LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO

2

212

0

2

21

0

10854.8

4

1

m

C

r

qqF

−=

⋅=

ε

πε

][

][

0

0

C

q

FE =

EqF 00 =E

q0+ F0

E

q0-F0

Carga positiva

Carga negativa

rr

qE ˆ

4

12

0πε=

r

Carga puntual+

-

Movimiento de cargas en un campo eléctrico uniforme

amF

EqFrr

rr

=

=

m

qEa =r

Si el campo eléctrico es uniforme la carga se mueve con aceleración constante a.

Una carga en un campo eléctrico experimenta la fuerza eléctrica F

2

00

2

0

2

0

2

2

1

2

12

mvK

atvvdattvdadvv

m

qE

m

Fa

=

+=++=+=

==

EJERCICIO 21.36

∆V

p

F d=1.6 cm

qp=1.6 10-19 C, mp=1.67 10-27 kg

Se deja libre un protón inicialmente en reposo en la superficie de la placa de arriba. El protón golpea la placa opuesta, distante 1.6 cm, al cabo de un intervalo de tiempo t = 1.5 10-6 s.

a) Halle la magnitud del campo eléctrico.

b) Halle la rapidez del protón cuando incide en la placa inferior.

p

y

ypq

maEmaEqF =⇒==

2

02

1tatvd yy +=

=0

212

262/100142.0

)105.1(

016.022sm

s

m

t

day =

⋅==

−

CC

smkg

q

amEa

p

yp/100148.0

106.1

)/100142.0)(1067.1() 4

19

21227

===−

−

smssmtavvb yyy /100213.0)105.1)(/100142.0() 66212

0 ==+= −

=0

23.5 Se mantiene fija en el origen una carga puntual Q=+4.6 µC. Se coloca sobre el eje de las x, a 0.25 m del origen, una segunda carga puntual q=+1.2 µC con una masa de 2.8 10-4 kg. a) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica U del par de cargas? (Tome U como 0 cuando la separación entre las cargas es infinita). b) Se deja libre la segunda carga puntual, inicialmente en reposo. i) ¿Cuál es su rapidez cuando su distancia al origen es de 0.5 m? ii) ¿ 5 m? iii) ¿50 m?

Q q

0.25 m

a) Jm

CCCm

d

qQU 3

66229

0

107.19825.0

)102.1)(106.4)(/109.8(

4

1 −−−

===πε

b) i)

s

mvJmv

mvm

qQJKUU

6.260993.02

1

2

1

5.04

1198.0

2

2

0

221

=⇒=

+=⇒+=πε

b) ii)

s

mv

mvm

qQJKUU

6.36

2

1

54

1198.0 2

0

221

=

+=⇒+=πε

b) iii)

s

mv

mvm

qQJKUU

5.37

2

1

504

1198.0 2

0

221

=

+=⇒+=πε

CALCULOS DE CAMPO ELECTRICO

Distribución de cargas puntuales

El campo eléctrico Ep en el punto P debido a la distribución de cargas puntuales es la suma vectorial de los campos en P debidos a cada carga:

2

5

5

0

2

4

4

0

2

3

3

0

2

2

2

0

2

1

1

0

5

1

154321

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

r

q

r

q

r

q

r

q

r

qE

EEEEEEE

p

i

p

πεπεπεπεπε++++=

=++++= ∑=

rrrrrrr

q1q2

q3q4

q5

P

E3

E1E2

E4

E5

r1 r2r3

r4r5

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE CAMPOS ELECTRICOS

q1 q2P

E1E2

a) En el origen:

ir

qE

m

C

r

qE

ˆ4

1

)15.0(

106

4

1

4

1

2

1

1

0

1

2

9

0

2

1

1

0

1

πε

πεπε

=

==−

r

r

)ˆ(4

1

)15.0(

106

4

1

4

1

2

2

2

0

2

2

9

0

2

2

2

0

2

ir

qE

m

C

r

qE

−=

==−

πε

πεπεr

r

0=pEr

b) x=0.3 m y=0

C

C

m

CCm

m

CCm

r

q

r

qE

iEEiEiEE

p

p

6.2666)24006.266(

)15.0(

106)/109.8(

)45.0(

106)/109.8(

4

1

4

1

ˆ)(ˆˆ

2

9229

2

9229

2

2

2

0

2

1

1

0

2121

=+

=+=

=+=

+=+=

−−

πεπε

r

r

q1 q2 E1

E2r1=0.45 m

r2=0.15 m

ir

qE

m

C

r

qE

ˆ4

1

)45.0(

106

4

1

4

1

2

1

1

0

1

2

9

0

2

1

1

0

1

πε

πεπε

=

==−

r

r

ir

qE

m

C

r

qE

ˆ4

1

)15.0(

106

4

1

4

1

2

2

2

0

2

2

9

0

2

2

2

0

2

πε

πεπε

=

==−

r

r

hacia la derecha

0

21

2εσσ +

=E

+σ1

E

-σ2

E

0

1

2εσ

=E0

2

2εσ

=E

0

21

2εσσ −

=E0

12

2εσσ −

=E

+ x

---

--

---

----

-5 nC

A

++++

+

EJEMPLO 22.11 Un conductor tiene una carga total de +3 nC. La carga en el interior de la cavidad, aislada del conductor, es de -5 nC. ¿Cuánta carga hay en cada superficie (interna y externa) del conductor?

Q=+3nCConsidero la superficie gaussiana A. Para que la carga total adentro de la superficie sea 0, la carga en la superficie interna tiene que ser

qint=-(-5 nC)=5 nC

Q=qint + qext3nC=5nC+ qext

qext=3nC-5nC=-2nC

00

1

εεenc

n

i

i

E

Qq

AdE ==⋅=Φ∑

∫ =rr

CAMPO DE UNA ESFERA CONDUCTORA CON CARGA

++++

++

+ ++ R

r < R

000

)4(0

2 =⇒===Φ ErEE επ

r >= R

2

00

2

4

1)4(

r

qE

qrEE πεεπ =⇒==Φ

E

r

E(R)

R

qRV

r

q

r

qEdrrVVrV

rr

0

0

2

0

4

1)(

4

1

4

1)()()(

πε

πεπε

=

====∞− ∫∫∞∞

)()(

0)0()(

0

RVRrV

EdrVRVR

=<

==− ∫

FFaradV

C

V

QC 11

][

][==

∆=

+Q

-Q

d

A

d

A

Qd

AQ

V

QC 0

0 εε

==∆

=

A

QdEdV

0ε==∆

A

Q=σ

A

QE

00 εεσ

==

QVCVC

QU

2

1

2

1

2

22

===

d

-Q

∆V’

A+Qd

k

VV

d

AkkC

V

QC

∆=∆

==∆

=

'

'00 ε

CARGA INDUCIDA Y POLARIZACIÓN

Dieléctrico entre las placas

+++++++++++++++++++++++

--------------------------

σ

−σ

E−σi

+σi++++++

- - - - - - 0

0

εσσ i

K

EE

−==

menor que σ

00

0

εσσ

εσ i

KK

EE

−===

−=−=KK

i

11σ

σσσ

Densidad de carga inducida

24.39 Dos placas paralelas tienen cargas iguales y opuestas. Cuando se evacúael espacio entre las placas, el campo eléctrico es E=3.2 105 V/m. Cuando el mismo espacio se llena con dieléctrico es E=2.5 105 V/m. a) ¿Cuál es la densidad de carga en cada superficie del dieléctrico? b) ¿Cuál es la constante dieléctrica?

27

5

5

00

2722125

5

0

0

/102.61

1

28.1105.2

102.3

/1033.28)/1085.8)(/102.3(

/102.3

mCk

E

EK

K

EE

mCmCmV

mVE

i

−

−−

=

−=

===⇒=

==

==

σσ

σ

εσ

Avnqdt

dQI de== qe=carga electrónCorriente eléctrica

][

][2m

Anqv

A

Anqv

A

IJ d

d === Densidad de corriente eléctrica

mA

Vm

A

m

m

V

J

EΩ===

][][

][

][ 2

ρ resistividad

A

LR

RIV

ρ=

= Ley de Ohm

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO

Características de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento:

su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga

su magnitud es proporcional a la magnitud del campo magnético

su magnitud depende de la rapidez de la carga (si la carga está en reposo, no experimenta fuerza magnética)

la fuerza magnética F no tiene la misma dirección que el campo magnético B: es siempre perpendicular a B y a la rapidez v

La magnitud F depende de la orientación relativa entre B y v: es cero cuando B y s son paralelos o antiparalelos.

