Si f x a b f x !1 cuando x b, se de neConvergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo. Si...
Transcript of Si f x a b f x !1 cuando x b, se de neConvergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo. Si...
Funcion no Acotada en uno o en los dos extremos del Intervalo de Integracion
Si f (x) esta definida sobre (a, b] y si f (x)→∞ cuando x → a, se define
∫ b
af (x) d x = lim
ε→0+
∫ b
a+εf (x) d x
Si f (x) esta definida sobre [a, b) y si f (x)→∞ cuando x → b, se define
∫ b
af (x) d x = lim
ε→0+
∫ b−ε
af (x) d x
Si f (x) esta definida sobre (a, b) y si f (x)→∞ cuando x → a y cuandox → b, se define∫ b
af (x) d x = lim
ε1→0+
∫ c
a+ε1
f (x) d x + limε2→0+
∫ b−ε2
cf (x) d x
Si f (x) esta definida sobre [a, c) y sobre (c, b] y si f (x)→∞ cuando x → c,se define∫ b
af (x) d x = lim
ε1→0+
∫ c−ε1
af (x) d x + lim
ε2→0+
∫ b
c+ε2
f (x) d x
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Convergencia si se conoce la primitiva
Sea F (x) la funcion primitiva de
∫ b
a+εf (x) d x, entonces
∫ b
a+εf (x) d x = [F (x)]ba+ε = F (b)− F (a + ε)
por lo tanto
limε→0+
∫ b
a+εf (x) d x = lim
ε→0+[F (b)− F (a + ε)]
luego• si lim
ε→0+F (a + ε), existe y es finito: la integral es convergente.
• si limε→0+
F (a + ε), existe y es infinito: la integral es divergente.
• si limε→0+
F (a + ε), no existe: la integral no tiene sentido.
Analogas consideraciones se realizan en los otros casos.
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Convergencia si se conoce la primitiva(2)
En el caso que exista funcion primitiva, y esta sea continua en el punto a,respectivamente en el b, se puede aplicar la regla de Barrow.
•∫ 1
0
1√
1− xd x, estudiar su convergencia.
Esta integral presenta un punto en el que la funcion no esta acotada: x = 1,
I =
∫ 1
0
1√
1− xd x = lim
ε→0
∫ 1−ε
0
1√
1− xd x =
= limε→0
−2√
1− x∣∣∣1−ε0
= limε→0
[−2√
1− 1 + ε]−[−2√
1− 0]
= 2
en este caso la funcion primitiva es continua en x = 1, luego podıamos haberaplicado la regla de Barrow.
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Convergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo.
Si se trata de que la funcion se hace infinito en el punto x = a, se recurre a lasintegrales tipos que veremos a continuacion:
•∫ b
a+ε
1
(x − a)m d x =
[1
(1−m) (x − a)m−1
]b
a+ε
m 6= 1
•∫ b
a+ε
1
(x − a)d x = [log (x − a)]ba+ε
de donde
m 6= 1 : limε→0+
∫ b
a+ε
1
(x − a)m d x = limε→0+
[1
(1−m) (x − a)m−1
]b
a+ε
⇒{
m > 1 divergentem < 1 convergente
m = 1 : limε→0+
∫ b
a+ε
1
(x − a)d x = lim
ε→0+[log (x − a)]ba+ε ⇒ divergente
Si se trata de que la funcion se hace infinito en el punto x = b, se recurre a
•∫ b−ε
a
1
(b − x)m d x = −[
1
(1−m) (b − x)m−1
]b−ε
a
m 6= 1
•∫ b−ε
a
1
(b − x)d x = − [log (b − x)]b−εa
obteniendose los mismos resultados que en el caso anterior.4 / 21
Convergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo.
Si f (x)→∞ en x = a o x = b y no se conoce una primitiva de f (x), si podemosexpresar f (x) respectivamente en la forma
f (x) =g (x)
(b − x)n ; f (x) =g (x)
(x − a)n
en los casos que sea n < 1 y g (x) una funcion acotada superiormente en elintervalo [a, b], ∀x ∈ [a, b] es g (x) < M, la integral es convergente:
∫ b
af (x) d x =
∫ b
a
g (x)
(b − x)n d x < M
∫ b
a
1
(b − x)n d x = M(b − a)−n+1
1− n
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Aplicacion de las Integrales Tipo.
