Capitulo 3. Distribucion de Esfuerzos en Una Masa de Suelos (2)

Mecánica de Suelos II Profesor Oscar Echeverri Ramírez

1

Capítulo 3. Distribución de esfuerzos (verticales) al interior del suelo

321 zzz σσσ >>

21111 xzxzz σσσ >> A mayor profundidad, menor esfuerzo inducido ( )zσ . A mayor distancia horizontal del punto de aplicación de la carga, menor esfuerzo inducido ( )zσ . Utilidad práctica: a. Para conocer si la presión transmitida por la sobrecarga

(estructura) es mayor o menor que la capacidad admisible del suelo ( )admσ .

Si: admzadmz o σσσσ ≥≤

b. Estimativo de asentamientos

Q

2z

3z

1zσ

2zσ1z

3zσ

11xzσ

2x1x

21xzσQ

2z

3z

1zσ

2zσ1z

3zσ

11xzσ

2x1x

21xzσ

Q

H2H

zσ0P

Q

H2H

zσ0P


2

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+×

+×=

0

0

0

log1 P

PPe

CHS C

H: espesor del manto compresible

CC : Índice de compresión

0P : Presión sobre el manto compresible (peso propio del suelo, desde la superficie hasta el punto medio del manto)

P∆ : Incremento de la presión debida a la sobrecarga Q, ZP σ≡∆ . oe :relación de vacíos para 0PP = Determinación de la magnitud de los esfuerzos verticales Se supone que la masa del suelo es: • Homogénea: las mismas propiedades en todos los puntos de la

masa. • Isotrópica: para un punto dado de la masa, las mismas

propiedades en todas las direcciones. • Linealmente elástica: proporcionalidad entre el esfuerzo y la

deformación y recuperación total de la forma y las dimensiones después de cesar la carga.

• Semi-infinita: limitada por una superficie horizontal y se extiende indefinidamente hacia abajo y horizontalmente en todas las direcciones.

Métodos de evaluación: a. Fórmulas matemáticas: ecuación de Boussinesq y ecuación de

Westergaard. b. Ábaco de Newmark. c. Ábaco de Steinbrenner. d. Isóbaras.


3

a. Fórmulas matemáticas (Mecánica de suelos, E. Juárez B. & A.

Rico R., tomo II) a.1. Ecuación de Boussinesq

( )2

5

221

12

3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

zrz

Qz π

σ

Q = carga concentrada

Carga uniformemente distribuida (q) sobre área circular

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

23

21

11z

Rqzσ

r

z

Q

zσ

r

z

Q

zσ

q

R

zσ

z

q

R

zσ

z


4

Permite calcular esfuerzos verticales zσ a lo largo de una normal al área trazada por su centro. La solución de Boussinesq es aplicable para la determinación de zσ a profundidades no muy grandes (vías). No aplicable para z = 0. a.2. Ecuación de Westergaard (Introducción a la mecánica de suelos y cimentaciones, G.B. Sowers & G.F. Sowers).

Depósito estratificado finamente. Los estratos de arena o limo actúan como refuerzos que restringen la deformación horizontal de la arcilla ⇒ Sólo deformación vertical.

23

2

2 21−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

zr

zQ

z πσ

No aplicable a z = 0. b. Ábaco de Newmark.

Método gráfico para obtener zσ debido a la acción de una carga distribuida uniformemente que actúa sobre una superficie de cualquier forma geométrica (circular, rectangular, cuadrada, etc.).

Arena o limo

ArcillaArena o limo

Q

Arena o limo

ArcillaArena o limo

Q


5

• se basa en la ecuación:

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

23

21

11z

Rqzσ

(Carga uniformemente distribuida sobre superficie circular).

Carta de Newmark.

Ref. Principios de ingeniería de cimentaciones, Braja.M Das.