)sin(ϕqvBF

BvqF

=

×=r

rrr

v

BF

q positiva

v

B

F

q

v F

-q

φ

)sin(ϕqvBF

BvqF

=

×=r

rrr

v

B

)sin(ϕqvBF

BvqF

=

×=r

rrr

v

FB

)sin(ϕqvBF

BvqF

=

×=r

rrr

v

FB

v

Si v y B son perpendiculares la partícula se mueve en un círculo:

Bq

mvR

R

vmvBqF

=

==2

R

vF

X

X

X

X X X X

X

X

XX X

XX

B

Si la carga es negativa, la partícula se traslada en el sentido del reloj

Carga positiva

La rapidez angular ω de la partícula y su frecuencia son:

m

Bqf

m

Bq

mv

Bqv

R

v

ππω

ω

22==

===

Frecuencia de ciclotrón

Si el campo B no es perpendicular al alambre, sino que forma un ángulo φ con él:

)sin(φILBF

BLIF

=

×=rr

F

L

Bφ

I

Si el conductor no es recto, podemos dividirlo en segmentos infinitesimales dl, y la fuerza dF sobre cada elemento es:

BlIdFdrrr

×=

¿Qué ocurre cuando las cargas en movimiento son negativas? Una corriente ascendente corresponde a una velocidad de deriva descendente. Sin embargo, dado que q es negativa, la dirección de la fuerza F es la misma que antes.

27.40 El circuito que se muestra en figura sirve para construir una balanza magnética para pesar objetos. La masa m, que se va a medir, se cuelga del centro de la barra, que está en un campo magnético uniforme de 1.5 T dirigido hacia el plano de la figura. Se puede ajustar el voltaje de la batería para modificar la corriente en el circuito. La barra horizontal mide 60 cm de largo y es de un material ligero. Está conectada a la batería mediante unos alambres verticales finos. Todo el peso de la masa m está sostenido por la fuerza magnética que se ejerce sobre la barra. Hay un resistor R=5Ω en serie con la barra y todas las otras resistencias del circuito son despreciables.

a) ¿Cuál punto, a o b, debe ser el borne positivo de la batería?

b) Si el voltaje máximo de la batería es de 175 V, ¿ cuál es la masa más grande que el instrumento puede medir?

m

X

X

X X

X

X X

X

X

X X X

XX

X X

B

Rbatería

a bLa fuerza magnética debe ser hacia arriba. Para que la fuerza magnética sea hacia arriba, la corriente tiene que ser hacia la derecha, entonces a tiene que ser el borne positivo.

mg

kgsm

TmV

g

LB

R

Vm

mgLBR

V

mgILB

R

VImgF

21.3)/8.9)(5(

)5.1)(6.0)(175(2

=Ω

==

=

=

==

m

X

X

X X

X

X X

X

X

X X X

XX

X X

B

Rbatería

a b

mg

DIPOLO ELÉCTRICO Y ESPIRA EN CAMPO MAGNÉTICO

+

-d

-q

q

p

E

φdsinφF-=-qE

F+=qE

qdp =r

)sin(φτ

τ

pE

Ep

=

×=r

rrr

EppEUrr

⋅−=−= )cos()( φφ

φ

FB (b/2)sinφ

bA

BBAI

IBArrrr

×=×=

=

µτ

ϕτ )sin(

AIrr

=µ

)cos(φµµ BBU −=⋅−=rr

I r I rr

IB

πµ2

0=

La figura es una vista de los extremos de dos alambres rectos paralelos largos, perpendiculares al plano xy, cada uno de los cuales conduce una corriente I, pero en sentidos opuestos. a) Encuentre la magnitud y dirección de B en los puntos P1, P2 y P3.

