VEKTOR DAN NILAI EIGEN

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

TIM DOSEN

8

03/05/2017 09.391

Beberapa Aplikasi Ruang Eigen

Uji Kestabilan dalam sistem dinamik

Optimasi dengan SVD pada pengolahan Citra

Sistem Transmisi

dan lain-lain.

Definisi :

Misalkan Anxn matriks matriks bujur sangkar

adalah vektor tak nol di Rn dan adalah skalar Rill

sehingga memenuhi :

maka dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen dari A

2 03/05/2017 09.39

v

vvA

v

03/05/2017 09.393

Contoh :

2

1

34

21

Vektor eigen

Nilai eigen

2

15

5

10

03/05/2017 09.394

Perhatikan !!!

Ingat.

merupakan vektor tak nol

Ini Berarti

vvA

0 vvA

0 vIvA

0 vIA

v

0det IA Persamaan Karakteristik

03/05/2017 09.395

Contoh :

Tentukan nilai eigen dari matriks

Persamaan Karakteristik det (A I) = 0

0 0 1-

2 1 0

2- 0 1

A

0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 1-

2 1 0

2- 0 1

0

- 0 1-

2 -1 0

2- 0 -1

03/05/2017 09.396

Dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-2

(1 ) ( (1) () 2 ) = 0

(1 ) ( 2) = 0

(1 ) ( 2) ( + 1) = 0

Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu :

= 1, = 1, dan = 2.

Contoh :

Tentukan basis ruang eigen dari :

2 1 1

1 2 1

1 1 2

A

03/05/2017 09.397

Jawab : Nilai eigen dari A diperoleh saat

( 2){( 2)2 1} + ( +1) (1+( 2)) = 0

( 2){ 2 4 + 3} ( 1) ( 1) = 0

( 2){( 3)( 1 )} 2 ( 1) = 0

( 1)(( 2)( 3) 2) = 0

( 1)( 2 5 + 4) = 0

( 1)2( 4) = 0

0det AI

0

2- 1- 1-

1- 2- 1-

1- 1- 2-

01- 1-

2- 1-

2- 1-

1- 1-

2- 1-

1- 2-2

03/05/2017 09.398

Nilai Eigen dari matriks tersebut adalah 1 dan 4.

Untuk = 1

Dengan OBE diperoleh

maka

0

0

0

z

y

1- 1- 1-

1- 1- 1-

1- 1- 1- x

0

0

0

000

000

111

t

s

ts

z

y

x

ts

1

0

1

0

1

1

dimana s, t adalah parameter

03/05/2017 09.399

Jadi, Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =1 adalah

1

0

1

,

0

1

1

Ingat bahwa

Vektor eigen merupakan kelipatan dari

unsur basis tersebut

03/05/2017 09.3910

Untuk = 4

dengan OBE diperoleh

maka

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =4 adalah

0

0

0

2 1- 1-

1- 2 1-

1- 1- 2

z

y

x

s

z

y

x

1

1

1

0

0

0

000

110

101

1

1

1

03/05/2017 09.3911

Diagonalisasi

Definisi : Suatu matriks bujur sangkar Anxn dikatakan

dapat didiagonalkan (diagonalizable)

jika terdapat matriks P yang mempunyai invers sehingga P1AP merupakan

matriks diagonal.

Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan (pendiagonal) dari A.

Vektor-vektor kolom dari matriks P adalah vektor-vektor eigen dari A.

03/05/2017 09.3912

Contoh : Tentukan matriks yang mendiagonalkan

110

110

001

A

0. AI

0

110

110

001

00

00

00

det

Jawab :Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :

atau

03/05/2017 09.3913

0

110

110

001

det

131312121111.det cacacaAI

002 1

2 1

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor :Pilih Baris I

Sehingga diperoleh nilai eigen 2 ; 1 ; 0

03/05/2017 09.3914

0

~. AI

110

110

001

110

110

001

~

000

110

001

~

Untuk

Dengan OBE maka

0

t

x

x

x

1

1

0

3

2

1

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

, dimana t adalah parameter tak nol

1

1

0

1Padalah

03/05/2017 09.3915

1

~. AI

010

100

000

010

100

000

~

000

100

010

~

Untuk

Dengan OBE maka

1

t

x

x

x

0

0

1

3

2

1

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

, dimana t adalah parameter tak nol

0

0

1

2Padalah

03/05/2017 09.3916

Untuk

Dengan OBE maka

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

, dimana t adalah parameter tak nol

adalah

2

110

110

001

~. AI

000

110

001

~

t

x

x

x

1

1

0

3

2

1

1

1

0

3P

2

03/05/2017 09.3917

0332211 PkPkPk

0

0

0

101

101

010

3

2

1

k

k

k

101

010

101

~

101

101

010

200

010

101

~

100

010

101

~

100

010

001

~

321 ,, PPP

Perhatikan

Jadi

merupakan himpunan yang bebas linear

Dengan OBE

03/05/2017 09.3918

Jadi, Matriks yang mendiagonalkan A adalah :

Matriks diagonal yang dihasilkan adalah :

Hal yang perlu diperhatikan, matriks

Juga mendiagonalkan A.

Tapi matriks diagonal yang terbentuk adalah :

101

101

010

P

200

010

0001APPD

110

110

001

P

200

000

0011APPD

03/05/2017 09.3919

Bnxn dikatakan matriks ortogonal jika B1 = Bt

Pernyataan berikut adalah ekivalen :

Bnxn adalah matriks ortogonal.

Vektor-vektor baris dari B membentuk himpunan ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.

Vektor-vektor kolom dari B membentuk himpunan ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.

xPx , untuk setiap x di Rn

Misalkan P merupakan matriks ortogonal maka berlaku :

P t P = I

03/05/2017 09.3920

Contoh :

2

1

2

1

2

1

2

1

A

2

1

2

1

2

1

2

1

0

010

0

B

Berikut adalah contoh matriks ortogonal :

Terlihat bahwa setiap vektor baris/kolommerupakan vektor satuanDan hasilkali dalam antar vektor tersebut adalah nol

03/05/2017 09.3921

22x

t IAA 33x

t IBB

6

8

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

14

2

4

2

196

100

6

8

Perhatikan bahwa :

dan

Sementara itu,

03/05/2017 09.3922

Definisi :

Suatu matriks Anxn dikatakan dapat didiagonalkan secara ortogonal

jika terdapat matriks ortogonal P

sedemikian hingga

P1AP (=PtAP) merupakan matriks diagonal.

03/05/2017 09.3923

Perhatikan bahwa :

D = P1AP atau A =PDP1

Misalkan P merupakan matriks ortogonal, maka

A = PDPt

Sehingga diperoleh hubungan

At = (PDPt)t

= (Pt )t DPt

= PDPt

= A

A dapat didiagonalkan secara ortogonal jika dan hanya jika A matriks simetri

03/05/2017 09.3924

Misal Anxn, cara menentukan matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A :

Tentukan nilai eigen

Tentukan basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen yang diperoleh

Ubah setiap basis pada (b) menjadi basis ruang eigen yang ortonormal.

Bentuk matriks P dimana vektor-vektor kolomnya berupa basis ruang eigen yang ortonormal.

Contoh :

Tentukan matriks yang mendiagonalkan secara ortogonal matriks

110

110

001

A

03/05/2017 09.3925

Jawab :

Basis ruang eigen :

Untuk adalah

Untuk adalah

Untuk adalah

0

1

2

1

1

0

0

0

1

1

1

0

2

1

21

0

0

0

1

21

21

0

03/05/2017 09.3926

Sehingga matriks ortogonal yang mendiagonalkan A adalah :