Si f x a b f x !1 cuando x b, se de neConvergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo. Si...

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Funci´ on no Acotada en uno o en los dos extremos del Intervalo de Integraci´on Si f (x ) est´ a definida sobre (a, b] y si f (x ) →∞ cuando x a, se define Z b a f (x ) d x = lim ε0 + Z b a+ε f (x ) d x Si f (x ) est´ a definida sobre [a, b) y si f (x ) →∞ cuando x b, se define Z b a f (x ) d x = lim ε0 + Z b-ε a f (x ) d x Si f (x ) est´ a definida sobre (a, b) y si f (x ) →∞ cuando x a y cuando x b, se define Z b a f (x ) d x = lim ε 1 0 + Z c a+ε 1 f (x ) d x + lim ε 2 0 + Z b-ε 2 c f (x ) d x Si f (x ) est´ a definida sobre [a, c ) y sobre (c , b] y si f (x ) →∞ cuando x c , se define Z b a f (x ) d x = lim ε 1 0 + Z c -ε 1 a f (x ) d x + lim ε 2 0 + Z b c +ε 2 f (x ) d x 1 / 21

Transcript of Si f x a b f x !1 cuando x b, se de neConvergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo. Si...

Funcion no Acotada en uno o en los dos extremos del Intervalo de Integracion

Si f (x) esta definida sobre (a, b] y si f (x)→∞ cuando x → a, se define

∫ b

af (x) d x = lim

ε→0+

∫ b

a+εf (x) d x

Si f (x) esta definida sobre [a, b) y si f (x)→∞ cuando x → b, se define

∫ b

af (x) d x = lim

ε→0+

∫ b−ε

af (x) d x

Si f (x) esta definida sobre (a, b) y si f (x)→∞ cuando x → a y cuandox → b, se define∫ b

af (x) d x = lim

ε1→0+

∫ c

a+ε1

f (x) d x + limε2→0+

∫ b−ε2

cf (x) d x

Si f (x) esta definida sobre [a, c) y sobre (c, b] y si f (x)→∞ cuando x → c,se define∫ b

af (x) d x = lim

ε1→0+

∫ c−ε1

af (x) d x + lim

ε2→0+

∫ b

c+ε2

f (x) d x

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Convergencia si se conoce la primitiva

Sea F (x) la funcion primitiva de

∫ b

a+εf (x) d x, entonces

∫ b

a+εf (x) d x = [F (x)]ba+ε = F (b)− F (a + ε)

por lo tanto

limε→0+

∫ b

a+εf (x) d x = lim

ε→0+[F (b)− F (a + ε)]

luego• si lim

ε→0+F (a + ε), existe y es finito: la integral es convergente.

• si limε→0+

F (a + ε), existe y es infinito: la integral es divergente.

• si limε→0+

F (a + ε), no existe: la integral no tiene sentido.

Analogas consideraciones se realizan en los otros casos.

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Convergencia si se conoce la primitiva(2)

En el caso que exista funcion primitiva, y esta sea continua en el punto a,respectivamente en el b, se puede aplicar la regla de Barrow.

•∫ 1

0

1√

1− xd x, estudiar su convergencia.

Esta integral presenta un punto en el que la funcion no esta acotada: x = 1,

I =

∫ 1

0

1√

1− xd x = lim

ε→0

∫ 1−ε

0

1√

1− xd x =

= limε→0

−2√

1− x∣∣∣1−ε0

= limε→0

[−2√

1− 1 + ε]−[−2√

1− 0]

= 2

en este caso la funcion primitiva es continua en x = 1, luego podıamos haberaplicado la regla de Barrow.

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Convergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo.

Si se trata de que la funcion se hace infinito en el punto x = a, se recurre a lasintegrales tipos que veremos a continuacion:

•∫ b

a+ε

1

(x − a)m d x =

[1

(1−m) (x − a)m−1

]b

a+ε

m 6= 1

•∫ b

a+ε

1

(x − a)d x = [log (x − a)]ba+ε

de donde

m 6= 1 : limε→0+

∫ b

a+ε

1

(x − a)m d x = limε→0+

[1

(1−m) (x − a)m−1

]b

a+ε

⇒{

m > 1 divergentem < 1 convergente

m = 1 : limε→0+

∫ b

a+ε

1

(x − a)d x = lim

ε→0+[log (x − a)]ba+ε ⇒ divergente

Si se trata de que la funcion se hace infinito en el punto x = b, se recurre a

•∫ b−ε

a

1

(b − x)m d x = −[

1

(1−m) (b − x)m−1

]b−ε

a

m 6= 1

•∫ b−ε

a

1

(b − x)d x = − [log (b − x)]b−εa

obteniendose los mismos resultados que en el caso anterior.4 / 21

Convergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo.

