Sfera polarizzata. Legge di Gauss nella materia Il campo...

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2019/2020

Elettromagnetismo

Sfera polarizzata. Legge di Gauss nella materia

Il campo Spostamento Elettrico DCondizioni al contorno

Lezione n. 14 – 28.11.2019

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 308

Densità di carica σP e ρP

• Qualche osservazione per concludere questo punto• La derivazione è stata puramente matematica• Tuttavia concorda con le considerazioni fisiche fatte in precedenza• L'integrale di superficie è esteso a tutte le superfici del dielettrico• Anche eventuali superfici interne che delimitano cavità• Anche sulle superfici delle cavità compare una carica superficiale• Non bisogna dimenticare che si tratta di un dielettrico• Le cariche non sono libere di muoversi• In particolare non si possono disporre arbitrariamente come nei conduttori per annullare il campo elettrico all'intero o rendere equipotenziali le superfici• Il campo elettrico non è sempre perpendicolare alle superfici del

dielettrico


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Consideriamo una sfera di dielettrico uniformemente polarizzata• Dato che la polarizzazione è uniforme all'interno non ci

sono densità di carica volumetriche• Sulla superficie ci sarà una densità superficiale di carica

che dipende dall'angolo polare

• Possiamo pertanto sostituire al blocco di dielettricola distribuzione di carica superficiale σP(θ)• Il potenziale si ottiene con l'integrale

• La formula risolve il problema per r interno o esterno alla sfera• Il calcolo di questo integrale è un po' laborioso• È un problema computazionale

• Possiamo sviluppare altre soluzioni più interessantidal punto di vista della fisica


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Un modo alternativo per risolvere il problema è quello di considerare due sfere di densità ρ uniforme e raggio R• Di carica totale Q, positiva e negativa rispettivamente• Le due sfere sovrapposte sono equivalenti ad un

sistema neutro• Spostiamo le due sfere in modo che i centri distino una piccola distanza s• Compaiono due regioni di carica la cui densità varia

con l'angolo come cosθ• La carica presente è proporzionale a Δl = l − R

trascuriamo


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Un elemento di superficie da sulla sfera individua unvolume dv = da Δl• La carica di questo volume è• V è il volume della sfera• Calcoliamo la densità superficiale di carica

• Confrontando con la densità superficiale dovuta alla densità di polarizzazione P: σ(θ) = P cosθ• Otteniamo la relazione fra Q, s e i dati del problema

• A questo punto possiamo calcolare il campo elettrico• Iniziamo con la regione esterna alla sfera• Questo è banale• Il sistema è equivalente a due cariche puntiformi ±Q

distanti s: un dipolo p0 = Qs


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Veniamo al campo elettrico all'interno• Utilizziamo il principio di sovrapposizione e sommiamo i

campi all'interno delle due sfere di carica uniforme• Abbiamo già calcolato il campo all'interno di una sfera (diapositiva )386110


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Notiamo che il campo elettrico è discontinuo sullasuperficie della sfera• Analizziamo la discontinuità• Per semplicità nel polo nord della sfera (θ = 0)• Il campo esterno è (diapositiva )

• Il campo interno è

• Vediamo che la discontinuità nella componente normale è

• È la discontinuità della componente normale di un campo elettrico al passaggio di una densità superficiale di carica σ = P

542270


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Questa relazione vale per tutti gli angoli

• La componente normale (radiale) del campo elettrico esterno è

• La componente radiale del campo elettrico interno è

• La componente tangenziale è continua


La legge di Gauss nella materia• Supponiamo di avere un grande dielettrico all'interno del quale si trova una carica q• Una carica che non fa parte della struttura

molecolare del dielettrico• Ad esempio una sfera metallica carica immersa

in un bagno di olio• Come nel condensatore piano con il dielettrico presente, il campo elettrico nel materiale risulta ridotto rispetto a quello nel vuoto (con la stessa carica q)

• È legittimo chiedersi se la legge di Gauss è ancora valida• Infatti il flusso del campo elettrico su una superficie che circonda la carica,

ad esempio una sfera, sarà più piccolo perché E è più piccolo • Sembra pertanto che il flusso non sia più uguale a q/ε0 ma piuttosto q/ε

