementos están interrelacionados entre sí. Así, la estacionalidad se

agrega como un porcentaje de la tendencia y no como una cantidad independiente.

Para concretar si la serie temporal sigue un esquema aditivo o uno multiplicativo, se

debe analizar la amplitud del ciclo anual (componentes de la serie estacional). Si éste

aumenta a medida que lo hace la tendencia (las ondas se agrandan), el modelo es

multiplicativo. Si permanece constante es aditivo.

Ejemplo

3. Componente estacional: Desestacionalización

a) Evolución a medio y largo plazo de la variable

Si el objetivo es conocer la evolución de la serie sin estacionalidad, es decir, su

evolución a medio y a largo plazo, es necesario obtener su tasa de variación

interanual. Así, dado Yt = Tt * Ct * Et * It, con datos trimestrales, se calcula la

siguiente tasa: T1

4 = [(Yt – Yt-4) / Yt-4] *100=[(( Tt * Ct * Et * It)- ( Tt-4 * Ct-4 * Et-4 * It-4))/ ( Tt-4 * Ct-4 * Et-4 * It-4))*100]

Si se supone estacionalidad estable Et = Et-4, entonces:

T1

4 = [(Yt – Yt-4) / Yt-4] *100=[(( Tt * Ct * It)- ( Tt-4 * Ct-4 * It-4))/ ( Tt-4 * Ct-4 * It-4))*100]

Con esta tasa el efecto estacional queda excluido

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b) Desestacionalización

b.1) Método de la razón a la media móvil

Con este método se obtienen unos coeficientes que sintetizan en un único valor la

estacionalidad para cada periodo temporal. Y a partir de ahí, poder obtener la serie

desestacionalizada, es decir, la serie sin el componente estacional.

El método supone que:

* La serie ha sido generada bajo una hipótesis multiplicativa:

Yt = Tt * Ct * Et * It

* La estacionalidad es estable, no varía para mismo periodos de diferentes años: Et=Et-4

o Et=Et-12.

3) La tendencia y el ciclo se obtienen de forma conjunta.

El objetivo del método es obtener una estimación de Et. Concretamente, el

procedimiento consta de las siguientes partes:

1) Estimación del componente tendencia-ciclo a través de la serie de medias móviles

centradas: MMct = Tt * Ct.

2) Primera estimación del componente estacional e irregular (Et*It). Para ello se divide

la serie original por MMct :

Et*It= Yt / MMct

A esta serie de valores se les denominan índices específicos o brutos de variación

estacional y constituyen una primera aproximación del componente estacional.

3) Primera estimación del componente estacional: E’j .

La diferencia entre los índices estacionales es debida a los factores irregulares. Estos se

eliminan tomando la media aritmética para cada una de las fracciones del año.

4) Normalización de los coeficientes: E’j.

La estacionalidad media en un esquema multiplicativo correponde a Et=1, para lograr

que los índices estacionales tengan como media 1 se normalizan, y se obtienen los

índices generales de variación estacional:

IGVEj = Ej/ ΣEj/m; j=1,...,m

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La serie desestacionalizada es Ydt,j= Yt,j / IGVEj.

5) Los IGVEj fluctúan por debajo y por encima de 1.

Ejemplo con la serie de paro registrado: periodo 1996:01-2011:01

Sample: 1996M01 2011M01 Included observations: 181 Ratio to Moving Average Original Series: PARO Adjusted Series: PAROSA

Scaling Factors:

1 1.040337 2 1.043614 3 1.033282 4 1.013096 5 0.986780 6 0.970998 7 0.958699 8 0.967058 9 0.975154 10 0.993592 11 1.011023 12 1.011117

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9

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

4500000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

PARO

1600000

2000000

2400000

2800000

3200000

3600000

4000000

4400000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

PAROSA

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

IGVE

* Interpretación de los IGVE: 1) (IGVEenero-1)*100 = (1.04-1)*100= 4%

La estacionalidad del mes de enero provoca que el paro registrado crezca un 4%

por encima de su valor medio anual.

2) (IGVEjulio-1)*100 = (0.95-1)*100= -5%

La estacionalidad del mes de julio provoca que el paro registrado caiga un 5%

por debajo de su valor medio anual.

b.2) Método de la diferencia a la media móvil

La hipótesis que subyacen tras este método son las siguientes:

1) La serie ha sido generada bajo una hipótesis aditiva:

Yt = Tt + Ct + Et + It

2) La estacionalidad es estable, no varía para mismo periodos de diferentes años: Et=Et-4

(t es un trimestre) o Et=Et-12 (t es un mes).

