MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG ... Kernel dan Jangkauan 2 4/15/2017 Sub Pokok Bahasan MUH1G3/ MATRIKS DAN...

Click here to load reader

  • date post

    01-Aug-2021
  • Category

    Documents

  • view

    2
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG ... Kernel dan Jangkauan 2 4/15/2017 Sub Pokok Bahasan MUH1G3/ MATRIKS DAN...

PowerPoint PresentationTIM DOSEN
Grafika Komputer Penyederhanaan Model Matematika dan lain-lain
Aplikasi Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang vektor T: V → W dinamakan
transformasi linear, jika untuk setiap a, b ∈ V dan α ∈ R
– T a + b = T a + T b
– T αa = αT(a)
Contoh 1:
T x y =
Jawab:
Ambil 1 unsur sembarang (contoh ) dan 2 unsur sembarang di R2,
Misalkan u = u1 u2
T u + v = T u1 u2
+ v1 v2
=
=
=
4 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
• Akan ditunjukan bahwa T u = T u
T u = T u1 u2
= T u1 u2
Jadi, merupakan transformasi linear
5 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 2:
Misalkan merupakan suatu transformasi dari 2×2 ke yang didefinisikan oleh = det(), untuk setiap ∈ 2×2. Apakah merupakan Transformasi Linear?
Jawab:
∈ 2×2
det = det 11 12 21 22
= 2 1122 − 1221 = 2det()
Jadi bukan transformasi linear
6 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 3:
a. Apakah merupakan transformasi linear
b. Tentukan (1 + + 2)
Jawab:
a.Ambil 1 unsur sembarang (contoh ) dan 2 unsur sembarang di 2, Misalkan u = u1 + u2x + u3x
2, v = v1 + v2x + v3x 2
• Akan ditunjukan bahwa T u + v = T u + T(v) T u + v = T u1 + u2x + u3x
2 + v1 + v2x + v3x 2
= T (u1+1) + u2 + 2 x + (u3+3)x 2
= (u1+1) − u2 + 2 (u1+1) − (u3+3)
7 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
= (u1+1) − u2 + 2 (u1+1) − (u3+3)
= 1 + 1 − 2 − 2 1 + 1 − 3 − 3
= 1 − 2 + 1 − 2 1 − 3 + 1 − 3
= 1 − 2 1 − 3
+ 1 − 2 1 − 3
2
= T u + T(v)
• Akan ditunjukan bahwa T u = T u T u = T( u1 + u2x + u3x
2 )
= 1 − 2 1 − 3
= (1−2) (1−3)
= 1 + 2 + 3 2 = T u
Jadi, T merupakan Transformasi Linear8 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
b. 1 + + 2 = 1 − 1 1 − 1
= 0 0
Suatu Transformasi Linear : → dapat direpresentasikan dalam bentuk:
=
Contoh 4:
=
Jawab:

= 1 −1 −1 0 0 1
Secara umum, jika : → merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah ×
10 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Misalkan
= {1, 2} basis bagi ruang vektor dan : 2 → 3 merupakan transformasi linear dimana
= untuk setiap = 1, 2
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara:
Tulis: 1 = 1 = 1 2 = 2 = 2
Sehingga 3×2 1 2 2×2 = 1 2 2×2
Jadi = 1 2 1 2
−1
Contoh 5:
1 = 1 1 −1
, 2 = 0 1 −1
, 3 = 0 0 1
adalah basis bagi 3.
: 3 → 1 Transformasi linear didefinisikan = = untuk setiap = 1,2,3.
Jika
Tentukan:
12 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab:
Definisikan:
; 2 = 1 = 1 0
; 3 = 2 = 0 2
Karena = ∀
1 0 0 1 1 0 −1 −1 1
= 1 1 0 −1 0 2
Atau
1 0 0 1 1 0 −1 −1 1
−1
13 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Invers matriks dicari dengan OBE: 1 0 0 1 1 0 −1 −1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
−1 + 2 1 + 3
2 + 3 ~
Sehingga
1 0 0 −1 1 0 0 1 1
= 0 1 0 −1 2 2
Jadi matriks transformasi adalah 0 1 0 −1 2 2
14 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Sementara itu,
1 −1 2
= −1 +
Contoh 6:
Diketahui basis dari polinom orde dua adalah 1 + , − + 2, 1 + − 2
Jika : 2 → 3 adalah transformasi linear dimana
1 + = 0 1 2
; − + 2 = 1 2 0
; 1 + − 2 = 2 1 0
Tentukan
Gunakan konsep membangun ruang
Himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2
Maka polinom tersebut ditulis menjadi 1 − + 2 = 1 1 + + 2 − + 2 + 3 1 + − 2
Dengan menyederhakan persamaan diatas, didapat SPL sebagai berikut