Para la convergencia:Si:
f (x) esta definida sobre (a, b],
f (x)→∞ cuando x → a,
y es
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b] , 0 ≤ f (x) <k
(x − a)m , m < 1
entonces es convergente:
∫ b
af (x) d x.
Para la divergencia:Si:
f (x) esta definida sobre (a, b],
f (x)→∞ cuando x → a,
siendo
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b] , 0 <k
(x − a)m < f (x) , m ≥ 1
entonces es divergente:
∫ b
af (x) d x.
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Ejemplos
Estudiar la convergencia de
∫ k
0e−xxn−1 d x
El unico punto que presenta problema es el x = 0 si n − 1 < 0, ya que
limx→0+
e−xxn−1 = +∞
maslimx→0+
x1−n e−xxn−1 = limx→0+
e−x = 1
por lo que si 1− n < 1 existe convergencia, y consecuentemente la integral esconvergente si n > 0.
Estudiar la convergencia de
∫ 1
0xp−1 (1− x)q−1 d x
Presentan problema los puntos: x = 0 si p − 1 < 0 x = 1 si q − 1 < 0, ya que
limx→0+
xp−1 (1− x)q−1 = +∞, limx→1−
xp−1 (1− x)q−1 = +∞
maslimx→0+
x1−p xp−1 (1− x)q−1 = limx→0+
(1− x)q−1 = 1
por lo que si 1− p < 1 → p > 0 existe convergencia.
limx→01−
(1− x)1−q xp−1 (1− x)q−1 = limx→1−
xp−1 = 1
por lo que si 1− q < 1 → q > 0 existe convergencia.7 / 21
Ejemplos
Estudiar la convergencia de
∫ π2
0log sen x d x
Presenta problema en el punto x = 0, en el que
limx→0+
log sen x = −∞
Estudiemos, siendo m ∈ (0, 1), el siguiente lımite
limx→0+
xm log sen x = limx→0+
log sen x1
xm
que al ser una indeterminacion, aplicamos la regla de L’Hopital
limx→0+
log sen x1
xm
= limx→0+
cos x
sen x
−m
xm+1
= −1
mlimx→0+
x
sen xxmcos x = 0
por lo tanto la integral es convergente.
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Ejemplos
Estudiar la convergencia de
∫ 1
−1
x3 − 1
x3 + 1d x
Presenta problema en x = −1, en el que
limx→−1+
x3 − 1
x3 + 1= −∞
Estudiemos el siguiente lımite
limx→−1+
(x + 1)m x3 − 1
x3 + 1= lim
x→−1+(x + 1)m−1 x3 − 1
x2 − x + 1
Si m = 1 el lımite es finito, por lo tanto la integral es divergente.
Otra forma de obtener este resultado es determinar la funcion primitiva F (x),
F (x) = x −2
3log (x + 1) +
1
3log(x2 − x + 1
)−
2√
3arc tg
2x − 1√
3
y como
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Ejemplos
∫ 1
−1
x3 − 1
x3 + 1d x = lim
ε→0+
∫ 1
−1+ε
x3 − 1
x3 + 1d x =
= limε→0+
[x −
2
3log (x + 1) +
1
3log(x2 − x + 1
)−
2√
3arc tg
2x − 1√
3
]1
−1+ε
y como el segundo sumando, cuando sustituimos la variable por el lımite inferior deintegracion, obtenemos
log ε ⇒ limε→0+
log ε =∞
siendo los lımites de los restantes sumandos finitos. Por lo que la integralconsiderada es divergente.
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Intervalo de integracion no acotado
Si f (x) esta definida sobre [a, +∞) y si f (x) es integrable en el intervalo[a, A], a < A, A > 0, se define
∫ ∞a
f (x) d x = limA→+∞
∫ A
af (x) d x
Si f (x) esta definida sobre (−∞, a] y si f (x) es integrable en el intervalo[−A, a], −A < a, A > 0, se define∫ a
−∞f (x) d x = lim
A→+∞
∫ a
−Af (x) d x
Si f (x) esta definida sobre (−∞, +∞) y si f (x) es integrable en el intervalo[−A1, A2], −A1 < A2, A1, A2 > 0 se define
∫ +∞
−∞f (x) d x = lim
A1→+∞
∫ c
A1
f (x) d x + limA2→+∞
∫ A2
cf (x) d x
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Convergencia si se conoce la Primitiva.
