31 INTEGRALES TRIPLES CILINDRICAS.pdf

CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 1

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILNDRICAS

E

dVzrf ),,( q

CLCULO VECTORIAL CAPTULO III

SESIN 30 Coordenadas cilndrica: (r,,z)

),( qr

===

zzrsenyrx

qqcos

=

+=

xy

yxr

qtan

222

-

CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 2

Relacin del Diferencial de volumen entrecoordenadas cartesianas y cilndricas

Rosa ique Alvarez 7

Jacobiano

===

zzrsenyrx

qqcos

rrsensenr

zrzyxzrJ =

-=

=1000cos0cos

det),,(),,(),,( qq

qq

qq

Rosa ique Alvarez 8

EJEMPLO 1

Calcular el volumen del slido limitado por elcilindro x2 + y2 = 2y, el paraboloide 2z = x2 + y2y el plano XY.

=E

dVV

Rosa ique Alvarez 9 Rosa ique Alvarez 10

2z=x2+y2x2+y2=2y

Cambio de coordenadas

222

22

21;2:eParaboloid

2;2:Cilindro

;;cos

rzzyx

senryyx

zzsenryrx

==+

q==+

=q=q=


2z=x2+y2

x2+y2=2y

qsenr 2=

2

21 rz =

dAdzdVVR

r

E

==

2

21

0

2/0

:2rz

XYRr

E q

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CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 3

Rosa ique Alvarez 13

x2+y2=2y

r= 2 sen

Descripcin de la regin

R

2/0

demitad2/0

20:

2rz

XYRsenr

E pqq

SOLUCION


==

2/

0

2

0

2/

0

2

2p q

qsen r dA

E

ddrrdzdVV876

2/0

demitad2/0

20:

2rz

XYRsenr

E pqq

Solucin

p q

q==2/

0

2

0

2/

0

2

2sen r

E

ddrdzrdVV

43p

=V


EJEMPLO 2

Obtenga el volumen del slido que seencuentra dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 2zy por arriba del paraboloide z = x2 + y2.

=E

dVV



Cambio de coordenadas

222

2222

;:eParaboloid

11;2:Esfera

;;cos

rzzyx

rzzzyx

zzsenryrx

==+

-==++

=== qq



CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 4


211 rz -+=

2rz =

-+

22 11

:

rzr

XYRr

E q

dAdzdVVR

r

rE

==

-+ 2

2

11

Interseccin de las superficies

La Esfera: x2 + y2 + z2 = 2z yParaboloide: x2 + y2 = z se intersecancuando z =1 ( z = 0), es decir en lospuntos que estn sobre la circunferenciax2 + y 2 =1.



x2+y2=1r =1

-+

22 11

2010

rzr

Rr

E pq

Descripcin de la regin Solucin

-+

22 11

2010

rzr

XYRr

E pq


( ) -+

==p

q2

0

1

0

11 2

2

r

rE

drrdzddVV

Solucin

p

qp

67

2

0

1

0

11 2

2

=

== -+

V

ddrzdrdVVr

rE


EJEMPLO 3

Evale

donde E es el slido que est entre los cilindros:x2 + y2 =1 y x2 + y2 = 4, arriba del plano XY, yabajo del plano z = x + 2.


E

dVy


CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 5


-4-2

02

4

-4

-2

0

2

4-2

0

2

4

6

X

Grfica del Cilindro

Y

Z

z=x+2Cambio de coordenadas

2cos;2:Plano

2;4:Cilindro

1;1:Cilindro

;;cos

22

22

+q=+=

==+

==+

=q=q=

rzxz

ryx

ryx

zzsenryrx



-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-2

0

2

4-2

0

2

4

6

Y

X

Grfica del Cilindro

Z

+

2cos0:

q

q

rz

XYRr

E

dAdzsenrydVR

r

E

=

+2cos

0

q

q

2cos += qrz


DESCRIPCION DE LA REGION

+

2cos02021

:q

pq

rz

XYRr

E

x2+y2=4

x2+y2=1

R

r = 2

r = 1

Solucin

+

2cos020

21:

q

pq

rz

XYRr

E


( ) +

=2

1

2

0

2cos

0

p q

qqr

E

drrddzsenrdVy

Solucin

0

2

1

2

0

2cos

0

=

=

+

E

r

E

dVy

drddzrsenrdVyp q

qq



CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 6

EJEMPLO 4

Evale

donde E es el slido que est entre los planos: x = 0,y = 0, z = 1 en el primer octante, acotadasuperiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y alexterior del cilindro x2 + y2 = 1.


E

dVzyx

Solucin:


Solucin

1:Plano

1;1:Cilindro

4;4:Esfera

22

2222

=

==+

-==++

z

ryx

rzzyx


La esfera y cilindro se interceptan cuando z = 3Esfera y Plano se interceptan cuando x2 + y2 = 3

zzrsenyrx === ,,cos qq Solucin:


Solucin


-

241 rz

XYRr

E q

dAxyzdzxyzdVR

r

E

=

- 24

1


31

R

-

2412

0

31

rz

XYRr

E pq

Solucin

dAxyzdzxyzdVR

r

E

=

- 24

1


CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 7

Solucin

( )( ) ( ) -

=2

0

3

1

4

1

2

cos

p

qqqr

E

drdrdzzsenrrdVzyx


-

pq

241

20

31

rz

r

E

Solucin

( )( )

( )( )

