ELETTROSTATICA

Legge di Coulomb: rr

qq

πε4

1F

2

21

0

22112

0

229

0

CmN 1085.8ε

CmN 1099.8πε4

1

rr

qq

πε4

1F

2

21

0

rr

qq

πε4

1F

2

21

0

Tra due corpi di carica q1 e q2 , posti a distanza r, si esercita sempre una forza di attrazione o di

repulsione, diretta lungo la congiungente tra i due corpi, proporzionale alle due cariche ed

inversamente proporzionale al quadrato di r.

Analogie tra forza coulombiana e forza

gravitazionale:

- dirette lungo la congiungente tra i due corpi

- proporzionali alle due cariche / alle due masse

- inversamente proporzionali al quadrato della loro

distanza

Differenze tra forza coulombiana e forza

gravitazionale:

COULOMBIANA : Attrattiva o repulsiva

k=1/(4 9∙109 molto grande

GRAVITAZIONALE sempre attrattiva

G 7∙10-11 molto piccola

Esercizio:

Si determinino la forza di Coulomb e la forza gravitazionale tra un protone ed un elettrone nell’atomo

di idrogeno (r = 10-10m) ed il rapporto tra le due forze.

Ambedue le forze sono attrattive.

N103.2N10

1056.29N

10

106.1109

r

Q

πε4

1

r

QQ

πε4

1F 8

20

29

210

2199

2

2

02

ep

0Coulomb

Dati:

Mp=1.67 × 10-27 kg

me=9.10 · 10−31 kg Qp=-Qe=Q=1.6∙ 10-19 C

G= 6.6∙10-11 N∙m2∙kg-2

k=1/(49∙109 N∙m2∙C-2

N10N

10

102.99N

10

1091067.1106.6

r

mMGF 47

20

69

210

312711

2

2e

2p

g

3947

8

g

Coulomb 103.210

103.2

F

F

La Forza coulombiana è 1039 volte più potente

Commenti sulla legge di Coulomb:

Vale il Principio di sovrapposizione:

Data una distribuzione di n cariche puntiformi, la forza risultante su ognuna di esse è pari alla

somma vettoriale delle forze dovute alle singole cariche.

Nuova unità SI: Coulomb (molto grande);

La carica elettrica si conserva (come la massa)

La carica elettrica è discreta (q = ± N e)

dove N= numero discreto (solitamente molto grande) ed e=carica dell’elettrone

qprotone=1.6∙10-19C=- qe=-e dove e<0 è una scelta fatta a priori

Campo elettrico:

Campo vettoriale definito in un dato punto dello

spazio come la forza elettrica agente su una carica

positiva di prova q posta in quel punto diviso per il

valore della carica di prova stessa q

FE

Tra due cariche q e Q poste a distanza r si esercita la forza: rr

QqF ˆ

4

12

0

La carica Q crea attorno a se un:

Ogni altra carica q che si trova nella regione circostante Q risente di una forza di attrazione/repulsione

dovuta alla presenza della carica Q

Unità di misura del campo elettrico: N/C

Esempio:

Campi elettrici generati da:

a)una carica puntiformepositiva(linee di forza uscenti)

b)una carica puntiforme negativa(linee di forza entranti)

a) b)

c) più cariche puntiformi.

Vale il principio di sovrapposizione: Il campo generato da

due o più cariche puntiformi è uguale al vettore somma

dei campi elettrici di ognuna delle cariche prese

separatamente

c)

rr

dqr

r

qE

ii

i

i

qi

ˆ4

1ˆ

4

12

0

200

lim

N

nn

n

n

o

N

nntot rr

rr

QEE

13

1 4

1

d) distribuzione continua di carica.

Vale il principio di sovrapposizione: Il campo generato da

due o più cariche puntiformi è uguale al vettore somma

dei campi elettrici di ognuna delle cariche prese

separatamente

E

q

Esercizio:

Trovare il campo coulombiano nel punto P di coordinate (0,0,5cm) prodotte da due cariche puntiformi

di uguale valore, Q1 = Q2 = Q poste nei punti di coordinate (3cm,0,0) e (0,4cm,0).

kkzjyixr

jkzjyixr

ikzjyixr

5

4

3

2222

1111

cm.R kjrrR

cm.R k irrR

4641251654

853425953

222

111

22

2

2323

2

1321

2

1

ˆ040ˆ0100104

0200100200104

41

54

34

53

44

cmk.j.i.πε

Qcmk.j. k .i.