Sea F (x) la funcion primitiva de
∫ A
af (x) d x, entonces
∫ A
af (x) d x = [F (x)]Aa = F (A)− F (a)
por lo tanto
limA→+∞
∫ A
af (x) d x = lim
A→+∞[F (A)− F (a)]
luego
si limA→+∞
F (A), existe y es finito: la integral es convergente.
si limA→+∞
F (A), existe y es infinito: la integral es divergente.
si limA→+∞
F (A), no existe: la integral no tiene sentido.
Analogas consideraciones se realizan en los otros casos.
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Convergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo.
∫ A
a
1
(x)m d x =
[1
(1−m) (x)m−1
]A
a
m 6= 1
∫ A
a
1
(x)d x = [log (x)]Aa
luego limA→+∞
∫ A
a
1
(x)m d x = limA→+∞
[1
(1−m) (x)m−1
]A
a
m 6= 1
m > 1: la integral es convergente.
m < 1: la integral es divergente.
m = 1:
∫ A
a
1
(x)d x = [log (x)]Aa , que es divergente.
Analogos estudios se hacen en los otros casos.
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Aplicacion de las integrales tipos
Para la convergencia. Si
f (x) esta definida sobre [a, +∞),
es ∀x ∈ [a, +∞) , 0 ≤ f (x) <k
(x)m, m > 1
entonces es convergente:
∫ +∞
af (x) d x
Para la divergencia. Si
f (x) esta definida sobre [a, +∞),
es ∀x ∈ [a, +∞) , 0 <k
(x)m< f (x) , m ≤ 1.
entonces es divergente:
∫ +∞
af (x) d x.
Condicion necesaria de convergencia.
Si
∫ +∞
af (x) d x es convergente, y existe lim
x→∞f (x), entonces es: f (x) → 0
cuando x →∞:
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Ejemplo
Estudiar la convergencia de
∫ ∞0
xα−1
1 + xβd x.
En el entorno de cero: el numerador vale cero si α− 1 es positivo, pero ∞ si α− 1es negativo; el denominador tiene un sumando constante y otro que en el elentorno de cero puede valer infinito si β es negativo o cero si β es positivo. Elestudio en el punto x = 0 dependera de α y β.
β ≥ 0 : limx→0+
xα−1
1 + xβ=
{α− β − 1 < 0 → ∞α− β − 1 ≥ 0 → 0
β < 0 : limx→0+
xα−1
1 + xβ=
{α− β − 1 < 0 → ∞α− β − 1 ≥ 0 → 0
ahora bien
β ≥ 0 : limx→0+
x1−α xα−1
1 + xβ= 1
β < 0 : limx→0+
x1+β−α xα−1
1 + xβ= 1
luego hay convergencia en el entorno de cero si
1− α < 1 y β > 01 + β − α < 1 y β < 0
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Ejemplo
Ası mismo presenta la dificultad de no ser acotado el intervalo de integracion y elcomportamiento de la funcion es el mismo que el de
β > 0 : xα−β−1
β < 0 : xα−1
luego habra convergencia si
α− β − 1 < −1 y β > 0α− 1 < −1 y β < 0
luego uniendo las dos situaciones
β > 0 : α < β y 0 < αβ < 0 : α < 0 y β < α
En el caso β = 0, el integrando esxα−1
2, cuya primitiva es,
xα
2α, que para que sea
convergente en 0 ha de ser α > 0 y que para que lo sea en ∞ ha de ser α < 0,luego no hay convergencia.
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Ejemplo
Estudiar la convergencia de
∫ ∞3
1
x2 − 1d x.
El integrando1
x2 − 1→ 0 si x →∞, luego cumple la condicion necesaria de
convergencia. La funcion puede expresarse:
1
x2 − 1=
1
x2
1
1−1
x2
=1
x2
[1 +
1
x2+
1
x4+
1
x6+ · · ·
]=
=1
x2+
1
x4+
1
x6+ · · ·
por lo que para x →∞ la parte principal del infinitesimo es:1
2, luego por ser
m = 2 > 1 es convergente la integral.En este caso tambien podemos hallar la funcion primitiva:∫ A
3
1
x2 − 1d x =
1
2
∫ A
3
[1
x − 1−
1
x + 1
]d x =
1
2log
x − 1
x + 1
∣∣∣∣A3
=1
2
[log
A− 1
A + 1− log
1
2
]siendo∫ ∞
3
1
x2 − 1d x = lim
A→∞
1
2
[log
A− 1
A + 1− log
1
2
]= lim
A→∞
1
2
[log
(1−
2
A + 1
)− log
1
2
]=
=1
2log 2
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Integrales Absolutamente Convergentes
Cuando
∫ ∞a|f (x)| d x es convergente, decimos que
∫ ∞a
f (x) d x es absolutamente
convergente.
