ALJABAR LINIER & MATRIKS

download ALJABAR LINIER &  MATRIKS

of 30

  • date post

    09-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    297
  • download

    13

Embed Size (px)

description

ALJABAR LINIER & MATRIKS. VEKTOR. v. u + v. θ. u. Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Bila Diketahui Sudutnya. u-v. v. θ. u. Perkalian Vektor dengan Skalar. Definisi. Untuk sembarang vektor a dengan α , maka: panjang α a = | α |.|a| - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of ALJABAR LINIER & MATRIKS

  • ALJABAR LINIER & MATRIKSVEKTOR

  • Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Bila Diketahui Sudutnyauvu-v

  • Perkalian Vektor dengan Skalar

  • DefinisiUntuk sembarang vektor a dengan , maka:panjang a = | |.|a|jika a 0 dan > 0 , a searah dengan ajika a 0 dan < 0 , a berlawanan arah dengan ajika a = 0 dan = 0 , maka a = 0Untuk vektor a dalam koordinat kartesianjika a = [a1,a2,a3] maka

    a = [a1, a2, a3]

  • Sifat Perkalian skalar & vektor

    a = aKomutatif( ka ) = ( k )aAsosiatif ( a+b ) = a + bDistributif(+k) a = a + kaDistributif1 . a = aElemen Netral0 . a = 0Elemen Central(-1) a = -aElemen Invers

  • Ruang VektorMerupakan himpunan elemen vektor yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group

    Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan- distributif operasi 1 terhadap operasi 2- distributif operasi 2 terhadap operasi 1- assosiatif

  • Kombinasi linearUntuk sembarang vektor a1, , am didalam ruang vektor v , maka ungkapan: 1a1 + 2a2 + + m am 1, , m skalar sembarangdisebut sebagai Kombinasi Linear

  • Ketergantungan LinearJika kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk i = 0 (i=1,2,,m), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai vektor-vektor bebas linearJika sekurang-kurangnya terdapat satu 1=0, dimana kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai vektor-vektor bergantungan linear 1a1 + 2a2 + + m am = 0Berlaku untuk 1 = 2 = = m = 0 (vektor-vektor bebas linear)terdapat minimal satu 10 (vektor-vektor tidak bebas linear)

  • Perkalian Titik

    (Dot Product)

  • VisualisasiVektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitanMemiliki sudut antara dua vektor

  • RumusJika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u.v adalah:u.v = |u||v| cos jika u 0 dan v 0u.v = 0 jika u = 0 atau v = 0

  • Rumusa.b = a1b1 + a2b2 + a3b3Dalam bentuk komponen vektor,Dalam vektor 3 dimensi; bila a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3], maka :

  • Formulasi Khusus

  • Sifat Dot ProductUntuk setiap vektor sebarang a, b, c dan skalar 1, 2 berlaku:

  • Orthogonalitas dua vektorTeoremaHasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurusVektor a disebut ortogonal thd vektor b jika ab = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a. Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.Untuk vektor bukan-nol ab = 0 jika dan hanya jika cos = 0 = 90o = /2

  • Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka :Rumus

  • Hasil Dot Product bisa digunakan untuk memperoleh informasi mengenai sudut antara 2 vektor.Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka : lancip; jika dan hanya jika u.v>0 tumpul ;jika dan hanya jika u.v
  • Contoh SoalJika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1].Tentukanlah:panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a dan b, sudut vektor c = a + b terhadap sumbu x

  • Summary Dot ProductPerkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya.vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basisRumus untuk dot product

    Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar

    u.v = |u||v| cos jika u 0 dan v 0 u.v = 0 jika u = 0 atau v = 0

  • Perkalian Cross

    (CROSS PRODUCT)

  • Cross ProductCross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektorHasil Dot Product dua buah vektor menghasilkan skalarHasil Cross Product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

  • Cross ProductRumus Umumv = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin v = 0, jika = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol

  • Cross ProductJika u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai u x v =(u2v3 - u3v2 ,u3v1 - u1v3 ,u1v2 - u2v1 )atau dalam notasi determinan :

  • Jika u, v dan w adalah sebarang vektor dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sebarang skalar, maka :

    Sifat Cross Productu x v= -(v x u)u x (v+w)=(u x v) + (u x w)(u + v) x w = (u x w) + (v x w)k(u x v)= (ku) x v = u x (kv)u x 0= 0 x u = 0u x u= 0

  • Hubungan Dot Product dan Cross ProductJika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka :

    u.(u x v) = 0u x v ortogonal terhadap u.v.(u x v) = 0u x v ortogonal terhadap v.|u x v|2=|u|2|v|2 (u.v)2u x (v x w) = (u.w)v (u.v)w(u x v) x w = (u.w)v (v.w)u

  • Contoh SoalDiketahui u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1), hitunglah u x v !

  • Contoh Soal=Jawab:u x v =

  • Scalar Triple Product

  • Sifat Hasil Kali Triple Scalar

  • Latihan1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) :a. a x (b - 2 c) c. a x b x cb. ab x c2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bilaa. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4)b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) .3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya.a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 )b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )