Ruang Vektor 1

Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

- Dua vektor A dan B saling tegak lurus atau A B (yaitu cos = 0), jika

BA o = 0 atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0

- Dua vektor A dan B saling paralel jika komponen-komponennya sebanding atau

jika : z

z

y

y

x

x

B

A

B

A

B

A==

Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha

Dalam fisika, usaha = gaya jarak perpindahan

Jika vektor gaya dan vektor jarak perpindahan tidak sejajar, maka :

Usaha = besarnya komponen gaya yang sejajar dengan arah perpindahan x besarnya

jarak

Fv

W = d. cosFvv

Fv

= dF o

dv

cosFv

komponen vektor gaya F yang sejajar dengan jarak perpindahan d

CONTOH :

Diketahui :

F = 2i + 2j 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1)

ke titik (2,4,2)

Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F

Jawab:

dFW o=

d = (21)i + (40)j + (21)k = 2i + 4j + k

W = (2i + 2j 4k ) o (2i + 4j + k) = 4 + 8 4 = 8 satuan usaha

Ruang Vektor 2

a. Hasil Kali Vektor (Cross Product / Vector Product )

Ditulis : CBA = hasilnya berupa vektor

dengan sinBABA =

Arah dari BA ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.

Sifat Hasil Kali Vektor :

1. BA AB

BA = ( AB ) anti komutatif

2. (k A ) B = k( BA ) = (B)kA

3. A ( CB + ) = ( BA ) + ( CA )

( BA + ) C = ( CA ) + ( CB )

Dalam R3

Z 0 siniiii = = 0

dengan cara yang sama

i i = j j = k k = 0

k 190 sin == jiji

j Y 190 sin == kjkj

i 190 sin == ikik

X

sehingga : i j = k ; j k = i ; k i = j

j i = -k ; k j = -i ; i k = -j

Jika : A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

maka : BA = (Ax i + Ay j + Azk) (Bx i + By j + Bzk)

= (AyBz AzBy) i (AxBz AzBx) j + (AxBy AyBx) k

C

A

C

A

B

B

B

A

AB

BA

Ruang Vektor 3

atau :

BA =

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

dan

( )( ) ( )2BABBAA sinBABA ooo ==

CONTOH :

A = 2i j + k

B = i 3j + 4k

AA o = 22 + (-1)2 + 12 = 6

BB o = 12 + (-3)2 + 42 = 26 ; BA o = 2(1) + (-1)(-3) + 1(4) = 9

BA = 43-1

11-2

kji

= )16()1(83)4( +++ kji = - i 7j 5k

BA = 222 571 ++ = 25491 ++ = 75

BA = ( )( ) ( )2BABBAA ooo = 29)26(6 = 75

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor

Menghitung Torsi / Momen

Dalam mekanika, momen atau torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan

sebagai : dFm =

dengan F

d = jarak (dalam arah ) antara titik Q ke garis gaya F

d Q

d

Q

F

Lr

Ruang Vektor 4

Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis

gaya F

Maka d = sinr ; = sudut antara r dengan F

dan rF sinrFm ==

Jika Mm = , maka M = rF = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q

CONTOH :

Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O

Jawab :

F = (4 2) i + (2 1) j + 0k = 2i 3j + 0k

r = (2 0) i + (1 0) j + 0k = 2i + j + 0k

kkji

kji

86)(2(0)(0)

012

03-2rxFM =++===

m = 864M ==

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)

Jika :

A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

C = Cx i + Cy j + Cz k

BxA = kji

BB

AA

BB

AA

BB

AA

yx

yx

zx

zx

zy

zy+

CBxA o = z

yx

yxy

zx

zxx

zy

zyC

BB

AAC

BB

AAC

BB

AA +=

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

'

y

r

F

' ' 'x

0

(2,1)

(4,-2)

Ruang Vektor 5

disebut hasil kali skalar tripel, karena hasilnya merupakan skalar.

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat :

1. ( ) ( ) BACACBCBA ooo == sehingga:

( ) ( )CBACBA = oo Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya, letak tanda x

dan o nya tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.

