12. matriks.ppt [Read-Only] -...

31
slide 0

Transcript of 12. matriks.ppt [Read-Only] -...

Page 1: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

slide 0

Page 2: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Maksimisasi utilitas dengan pendapatan

terbatas

� Utility Function

� Budget Constraint

121 2xxxU +=

6024 =+ xx

slide 1

� Lagrangian

602421

=+ xx

[ ]21121 24602 xxxxxL −−++= λ

Page 3: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

� Necessary Conditions

042

02460

2

21

=−+=∂

=−−=∂

λ

λ

xL

xxL

slide 2

� Tentukan nilai x1 dan x2

02

042

1

1

2

1

=−=∂

=−+=∂

λ

λ

xx

L

xx

Page 4: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Bentuk Umum

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

...

...

............................................

n n

n n

a x a x a x d

a x a x a x d

+ + + =

+ + + =

slide 3

1 1 2 2

............................................

...m m mn n ma x a x a x d+ + + =

Page 5: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Ukuran matriks

� Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika

mempunyai m baris dan n kolom

� Lambangnya adalah [A]mxn

� Elemennya disimbolkan dengan a , dimana i

slide 4

� Elemennya disimbolkan dengan aij, dimana i

merupakan urutan baris dan j urutan kolom.

CHAPTER 10 Aggregate Demand I

Page 6: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Matriks

Ax d=

11 1na a

A

=

K

M O M

1

2

x

xx

=

1

2

d

dd

= M

slide 5

1m mna a L

n

x

x

=

M

m

d

d

=

M

mxn ijA a = 1, 2,...,

1,2,...,

i m

j n

=

=

Page 7: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Solusi

Ax d=

1x A d

−=

slide 6

x A d=

Page 8: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Perkalian Matriks

mxn nxo mxoA B C=

[m x n] dan [n x o]syarat

hasil [m x o]

slide 7

hasil [m x o]

Page 9: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Contoh

1 3

28

40

A

=

5

9b

=

slide 8

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 5 3 9 32

2 5 8 9 82

4 5 0 9 20

C

+

= + = +

Page 10: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Contoh

A =

2 3

1 1

1 0

and B =

1 1 1

1 0 2

slide 9

1 0 [3 x 2] [2 x 3]

A and B can be multiplied

=

=+=+=+

=+=+=+

=+=+=+

=

1 1 1

3 1 2

8 2 5

12*01*1 10*01*1 11*01*1

32*11*1 10*11*1 21*11*1

82*31*2 20*31*2 51*31*2

C

[3 x 3]

Page 11: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

A =

2 3

1 1

1 0

and B =

1 1 1

1 0 2

Contoh

slide 10

=

=+=+=+

=+=+=+

=+=+=+

=

1 1 1

3 1 2

8 2 5

12*01*1 10*01*1 11*01*1

32*11*1 10*11*1 21*11*1

82*31*2 20*31*2 51*31*2

C

1 0 [3 x 2] [2 x 3]

[3 x 3]

Result is 3 x 3

Page 12: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Operasi matriks

� Perkalian skalar

3 1 21 77

0 5 0 35

− − =

slide 11

0 5 0 35

11 12 11 12

21 22 21 22

a a ca cac

a a ca ca

=

Page 13: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Keunikan matriks

AB BA≠

2 4 2 4−

slide 12

2 4

1 2A

=

2 4

1 2B

− =

Page 14: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

240

60024

21

21

−=−+

−=+−−

λ

λ

xx

xx

042

02460

2

21

=−+=∂

=−−=∂

λ

λ

xx

L

xxL

slide 13

020

240

21

21

=−+

−=−+

λ

λ

xx

xx

02

042

1

1

2

1

=−=∂

=−+=∂

λ

λ

xx

L

xx

Page 15: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Matriks

Ax d=

−− 60024 1x

slide 14

−=

0

2

201

410 2

1

λ

x

Page 16: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Operasi matriks

mxn nxo mxoA B C=

33xA =

=

−−

2

60

410

024 1

x

x

slide 15

13

13

xC

xB

=

=

−=

0

2

201

410 2

λ

x

Page 17: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Solusi

1x A d

−=

−−

−60024

1

1x

slide 16

−=

0

2

201

4102

1

λ

x

Page 18: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Inverse

1 1.

det .A adj A

A

− =

slide 17

det .A

Page 19: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Determinan

�Hanya matriks yang bujursangkar

(baris = kolom) yang mempunyai

determinan

slide 18

Page 20: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Matriks 2x2

11 12

21 22

a aA

a a

=

slide 19

11 22 12 21det A a a a a= −

Page 21: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Langkah 1: Tambahkan 2 kolom

yang pertama

Matriks 3x3

024 −− 24024 −−−−

slide 20

201

410

024

−−

0

1

2

1

0

4

201

410

024 −−

−−

Page 22: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Langkah 2: Jumlahkan perkalian

diagonal

Matriks 3x3

24024 −−−−

slide 21

0

1

2

1

0

4

201

410

024 −−

−−

[(-4x1x-2)+(-2x-4x1)+(0x0x0)]-[(1x1x0)+(0x-4x-4)+(-2x0x-2)]

Page 23: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Minors of a Matrix Determinant

� A minor Mi,j is a reduced determinant found

by omitting the ith row and jth column of a

larger determinant. For example:

slide 22

Page 24: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

The Cofactor of Determinants

� A cofactor Ci,j is a minor Mi,j augmented with a

sign rule for the particular purpose of solving

matrix determinants. Cofactors are defined as

follows:

slide 23

Page 25: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

201

410

024

−−

=A

slide 24

201

410

024

)1(11

11

−−

−= +C

20

4111

−=C

Page 26: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Adjoint

= 322212

312111

.

CCC

CCC

CCC

Aadj

slide 25

332313 CCC

Page 27: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Matrix Operations in Excel

slide 26

Select the

cells in

which the

answer

will

appear

Page 28: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Matrix Multiplication in Excel

1) Enter

“=mmult(“

2) Select the

cells of the

slide 27

cells of the

first matrix

3) Enter comma

“,”

4) Select the

cells of the

second matrix

5) Enter “)”

Page 29: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Matrix Multiplication in Excel

Enter these

three

key

strokes

at the

slide 28

at the

same

time:

control

shift

enter

Page 30: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

Matrix Inversion in Excel

� Follow the same procedure

� Select cells in which answer is to be displayed

� Enter the formula: =minverse(

slide 29

� Select the cells containing the matrix to be

inverted

� Close parenthesis – type “)”

� Press three keys: Control, shift, enter

Page 31: 12. matriks.ppt [Read-Only] - ocw.usu.ac.idocw.usu.ac.id/course/download/316-matematika-ekonomi/matematika... · Ukuran matriks Matrix [A] akan disebut berukuran mxn jika mempunyai

� matrix.xlsx

slide 30