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IL CAMPO ELETTRICO

Problemi di Fisica

Elettromagnetismo

Il Campo Elettrico Problema Data la distribuzione di carica rappresentata in figura, calcolare il campo elettrico prodotto nellorigine degli assi cartesiani. I dati sono:

Q1 = -3e Q2 = +4e Q3 = +5e Q4 = -e

D1 = 3 cm D1 = 2 cm D3 = 2 cm D4 = 3 cm

= 301 = 702 = 403 = 454

Distribuzione delle cariche

Prof. A.Guarrera Liceo Scientifico Galilei-Catania

IL CAMPO ELETTRICO

Soluzione Le quattro cariche generano nellorigine degli assi i vettori campo elettrico E1, E2, E3, E4, rispettivamente. Dobbiamo quindi trovare modulo e direzione di questi quattro vettori. Per trovare i moduli applichiamo la definizione di campo elettrico:

( ) C/N108,4109106,13109

103

e3109

D

QKE 6

4

199

22

921

11

=

=

==

( ) C/N104,14104106,14109

102

e4109

D

QKE 6

4

199

22

922

22

=

=

==

( ) C/N1018104106,15109

102

e5109

D

QKE 6

4

199

22

923

33

=

=

==

( ) C/N106,1109106,1109

103

e109

D

QKE 64

199

22

924

44

=

=

==

Ora dobbiamo trovare lorientamento dei quattro vettori campo elettrico nellorigine, tenendo presente che per una carica positiva il vettore campo elettrico un vettore uscente dalla carica, mentre per una carica negativa un vettore entrante nella carica. Lorientamento dei vettori riportato nel seguente diagramma, dove abbiamo anche trovato graficamente il vettore campo elettrico totale agente nellorigine:

Diagramma del campo elettrico

Prof. A.Guarrera Liceo Scientifico Galilei-Catania

IL CAMPO ELETTRICO

Adesso possiamo trovare le componenti di ciascun vettore su ogni asse e quindi le componenti del vettore campo elettrico totale ET:

Componenti di E1

Componenti di E2

C/N104,230sen108,4senEE

C/N102,430cos108,4cosEE66

11Y1

6611X1

===

===

C/N105,1370sen104,14senEE

C/N109,470cos104,14cosEE66

22Y2

6622X2

===

===

Componenti di E3

Componenti di E4

C/N106,1140sen1018senEE

C/N108,1340cos1018cosEE66

33Y3

6633X3

===

===

C/N101,145sen106,1senEE

C/N101,145cos106,1cosEE66

44Y4

6644X4

===

===

=++=++== C/N102,14101,1108,13109,4102,4EEEEEE 66666X4X3X2X1XXT

=+=+== C/N106,0101,1106,11105,13104,2EEEEEE 66666Y4Y3Y2Y1YYT

Per ottenere il modulo di ET ci serviremo del teorema di Pitagora e per ottenere la sua orientazione utilizzeremo la definizione di tangente:

( ) ( )C/N10014,0

104,2021036,010202106,0102,14EEE6

12121226262YT

2XTT

=

==+=+=+=

04,0102,14

106,0EE

tg6

6

XT

YT =

==

== 3,2arctg

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IL CAMPO ELETTRICO

Problema Una sfera conduttrice di raggio r = 10 cm inizialmente con velocit v0 = 1 m/s, entra in una regione di spazio dove presente un campo elettrostatico uniforme E = 100 V/m.

Calcolare il tempo che la sfera impiega a fermarsi se la sua massa m = 10 g e la sua densit superficiale = 10-6 C/m2

Soluzione Si tratta di un moto uniformemente accelerato, per cui vale la seguente legge:

(1) atvv 0 = Sapendo che:

mF

a = EqF = = 2r4q

la (1) diventa:

tm

Er4vt

mqE

vtmF

vv2

000

===

da cui ricaviamo lincognita tempo, tenendo presente che v = 0 (la sfera si ferma dopo un tempo t):

s796100101,04

101,0

Er4

mvt

6220 =

=

=

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IL CAMPO ELETTRICO

Problema Tra due lastre caricate di segno opposto esiste un campo elettrico uniforme. Un elettrone viene lasciato libero sulla superficie della lastra carica negativamente e colpisce la superficie della lastra opposta, a distanza di 20 cm, in un tempo t = 1,510-8 s.