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3) La tendencia y el ciclo se obtienen de forma conjunta.

El procedimiento consta de las siguientes partes:

1) Estimación del componente tendencia-ciclo a través de la serie de medias móviles

centradas: MMct = Tt + Ct.

2) Primera estimación del componente estacional e irregular (Et+It). Para ello se resta la

serie original por MMct :

Et+It= Yt - MMct

A esta serie de valores se les denominan índices específicos o brutos de variación

estacional y constituyen una primera aproximación del componente estacional.

3) Primera estimación del componente estacional: E’j.

Bajo la hipótesis de estacionalidad estable, la diferencia entre los índices específicos o

brutos de variación estacional es debida a los factores irregulares. Estos se eliminan

tomando la media aritmética para cada una de las fracciones del año.

4) Posteriormente se normalizan los coeficientes E’j, para que la media de todos los

índices valga 0, obteniéndose los IGVEj. Por ejemplo, si los datos son trimestrales:

IGVE1= E’1 - ∑

=

4

1

' 4/j

jE ; IGVE2= E’2 - ∑

=

4

1

' 4/j

jE ; IGVE3= E’3 - ∑

=

4

1

' 4/j

jE ; IGVE4= E’4 - ∑

=

4

1

' 4/j

jE

La serie desestacionalizada es Ydt,j= Yt,j - IGVEj.

5) Los IGVEj con la hipótesis aditiva fluctúan por encima y por debajo de 0.

Ejemplo con la serie de paro registrado: periodo 1996:01-2011:01

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Sample: 1996M01 2011M01 Included observations: 181 Difference from Moving Average Original Series: PARO Adjusted Series: PAROSA

Scaling Factors:

1 90308.63 2 101056.4 3 80600.01 4 35253.60 5 -26940.19 6 -67270.17 7 -101920.2 8 -79824.11 9 -59737.38 10 -16859.27 11 22189.82 12 23142.91

-1000000

0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

PAROSA PARO IGVE

IGVEenero= 90308. En el mes de enero, la estacionalidad provoca un aumento del paro

registrado de 90308 individuos con respecto a su valor medio anual.

IGVEjulio= -101920, en el mes de julio la estacionalidad provoca una caída del paro

registrado de 101920 individuos.

b.3) Método X11

Este método, al contrario que los dos anteriores, supone que el componente estacional

varía de forma estocástica a lo largo del tiempo. De forma que arroja un índice

estacional para cada periodo, además, permite introducir el efecto de las festividades

sobre la variable. Se puede aplicar tanto con una hipótesis aditiva como multiplicativa.

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Ejemplo

94

96

98

100

102

104

106

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

INDICES

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

INDICES2

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c) Variables ficticias estacionales.

En este caso, las variables ficticias estacionales se incluyen en el modelo para recoger la

característica de la estacionalidad para ello se crean variables de la siguiente forma:

Dj,t⎩⎨⎧

contrariocasoentrimestreomesejemploporjperiodoelconecorrespondtsi

0),(1

Hay que recordar que para no incurrir en la trampa de las variables ficticias es necesario

crear una categoría de referencia. En definitiva, la formulación del modelo

econométrico sería la siguiente:

∑=

++=M

jttjjt uDY

2,1 ββ

Ejemplo Variable Ocupados : Indice de ocupación hotelera.

Dependent Variable: OCUPADOS Method: Least Squares Sample: 2002M01 2010M01 Included observations: 97

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 93.21111 0.908864 102.5578 0.0000 @SEAS(2) 1.201389 1.324886 0.906787 0.3671 @SEAS(3) 3.226389 1.324886 2.435220 0.0170 @SEAS(4) 6.163889 1.324886 4.652391 0.0000 @SEAS(5) 8.763889 1.324886 6.614824 0.0000 @SEAS(6) 10.18889 1.324886 7.690388 0.0000 @SEAS(7) 11.96389 1.324886 9.030126 0.0000 @SEAS(8) 11.58889 1.324886 8.747083 0.0000 @SEAS(9) 10.33889 1.324886 7.803606 0.0000 @SEAS(10) 7.338889 1.324886 5.539260 0.0000 @SEAS(11) 2.188889 1.324886 1.652134 0.1022 @SEAS(12) 1.513889 1.324886 1.142656 0.2564

Interpretación:

Por ejemplo, en el mes de agosto la estacionalidad provoca un incremento por término

medio del índice de ocupación de la hostelería de 11,58 unidades con respecto a enero.