6

• obtención del ábaco

113

2

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−

qzR zσ

Círculo qZσ z

R R 0 0 0 RO=0,00 z 1 0,1 0,27 R1=0,27 z 2 0,2 0,4 R2=0,40 z 3 0,3 0,518 R3 4 0,4 0,637 R4 5 0,5 0,766 R5 6 0,5 0,918 R6 7 0,6 1,11 R7 8 0,8 1,387 R8 9 0,9 1,908 R9 1 INFINITO

Si 1,0=q

zσ círculo cargado de radio zR 27,01 =

z: profundidad de un punto A bajo el centro del círculo (a escala). El esfuerzo será qz 1,0=σ

1R1R


7

Si el círculo de zR 27,01 = , lo divido en n áreas iguales, cada una contribuirá al esfuerzo zσ en la proporción:

iINFLUENCIALADEVALORn

q==

1,0

zR 27,01 =

n = 20 ⇒ VALOR DE INFLUENCIA i = 0,005 q

Si concéntrico se dibuja el círculo de radio zR 40,02 = , la nueva corona circular agregada produce otro qz 1,0=σ y en total se obtiene qz 2,0=σ . Prolongando los radios que dividen el primer círculo se obtiene el mismo valor de influencia 0,005 q. Para cualquier número de divisiones y círculos el valor de influencia i, se puede calcular así:

nc

etcq

acladefraccióni

z

×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

=2,01,0arg σ

c: numero de círculos. n: número de áreas.


8

Utilización del ábaco 1. Hacer el dibujo del área cargada uniformemente (q) a la escala

del ábaco (AB = z).Hacer coincidir el punto bajo el cual se desea conocer zσ con el centro del ábaco.

2. Contar el número de áreas de influencia (n) cubiertas por el área

cargada. 3. Calcular qniz **=σ c. Ábaco de Steinbrenner Permite calcular zσ debajo de la esquina A de un área rectangular cargada uniformemente con intensidad p.

Para a>b

zσa

b

p

A

zσa

b

p

A

ab

p

A


9

Cálculo de los esfuerzos verticales en el suelo debidos a una carga rectangular uniformemente distribuida (Según STEINBRENNER)

a

b

AZZ A

σσ =

ZZCσσ 2=

ZZBσσ 2=

ab

B

a

b C

ZZDσσ 4=

a

bD

a

b

a

b

AZZ A

σσ =

ZZCσσ 2=

ZZBσσ 2=

ab

B

ZZBσσ 2=

ab

B

ab

B

a

b C

ZZDσσ 4=

a

bD

ZZDσσ 4=

a

bD

0 0,150,10,05p

i Zσ=

0,20 0,25

2

10

8

6

16

12

18

14

4

20

bz

0,5

2,0

1,5

1,0

bz

0 0,150,10,05p

i Zσ=

0,20 0,25

2

10

8

6

16

12

18

14

4

20

bz

0,5

2,0

1,5

1,0

bz


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d. Isóbaras (Introducción a la mecánica de suelos y cimentaciones, G.B. Sowers & G.F. Sowers)

a. cimentación cuadrada b. cimentación infinitamente larga Líneas isobáricas de esfuerzo vertical debajo de una cimentación en sólido

semi-infinito y elástico; análisis de Westergaard.

A

3

4,5

A

1,5

1,54,5 + 1

6 A 6 A1,5 - 1

+4,5

A1,5

+ +

1,5

1,5 + 1

- 1

A

3

4,5

A

1,5

1,54,5 + 1

6 A 6 A1,5 - 1

+4,5

A1,5

+ +

1,5

1,5 + 1

- 13

4,5

A

1,5

1,54,5 + 1

6 A 6 A1,5 - 1

+4,5

A1,5

+ +

1,5

1,5 + 1

- 1

4,5

A

1,5

1,54,54,5 + 1

6 A6 A 6 A1,51,5 - 1

+4,5

A1,5

A1,5

+ +

1,5

1,5 + 1

- 1


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Ref. Fundamentals of Geotechical analysis, Dunn, Anderson and Kiefer.

a. cimentación cuadrada b. cimentación infinitamente larga

Líneas isobáricas de esfuerzo vertical debajo de una cimentación en sólido semi-infinito y elástico; análisis de Boussinesq.

Ref. Fundamentals of Geotechical analysis, Dunn, Anderson and Kiefer.


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En la práctica:

Terzaghi propone considerar zona afectada por las cargas

hasta 2,0=q

Zσ. Teniendo en cuenta que:

Los esfuerzos inducidos son de magnitud despreciable cuando son menores que el 20 % de la carga aplicada y que la mayor parte de los asentamientos (80%) ocurren a profundidades menores que D. Zona comprendida por isóbara qZ 2,0=σ ⇒ zona activa. Para qZ 2,0=σ , corresponde una profundidad D ≈ 1,5 B. B: menor dimensión del área cargada.

