Lezione 2: il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico

Il Campo Elettrico

→

→→

=

=

urqq

urqqF

21

00

210

010

41

41

πε

πε

q1

q0

F10

q1 esercita su q0 una forza proporzionale a:

q0 (carica esploratrice)termine vettoriale

che dipende da q1 e dalla posizione, dettocampo elettricoprodotto da q1

→→

= urqrE 2

1

041)(

πε)(010 rEqF

→→

=

Asimmetria fra le cariche:q1 origina un’entità presente in tutti i punti dello spazioq0 sperimenta la forza

⇒ il campo esiste anche quando q0 non c’è

Modello visivo dicampo E

telo elastico

Q+q -

Q+ (sorgente) deforma il telo

q - (carica di prova) segue la curvatura del campo

principio di sovrapposizione:forza che agisce su q0 dovuta ad n cariche puntiformi

∑∑→→→

==i

i

i

i

ii u

rqqFF 2

00 4

1πε

→→

= EqF 0

∑=

→→

=n

ii

i

i urqE

12

041

πε

distribuzioni continue di caricheenorme quantità (miliardi) di cariche sparse su

lineasuperficievolume

dsdq ⋅=λdadq ⋅=σdVdq ⋅=ρ

densità di caricaλ ⇒ C/mσ ⇒ C/m2

ρ ⇒ C/m3

∫→→

= EdE

Filo carico infinito

220

20

41

41

zydz

rdqdE

+=

=

λπε

πε

dEdEEz

zyy ∫∫

+∞=

−∞=

== θcos

rE

02πελ

=

(anello carico, disco carico …)

Definizione operativa del campo

Il campo elettrico E(r) si manifesta, ponendo in r una carica esploratrice q0,

mediante la forza q0 E(r)

⇓

utilizzo una piccola carica q0

per non perturbare le cariche responsabili del campo:

→→

=0qFE

000

limqFE

q

→

→

→

=

CNE =][

Il concetto di campo elettricoelimina le azioni a distanza

Prima di Faraday: azione a distanzala forza agente fra particelle cariche è una interazione

diretta e istantanea fra le due particellecarica ↔ carica

Visione attuale: azione locale

q1 origina un campo elettrico nello spazio circostantecampo esercita su q2 una forza F

carica ↔ campo

Eq1 ≠ Eq2

Fq1 = -Fq2

in condizioni statiche:Azione a distanza ≡ azione locale

in condizioni dinamiche:q2 è informata del moto di q1

da una perturbazionedel campo che si propaga con velocità c.

Applicazionicampi elettrici

Stampanti a getto d’inchiostro

ogni lettera ≈100 gocce105 gocce/sec

Rappresentazione grafica del campo elettrostatico

Il campo elettrico è vettorialeFaraday: rappresentazione geometrica dei campi vettoriali mediante linee di forza

linea di forza: curva orientata diretta in ogni punto nella direzione e verso tangente al campo in quel punto

→

E

sono infinitenon si incrociano mairappresentano direzione, verso, intensitàescono da +q, entrano in -qpossono venire o andare a ∞

Esempi linee di campo

linee di forza attorno a conduttori carichi: semi d’erba galleggianti su un liquido isolante

sferette con cariche opposte

piastra carica

Teorema di Gauss

→

E

∆Σ

∆Σ

∆Σ

Flusso di E attraverso ∆Σ:

NE ∆=∆Σ⋅=∆Φ→→

→→

= vE

Fluido incomprimibile:

→→

∆Σ⋅=∆Φ v volume di fluido che attraversa∆S nell’unita` di tempo

somma algebricalinee di campo:entranti –uscenti +

superficiefinita

→→

∆Σ⋅=Φ ∫SE

campo elettrico E generato da q

Ω=

Σ⋅=

Σ⋅=Φ→→

→→

dq

dner

qdEd

r

0

20

4

14

πε

πε

dΦ dipende solo daangolo solido dΩsotto cui la caricavede dΣ

( → ← )2

1r

E ∝

004 επεqdqE

tutto=Ω=∆Σ⋅=Φ ∫∫Σ

→→ indipendente dallaposizione dellacarica q

dVdVEdivVV ∫∫ =

→

ρε0

1

0ερ

=→

Ediv Teorema di Gauss

Conseguenza del Teorema di Gauss

Σ

Conduttore isolato:un eccesso di carica si distribuiscesulla superficie esterna

(verifica sperimentale prima diGauss e Coulomb)