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Las variables ficticias correspondientes a los meses de febrero, noviembre y diciembre

no son significativas, lo que significa que no presentan un comportamiento estacional

diferente a la categoría de referencia que es enero.

4. Componente de tendencia-ciclo

4.1 Componente tendencia

* Análisis de regresión

A partir del análisis de regresión se pretende captar la tendencia de la variable. Consiste

en considerar una función matemática que relacione a la variable Ydt con el tiempo (si

los datos tienen una periodicidad inferior al año, la variable ha de estar

desestacionalizada):

Ydt = f(t) + ut

Este método supone que los parámetros que definen la tendencia no cambian en el

tiempo.

A continuación se presentan diversos modelos de tendencia:

a.1) Función lineal: Ydt = β1 + β2 t + ut, la variable t se puede construir dándole 1 al

primer periodo y así sucesivamente.

β2: Mide la variación absoluta que por término medio experimenta la variable Ydt al

transcurrir un periodo, ya que:

E(Yt-1) = β1 + β2 (t-1)

E(Yt) = β1 + β2 t

E(Yt) - E(Yt-1) = β2

* Predicción

t t’ Ydt IGVEj

.

2011.01

2011.02

2011.03

.

15

16

17

.

Yd2011.01

Yd2011.02

Yd2011.03

.

IGVE1

IGVE2

IGVE3

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Predicción para 2011:04 de Yt:

- Hipótesis multiplicativa:

404.2011^

04.2011^

* IGVEYYd

=

donde: 182^

1

^04:2011

^ββ +=

d

Y

- Hipótesis aditiva:

404.2011^

04.2011^

IGVEYYd

+=

Ejemplo:

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1) Primero se predice el componente de tendencia:

70.7974*826893.051003.18Pr 02:2011^

=+=eciosa

2) Posteriormente se le incorpora la estacionalidad, multiplicando o sumando

dependiendo de cómo sea la hipótesis planteada. En este caso, la hipótesis es

multiplicativa.

62.79*)74*826893.051003.18(Pr 202:2011^

=+= IGVEecio dolares

a.2) Función polinómica:

La expresión general es:

Ydt = β1 + β2 t + β3 t2+ ...+ βp+1 tp + ut

En la práctica uno de los valores para p más usuales es p=2, con lo que la expresión

resultante es:

Ydt = β1 + β2 t + β3 t2+ ut

Este tipo de función es apropiada para la representación gráfica de una serie que

presenta una tendencia curva, con una variación (crecimiento o decrecimiento), que

no es constante si no que es función del periodo considerado. Así, si se supone que

el modelo ya está estimado:

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17

23

^

2

^

1

^^ttY t

d

βββ ++=

ttYt

3

^

2

^^

ββ +=∂∂

* Predicción:

Haciendo uso del ejemplo anterior:

- Hipótesis multiplicativa:

404:2011^

04:2011^

* IGVEYYd

=

donde 23

^2

^

1

^04.2011

^1818 βββ ++=

d

Y

- Hipótesis aditiva:

404.2011^

04.2011^

IGVEYYd

+=

Ejemplo

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Predicción:

1) Primero se predice el componente de tendencia:

23.8174*001586.074*712716.089918.19Pr 202:2011

^=++=eciosa

2) Posteriormente se le incorpora la estacionalidad, multiplicando o sumando

dependiendo de cómo sea la hipótesis planteada, en este caso, hipótesis

multiplicativa.

23.81*)74*001586.074*712716.089918.9(1Pr 22

02:2011^

=++= IGVEeciosa dolares

a.3) Función exponencial

En ocasiones, el crecimiento de la variable no es moderado si no que parece seguir una

ley exponencial, con un ritmo de variación de fuerte crecimiento o caída. En este caso la

función de se adjunta es:

Ydt = e(β1 + β2t +ut)

Representación gráfica

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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19

Para estimar la ecuación es necesario linealizarla:

ln Ydt = β1 + β2 t + ut

Interpretación de ^

2β :

100*100*^

2^

^

β=∂

d

dt

tY

Y

^

2β * 100 es la variación en términos porcentuales que se produce en la variable

dependiente cuando transcurre un periodo temporal. Para recuperar los valores ajustados

de la variable original:

)

2(^

2

2

^

1

^

Te

tdt

t

eY∑

++=

ββ

Ejemplo: Precio del barril Brendt (2002.01-2007.11).