πε

Q

cmkj k i

πε

Q

R

R

πε

QEEnEE

oo

onn

n

o

n

n

tot

41

54ˆ

34

53ˆ

2

22

1

11

kj

R

RR

k i

R

RR

cmkj

πε

Q

R

R

πε

QE

cm k i

πε

Q

R

R

πε

QE

oo

oo

2

232

2

22

2

232

1

11

41

54

44

34

53

4

ˆ

4

campo coulombiano nel punto P dovuto alla carica Q1

campo coulombiano nel punto Pdovuto alla carica Q2

Il campo coulombiano nel punto P generato dalle due cariche Q1 e Q2 è dato da:

Esercizio:

Due piccole sfere che portano le cariche Q1=7.00 mC e Q

2=5.00 mC, distano 20.0 cm l'una dall'altra. Se

Q2 fosse libera di muoversi, quanto varrebbe la sua accelerazione, sapendo che la sferetta 2 ha una

massa di 15 g?

N87.7m2.0

C1000.500.7CNm99.8

r

QQ

4

1F

22

21222

2

21

0

Coulomb

Le due sferette sentono una forza di mutua repulsione (cariche di stesso segno) pari alla forza

columbiana:

La sferetta 2 se fosse libera di muoversi avrebbe quindi un'accelerazione data da:

2

3

2

Coulomb

2 sm4,524kg1015

N87.7

m

Fa

Esercizio:

Una bacchetta di lunghezza 14.0 cm, uniformemente carica, è piegata a formare un semicerchio come in

figura. La bacchetta possiede una carica totale pari a -7.50 mC.

Determinare il modulo e la direzione del campo elettrico nel centro del semicerchio O.

O

2

o

2o

π

Lπε4

dq

Rπε4

dqdE

Il punto O si trova a distanza R=L/ da qualsiasi punto della barretta.

Preso quindi un elemento dl della barretta a cui risulta associata

Una carica infinitesima dq il campo elettrico nel punto P

generato da tale carica infinitesima è:

d

dl

R

θRddl L’elemento infinitesimo di arco può essere riscritto come:

Se è la densità lineare di carica e quindi Q= L, l’elemento

infinitesimo di carica sarà dato da dq= dl, dove:

Il modulo del campo elettrico infinitesimo è quindi: 2

o

2

oπ

Lπε4

θdπ

Lλ

π

Lπε4

dqdE

x

y

Tale campo può essere scomposto nelle due componenti lungo x ed y:

θsindEdE

θcosdEdE

y

x

Già ad intuito si può dire che la componente dEy si annullerà con quella del campo generato

dall’elemento dl simmetricamente opposto (rispetto all’asse x).

Comunque si può vedere analiticamente che la componente lungo l’asse y del campo generato dalla

Barretta risulta uguale a =0, infatti:

0θcosLε4

Qθdθsin

Lε4

Qθdθsin

π

Lπε4

π

Lλ

dEθsindEE

0

2π

2π2o

2

π

2

π2

o

2

π

2

π2

o

yy

CMN6.21CN106.21

m14.0mNC1085,82

C1050.7

Lε2

Qθsin

Lε4

QE 6

222212

6

2o

2

2π

2π2o

x

Il campo elettrico nel punto P generato dalla barretta è quindi lungo l’asse delle x ed è dato da:

iCMN6.21E

Teorema di Gauss

Si definisce flusso del vettore v attraverso la superficie A il prodotto scalare

del vettore v per il vettore A (definito dal vettore di modulo A e direzione

normale uscente dalla superficie stessa) :

Ricordando che:

θcosvAAvAΦ v

Il teorema di Gauss afferma che:

Il flusso del campo elettrico totale che attraversa una qualsiasi superficie chiusa non contenente cariche

è nullo.

Il flusso del campo elettrico totale che attraversa una qualsiasi superficie chiusa contenente una carica

Q è pari a Q/o

oE

ε

QAΦ

In generale:

o

intE

ε

QAdEΦ

Poichè il valore di non dipende dalla forma della superficie, il teorema di Gauss è molto utile per

determinare il campo elettrico generato da una densità di carica uniforme che abbia una qualche proprietà

di simmetria.