ZONA ACTIVAD

B

2,0=q

Zσ

q

ZONA ACTIVAD

B

2,0=q

Zσ

q

b bbB

1,5b

1,5B Interferencia

b bbB

1,5b

1,5B Interferencia


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Presiones de contacto Para calcular los esfuerzos verticales se supone que la cimentación es flexible. En la práctica ninguna cimentación es perfectamente flexible ni completamente rígida. La distribución de las presiones de contacto depende de los siguientes factores: • Propiedades elásticas de la cimentación. • Propiedades elásticas del suelo. • Rugosidad de la cimentación. • Magnitud de la carga aplicada. • Forma y dimensiones del área cargada. • Tiempo de aplicación de la carga.

P P

Perfiles de asentamientos

Presion de contacto

P P


Presion de contacto

Flexibles y lisas Rígidas y lisas

Arenas

Arcilla saturada00 =≠ φyc

00 ≠= φyc

Tipo de suelo Tipo de cimentación

PP PP


Presion de contacto

PP PP


Presion de contacto

Flexibles y lisas Rígidas y lisas

Arenas

Arcilla saturada00 =≠ φyc

00 ≠= φyc

Tipo de suelo Tipo de cimentación


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Problema a analizar: ¿Cómo reacciona el suelo (subrasante) ante las cargas? Teoría de reacción de la subrasante La deformación de un elemento es independiente de las cargas que actúan en los elementos vecinos.

ctePKS ==δ

SK : Coeficiente de reacción de la subrasante P: Presión (reacción de la subrasante) δ : Deformación producida por P.

SK ⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

33 ,,Prmkg

cmg

volumenFuerza

longuitudesión

SK : Puede obtenerse con ensayos de carga directa (placa).

Teoría de reacción de la subrasante aplicada a cimentaciones rígidas. Consideraciones: 1. La deformación de la cimentación es lineal ⇒ reacción de la

subrasante (presión de contacto), tiene distribución lineal. 2. Σ Carga externa = Σ Reacción subrasante. 3. ΣMomentos carga externa = Σ Momentos reacción subrasante.

B

Qe:excentricidad

21

qmax qmin

B/2B/2

B

Qe:excentricidad

21

qmax qmin

B/2B/2


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QBqq mínmáx =×+2

(1) (equilibrio de fuerzas) Tomando momentos con respecto al punto 2.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ × eBQBBqBBq mínmáx

23232

2

(2) (equilibrio de momentos)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Be

BQqy

Be

BQq mínmáx

6161

Notas: - Debe evitarse que la carga esté muy excéntrica (qmáx >>> qmin). Genera ruptura por cortante. - En la práctica debe buscarse que qmáx ≈ qmín. - Si el punto de aplicación de la carga coincide con el centro del área cargada (e = 0) y

BQqqq mínmáx ===

Teoría de reacción de la subrasante aplicada a cimentaciones flexibles. La distribución de esfuerzos es mucho más compleja. Consideración práctica: se asume la cimentación flexible como si fuese rígida. Esta consideración esta por el lado de la seguridad debido a que los esfuerzos transmitidos por cimentaciones rígidas son mayores que los transmitidos por cimentaciones flexibles.


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Valores de los asentamientos (S) totales y diferenciales según NSR -98. H.4.1.9.2. Asentamientos totales Construcciones aisladas S ≤ 30 cm. Construcciones entre medianeros S ≤ 15 cm. Tabla H.4.1. Valores máximos de asentamientos diferenciales (∆S) calculados, expresados en función de la distancia entre apoyos o columnas (l).

TIPO DE CONSTRUCCIÓN

∆S MÁX

Edificios con muros de carga en concreto

o en mampostería.

l/500

Edificios en pórticos de concreto, sin acabados

susceptibles de dañarse con asentamientos menores.

l/300

Edificios en estructura metálica, sin acabados susceptibles de dañarse con asentamientos

menores.

l/160

Límites de giro

l/250

Capitulo 3. Distribucion de Esfuerzos en Una Masa de Suelos (2)

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