ecceso di carica → campo elettrico E≠0→ moto di cariche→ equilibrio E=0

per ogni Σq = 0 entro Σ

0)( =Φ E

⇓la carica deve essere sullasuperficie del conduttore

Verifica sperimentaleTeorema di Gauss

0εqE =∆Σ⋅=Φ ∫Σ

→→

2

1r

E ∝

1755 Franklin: all’interno di un recipiente metallicoisolato non possono esservi cariche

Cavendish: esegue esperimento e deduce cheesponente nella legge della forza di Coulomb e` 1.98-2.02 (mai pubblicato!!)

Maxwell: ripete esperimento di Cavendish e trova1.9995-2.00005

N.B. La legge di Coulomb e` del 1785 !!!

1936: Plimpton e Lawton

+= 204

1rqE

πε δ

se δ=0 0

)(εqE =Φ

dispositivo:

due involucri metallici concentrici A e BB contiene elettrometro E per rivelare moto di cariche

fra A e Bcon commutatore S trasferisco carica sulle sfere

non si osserva alcun effetto nell’elettrometro

Applicazioniteorema di Gauss

(1) Calcolo di E (distribuzioni simmetriche di cariche)

Filo carico infinito(simmetria cilindrica)

)2(cos)2(

cos)(

hrEhrE

EAE

⋅=⋅=

=Φ

πθπ

θ

0

int

.)(

εqE

GaussT=Φ

hrhE λπε =)2(0

rE

02πελ

=

(simmetria piana, sferica …)

(2) Schermo elettrostatico

Il conduttore può avere Piccole apertureStruttura a rete

(discontinuità non si avvertono a grandi distanze)

E=0

Il campo E è sempre nullo

all’interno di conduttori cavi

Utilizzo in laboratorio:

per proteggere strumentazione delicata da campi elettromagnetici

Il potenziale elettrostaticoForza di Coulomb è conservativa

il lavoro fatto per spostare una carica q in presenza di una carica q0 non dipende dal percorso

−−=

⋅−=→→

∫

210

0 114

2

1

rrqq

dsFLr

r

πε

energia potenziale U(funzione della sola posizione della carica q)

costante14

)(0

0 +=r

qqrUπε

)()( 12 rUrUL −=

Forza di Coulomb è conservativa

il lavoro fatto per spostare una carica q in presenza di una carica q0

non dipende dal percorso ma solo dal punto iniziale e finale.

−−=

−=

⋅−=

⋅−=

∫

∫

∫

→→

→→

210

0

2

12

0

0

2

12

0

0

2

1

114

4

4

rrqq

rdrqq

dsruqq

dsFL

r

πε

πε

πε

⇒ tutte le forze centrali sono conservative

Se la carica q è unitaria:→→

= EF

)()( 12

2

1

rrdrEL φφ −=⋅−=→→

∫ VCJ

==][φ

Il lavoro è una differenza di potenzialetra i punti r2 ed r1

0)(

)(

0

0

=

⋅−=→→

∫r

drErr

r

φ

φIl potenziale è definitoa meno di una costanteadditiva arbitraria

campo creato da carica puntiforme

q0 nell’origine 0 )(

cost14

)(0

0

=∞

+=

φπε

φr

qr

è il lavoro che fatto contro le forze del campo per portarvi la carica unitaria dall’)(rφ

∞

Potenziale elettricodi carica puntiforme

Q+: repulsivo Q -: attrattivo

La forza elettrica fa muovere le cariche positive da punti a

potenziale maggiore verso punti a potenziale minore

In elettrostatica:

→

→→

⋅∇=−

⋅−=−

∫

∫

drrrr

drErr

r

r

r

r

φφφ

φφ

)()()(

)()(

2

1

2

1

12

12

→

i→

j

→

k→→→

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kk

jy

ix

φφφφ

φ−∇=→

E

Calcolo del campo prodotto da una data distribuzione di carica:

calcolo il potenzialederivo le componenti del campo

Superfici equipotenzialiLuogo geometrico dei punti con medesimo potenziale

⇓E non compie lavoro su tali

superifici(L=Vf – Vi=0)