Sehingga:

CABCABCBA == ooo

2. Hasil kali skalar tripel: 0CBA = o bila dan hanya bila C dan B,A sebidang.

Bukti :

a. 0CBA = o C dan B,A sebidang

Jika 0CBA = o maka C BA atau salah satu dari C atau B,A vektor nol

Berarti:

i. Apabila salah satu dari C atau B,A vektor nol, maka pasti

C dan B,A sebidang

ii. Apabila C BA maka C bisa diletakkan sebidang dengan B dan A

sehingga C dan B,A sebidang

b. Jika C dan B,A sebidang 0C B A = o

Jika C dan B,A sebidang, maka C BA sehingga 0C B A = o

Arti Geometris Dari C B A o

Diberikan vektor C dan B,A G F

A = OA

B = OB C E

C = OC P B D

C B BAP = O A A

Ruang Vektor 6

BA = luas jajaran genjang OADB

C B A o = C P o = cosC P

cosC = tinggi C di atas bidang OADB

Jadi CBA o = volume bidang enam (paralel epipedum) OADB CEFG yang

disusun oleh C dan B,A

Catatan :

Luas jajaran genjang OABC =

'AA OB = sinOA OB = OA OB

CONTOH :

Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) 0BACABA =+++ o Bukti :

Misalkan uBA =+

vCA =+

Maka : uvu o = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u

Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut

sebidang sehingga : uvu o = 0

d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)

Hasil kali vektor tripel adalah : ( ) CBA ; ( )CBA Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurungnya ditukar.

Misalkan :

(i i) j = 0 j = 0 i (i j) = i k = j

Sifat Hasil Kali Vektor Triple :

1. ( )CBA ( ) CBA

A' B

CA

O )

Ruang Vektor 7

2. ( )CBA = ( )BCA o ( )CBA o ( ) CBA = ( ) ( )ACBBCA oo

CONTOH :

1. Jika: A = 2i + 2j k

B = i - j + k

C = 3i + j 2k

Hitung : ( ) CBA ; ( )CBA Jawab :

a.

111

122BxA

=kji

= )22()12()12( ++ kji = i 3 j 4k

213

431Cx)BxA(

=kji

= )91()122()46( ++++ kji = 10i 10j + 10k

Atau :

( ) CBA = ( ) ( )ACBBCA oo = (6 + 2 + 2)(i - j + k) (3 -1 -2)( 2i + 2j k) = 10 (i - j + k) = 10i 10j + 10k

b.

213

111CB

=

kji= )31()32()12( ++ kji = kji 45 ++

451

122)CB(xA =kji

= )210()18()58( +++ kji = kji 8913 +

Atau :

( )CBA = ( )BCA o ( )CBA o = (6 + 2 + 2)(i - j + k) (2 2 1)(3i + j 2k) = 10 (i - j + k) + (3i + j 2k) = kji 8913 +

2. Buktikan : )AB)(AA()]BA(A[A = o

Bukti :

Misalkan CBA =

Maka )]BA(A[A = ( )CAA = ( ) ( )CAAACA oo = ( ) ( )( )BAAAABAA oo = ( ) ( )( )BAAAA0 o

Ruang Vektor 8

= ( )( )BAAA o = ( )( )ABAA o

Ruang Vektor 9

PENGGUNAAN VEKTOR DALAM GEOMETRI

a. Persamaan Garis

Dalam R3 :

Andaikan sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor

v = Ai + Bj + Ck. Maka merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian

hingga PP1 sejajar dengan v

Jadi titik P(x,y,z) terletak pada garis bila dan hanya bila PP1 = vt dengan t adalah suatu

skalar.

Atau :

(x x1)i + (y y1) j + (z z1) k = t (Ai + Bj + Ck) = t Ai + t Bj + t Ck

Ini berarti :

===

CtzzBtyyAtxx

1

1

1

CtzzBtyyAtxx

1

1

1

+=+=+=

Persamaan parameter garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan paralel dengan vektor v .

Atau:

Persamaan standard garis yang melalui titik

y1, z1) dan paralel dengan kji CBAv ++= (x1,

Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis , dan A, B, C merupakan bilangan

arah garis.

Jika salah satu dari A, B dan C nol

Misalkan A = 0 maka x x1 = 0 x = x1

Persamaan standardnya ditulis : C

zz

B

yy 11 =

; dan x = x1

CONTOH :

Tentukan persamaan garis melalui titik A ( 5,4,1) dan titik B (3, 1, 6)

Vektor arah garis v = AB = 2i 3j + 5k

t = C

zzB

yyA

xx 111 ==

P1(x1,y1,z1)

P(x,y,z)

l

CkBjAiV ++=

Ruang Vektor 10

Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x,y,z) dan titik tertentu yang terletak pada

garis diambil titik A(5,4,1) maka

Persamaan standard garis : 5

1z34y

25x =

=

Atau :

34y

25x

=

3x 2y 7 = 0 Persamaan standard garis :

51z

34y =

5y 3z 17 = 0 017z3y5

07y2x3

==

Persamaan parameter garis :

t51z

t34y

t25x

+===

b. Persamaan Bidang

Vektor N bidang W sehingga N disebut Vektor

Normal dari bidang W

Jika N = Ai + Bj + Ck

PQ = (x x1) i + (y y1) j + (z z1) k PQ terletak pada bidang W

Sehingga PQ N 0PQN =o

Atau :

Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N = Ai + Bj + Ck

CONTOH :

1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3, 2,1) ; Q(4,1, 5) ; R(2, 4, 3).