Si
∫ ∞a|f (x)| d x es convergente, la integral
∫ ∞a
f (x) d x tambien lo es.
Sin embargo puede suceder que
∫ ∞a
f (x) d x sea convergente sin que lo sea∫ ∞a|f (x)| d x.
Ejemplo
Estudiar la convergencia de
∫ ∞0
sen x
xd x.
Podemos escribir ∫ ∞0
sen x
xd x =
∫ b
0
sen x
xd x +
∫ ∞b
sen x
xd x
En el punto x = 0 la funcion tiene una discontinuidad evitable, luego existe∫ b
0
sen x
xd x.
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Ejemplo
Estudiemos ahora
∫ d
b
sen x
xd x, para lo caul hacemos una integracion por partes:
∫ d
b
sen x
xd x =
[−
cos x
x
]db−∫ d
b
cos x
x2d x = −
cos d
d+
cos b
b−∫ d
b
cos x
x2d x
de donde∣∣∣∣∫ d
b
sen x
xd x
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣− cos d
d+
cos b
b−∫ d
b
cos x
x2d x
∣∣∣∣ ≤≤
∣∣∣∣ cos d
d
∣∣∣∣+
∣∣∣∣ cos b
b
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫ d
b
cos x
x2d x
∣∣∣∣ < 1
d+
1
b+
∫ d
b
1
x2d x =
2
b
por lo tanto la integral es convergente.
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Ejemplo
Estudiar la convergencia de
∫ ∞0
∣∣∣ sen x
x
∣∣∣ d x.
Planteemos la siguiente igualdad basada en el comportamiento de la funcion sen x,que es positiva si x ∈ [2kπ, (2k + 1)π], k ∈ N
⋃0 y es negativa si
x ∈ [(2k + 1)π, (2k + 2)π], k ∈ N⋃
0.∫ nπ
0
∣∣∣ sen x
x
∣∣∣ d x =
∫ π
0
sen x
xd x −
∫ 2π
π
sen x
xd x +
∫ 3π
2π
sen x
xd x + · · ·+
+ · · ·+ (−1)j−1∫ jπ
(j−1)π
sen x
xd x + · · ·+ (−1)n−1
∫ nπ
(n−1)π
sen x
xd x
es decir
∫ nπ
0
∣∣∣ sen x
x
∣∣∣ d x =
j=n∑j=1
(−1)j−1∫ jπ
(j−1)π
sen x
xd x
Hagamos en la integral generica el cambio siguiente,
x = u + (j − 1)π : sen x = sen (u + (j − 1)π) = (−1)j−1 sen u →
→{
x = (j − 1)π → u = 0x = jπ → u = π
; d x = d u
luego20 / 21
Ejemplo
∫ nπ
0
∣∣∣ sen x
x
∣∣∣ d x =
j=n∑j=1
(−1)j−1∫ π
0
(−1)j−1 sen u
u + (j − 1)πd u =
j=n∑j=1
∫ π
0
sen u
u + (j − 1)πd u
teniendo en cuenta que∫ π
0
sen u
u + (j − 1)πd u >
∫ π
0
sen u
π + (j − 1)πd u =
∫ π
0
sen u
jπd u = −
cos u
jπ
∣∣∣∣π0
=2
jπ
por lo que
∫ nπ
0
∣∣∣ sen x
x
∣∣∣ d x =
j=n∑j=1
∫ π
0
sen u
u + (j − 1)πd u >
2
π
j=n∑j=1
1
j
tomamdo lımites
∫ ∞0
∣∣∣ sen x
x
∣∣∣ d x = limn→∞
j=n∑j=1
∫ π
0
sen u
u + (j − 1)πd u >
2
πlim
n→∞
j=n∑j=1
1
j= +∞
resultando que
∫ ∞0
∣∣∣ sen x
x
∣∣∣ d x es divergente.
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