Esercizio:

Una ricercatrice sta lavorando a un esperimento di biologia e ha bisogno di creare un campo elettrico

di modulo 430 N/C a una distanza di 10 cm dal centro di una lastra quadrata conduttrice di lato 4.5m

da entrambe le parti. Qual’è la carica da mettere sopra la lastra?

La simmetria dello spazio è piana, scegliamo come superficie un cilindro di sezione S come in figura.

Il flusso lungo il mantello del cilindro è nullo in quanto data la distribuzione di carica lungo il piano, il

campo elettrico è nullo lungo la direzione parallela al piano stesso (per ragioni di simmetria il campo

elettrico è ortogonale alla lastra) . Inoltre, se supponiamo che la carica distribuita sia positiva le linee di

forza del campo saranno uscenti (entranti nel caso di carica negativa) su entrambe le facce della lastra.

Il flusso attraverso ciascuna base sarà quindi ES.

ESSnESSSMEEEEE

2ˆ2)(2)()()(21

0

0

222

QELES

CCCNmCmNELQ m 154.01075.154122 4305.41085.822 1222221122

0

0

QEPer il teorema di gauss: quindi:

20Lε2

QE

Il campo elettrico è uniforme,

non dipende cioè dalla distanza dalla piastra, e la carica che

bisogna mettere sopra la piastra per avere il campo elettrico E=430 N/C è:

M S

1

S

1

E

CONDUTTORI in EQUILIBRIO ELETTROSTATICO

Proprietà di un conduttore in equilibrio elettrostatico:

Il campo elettrico all’interno di un conduttore è nullo (le cariche non si devono muovere)

Qualunque eccesso di carica si distribuisce sulla superficie esterna

Il campo elettrico appena al di fuori del conduttore carico è perpendicolare alla superficie del

conduttore stesso ed ha intensità paria dove è la densità superficiale di carica in quel punto

Se la forma del conduttore è irregolare le cariche tenderanno ad accumularsi sulle regioni con

raggio di curvatura minimo (punte)

oεσ

Esercizio:

Determinare l’intensità del campo in prossimità di un conduttore sferico isolato di raggio ro e carica Q.

oE

La densità superficiale di carica è pari alla carica per unità di superficie, cioè Q/S dove S per una sfera

è pari a 4ro2. Il campo elettrico sarà quindi:

24 oooo r

Q

S

QE

Come avremmo già potuto intuire. Il conduttore sferico si comporta come una superficie sferica

uniformemente carica (non una sfera uniformemente carica!!!!) per la quale il campo nella regione

interna alla superficie è nullo ed all’esterno è pari a

24 r

QE

o

NB: nota sui condensatori:

Sono dispositivi costituiti da due conduttori tra loro isolati posti l'uno vicino all'altro in modo da poter

assumere che vi sia induzione totale. Un semplice tipo di condensatore è costituito da due lamine metalliche

piane e parallele poste ad una distanza molto piccola rispetto all’area delle loro superfici.

In condizioni normali sulle due lamine sono localizzate cariche uguali ed opposte.

La carica è distribuita in maniera uniforme a causa dell’attrazione esercitata dalla carica di

segno opposto presente sull’altra armatura; anche il campo è pressoché uniforme (ad

eccezione della regione dei bordi). +

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

E +

Esercizio:

Determinare il valore del campo elettrico E tra le armature di un condensatore, ciascuna delle quali ha

un’area A pari a 0.19 m2 e porta una carica di valore assoluto Q=1.3 mC

Poichè il campo è uniforme il suo modulo in tutta la regione tra le armature è uguale a

quello immediatamente nelle vicinanze di ciascuna armatura.

Sappiamo che per un conduttore carico in equilibrio elettrostatico oE

CNmNCm

C

A

QE

oo

6

212122

6

1077.01085.819.0

103.1

I conduttori sono materiali attraverso cui le cariche si muovono liberamente (nei metalli gli

elettroni di conduzione). Un conduttore si può caricare per contatto con un corpo carico

(acquista la stessa carica) o per induzione elettrostatica (acquista carica opposta) e si dice in

equilibrio elettrostatico quando tutte le cariche presenti in esso sono ferme.

