DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang...

10
www.pintarmatematika.web.id - 1 DIMENSI TIGA Macam-macam Bangun Ruang : 1. Kubus : Kubus ABCD. EFGH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a. Panjang diagonal bidang (AH) = a 2 Panjang diagonal ruang (BH) = a 3 Volume Kubus = a 3 Luas Kubus = 6 a 2 2. Balok: Balok ABCD.EFGH di atas mempunyai panjang p, lebar l dan tinggi t. Volume Balok = p x l x t Luas Balok = 2 ( p.l + l . t + p. t ) 3. Limas Volume Limas = 3 1 luas alas x tinggi Luas limas = luas alas + luas bidang sisi tegak 4. Kerucut Kerucut di atas mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t dan panjang garis pelukis s. hubungan ketiganya dirumuskan sbb: s 2 = r 2 + t 2 Volume Kerucut = 3 1 π r 2 t Luas Kerucut = π r 2 + π r s

Transcript of DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang...

Page 1: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 1

DIMENSI TIGA

Macam-macam Bangun Ruang : 1. Kubus :

Kubus ABCD. EFGH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a.

Panjang diagonal bidang (AH) = a2

Panjang diagonal ruang (BH) = a3 Volume Kubus = a3 Luas Kubus = 6 a2

2. Balok:

Balok ABCD.EFGH di atas mempunyai panjang p, lebar l dan tinggi t.

Volume Balok = p x l x t Luas Balok = 2 ( p.l + l . t + p. t )

3. Limas

Volume Limas = 3

1 luas alas x tinggi

Luas limas = luas alas + luas bidang sisi tegak 4. Kerucut

Kerucut di atas mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t dan panjang garis pelukis s. hubungan ketiganya dirumuskan sbb: s2 = r2 + t2

Volume Kerucut = 3

1 π r 2 t

Luas Kerucut = π r 2 + π r s

Page 2: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 2

5 5. Bola

Bola di atas mempunyai jari-jari r (diameter = 2

1r )

Volume Bola = 3

4 π r 3

Luas Bola = 4 π r 2 Pengertian titik, garis dan bidang

1. Titik

Titik tidak mempunyai ukuran yang berarti tidak mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol. Titik ditandai dengan tanda noktah. • • A B

2. Garis • • •

P Q R Perbedaan ruas garis dan garis: Ruas garis PQ mempunyai panjang tertentu yaitu sebesar jarak antara titik P dan titik Q Garis mempunyai panjang tak hingga, garis tidak mungkin digambar secara keseluruhan atau yang dapat igambar hanya sebagian saja (yang tergambar masih bisa diperpanjang. Ruas garis PQ ≠ ruas garis QR garis PQ = garis QR karena bila diperpanjang akan mewakili garis yang sama

3.Bidang D C A B Daerah dan Bidang: Daerah : mempunyai luas tertentu Bidang : mempunyai luas tak terbatas , untuk menggambarkan bidang hanya sebagian saja sebagai perwakilan Daerah ABC ≠ daerah ABCD Bidang ABC = bidang ABCD Jarak, Proyeksi dan Sudut Jarak 1. Jarak antara dua titik • • A B Jarak antara titik A dan B = panjang ruas garis AB 2. Jarak antara titik dan garis A • • g B Jarak antara titk A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g)

Page 3: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 3

3. Jarak antara titik dan bidang

Jarak antara titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB ( AB tegak lurus bidang α ) 4. Jarak antara dua garis sejajar

garis g sejajar garis h jarak garis g dan garis h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) 5. Jarak antara dua garis bersilangan

garis g bersilangan dengan garis h jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) � sama dengan point 3 di atas

6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar

garis g sejajar dengan bidang α jarak antara garis g dengan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α dan garis g)

7. Jarak antara dua bidang yang sejajar

Bidang α sejajar dengan bidang β Jarak kedua bidang = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus dengan kedua bidang) Proyeksi :

1. Proyeksi titik pada garis

Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g (AB tegak lurus garis g)

Page 4: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 4

2. Proyeksi titik pada bidang

Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α ) 3. Proyeksi garis pada bidang a. Garis g menembus bidang α

garis BA menembus bidang α di titik A titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidangα proyeksi garis BA pada bidang α adalah = ruas garis AB’ b. garis g sejajar dengan bidang α

Titik A dan B terletak pada garis g titk A’ dan B’ merupakan proyeksi titik A dan B pada bidang α Ruas garis A’B’ adalah proyeksi garis g pada bidang α

Sudut 1. Sudut antar dua garis yang bersilangan

garis g dan h bersilangan g // g’ dan h // h’ ∠ (g,h) = ∠ (g ' ,h ' ) = ∠ (g, h' ) = ∠ ( g ' ,h)

2. Sudut antara garis dan bidang

∠ (BA, bidang α ) = ∠ (BA,AB’) 3. Sudut antara dua bidang

(α , β ) adalah garis potong antara bidang α dan bidang β . AB dan BC tegak lurus (α , β ) Sudut antara bidang α dan β : ∠ (AB,BC) = ∠ ABC

Page 5: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 5

Contoh Soal :

UN2010 - 2012

1. UN2010

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm

dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah ….