• Nel fare questa affermazione commettiamo un grave errore• La carica q non è la sola carica all'interno della sfera che utilizziamo

per il calcolo del flusso• C'è una densità di carica indotta dalla polarizzazione di cui bisogna tenere

conto

Normalmente si definisce la permittività del dielettrico


La legge di Gauss nella materia• Infatti il campo elettrico polarizza il materiale• La sferetta metallica carica ha un'interfaccia

con il dielettrico• Intorno alla sferetta compare una carica

superficiale della quale bisogna tenere conto• È a causa di questa carica, che "scherma" lasfera, che il campo risulta meno intenso

• In generale potrebbe esserci anche una caricavolumetrica se ∇⋅P ≠ 0 ( in questo caso ∇⋅P = 0)

• Supponiamo che il dielettrico sia lineare• Il campo elettrico e densità di polarizzazione sono

• Supponendo che il raggio della sfera sia a la densità di carica di polarizzazione (uniforme) sulla sua superficie è

• All'esterno della sfera il campo è quello di una carica puntiforme Q = q + qp

Carica schermata, più piccola


La legge di Gauss nella materia• Tenere conto della carica di polarizzazione non è semplice• In laboratorio si controllano le cariche o i potenziali sui conduttori, non la

carica di polarizzazione• Sarebbe utile una relazione che utilizzasse solo le cariche libere Qfree= q1+q2

• Scriviamo la legge di Gauss in forma integrale tenendo conto di tutte le cariche presenti

• La carica di polarizzazione Qpol è quella presente nel volume e sulle superfici S1 e S2

• Notiamo che la superficie S è una superficie matematica• Non è una discontinuità nel dielettrico• Non c'è una carica superficiale su di essa

• Calcoliamo Qpol

• Usiamo il teorema della divergenza per trasformare l'integrale di volume

Il volume V è quello delimitato da S, S1, S2


La legge di Gauss nella materia• Riepiloghiamo

• Inseriamo l'espressione di Qpol nella legge di Gauss

• Definiamo il campo vettoriale D, chiamato induzione elettrica• Chiamato anche "spostamento elettrico"

• Introducendo nell'equazione otteniamo

• Vediamo che per il campo D vale una versione della legge di Gauss che stabilisce una relazione con le sole cariche libere

in forma differenziale


La carica di un dielettrico• Osservazione• Le cariche che compaiono in un dielettrico polarizzato dipendono dalle

deformazioni degli atomi e dall'orientamento dei dipoli molecolari• Le cariche fanno piccoli spostamenti (dell'ordine delle dimensioni atomiche)• Il dielettrico si polarizza ma la sua carica totale è nulla

• Nel calcolo precedente abbiamo trovato

• La superficie S è una superficie matematica• La carica Qpol è diversa da zero perché non stiamo considerando la superficie esterna del dielettrico• Se consideriamo tutte le superfici del corpo (Se)


Lo spostamento elettrico D• Il campo D può risultare utile in talune circostanze ma non aggiunge un reale contenuto fisico nuovo• Può indurre in semplificazioni errate• Il fatto che soddisfi una legge di Gauss che utilizza solo le cariche libere

potrebbe fare pensare che si possa costruire un'elettrostatica solo con D

• La ragione importante è che il campo D in generale non è conservativo• D non si può scrivere in funzione di un potenziale• La legge di Coulomb aveva entrambe le proprietà

• Il motivo è ovvio

• Consideriamo la circuitazione di P come nella figura• Dielettrico uniformemente polarizzato• Cammino chiuso con lati paralleli alla polarizzazione

Non esiste una legge di Coulomb per D FALSO !!