125

cos

cos

2

0

3

1

4

1

3

2

0

3

1

4

1

2

2

=

=

=

-

-

E

r

E

r

E

dVzyx

ddrzdzrsendVzyx

ddrdzrzsenrrdVzyx

p

p

qqq

qqq



125=

E

dVzyxSolucin EJEMPLO 5

Evale la siguiente integral iterada


- +

+

1

0

1

0

2 22

22

y yx

yx

dydxdzzyx

Solucin


- +

+

1

0

1

0

2 22

22

y yx

yx

dydxdzzyx

++

-

2222

2

1010

:

yxzyx

Ry

yxE

XY

= - +

+

1

0

1

0

2 22

22

y yx

yx

dydxdzzyx


++

-

2222

2

1010

:

yxzyx

yyx

E

22 yxz +=

22 yxz +=PARABOLOIDE

CONO


CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 8

Solucin: usando coordenadas cilndricas


222 ,:eParaboloid rzyxz =+=

rzyxz =+= ,:Cono 222

El Paraboloide y Cono se interceptan cuando z = 0 z = 1


rzr

r

E2

20

10

:p

qz = r2

z = rr = 1

Solucin


++

-

2222

2

1010

:

yxzyx

yyx

E

rzr

r

E2

20

10

:p

q

Descripcin de slido en coordenadas cartesianas

Descripcin de slido en coordenadas cilndricas

Solucin


( )

=

- +

+

2/

0

1

0

1

0

1

0

2

2 22

22

))(cos(p

qqqr

r

y yx

yx

rdrddzzrsenr

dydxdzzyx

rzr

r

E2

20

10

:p

q

Solucin


( )

( )

=2/

0

1

0

3

2/

0

1

0

2

2

))((cos

))(cos(

p

p

qqq

qqq

r

r

r

r

drdrdzzsen

rdrddzzrsenr

Solucin


9611

0

1

0

2 22

22

= - +

+

y yx

yx

dydxdzzyx


CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 9

OBSERVACIONES 1

La regin plana R se ubica en el plano XZ

cosR en Plano

( , , )

x ry y XZz r sen

J r y r

q

q

q

= = =

=


dV = r dr d dy

OBSERVACIONES 2

La regin plana R se ubica en el plano YZ

cos R en Plano

( , , )

x xy r YZz r sen

J r x r

qq

q

= = =

=

Rosa ique Alvarez50

dV = r dr d dx

EJEMPLO 6

Evale

donde E es el slido limitado por elparaboloide x = 1- y2 - z2 y el plano x = 0.

Rosa ique Alvarez51

dVzyE

22

Solucin: suma de cuadrados en YZ


rxrJ =),,( q

YZPlanoelenRcos

==

=

qq

senrzryxx

( )2222 11 zyzyx +-=--=

dV = r dr d dx

Solucin

Coordenadas cilndricas para (x, y, z)


===

qq

senrzryxx

cos

222 1,1:eParaboloid rxzyx -=--=

( )2222 11 zyzyx +-=--= Solucin


( )( ) ( ) -

=p

qqq2

0

1

0

1

0

222222

2

cosr

E

ddrrdxsenrrdVzy

-

YZplanoelenR201010

:

2

pqr

rxE


CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 10

Solucin


96

cos

22

2

0

1

0

1

0

22422

2

p

qqqp

=

=

-

dVzy

ddrdxrsenrdVzy

E

r

E

COORDENADAS CILNDRICAS MODIFICADAS

22

2

2

2

2

:CIRCULAR EPARABOLOID

;;

0;

ELIPTICOEPARABOLOID

vuz

zzbyv

axu

baby

axz

+=

===

+=



zzrsenvru

vuz

===

+=

qqcos

:CIRCULAR EPARABOLOID 22

zzvbyuax

zzbyv

axu

===

===

;;

;;

Coordenadas cilndricas modificadas

=q=q=

zzsenrby

rax cos

rbazrJ

rbsenbsenraa

zrzyxzrJ

=q

qqq-q

=q

=q

),,(1000cos0cos

det),,(),,(

),,(


0;

ELIPTICOEPARABOLOID

2

2

2

2

+= baby

axz

EJEMPLO 7

Calcular el volumen del slido acotado porlos paraboloides elpticos: z = x2 + 9 y2 yz =18 (x2 + 9 y2).

=E

dVV


Solucin


2

31

2221 ,9:

+=+=

yxzyxzS

( )

+-=-

+-=+-=

2

31

2

2

31

2222

18

18,918:

yxz

yxzyxzS


CALCULO VECTORIAL

ROSA IQUE ALVAREZ 11

-4-2

02

4

-40-20

0

2040

0

5

10

15

20

X

z=18-(x2+9y2)

Y

z=x2+9y2

Z

Paraboloide8

Solucin

Haciendo uso de las coordenadas cilndricasmodificadas


( )

=

=

=

=

zz

rzrJsenry

rx

31)1(),,(;

31

cos1

qq

q

Solucin

( ) 2222

2221

18918:eParaboloidS

9:eParaboloidS

rzyxz

rzyxz

-=+-=

=+=


La superficies S1 y S2 se interceptan cuando z = 9 (r=3).

zzsenryrx === ,31,cos qq Solucin

( ) ( ) -

==

p

q2

0

3

0

18 2

2 311

r

rE

drdrdzdVV


-

22 18

2030

rzr

XYRr

E pq

-4-2

02

4

-40

-20

0

20

400

5

10

15

20

X

z=18-(x2+9y2)

Y

z=x2+9y2

Z

Solucin

p

qp

27

312

0

3

0

18 2

2

=

== -

V

ddrdzrdVVr

rE


Solucin

-4-2

02

4

-40

-20

0

20

400

5

10

15

20

X

z=18-(x2+9y2)

Y

z=x2+9y2

Z

p27== E

dVV


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