2 − 3 = 1
17 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jadi kombinasi linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk: 1 − + 2 = 0 1 + + 2 − + 2 + 1 1 + − 2
Atau
1 − + 2 = 0 1 + + 2 − + 2 + 1 1 + − 2
Karena merupakan Transformasi linear maka 1 − + 2 = 0 1 + + 2 − + 2 + 1 1 + − 2
= 0 0 1 2
+ 2 1 2 0
+ 1 2 1 0
18 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Misalkan : → merupakan transformasi linear. Semua unsur di yang dipetakan ke vektor nol di dinamakan KERNEL
notasi ker() atau
Contoh 7:
+ + 2 = − −
Perhatikan bahwa 1 + + 2 = 1 − 1 1 − 1
= 0 0
Sementara itu, 1 + 2 + 2 ∉ ker
Karena 1 + 2 + 2 = −1 1
≠ 0
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel .
Teorema :
Jika T V → W adalah transformasi linear maka ker T merupakan subruang dari V
Bukti :
Ambil a, b ∈ ker T sembarang dan α ∈ R
1.Karena setiap a ∈ ker T artinyna setiap a ∈ sehingga a = 0, Maka ker ⊆
20 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
2. Perhatikan bahwa 0 ∈ ker .
Artinya setiap 0 = 0= 0
oleh karena itu ker ≠ {}
3. Karena a, b ∈ ker T dan ker ⊆ Ingat bahwa merupakan ruang vektor, sehingga berlaku
a + b ∈
akibatnya a + b = a + b = 0 + 0 = 0
Jadi a + b ∈ ker()
4. a ∈ ker T dan a ∈ Karena adalah ruang vektor, maka untuk setiap ∈ berlaku:
= = 0 = 0
Jadi ∈ ker()
Dengan demikian, terbukti bahwa
Jika : → adalah transformasi linear maka ker() merupakan subruang dari ruang vektor
21 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
22 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
ker subruang? Basis ker ?
Contoh 8:

= + + 2 − + 2 + + 2
Tentukan basis dan dimensi ker() dan () (R(T) adalah jangkauan dari T)
Jawab:
= + + 2 − + 2 + + 2 = 0
Ini memberikan + 2 −
2 + + =
0 0 0
Sehingga

= 1 1 0 0 2 −1 2 1 1
Dengan melakukan OBE pada matriks yang telah diperbesar maka didapat
1 1 0 0 2 −1 2 1 1
0 0 0 ~ …~
0 0 0
Sehingga, basis ker =
dan nulitasnya adalah nol 24 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Perhatikan hasil OBE,
maka basis ruang kolom dari matriks adalah 1 0 2
, 1 2 1
, 0 −1 1
oleh karena itu, basis jangkauan dari adalah: {1 + 22, 1 + 2 + 2, − + 2}
sehingga rank(dimensi basis )=3
25 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 9:

Jawab:


Jadi
0 0 1 −2 1 −2
Basis ker() dan Nulitasnya?
∀ =
0 0 1 −2 1 −2
~ …~ 1 1 0 0 0 0
0 0 1 −2 0 0
27 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
ker = ruang solusi dari = 0
Yaitu
1 −1 0 0
28 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Suatu Transformasi : 3 → 2 didefinisikan oleh

= − 2 +
Periksa apakat merupakan transformasi linear Jika suatu transformasi : 1 → 2 diberikan oleh 2 + = 4 − − 2
dan 1 + 3 = 7 + 2 − 22
Tentukan [3 − ] Suatu transformasi linear, : 2 → 3.
1 −2
= 3 −1 1
c. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari
29 4/15/2017
THANK YOU