A. 5

35 cm C.

5

185 cm

E. 5 5 cm

B. 5

95 cm D.

5

1810 cm

Jawab:

H G

E F

T

6 P

D C

A 6 B

Dari gambar terlihat Jarak titik E ke BT adalah EP

EP2

= EB2

- BP2

= ET2

- TP2

mencari ET:

Lihat ∆ ETG � ∠ G = siku-siku

ET=22 GTEG +

EG =diagonal bidang =6 2

GT = 2

1CG =

2

1. 6 = 3

ET=22

3)26( +

= 972+ = 81 = 9

Titik P terletak diantara titik BT

Misal TP = x maka BP = BT – x

BT= 22 CTBC + ; CT = CG.

2

1=

2

1. 6 = 3

= 22 36 + = 936+ = 45 = 3 5

EP2

= EB2

- BP2

= ET2

- TP2

(6 2 )2

- (3 5 - x )2

= 81 - x2

72 - (45 - 6 5 x + x2

) = 81 - x2

72 – 45 + 6 5 x - x2

= 81 - x2

72 – 45 – 81 + 6 5 x = x2

- x2

-54 = - 6 5 x

6

54 = 5 x

5 x = 9

x = 5

9 = TP

EP2

= ET2

- TP2

= 92

- (5

9)

2

= 81 - 5

81 =

5

81405− =

5

324

EP= 5

324=

5

18 =

5

18

5

5 =

5

185 cm

Jawabannya adalah C

UN2010

2. Diketahu kubus ABCD.EFGH. Nilai cosinus sudut antara

CF dan bidang ACH adalah ….

A. 6

13 C.

2

13 E. 3

B. 3

13 D.

3

23

Jawab:

Page 6: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 6

H G

E F

P

O

D C

Q

A B

Yang dicari adalah )(),( COFC∠

F

α

O C

Cos α =

miringbidang

datarbidang =

FC

CO

Titik P adalah titik tengah AH maka AP = 2

1AH ; misal

panjang rusuk =a

Maka AP = 2

1.a 2

CP = 22 APAC −

= 22 )2

2

1()2( aa −

= 22

2

12 aa − =

2

2

3a =

2

2.

2

3 2a = 62

1a

PO adalah titik berat segitiga = 3

1CP

CO = CP – PO = CP - 3

1CP =

3

2CP =

3

26

2

1a = 6

3

1a

Cos α = FC

CO =

2

63

1

a

a =

2

63

1

a

a

2

2

= 3

1.2

112 =

6

1.2 3 =

3

1. 3

Jawabannya adalah B

UN2010

3. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari

lingkaran luar 8 cm adalah ….

A. 192 cm2 C. 162 cm

2 E. 144 cm

2

B. 172 cm2 D. 148 cm

2

Jawab:

Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran

r adalah:

L = n . 2

1 . r

2. sin

0360

n

Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari

lingkaran luar 8 cm adalah:

L = 12. 2

1. 8

2. Sin

0

12

360

= 384 . sin 300 = 384 .

2

1 = 192

Jawabannya adalah A

UN2010

4. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan

panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7 cm, dan AC = 3 cm.

Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….

D F

E

A C

B

Page 7: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 7

A. 55 2 cm3 C. 75 3 cm

3

E. 120 3 cm3

B. 60 2 cm3 D. 90 3 cm

3

Jawab:

D F

E

20

A 3 C

6 3 7

B

Volume = L alas x tinggi

Mencari L alas :

L alas = 2

1x jarak bidang datar x t

Lihat ∆ ABC:

B

6 t 3 7

A 3-x x C

t2

= 62

- (3-x)2

= (3 7 )2

- x2

36 - (9 - 6x + x2

) = 63 - x2

36 - 9 + 6x - x2

= 63 - x2

36 – 9 – 63 = - 6x

- 36 = - 6x

x = 6

t2

= (3 7 )2

- x2

= 63 – 36 = 27

t = 27 = 3 3

L alas = 2

1x jarak bidang datar x t =

2

1. 3 . 3 3

= 2

93

Volume = L alas x tinggi

= 2

93 . 20 = 90 3 cm

3

Jawabannya adalah D

UN2011

5. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat

segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut

adalah....

