Integrales dobles

La integral doble

R

ΔAn

lim1j

)jy,jf(xn

y)dAf(x,

Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:

( xJ, xj+1)

La integral doble es integrar funciones de dos variables f(x;y) para lo cual se emplearán las mismas técnicas que se utilizaron en la evaluación de las Integrales simples. Sin embargo, como se incluyen dos variables, se debe integrar f(x;y) manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra.

La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales iteradas.

Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R.

Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable.

Cálculo de integrales dobles

b

a

d

c

d

c

b

aR

y)dydxf(x,y)dxdyf(x,y)dAf(x,

Propiedades

RR

y)dAf(x,Ky)dAK.f(x,a)

R RR

y)dAg(x,y)dAf(x,y)dAg(x,y)f(x,b)

R

0y)dAf(x,Ry)(x,0,y)f(x,Sic) ,

1 2R RR

y)dAf(x,y)dAf(x,y)dAf(x,

sobreponenseno2R y 1Rdonde,2R1RRSid)

Límites de integración

Secciones transversales verticales: Una figura horizontal implica el orden dydx, si la región R está limitada por las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por

R: a x b , g1(x) y g2(x)

y = g1(x)

y = g2(x)

a b

R

b

a

(x)g

(x)gR

2

1

y)dydxf(x,y)dAf(x,

Límites de integración

Secciones transversales horizontales: Una figura vertical implica el orden dxdy, si la región R está limitada por las gráficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por

R: c y d , h1(y) x h2(y)x = h1(x)

x = h2(x)

c

d

R

d

c

(y)h

(y)hR

2

1

y)dxdyf(x,y)dAf(x,

Área de una región rectangular

))(( abcddydxc

d

a

b

dxya

bdydxc

d

a

b dc

dxcda

b)(

baxcd )(

))(( abcd

Calcular la integral de una integral o integral doble :

dxdyyyxx

)22(

11

2 22

2123 xxx )1(2 3

dxyyx x1

212 )]2(1

2

dxdyyyx

x)22(

11

2 22

dxxx )132(1

2 2 -2x2(x-1)+x2-(-2x21-1+1)

Comparación de distinta forma de Integración

• Graficando el área de una región dado por la integral:

• Nos fijamos en los limites de la integración, vemos que.

y^2 ≤ x ≤ 4 (Limites interiores de integración)

• De modo que el área de la región esta acotada a la izquierda por la parábola x = y^2

y a la derecha por la recta x = 4. Además notamos que.

0 ≤ y ≤ 2 (Limites exteriores de integración)

∫ 2

Y^2 ∫

0

4 ∂x∂y

Resolviendo las integrales:

∫

= 16 / 3

Entonces el valor de esta integral se vera de la siguiente forma:

0

2

Y^2

4∫ ∂x ∂y = ∫

2

0x ]

4

Y^2∂y

=2

∫0

(4 – y^2) ∂y

4y – (y^3)/(3)]

=2

0

(4,2)

1 42 3

1

2

3

4 X = Y^2

ΔY 

X

Y

AREA =  ∫ 2

0 ∫

Y^2

4 ∂x . ∂y

0

Cambiando el orden de la integración: ∂y ∂x

En este caso los limites de las variables “x” ; “y” cambiaran en la integración.

Si despejamos “y” :

x = y^2 y= x^(1/2)

Concluimos que los limites interiores de integración serán:

0 ≤ y ≤ x^(1/2)

Ahora en nuestra grafica el rectángulo horizontal cambiara en forma vertical.

Por lo tanto las cotas varían en el intervalo:

0 ≤ x ≤ 4

Sera un limite exterior de integración.

• Por lo tanto el área de la región se puede representar por:

Calculando la integral comprobaremos que da el mismo valor que la integral original.

4∫

0∫

X^1/2

0∂x ∂y

∫0

4∫0

X^1/2∂y ∂x =

4 X^1/2∫

0 Y]0

∂x

= ∫04 x^1/2 ∂x

16 / 3

0

4](2/3)*x^3/2=

=

2

(4,2)

1 42 3

1

2

3

4

Y

X

ΔX

Y = X^1/2

AREA = ∫4

0 ∫

0

X^1/2

. ∂x∂y

0

TEOREMA FUBINI

Si “R”(región) es verticalmente simple u horizontalmente simple, y si “f” es continua en “R” (región), la integral doble de “f” sobre “R” es igual a la integral iterada.

dx dy ↔ dy dx

REGION VERTICALMENTE Y HORIZONTALMENTE SIMPLE

REGIÓN VERTICALMENTE SIMPLE

• «a» y «b» son constantes• «c» y «d» están en función de x ;en

donde d > c .∆x

• REGIÓN HORIZONTALMENTE SIMPLE

«d» y «c» son constantes

«a» y «b» están en función de y .

∆y

FUBINI :

Si estas funciones son integrables, sus integrales se escribirían:

• Donde x es una constante, y la variable es y ϵ A2.• Donde y es una constante y la variable es x ϵ A1.

EJEMPLO:

Hallar el volumen de la región R acotada por 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1 de la función 1-(1/2)x² -(1/2)y² .

CAMBIO DE VARIABLES EN

INTEGRALES DOBLES

Introducción.

Es útil para reducir la complejidad de la integral , cambiar una variable por otra resulte mas cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano.

Definición  

Sean R y S regiones en los planos relacionadas por las ecuaciones tales que cada punto de R es imagen de un único punto de S. si f es continua en R, g y h tienen derivadas parciales continuas en S, Es no nula en S, entonces:

 

En una integral simple

Podemos cambiar de variable haciendo , con lo que

Donde a=g(c) y b=g (d). Nótese que el cambio de variable introduce un factor adicional g°(u) en el integrando. Lo mismo ocurre en el caso de las integrales dobles. jacobiano

dudv

Donde el cambio de variable introduce un factor que se llama el jacobiano de respecto de . Al definir el jacobiano conviene utilizar la siguiente notación en términos de determinantes.

Definición del jacobiano.

Si , el jacobiano de , que se denota por el símbolo , es:

⎜= -

Problemas:

Calcular , donde R es la región limitada por las rectas :Y-x=1, y-x=-1, x+y=1 y x+y= 2solución: Y-x =u y x+y=v J(u,v)=

J(x, y)=det⎜ v y 2

-- 1 ------ -------- -- x -1 1 u

J(x,y) = -2J(u,v) = = - 1 = (uv+u -1 =v+1

2 =( +2) –( 1

=

sea T(u, v) =(u, v(1 + u) y = [0, 1] × [1, 2]. Encontrar D = T() calcular

Conclusiones:

Al resolver los ejercicios de integrales dobles obtenemos como resultado, que el uso de la función jacobiana y el cambio de variable reduce la dificultad de los ejercicios.