Noi sappiamo che per un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo elettrico in

prossimità del conduttore è ortogonale alla superficie del conduttore stesso e pari a

ENERGIA POTENZIALE E POTENZIALE ELETTRICO

Poiché la forza coulombiana è una forza conservativa il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziali e

finali => si può definire un’energia potenziale coulombiana ( grandezza scalare)

La variazione di energia potenziale è pari al lavoro compiuto

dalla forza elettrica cambiato di segno : sdFLUUU

b

a

ab

Esempio:

Consideriamo il campo elettrico generato da una carica q puntiforme.

La variazione di energia potenziale di una carica di prova qo quando viene spostata da un punto a, posto

ad una distanza ra da q ad un punto b posto ad una distanza rb da q è:

abo

o

r

ro

o

r

ro

oab

rr

qq

r

qq

r

drqqsdFUU

b

a

b

a

11

4

1

44 2

Che ci porta a dire che l’energia potenziale

ad una distanza r dalla carica q è: rπε

qqU(r)

o

o 1

4

Dove si è considerato che U(r→∞)=0, cioè l’energia potenziale è uguale a zero quando le due cariche

sono molto lontane tra loro tanto da poter trascurare l’interazione elettrostatica

Esempio:

Consideriamo il campo elettrico generato da un numero qualsiasi di cariche puntiformi.

21 EEqEqF oo

Il lavoro compiuto da F quando la carica qo viene portata da a a b è:

212121 LLsdEsdEqsdEEqsdFLb

a

b

ao

b

ao

b

a

Il lavoro fatto da F è pari alla somma dei lavori effettuati dai campo generati dalle singole particelle,

ciascuno indipendente dal cammino effettuato, quindi anche il lavoro compiuto da F è indipendente dal

cammino ed F è conservativa.

abo

o

abo

ob

a

b

ao

b

aab

rr

qq

rr

qqsdEsdEqsdFUU

22

2

11

1

21

11

4

11

4

Se prendiamo a come un punto all’infinito, r1a

=r2a

=∞, e chiamiamo r1 =r1b la distanza in un certo punto

della carica qo dalla carica q1 e r2=r2b la distanza sempre in quel punto dalla carica q2, l’energia

potenziale in quel punto, dovuta al campo elettrico totale sarà:

2

2

1

1

4 r

q

r

qqU

o

o

Generalizzando

i

i

o

o

r

q

πε

qU

4

Una carica di prova q0 immersa in un campo elettrico E (generato da una distribuzione di carica) è

soggetta ad una forza F=q0E . Se una carica viene spostata il lavoro fatto dall'agente esterno è opposto

al lavoro del campo- Il lavoro del campo per uno spostamento infinitesimo è:

sdEqsdFdL 0

Consideriamo prima che il campo sia generato da due cariche puntiformi e che una terza carica di prova

risenta di tale campo. La forza agente su questa carica è data, per il principio di sovrapposizione da:

Energia potenziale di un campo

generato da due cariche puntiformi

Energia potenziale di un campo

generato da un sistema di infinite

cariche puntiformi

POTENZIALE ELETTRICO:

oq

UV

NB il campo elettrico sta alla forza F elettrica come il potenziale elettrico sta all’energia potenziale elettrica

Potenziale elettrico per un sistema di

infinite cariche puntiformi:

i

i

oi

i

o

o

oo r

q

πεr

q

πε

q

qq

UV

4

1

4

1

Esercizio:

Determinare il potenziale elettrico nel punto P in figura dove q1 = 33 nC, q2 = -51 nC e q3 = 47 nC.

93 mm

93 mm

q1

q2

q3 P

r1

r3

r2

Unità di misura Volt=J/C=Nm/C

V.m

CCNm.V

r

nC

r

nC

r

nC

πεr

q

πεV

oi

i

o

3

3

9229

321

102410

10

93

47

292

51

93

3310998

475133

4

1

4

1

4

13

4

1 4

1

n

n

n

n

on

ntot rrrr

QrErE

cm10

Q

3

Q2

Q

1

Q

4

r

1

r

2

r

3

r

4

0

22

ˆˆˆˆ

422

ˆˆˆˆ

4

ˆ

40

2

0

2121

2

43214

12

rrrr

πε

Qrrrr

πε

Q

r

r

πε

QE

oon n

n

o

tot

Il campo elettrico generato da un numero discreto di cariche e

misurato in un punto P definito dal vettore posizione r, è dato

da:

Nel nostro caso, le cariche sono 4, tutte uguali, poste ai vertici di un quadrato ed il punto in cui si vuole

calcolare il campo è centro del quadrato che facciamo coincidere con l'origine del sistema di riferimento.