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

2002 2003 2004 2005 2006 2007

BARRIL

0 0,2 0,4 0,6 0,8

1 1,2 1,4 1,6 1,8

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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20

Dependent Variable: LNBARRISA Method: Least Squares Sample: 2002M01 2007M11 Included observations: 71

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 3.149329 0.028046 112.2913 0.0000 T 0.018201 0.000677 26.88314 0.0000

R-squared 0.912846 Mean dependent var 3.804561 Adjusted R-squared 0.911583 S.D. dependent var 0.393187 S.E. of regression 0.116914 Akaike info criterion -1.426989 Sum squared resid 0.943155 Schwarz criterion -1.363252 Log likelihood 52.65812 F-statistic 722.7032

* Realizar una predicción para diciembre del 2007, sabiendo que t es igual a 1 en

2002.1.

=++== 957.0*)142/943155.072*018201.0149.3(12*12.2007

^12.2007

^eIGVEdYY

= 83.27

* Interpretación de ^

2β * 100:

Al transcurrir un periodo la variable “Precio del barril de petróleo desestacionalizada”

aumenta por término medio en un 1,82%.

a.4) Modelo logístico Se utiliza para describir la evolución temporal de algunos fenómenos que presentan

tendencias de crecimiento acotadas a largo plazo, con un punto de inflexión intermedio.

Suelen ser útiles para representar funciones de consumo de bienes duraderos que se

caracterizan por un fuerte crecimiento al principio, tras el cual se produce un cambio en

el ritmo de crecimiento. Concretamente, se produce una desaceleración hasta

aproximarse sucesivamente al nivel de saturación del mercado. El modelo de regresión

que se ajusta es:

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21

tuttd

eeKY

211 ββ −+

=

donde k, β1 y β2 son constantes positivas. Esta función tiene dos asíntotas, cuanto t→∞ ,

Yt tiende a K, y cuando t→-∞ , Yt tiende a 0, constituyendo este valor su asíntota

inferior.

Para la estimación directa de este modelo se utilizan métodos no lineales. 4) Función Gomperzt Se utiliza para describir fenómenos similares a la logística y su expresión es:

Ydt = k

te 2

1

β

β−

ut

4.2 Componente cíclico: Filtro de Holdrick-Prescott

A partir de este procedimiento se desea obtener el componente cíclico de la

variable. Para aplicar este filtro la variable ha de estar desestacionalizada. Se supone

una hipótesis aditiva: Ydt = Tt + Ct+ It, t= 1,...,T. A partir de estas consideraciones, se

desea obtener la serie suavizada, que en este caso, sería la tendencia Tt. Para ello habría

que minimizar la siguiente función:

{ }]))()(([)([ 2

1 211

2∑ ∑= =

−+ −−−+−t

T

tttttt

dTt

TTtTTTYMin λ

tras minimizar la función se obtiene un vector de dimensión 1xT que recoge el

componente tendencia: {T1, T2,..., TT}. λ es un parámetro que penaliza la variabilidad

del componente tendencia, los autores del método proponen los siguientes valores:

λ= 100 con datos anuales

λ= 1600 con datos trimestrales

λ= 14400 con datos mensuales.

Una primera aproximación al componente cíclico sería: C’t = Yd

t - Tt; no obstante, en

C’t está incluido el componente irregular, así pues, para conseguir la verdadera

estimación de Ct hay que volver a aplicar el filtro de Holdrick-Prescott a C’t para

obtener, nuevamente, una serie suavizada que sería Ct:

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{ }]))()(([)([ 2

1 211

2'∑ ∑= =

−+ −−−+−t

T

ttttttt

TtCCCCCCMin λ

donde Ct es el componente cíclico.

Ejemplo Proc/Holdrick-Prescott filter: Serie “Paro registrado” (1996M1-2011M01)

-400000

-200000

0

200000

400000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

4500000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

PAROSA Trend Cycle

Hodrick-Prescott Filter (lambda=14400)

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

CICLO

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5. Predicción Antes de analizar la predicción es necesario señalar que se hagan explícitos los

siguientes supuestos:

a) Se considera que existe una cierta estabilidad en el fenómeno.