Dalam R2 :

Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m

maka vektor arah garis = i + mj

A(x x1) + B(y y1) + C(z z1) = 0

)z,y,P(x 111

z)y,Q(x,

N

W )

Ruang Vektor 11

bidang pada terletak PR dan PQvektor 22PR

4PQ

++=+=

kjikji

kji

kji

+=== 6-10221

411PRPQN

-

-

Persamaan bidang:

A(x x1) + B(y y1) + C(z z1) = 0

10 (x 3) 6 (y 2) + 1( z 1) = 0

10x 6y + z + 41 = 0

Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai :

dengan N = Ai + Bj + Ck

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2) ; tegak lurus pada bidang

U = 2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang V = x y + 3z = 0

U : 2x + 3y + z = 8 UN = 2i + 3 j + k

V : x y + 3z = 0 VN = i j + 3k

Dicari bidang W yang bidang U dan V, berarti wN uN dan VN

Atau

kji

kji

5-510

311

132NNN vuw ===-

Persamaan bidang W :

10(x 4) 5(y 1) 5(z + 2) = 0

10x 5y 5z 45 = 0

2x y z = 9

c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang

Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan persamaan bidang

V : Ax + By + Cz + D = 0

Normal bidang vN = Ai + Bj + Ck

Ax + By + Cz + D = 0

Ruang Vektor 12

Q(-D/A,0,0)

Jika A 0 Titik

0;0;AD

Q terletak pada bidang tersebut.

kji tsAD

rQPk ++

+==

P(r,s,t) N k d

= sudut antara N dan k

sehingga coskd =

N

kNddNcoskNkN

oo ===

sehingga : 222 CBA

CtBsAD

rAd

++

++

+=

atau

222 CBA

DCtBsArd

++

+++= Jarak titik P(r,s,t) ke bidang : Ax + By + Cz + D = 0

CONTOH :

Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2) ; B = (6,4,3) ; C = (0,5,1)

AC = -2i + j + k

AB = 4i + k

Normal bidang ACABN = = kjikji 42

112

104

++=

Persamaan bidang ABC :

(x 0) + 2 (y 5) + 4 (z 1) = 0

x + 2y + 4z 14 = 0

Jarak titik P(5, 5, 4) ke bidang : x + 2y + 4z 14 = 0 adalah :

Ruang Vektor 13

21

146!105

1641

14)4(4)5(2)5(1dd

++=

++

++== =

21

7

d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang

Diberikan bidang v dengan normal vN

Diberikan bidang w dengan normal wN

(W V) vN

l

wN

Jika bidang V dan W berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan

dengan vN maupun wN

Sehingga jika vektor arah garis tersebut l , maka wv NN =l

CONTOH :

Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang

2x + y 2z = 5 dan 3x 6y 2z = 7

V = 2x + y 2z = 5 Nv = 2i + j 2k

W = 3x + 6y 2z = 5 Nw = 3i + 6j 2k

Vektor arah garis:

kjikji 15214

263

212

NNL wv =

==

Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang :

(i) 2x + y + 2z = 5

(ii) 3x 6y 2z = 7 x + 7y = 2

Misalkan diambil : y = 0 x = 2 x = 2

(i). 2(2) + 0 2z = 5 2z = 5 4 z =

Ruang Vektor 14

Jadi titik (2, 0, - ) terletak pada garis potong 2 bidang.

Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang : 15

z

20y

142x 2

1

+

==

e. Sudut Antara Garis dan Bidang

Jika :

ll garis arah vektorcba ++= kji

0DCkBy Ax V bidang normalCBAN =+++=++= kji

l

N

v)

cos = l

lo

N

N =

)cba)(CBA(

CcBbAa222222 ++++

++

sin = sin (90 )

= cos = )cba)(CBA(

CcBbAa222222 ++++

++

Sehingga sudut antara garis dengan vektor arah kji cba ++=l dengan bidang V dengan

normal bidang ki CBANv ++= j adalah

)cba)(CBA(

CcBbAaarcsin

222222 ++++

++=