Si ha allora:

n ogniper 2

2

0

23

14

4321

nrr

rr

rr

r

QQQQQ

0)0(

totE

VVm

CCNmQ

r

Q

r

QV

ooi

i

o

2546.6341.0

41.11051094

2

44

1

44

4

1 10229

Il potenziale elettrico del campo generato dalle 4 cariche nel centro del quadrato è pari alla somma dei

potenziali elettrici in tale punto, dovuti ai campi elettrici generati dalle singole cariche (che nel nostro caso

particolare sono uguali)

Esercizio:

Determinare il campo elettrico ed il potenziale elettrico nel punto al centro del quadrato disegnato in

figura, avente come vertici le quattro cariche:

Q1=Q2=Q3=Q4=5·10-10 C

Esercizio:

Potenziale generato da un dipolo

Un dipolo è costituito da due cariche q di segno opposto ed uguali in modulo, poste ad una distanza d=2a tra

loro per le quali si trova che.

1) Il campo elettrico dovuto al dipolo su un punto posto sull’asse perpendicolare la congiungente le due

cariche (asse del dipolo) e passante per il centro di tale congiungente ad una distanza y dal centro del sistema

è diretto parallelamente all'asse del dipolo e ha modulo pari a:

2322

o ay

qd

4

1E

2) Il campo elettrico dovuto al dipolo su un punto posto lungo l’asse del dipolo ad una distanza z dal

centro della congiungente le due cariche è pari a

3

o

3

oz

p

4

1

z

xqd

4

1E

3

oy

qd

4

1E

Dove xqdp

detto momento del dipolo è un vettore che ha per modulo il

prodotto della singola carica per la distanza tra le due cariche ed è

diretto lungo la congiungente le due cariche nella direzione che va

dalla carica negativa a quella positiva

Esercizio:

In figura è rappresentato un dipolo di momento kqdp

posto nell’origine degli assi. Determinare il potenziale prodotto dal dipolo a

distanze molto maggiori della distanza d tra le cariche +q e –q.

Indichiamo con V+ e V- i contributi al potenziale dovuti rispettivamente

alla carica +q ed alla carica –q.

Si ha:

rr

rrq

rr

q

r

q

r

qVVV

oooo 4

11

444

Se r>>d => r+ r- r, in un’approssimazione per cui r+ , r- ed r sono praticamente paralleli

(vedi figura sotto) per cui:

Dove è l’angolo tra r e all’asse del dipolo

222 4

ˆ

4

coscos

4 r

rp

r

p

r

dqV

ooo

Il potenziale è nullo in tutti i punti del piano xy ( per i quali = 90°),

È positivo in tutti i punti al di sopra del piano xy (0°< < 90°),

È negativo in tutti i punti al di sotto del piano xy (90°< < 180°),

Diminuisce come 1/r2 lungo qualunque direzione radiale (dove però r >> d)

+

-

r

r+

r-

P

y

x

z

E

-q

d=2a

+q ay

y

Ez

+q -q

d=2a

p

cosdrr

rr

r+

r-

+

-

r

POTENZIALE PRODOTTO DA UNA DISTRIBUZIONE CONTINUA DI CARICHE

r

dq

πεr

q

πεV

o

N

i i

i

qN

oi

4

1lim

4

1

10

dq = carica infinitesima ed r= distanza di dq dal punto P in cui si valuta il potenziale

Esercizio:

Sia data una barretta AB di lunghezza L, elettricamente carica con densità di carica lineare

uniforme.Determinare il potenziale V in un punto P lungo l’asse della barretta, a distanza d

dall’estremo A

Consideriamo l’elemento di carica infinitesima dq sulla barretta AB posto ad una distanza x

dal punto A.

dq = dx,

Il contributo al potenziale in P dato da questo elemento è: r

λdx

πεr

dq

πεdV

oo 4

1

4

1

Dove r = d+x, con 0< x <L, è la distanza dell’elemento dq da P.