XP2P1 P3d d

3d 2d

X BI BI

1 2

B1

B2

y

x d

I

d

I

d

IB

d

IB

d

IBP

TOT πµ

πµ

πµ

πµ

πµ

8)4(2)2(2

)4(2)2(2)1

000

02

01

−=+−=

=−=

d

I

d

I

d

IB

d

IB

d

IBP

TOT πµ

πµ

πµ

πµ

πµ

000

02

01

)(2)(2

)(2)(2)2

=+=

==

B2B1

B2

B1

d

I

d

I

d

IB

d

IB

d

IBP

TOT πµ

πµ

πµ

πµ

πµ

3)(2)3(2

)(2)3(2)3

000

02

01

−=−=

−==

28.11 Dos alambres rectos y largos, uno encima del otro, están separados por una distancia 2a y son paralelos al eje de las x. El eje de las +y está en el plano de los alambres en dirección del alambre inferior al superior. Cada alambre transporta la corriente I en dirección +x. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético neto de los dos alambres en un punto situado en el plano de los alambres a) a medio camino entre ambos? b) ¿a una distancia a arriba del alambre superior? c) ¿a una distancia a abajo del alambre inferior?

x

y

2a P1

P2

P3

BI

X

I

I

X x

x

022

1 02

01 =−== TB

a

IB

a

IBP

πµ

πµ

a

I

a

I

a

IB

a

IB

a

IBP

T πµ

πµ

πµ

πµ

πµ

2

4

2)3(2

2)3(22

000

02

01

=+=

==

a

I

a

I

a

IB

a

IB

a

IBP

T πµ

πµ

πµ

πµ

πµ

2

4

)3(2)(2

)3(2)(23

000

02

01

−=−−=

−=−=

FORMULARIO

2

21

r

qkq

229

0

/109.84

1Cmk ==

πε

ELECTROSTÁTICAPartículas elementales qe = -1.6 x 10

– 19 C

me = 9.11x 10 – 31 kg.

qp = 1.6 x 10 – 19 C

mp = 1.67 x 10 – 27 kg.

qn = 0

mn = mpqd = qpmd = 2 mpqα = 2 qpmα = 4 mpLey de Coulomb

F =

εo = 8.85x 10 –12 C2/Nm2

Campo eléctrico

2

04

1

r

q

q

FE

πε==

dV

dq

dA

dq

dL

dq

=

=

=

ρ

σ

λ

Densidades de carga

Dipolo eléctrico

EpU

Ep

qdp

rr

rr

r

⋅−=

×=

=

τ

Flujo eléctrico

Ley de Gauss

∫ ⋅=ΦA

E AdErr

0εq

AdEA

E =⋅=Φ ∫rr

POTENCIAL

r

q

q

UV

00 4

1

πε==

Carga puntual

Conjunto de cargas puntuales

∫

∑

⋅=−

==

b

a

ba

i i

i

ldEVV

r

q

q

UV

rr

00 4

1

πε

CAPACITORES

V

QC

∆=

Capacitor de placas paralelas

d

AC 0ε=

Capacitor con dieléctrico

−=

=

=

=

d

i

d

d

dd

dd

k

k

VV

d

AkC

CkC

11

0

σσ

ε

22

2

1

2

1CV

C

QU ==

Energía en un capacitor

...1111

321

+++=CCCCeq

Capacitores en serie

Capacitores en paralelo

...321 +++= CCCCeq

de

de

vnqA

ij

Vol

n

Avnqt

qi

dt

dqi

r==

=

==

=

ˆ

Corriente eléctrica

Ley de Ohm

Resistividad

i

VR =

j

ERA==

lρ

...321 +++= RRRReq

Resistencias en serie

Resistencias en paralelo

...1111

321

+++=RRRReq

Potencia entregada en una fuente

ViP =Potencia e una resistencia

RiP 2=

FUERZA MAGNÉTICA

Sobre una carga

BxvqFm

rrvr=

Carga circulando en campo magnético

2

m

vF m

R=

r

Rv ω=Sobre una conductor

mF ilxB=rr r

Fuerza de Lorentz

BxvqEqFm

rrrr+=

Momento de torsión

xBτ µ=rr r

iAµ =rr

Energía potencial

U Bµ= − ⋅rr

Flujo magnético

B B dAΦ = ⋅∫rr

Ley de Ampere

encIldB∫ =⋅ 0µ

rr

Ley de Biot-Savart

2

0 ˆ

4 r

rxlIdBd

rr

πµ

=

ATmx /104 7−= πµ

Ley de Faraday

dt

d BΦ−=ε

ÓPTICA

v

cn =

n

0λλ =

ar θθ =

bbaa sennsenn θθ =

φ2max cosII =