Calcolare il campo elettrico tra le due armature. Soluzione Per definizione il campo elettrico dato da:

qF

E =

ed diretto dallarmatura positiva a quella negativa. Mentre la forza F = ma diretta nel verso opposto in quanto la carica su cui agisce un elettrone (e = 1,60210-19C; m = 9,10810-31kg), ossia una carica di segno negativo. Pertanto, essendo un moto uniformemente accelerato (con a < 0), dalla legge del moto ricaviamo laccelerazione:

216282

2 s/m1018,0)105,1(

2,02

t

s2aat

21

s =

===

per cui:

N1064,11018,010108,9F 151631 ==

Infine, il campo elettrico tra le due armature sar:

C/N1002,110602,1

1064,1E 4

19

15

=

=

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IL CAMPO ELETTRICO

Problema Due gusci sferici conduttori concentrici hanno raggi R1 = 0,145 m e R2 = 0,207 m. La sfera interna reca una carica Q1 = -6,0010-8 C. Un elettrone (e = 1,60210-19C; m = 9,10810-31kg) sfugge dalla sfera interna con velocit trascurabile. Supponendo che tra le due sfere ci sia il vuoto, calcolare con quale velocit lelettrone colpisce la sfera esterna. Soluzione La sfera interna genera un campo elettrico pari a:

25714145,0

1000,6109

2

89 =

R

QKE

21

11 ==

e ,1EqF ==

ata da:

N/C

per cui sullelettrone che sfugge dalla superficie della sfera interna agir una forza pari a:

1519 101,42571410602 = N

con una conseguente accelerazione, per la 2a legge della dinamica, d

21631

15

s/m1045,010108,9

101,4mF

a =

==

In un moto accelerato, la velocit legata allaccelerazione dalla relazione:

as2v =

per cui, nel nostro caso, la velocit con la quale lelettrone colpisce la sfera esterna :

s/m1024,0)145,0207,0(1045,02)RR(a2v 81612 ===

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IL CAMPO ELETTRICO

Problema Un condensatore piano ha un campo elettrico E = 104 V/m e una lunghezza L = 5 cm. Un elettrone entra tra le armature con una velocit v0 = 107 m/s ortogonale ad E.

Calcolare langolo di deflessione alluscita del condensatore ed il modulo della velocit (trascurare gli effetti al bordo).

Soluzione Dalla definizione di campo elettrico ricaviamo che la forza elettrostatica che agisce sullelettrone data da:

EqF =

y0

per cui F ha la stessa direzione di E ma verso opposto in quanto la carica q negativa. Pertanto F agisce perpendicolarmente alla velocit iniziale dellelettrone v0 e lo devia verso destra. Il moto dellelettrone in queste condizioni paragonabile a quello di un proiettile, cio costituito da due moti indipendenti:

moto rettilineo uniforme lungo lasse y y tv= (1)

moto uniformemente accelerato lungo lasse x

(2) tavx =

Ricavando il tempo t dalla (1): y0v

Lt = e sostituendolo nella (2) otteniamo la componente

x della velocit:

67

2

31

419

y0y0y0x 108,8

10

105

1011,9

10106,1vL

mEe

vL

mF

vL

av =

=

===

m/s

dove mF

a = (2 principio della dinamica).

Pertanto il modulo della velocit e langolo di deflessione sono dati da:

727262y

2xFin 1033,1)10()108,8(vvv =+=+= m/s

==

== 7,4814,1108,8

10v

vtg

6

7

x

y

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IL CAMPO ELETTRICO

Problema Due superfici piane distano tra loro d = 0,5 cm e portano ciascuna una carica elettrica di densit superficiale pari a + e . Un elettrone le attraversa perpendicolarmente (si trascuri la deviazione subita dallelettrone). Lelettrone oltrepassa la superficie carica negativamente con velocit v1 = 1,0105 m/s e quella carica positivamente con velocit v2 = 1,0106 m/s.

Calcolare il valore della densit

superficiale

Cosa succede allelettrone se entra dalla parte della superficie carica positivamente?

Spiegare cosa succede se al posto

dellelettrone poniamo un protone.

Soluzione

1. Dalla definizione di campo elettrico ricaviamo che la forza elettrostatica che agisce sullelettrone data da:

EqF = (1)

per cui F ha la stessa direzione di E ma verso opposto in quanto la carica q negativa. La densit superficiale data come formula inversa del campo elettrico di un condensatore piano:

00

EE =

=

Ma il campo elettrico non noto, per cui dalla (1) si ricava che:

eF

E =

pertanto il problema si riduce al calcolo della forza elettrica che agisce sullelettrone. Dal 2 principio della dinamica sappiamo che:

amF =

dove laccelerazione viene calcolata attraverso lutilizzo delle leggi c