LI = LII = 0LIII = LIV

4 sono perpendicolari alle linee di campoaltrimenti E avrebbe componente sulla superficie⇒ E compirebbe lavoro per muovere carica su superficie

0=⋅∇=⇒∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⇒++=→→→

ldddldz

kdldy

ydldx

xdld

dzk

dyy

dxx

dkdzjdyidxld

r

r

φφφφφφ

φφφφspostamento infinitesimo incremento della funzione

su sup. livello

ldEldrrr

⊥⇒⊥∇⇒ φ

Problema fondamentaledell’elettrostatica

0ερ

=→

Ediv

φ−∇=→

E E è conservativo

Teorema di Gauss

⇓

0

2

ερφφ −=∇=∇div

equazione di Poisson

Laplaciano(in coordinate cartesiane)2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇φφφφ

per distribuzioni NOTE di cariche puntiformi, superficiali, volumetriche:

⇒

∫∫

∑

−+

−

+−

==

V iS i

N

i i

i

rrdvr

rrdarrr

qr

rr

r

rr

r

rrr

')'(4

1')'(4

14

1)(

00

10

ρπε

σπε

πεφ

in presenza di conduttori:distribuzione di carica NON nota a priori

su superfici dei conduttori causa fenomeno induzione elettrostatica

02 =∇ φ

1. studio eq. di Poisson in tutti i punti in cui ρ(x,y,z)=0

equazione di Laplace

Come posso risolvere il problema?

2. cerco soluzioni armoniche (“regolari”) in regione di spazio V finita:cerco cioè funzioni finite, continue in derivate primee con derivate seconde

N.B. tali funzioni esistono e sono univocamente determinate assegnati i valori diΦ o delle sue derivate sulla superficie S che racchiude V[Teoremi di Dirichlet e Neumann]

in pratica:1. risolvo equazione di Poisson in punti esterni ai conduttori2. cerco soluzione univocamente definita imponendo

condizioni al contorno: valori di potenziale o campo Esu superfici dei conduttori.

N.B. dentro i conduttori: E = 0, φ = costante = φS

si distingue inoltre tra

problema chiuso:

esiste superficie S che contiene tutti i conduttori⇒ assegno condizioni al contorno su S

problema aperto:

superficie S → ∞⇒ specifico comportamento potenziale a ∞

22

1

)(lim

)(lim

cdrrdr

crr

r

r

=

=

∞→

∞→

φ

φ

condizioni normali a ∞

21)(

1)(

rdrrd

rr

r

r

∞→

∞→

≈

≈

φ

φ

N.B. tali condizioni sono valide se a ∞NON ci sono cariche

esempio: carica ad ∞ ⇒ potenziale ad ∞ NON nullo

filo uniformemente carico lunghezza finita L

xy

z

0

1L−

2L

'dz

),,( zP ϕρ

R

ρ

'zz −

ϕ

22 )'( zzR −+= ρ

∫− −+=

2

1 220 )'(

'4

)(L

L zzdzP

ρπελφ

sapendo che:

)ln( 2222

ρρ

++=+∫ uu

udu

22

11

''

LzuLzu

dzduzzu

−=+=

⇒

−=−=

−++−

++++=

+=

+

−= ∫∫

+

−

−

+

22

22

21

21

0

220

220

)(

)(ln

4

44)( 1

2

2

1

LzLz

LzLz

udu

uduP

Lz

Lz

Lz

Lz

ρ

ρπελ

ρπελ

ρπελφ

Supponiamo ora il filo molto lungo:

zLL

zLLLL

>>>>

>>>>∞→∞→

22

11

21

,

,,

ρ

ρ

12L→

...81

211)1 22

1

±−±=± xxx

2

2

22

2

2

2/1

22

2

2

2/1

22

2

2 2211111

)(11)(

LLL

LL

zLzL ρρρρ

=

++−≅

++−≅

−

++−−

numeratore

denominatore: uso espansione (

∞→

≅

∞→∞→

21

221

0

4ln4

)(LL

LLPρπε

λφ⇒

il potenziale diventa ∞ perché L1 ed L2 vanno ad ∞

⇒ il potenziale è diverso da 0 ad ∞perché ho carica a ∞