Ej. Serie no estable: Nº de terremotos en España en el mes de marzo

Número de terremotos

0

100

200

300

400

500

600

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

Marzo

b) Los datos han de ser homogéneos en el tiempo, es decir, se ha de mantener la

definición y los procedimientos de medición de la magnitud objeto de estudio.

Ej. La Encuesta de Ocupación Hotelera sustituyó desde enero del 1999 a la Encuesta

de Movimiento de Viajeros en Establecimientos Hoteleros, ampliando la

investigación a la categoría de una estrella y similares, puesto que además de

suponer más del 50% del total de establecimientos, representan más del 5% de

entrada de viajeros.

Si la variable que se investiga es Yt, el conjunto de información disponible es:

Y1, Y2, ..., YT

La predicción puede ser de tres tipos:

a) Interim: ^

1 ,Y ...,,^

2Y^

.TY

b) Ex-post: ...1^

+TY

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c) Ex-ante: 0^Y , 1

^−Y , 2

^−Y ,...

Al error de predicción se le denomina:

et = tY^

- Yt.

Y el porcentaje del error de predicción se define como:

% Error de predicción= ( tY^

- Yt/ Yt) *100

* Medidas para valorar la capacidad predictiva de los modelos

1) Error absoluto medio: EAM

EAM = T

YYT

ttt∑

=

−1

^

, en el interior de la muestra.

EAM = M

YYM

mmm∑

=

−1

^

, hacia el futuro.

2) Porcentaje de error absoluto medio: PEAM

PEAM = T

YYYT

tttt∑

=

−1

^/)(

, en el interior de la muestra.

PEAM = M

YYYM

mmmm∑

=

−1

^/)(

, hacia el futuro.

3) Error cuadrático medio: ECM

ECM = T

YYt tt∑ − 2

^)(

, en el interior de la muestra.

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25

ECM = M

YYm mm∑ − 2

^)(

, hacia el futuro.

4) Raíz del error cuadrático medio

RECM= ECM

Cuanto más cercanas estén a cero todas las medidas anteriores mejor será la

capacidad predictiva del modelo.

Las limitaciones de las medidas anteriores son que carecen de cota superior.

Además los valores que alcancen el EAM, el ECM y la RECM dependen de la

unidad de medida de la variable y, por consiguiente, no son adecuados para realizar

comparaciones al menos que vengan referidas las predicciones a la misma variable.

5) Coeficiente de desigualdad de Theil

T

Y

T

Y

TYY

UT

tt

T

tt

T

t

tt

∑∑

==

=

+

=

1

2

1

2^

1

2^

)(

;

éste índice está acotado entre 0 y 1. Además es una medida adimensional. Otra

forma de expresar el coeficiente de desigualdad de Theil es exprensándolo al

cuadrado: U2.

• Descomposición de U2 = 2

1

2

1

2^

1

2^

)(

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+

∑∑

==

=

T

Y

T

Y

TYY

T

tt

T

tt

T

t

tt

=

De esta forma:

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U2 = 2

1

2

1

2^

,2

1

2

1

2^

2

2

1

2

1

2^

2^ )1(2)()(

^^^

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+

+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+

+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+

∑∑∑∑∑∑======

−−

T

Y

T

Y

rSS

T

Y

T

Y

SS

T

Y

T

Y

YY

T

tt

T

tt

yyyy

T

tt

T

tt

yy

T

tt

T

tt

=[ componente de sesgo +componente de varianza+ componente de covarianza].

Los dos primeros componentes forman la parte sistemática; mientras que el otro, la

parte no sistemática, lo ideal es que el componente de varianza y sesgo sean lo más

pequeños posibles.

Ejemplo

* Se ha estimado una modelo exponencial para la variable desestacionalizada del

paro:

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

2006 2007 2008 2009 2010

Residual Actual Fitted

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14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

2006 2007 2008 2009 2010

LNPAROSAF

Forecast: LNPAROSAFActual: LNPAROSAForecast sample: 2006M01 2011M01Adjusted sample: 2006M02 2011M01Included observations: 60

Root Mean Squared Error 0.021555Mean Absolute Error 0.017285Mean Abs. Percent Error 0.116371Theil Inequality Coefficient 0.000726 Bias Proportion 0.000000 Variance Proportion 0.001315 Covariance Proportion 0.998685

Interpretación de la información:

*Root mean squared error: RECM.

* Mean Absolute Error: EAM.

* Porcentaje del error absoluto medio: PEAM.

*Theil Inequality Coefficient: U.

* Bias Proportion + Variance Proportion + Covariance proportion: 1.