Si f (x)→∞ en x = a o x = b y no se conoce una primitiva de f (x), si podemosexpresar f (x) respectivamente en la forma

f (x) =g (x)

(b − x)n ; f (x) =g (x)

(x − a)n

en los casos que sea n < 1 y g (x) una funcion acotada superiormente en elintervalo [a, b], ∀x ∈ [a, b] es g (x) < M, la integral es convergente:

∫ b

af (x) d x =

∫ b

a

g (x)

(b − x)n d x < M

∫ b

a

1

(b − x)n d x = M(b − a)−n+1

1− n

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Aplicacion de las Integrales Tipo.

Para la convergencia:Si:

f (x) esta definida sobre (a, b],

f (x)→∞ cuando x → a,

y es

f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b] , 0 ≤ f (x) <k

(x − a)m , m < 1

entonces es convergente:

∫ b

af (x) d x.

Para la divergencia:Si:

f (x) esta definida sobre (a, b],

f (x)→∞ cuando x → a,

siendo

f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b] , 0 <k

(x − a)m < f (x) , m ≥ 1

entonces es divergente:

∫ b

af (x) d x.

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Ejemplos

Estudiar la convergencia de

∫ k

0e−xxn−1 d x

El unico punto que presenta problema es el x = 0 si n − 1 < 0, ya que

limx→0+

e−xxn−1 = +∞

maslimx→0+

x1−n e−xxn−1 = limx→0+

e−x = 1

por lo que si 1− n < 1 existe convergencia, y consecuentemente la integral esconvergente si n > 0.

Estudiar la convergencia de

∫ 1

0xp−1 (1− x)q−1 d x

Presentan problema los puntos: x = 0 si p − 1 < 0 x = 1 si q − 1 < 0, ya que

limx→0+

xp−1 (1− x)q−1 = +∞, limx→1−

xp−1 (1− x)q−1 = +∞

maslimx→0+

x1−p xp−1 (1− x)q−1 = limx→0+

(1− x)q−1 = 1

por lo que si 1− p < 1 → p > 0 existe convergencia.

limx→01−

(1− x)1−q xp−1 (1− x)q−1 = limx→1−

xp−1 = 1

por lo que si 1− q < 1 → q > 0 existe convergencia.7 / 21

Ejemplos

Estudiar la convergencia de

∫ π2

0log sen x d x

Presenta problema en el punto x = 0, en el que

limx→0+

log sen x = −∞

Estudiemos, siendo m ∈ (0, 1), el siguiente lımite

limx→0+

xm log sen x = limx→0+

log sen x1

xm

que al ser una indeterminacion, aplicamos la regla de L’Hopital

limx→0+

log sen x1

xm

= limx→0+

cos x

sen x

−m

xm+1

= −1

mlimx→0+

x

sen xxmcos x = 0

por lo tanto la integral es convergente.

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Ejemplos

Estudiar la convergencia de

∫ 1

−1

x3 − 1

x3 + 1d x

Presenta problema en x = −1, en el que

limx→−1+

x3 − 1

x3 + 1= −∞

Estudiemos el siguiente lımite

limx→−1+

(x + 1)m x3 − 1

x3 + 1= lim

x→−1+(x + 1)m−1 x3 − 1

x2 − x + 1

Si m = 1 el lımite es finito, por lo tanto la integral es divergente.

Otra forma de obtener este resultado es determinar la funcion primitiva F (x),

F (x) = x −2

3log (x + 1) +

1

3log(x2 − x + 1

)−

2√

3arc tg

2x − 1√

3

y como

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Ejemplos

∫ 1

−1

x3 − 1

x3 + 1d x = lim

ε→0+

∫ 1

−1+ε

x3 − 1

x3 + 1d x =

= limε→0+

[x −

2

3log (x + 1) +

1

3log(x2 − x + 1

)−

2√

3arc tg

2x − 1√

3

]1

−1+ε

y como el segundo sumando, cuando sustituimos la variable por el lımite inferior deintegracion, obtenemos

log ε ⇒ limε→0+

log ε =∞

siendo los lımites de los restantes sumandos finitos. Por lo que la integralconsiderada es divergente.