A. �128 � 64√3 cm D. �128 � 16√2 cm

B. �128 � 64√2 cm E. �128 � 16√3 cm

C. �128 � 16√2 cm

Jawab:

x

8cm 450

8cm

450

8 cm

ditanya = panjang sisi segi-8 = x = ...?

diketahui jari-jari = 8 cm

sudut antar sisi = � ��

� = 45

0

pakai rumus aturan cosinus:

b a

α

c

Page 8: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 8

2a = 2b +

2c - 2bc cos α �

b = 8 cm ; c = 8 cm ; α = 450 ;

x = a

x2 = 8

2 + 8

2 – 2 . 8 . 8 cos 45

0

X2 = 64 + 64 – 128

��√2

= 128 - 64√2

x= �128 − 64√2 cm

Jawabannya adalah B

UN2011

6. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB=

4 cm , BC = 6 cm, AC = 2√7 cm,

dan CF = 8 cm. Volume prisma tersebut adalah ......

A. 96 √3 cm3 B. 96 √2 cm

3 C. 96 cm

3

D. 48 √3 cm3 E. 48 √2 cm

3

Jawab:

Trigonometri dan Dimensi Tiga

F

8

D E

C

2√7 6

α

A 4 B

Volume Prisma = Luas alas x tinggi

Luas alas = luas segitiga = 2

1 AB.BC. sin α

cari α dengan aturan cosinus.

2a = 2b +

2c - 2bc cos α AC

2 = AB

2 + BC

2 – 2 AB. BC cos α

cos α = �����������

���.��

= ��� ��(�√�)�

�.�. = � �� ���

�� = 48

24=

2

1

α = 600

Volume Prisma = Luas alas x tinggi

= 2

1 AB.BC. sin α x tinggi

= 2

1.4.6. sin 600 x 8

= 12 . 2

1 √3 . 8

= 48 √3 cm3 Jawabannya adalah D UN2011

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah

titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah.....

A. 4√6 cm C. 4√3 cm E. 4 cm

B. 4√5 cm D. 4√2 cm

Jawab:

Dimensi Tiga

H G

E M F

8 D O C

A 8 B

EH = 8 cm

EM = �� EH =

�� . 8 = 4 cm

AM = √ !� + "�

= √8� + 4�

= √64 + 16 = √80 = 4√5 cm

jarak titik M ke AG = OM = √!"� − !$�

AG = 8 √3 cm (diagonal ruang)

AO = �� AG = 4 √3 cm

= %(4√5)� − (4√3)� = √80 − 48 = √32 = 4√2 cm

Jawabannya adalah D

Page 9: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 9

UN2011

8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah....

A. �� √6 B.

�� √3 C.

�� √2

D. �� √3 E.

�� √2

Jawab: Dimensi Tiga H G

E F

α

10 D C

O

A 10 B

G O

α

α

O C C G CG = 10 cm

AC = 10 √2cm

OC = �� AC = 5 √2 cm

OG = √$&� + &'� = %(5√2)� + 10� = √50 + 100 = √150 = 5√6 cm

cos α = ()()*+,+-()().)-)/0 =

�121 =

��3√ =

�√ =

�√

√ √ =

� √6 =

��√6

Jawabannya adalah A

UN2012

9. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik

tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah ....

A. 8√5 cm C. 6√3 cm E. 6 cm

B. 6√5 cm D. 6√2 cm

Jawab:

H G

E F P

O

D C

A 12 cm B

P

H O B

ditanya OP =...?

BH = 12√3 ; GP = CP = ½ . 12 = 6

HP2 = GH

2 + GP

2

= 122 + 6

2= 144 + 36 = 180

HP = √180 = 6 √5 = BP

∆ BHP adalah sama kaki

HO = BO = ½ . 12√3 = 6 √3

OP = �(56)� − (5$)�

= %(6√5)� − (6√3)�

=√180 − 108 = √72

= 6√2 cm

Jawabannya D

Page 10: DIMENSI TIGA (Kompetensi 3) - purwantowahyudi.com ...Kompet… · - 4 2. Proyeksi titik pada bidang Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α)

www.pintarmatematika.web.id - 10

UN2012

10. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan

rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangen sudut

antara garis PT dan alas QRST adalah ....

A. �� √3 D. 2 √2

B. √2 E. 2 √3

C. √3

Jawab:

P

3√2 cm

T S

O

Q 3 cm R

Alas limas

T S

O

O

T α O Q R

Tan α = 78 =

292: � OP = √6;� − $;�

panjang diagonal RT = panjang diagonal QS

= 3 x √2 = 3√2

PT = 3√2 ; OT = ½ diagonal RT = ½ . 3√2 = �� √2

OP = %(3√2)� − (�� √2)�

= %18 − ���

= %������ = %3�

� = �� √6

Tan α = 78 =

292: =

<�√ <�√�

= √ √� = %

� = √3

Jawabannya C