Dielettrico Vuoto


Lo spostamento elettrico D• In casi particolari risulta semplice calcolare il campo D• Succede quando il problema ha evidenti simmetrie che possono condurre alla

soluzione come abbiamo visto con la legge di Gauss per E• Nel caso generale bisogna avere una relazione fra D e il campo elettrico E• Una relazione che deriva dall'esperimento o da un modello della materia• Come nel caso della densità di polarizzazione

• Per un dielettrico lineare

• Per l'induzione elettrica si ottiene

• Abbiamo definito un'ennesima costante: la permettività del materiale• Ha le stesse dimensioni di ε0

• Avere trovato questa relazione per i dielettrici lineari potrebbe fare pensare che almeno per questi si possa avere la circuitazione nulla

• La costante ε è discontinua quando si attraversa un'interfaccia• In generale non si può portare fuori dall'integrale

FALSO !!


Problema elettrostatico con i dielettrici• Consideriamo un sistema composto da più dielettrici lineari• In ogni dielettrico vale la relazione

• Naturalmente vale sempre

• Il campo elettrostatico E è sempre derivabile da un potenziale• Possiamo utilizzare i metodi sviluppati per il calcolo del potenziale

separatamente in ogni regione di dielettrico• Con le opportune condizioni al contorno sulle superfici che delimitano i dielettrici sulle quali compaiono le densità superficiali di cariche

• In particolare, nelle regioni in cui ρf = 0 il potenziale obbedisce all'equazione di Laplace• Notiamo che se all'interno di un dielettrico lineare non è presente una densità di carica libera (ρf = 0) anche la densità di carica di polarizzazione sarà nulla (ρb = 0)


Condizioni al contorno• Abbiamo visto che sulla superficie di un dielettrico compaiono densità superficiali di cariche di polarizzazione• Sappiamo che il campo elettrico ha delle discontinuità quando incontra

strati di carica superficiale• Analizziamo le discontinuità per i campi D, E• Abbiamo visto che il campo D obbedisce alla legge di Gauss

• Applichiamo la legge intorno all'interfaccia fra due dielettrici• Supponiamo che non ci siano cariche

libere sulla superficie: Qf = 0• Per il campo D otteniamo

• Ricordando che D = εE• Pertanto • La componente normale del campo D è continua se non ci sono cariche libere• La componente normale del campo elettrico E è discontinua


Condizioni al contorno• La condizione su E che abbiamo trovato può essere ottenuta senza l'uso del campo D• Utilizziamo la proprietà del campo elettrico che conosciamo• Attraversando una densità di carica σ la componente normale ha una discontinuità ΔE⊥ = σ/ε0

• Chiamiamo E1 e E2 i campi elettrici presenti all'interfaccia nel dielettrico 1 e 2 rispettivamente• Poiché i dielettrici sono lineari P = χε0 E• Dai lati 1 e 2 dell'interfaccia ci saranno le cariche

• Pertanto

• Ricordiamo che κ = 1 + χ e che ε = κε0


Condizioni al contorno• Possiamo generalizzare la condizione al contorno su D⊥al caso in cui nell'interfaccia sia presente carica libera• La condizione precedente

• Diventa

• Analizziamo il caso in cui l'interfaccia è fra un metallo e un dielettrico lineare• In questo caso uno dei due materiali è un conduttore• All’interno del conduttore

• Supponendo che il materiale conduttore sia il 2

• Ricordando che D = εE• Nel dielettrico, all’esterno del conduttore


Condizioni al contorno• Per quanto riguarda la componente tangenziale del campo elettrico questa è continua

• Questa condizione deriva dal fatto che il campo elettrico è conservativo

• Infatti, considerando una linea chiusa intorno all'interfaccia, come in figura

• Per il potenziale le condizioni diventano• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia

• La derivata del potenziale è discontinua• Se n è la normale alla superficie

N.B.: non ci sono cariche libere sull'interfaccia

Il vettore r varia sulla superficie di interfaccia dei dielettrici V è l'integrale di E


Condizioni al contorno• Riepilogando• Ricordiamo solo le condizioni al contorno per campo elettrico e potenziale• Sono sufficienti per risolvere i problemi• Per il campo elettrico

• Per il potenziale• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia

• Il vettore r varia sulla superficie di interfaccia fra i dielettrici• La condizione sulla componente normale del campo diventa

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