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Intervalo de integracion no acotado

Si f (x) esta definida sobre [a, +∞) y si f (x) es integrable en el intervalo[a, A], a < A, A > 0, se define

∫ ∞a

f (x) d x = limA→+∞

∫ A

af (x) d x

Si f (x) esta definida sobre (−∞, a] y si f (x) es integrable en el intervalo[−A, a], −A < a, A > 0, se define∫ a

−∞f (x) d x = lim

A→+∞

∫ a

−Af (x) d x

Si f (x) esta definida sobre (−∞, +∞) y si f (x) es integrable en el intervalo[−A1, A2], −A1 < A2, A1, A2 > 0 se define

∫ +∞

−∞f (x) d x = lim

A1→+∞

∫ c

A1

f (x) d x + limA2→+∞

∫ A2

cf (x) d x

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Convergencia si se conoce la Primitiva.

Sea F (x) la funcion primitiva de

∫ A

af (x) d x, entonces

∫ A

af (x) d x = [F (x)]Aa = F (A)− F (a)

por lo tanto

limA→+∞

∫ A

af (x) d x = lim

A→+∞[F (A)− F (a)]

luego

si limA→+∞

F (A), existe y es finito: la integral es convergente.

si limA→+∞

F (A), existe y es infinito: la integral es divergente.

si limA→+∞

F (A), no existe: la integral no tiene sentido.

Analogas consideraciones se realizan en los otros casos.

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Convergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo.

∫ A

a

1

(x)m d x =

[1

(1−m) (x)m−1

]A

a

m 6= 1

∫ A

a

1

(x)d x = [log (x)]Aa

luego limA→+∞

∫ A

a

1

(x)m d x = limA→+∞

[1

(1−m) (x)m−1

]A

a

m 6= 1

m > 1: la integral es convergente.

m < 1: la integral es divergente.

m = 1:

∫ A

a

1

(x)d x = [log (x)]Aa , que es divergente.

Analogos estudios se hacen en los otros casos.

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Aplicacion de las integrales tipos

Para la convergencia. Si

f (x) esta definida sobre [a, +∞),

es ∀x ∈ [a, +∞) , 0 ≤ f (x) <k

(x)m, m > 1

entonces es convergente:

∫ +∞

af (x) d x

Para la divergencia. Si

f (x) esta definida sobre [a, +∞),

es ∀x ∈ [a, +∞) , 0 <k

(x)m< f (x) , m ≤ 1.

entonces es divergente:

∫ +∞

af (x) d x.

Condicion necesaria de convergencia.

Si

∫ +∞

af (x) d x es convergente, y existe lim

x→∞f (x), entonces es: f (x) → 0

cuando x →∞:

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Ejemplo

Estudiar la convergencia de

∫ ∞0

xα−1

1 + xβd x.

En el entorno de cero: el numerador vale cero si α− 1 es positivo, pero ∞ si α− 1es negativo; el denominador tiene un sumando constante y otro que en el elentorno de cero puede valer infinito si β es negativo o cero si β es positivo. Elestudio en el punto x = 0 dependera de α y β.

β ≥ 0 : limx→0+

xα−1

1 + xβ=

{α− β − 1 < 0 → ∞α− β − 1 ≥ 0 → 0

β < 0 : limx→0+

xα−1

1 + xβ=

{α− β − 1 < 0 → ∞α− β − 1 ≥ 0 → 0

ahora bien

β ≥ 0 : limx→0+

x1−α xα−1

1 + xβ= 1

β < 0 : limx→0+

x1+β−α xα−1

1 + xβ= 1

luego hay convergencia en el entorno de cero si

1− α < 1 y β > 01 + β − α < 1 y β < 0

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Ejemplo

Ası mismo presenta la dificultad de no ser acotado el intervalo de integracion y elcomportamiento de la funcion es el mismo que el de

β > 0 : xα−β−1

β < 0 : xα−1

luego habra convergencia si

α− β − 1 < −1 y β > 0α− 1 < −1 y β < 0

luego uniendo las dos situaciones

β > 0 : α < β y 0 < αβ < 0 : α < 0 y β < α

En el caso β = 0, el integrando esxα−1

2, cuya primitiva es,

2α, que para que sea

convergente en 0 ha de ser α > 0 y que para que lo sea en ∞ ha de ser α < 0,luego no hay convergencia.

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Ejemplo

Estudiar la convergencia de

∫ ∞3

1

x2 − 1d x.

El integrando1

x2 − 1→ 0 si x →∞, luego cumple la condicion necesaria de

convergencia. La funcion puede expresarse:

1

x2 − 1=

1

x2

1

1−1

x2

=1

x2

[1 +

1

x2+

1

x4+

1

x6+ · · ·

]=

=1

x2+

1

x4+

1

x6+ · · ·

por lo que para x →∞ la parte principal del infinitesimo es:1

2, luego por ser

m = 2 > 1 es convergente la integral.En este caso tambien podemos hallar la funcion primitiva:∫ A

3

1

x2 − 1d x =

1

2

∫ A

3

[1

x − 1−

1

x + 1

]d x =

1

2log

x − 1

x + 1

∣∣∣∣A3

=1

2

[log

A− 1

A + 1− log

1

2

]siendo∫ ∞

3

1

x2 − 1d x = lim

A→∞

1

2

[log

A− 1

A + 1− log

1

2

]= lim

A→∞

1

2

[log

(1−

2

A + 1

)− log

1

2

]=

=1

2log 2

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Integrales Absolutamente Convergentes

Cuando

∫ ∞a|f (x)| d x es convergente, decimos que

∫ ∞a

f (x) d x es absolutamente

convergente.

Si

∫ ∞a|f (x)| d x es convergente, la integral

∫ ∞a

f (x) d x tambien lo es.

Sin embargo puede suceder que

∫ ∞a

f (x) d x sea convergente sin que lo sea∫ ∞a|f (x)| d x.

Ejemplo

Estudiar la convergencia de

∫ ∞0

sen x

xd x.

Podemos escribir ∫ ∞0

sen x

xd x =

∫ b

0

sen x

xd x +

∫ ∞b

sen x

xd x

En el punto x = 0 la funcion tiene una discontinuidad evitable, luego existe∫ b

0

sen x

xd x.

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Ejemplo

Estudiemos ahora

∫ d

b

sen x

xd x, para lo caul hacemos una integracion por partes:

∫ d

b

sen x

xd x =

[−

cos x

x

]db−∫ d

b

cos x

x2d x = −

cos d

d+

cos b

b−∫ d

b

cos x

x2d x

de donde∣∣∣∣∫ d

b

sen x

xd x

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣− cos d

d+

cos b

b−∫ d

b

cos x

x2d x

∣∣∣∣ ≤≤

∣∣∣∣ cos d

d

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ cos b

b

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ d

b

cos x

x2d x

∣∣∣∣ < 1

d+

1

b+

∫ d

b

1

x2d x =

2

b

por lo tanto la integral es convergente.

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Ejemplo

Estudiar la convergencia de

∫ ∞0

∣∣∣ sen x

x

∣∣∣ d x.

Planteemos la siguiente igualdad basada en el comportamiento de la funcion sen x,que es positiva si x ∈ [2kπ, (2k + 1)π], k ∈ N

⋃0 y es negativa si

x ∈ [(2k + 1)π, (2k + 2)π], k ∈ N⋃

0.∫ nπ

0

∣∣∣ sen x

x

∣∣∣ d x =

∫ π

0

sen x

xd x −

∫ 2π

π

sen x

xd x +

∫ 3π

sen x

xd x + · · ·+

+ · · ·+ (−1)j−1∫ jπ

(j−1)π

sen x

xd x + · · ·+ (−1)n−1

∫ nπ

(n−1)π

sen x

xd x

es decir

∫ nπ

0

∣∣∣ sen x

x

∣∣∣ d x =

j=n∑j=1

(−1)j−1∫ jπ

(j−1)π

sen x

xd x

Hagamos en la integral generica el cambio siguiente,

x = u + (j − 1)π : sen x = sen (u + (j − 1)π) = (−1)j−1 sen u →

→{

x = (j − 1)π → u = 0x = jπ → u = π

; d x = d u

luego20 / 21

Ejemplo

∫ nπ

0

∣∣∣ sen x

x

∣∣∣ d x =

j=n∑j=1

(−1)j−1∫ π

0

(−1)j−1 sen u

u + (j − 1)πd u =

j=n∑j=1

∫ π

0

sen u

u + (j − 1)πd u

teniendo en cuenta que∫ π

0

sen u

u + (j − 1)πd u >

∫ π

0

sen u

π + (j − 1)πd u =

∫ π

0

sen u

jπd u = −

cos u

∣∣∣∣π0

=2

por lo que

∫ nπ

0

∣∣∣ sen x

x

∣∣∣ d x =

j=n∑j=1

∫ π

0

sen u

u + (j − 1)πd u >

2

π

j=n∑j=1

1

j

tomamdo lımites

∫ ∞0

∣∣∣ sen x

x

∣∣∣ d x = limn→∞

j=n∑j=1

∫ π

0

sen u

u + (j − 1)πd u >

2

πlim

n→∞

j=n∑j=1

1

j= +∞

resultando que

∫ ∞0

∣∣∣ sen x

x

∣∣∣ d x es divergente.

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