Per il principio di sovrapposizione si ha:

d

dL

πε

λdx

πε

λ

dx

dx

πε

λ

r

λdx

πεV(P)

o

Lx

xo

L

o

B

Ao

ln4

ln444

10

0

NB: Il potenziale calcolato in un punto P (con la posizione di riferimento in un punto a grande distanza

per cui V(∞)=0), ed il campo elettrico sono legati dalla relazione:

P

rdEV Il potenziale elettrico è pari all’opposto dell’integrale di linea del

campo elettrico che va dalla posizione di riferimento all'infinito al

punto P in cui si valuta il potenziale stesso

Es: Potenziale elettrico in campo generato da una carica puntiforme, valutato in un punto P a distanza r

dalla carica:

rπε

Q

rπε

Qrd

rπε

Qdr'E'rdEV

rrrP1

4

1

4

1

4 00

2

0

NB: densità di carica lineare = Q/L ( carica per unità di lunghezza)

A B P

dx

x

r

L

x=0 x=L d

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

DIFFERENZA DI POTENZIALE

NB la scelta della posizione di riferimento è arbitraria, si può scegliere per esempio r=∞, o, come

spesso conviene fare quando si studiano dei circuiti elettrici, la “terra”.

Questo perché solo una variazione di energia potenziale ha un senso fisico e corrispondentemente una

variazione di potenziale cioè la “DIFFERENZA DI POTENZIALE” o “tensione elettrica”

ab UUU Variazione di energia potenziale elettrica di una particella

prova con carica qo quando viene spostata da un punto a ad

un punto b

o

abab

q

UUVVΔV

Differenza di potenziale tra i punti a e b.

NB: qo deve essere piccola poichè si trascura il suo contributo al campo elettrico

b

aab dEVVΔV

L’integrale non dipende dal

cammino

Esempio:

Differenza di potenziale tra due punti a e b in un campo elettrico uniforme diretto lungo x

ab

x

x

x

xab xxEdxEdxiiEdEVV

b

a

b

a

ˆˆ

E

x

y a b

xEV

Se V0 rappresenta il potenziale dei punti sul piano yz (x=0) e V(x) è il potenziale dei

punti giacenti sul piano parallelo al piano yz posto a distanza d da quest’ultimo si ha:

EdVdV o

Si ha quindi che in un campo uniforme la differenza di potenziale varia linearmente

con x e decresce nella direzione del campo (analogo del potenziale gravitazionale in

prossimità della terra, dove il campo è in prima approssimazione uniforme e l’energia

potenziale rispetto al piano di rifermento (es: pavimento) aumenta linearmente con

l’aumentare dell’altezza h => U=mgh.

idxd

iEE

ˆ

ˆ

campo elettrico uniforme diretto lungo x

spostamento lungo x

Esercizio:

Sia dato il condensatore piano in figura.

Tracciare un grafico della differenza di potenziale V(x)-V0 nella regione compresa tra le

armature e determinare la V tra le armature stesse. Si consideri che le dimensioni delle due

armature sia molto maggiore della loro distanza d =0.50 mm.

Il valore assoluto della densità superficiale di carica su ciascuna armatura è: 28.1 mCm

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

E +

d

x

y Dimensioni delle armature >>d => campo elettrico uniforme

L’asse x passa per il centro del condensatore

La distribuzione di carica negativa coincide con il piano yz (x=0)

La distribuzione di carica positiva coincide con il piano x=d (parallelo

a yz).

E è rivolto lungo –x.

Sappiamo che il campo elettrico tra le armature di un condensatore piano vale: oε

σE

Quindi: iiEEo

ˆˆ

Il potenziale elettrico sarà quindi:

xCNxNmC

mCxExVxV

o

5

2212

26

0 100.21085,8

108.1

Cioè, nel piano x-V l'andamento di V(x)-V0 è rappresentato da una retta passante per

l’origine e di coefficiente angolare a2.0∙105 N/C

x (mm)

VmCNdCNVdVV 100105.0100.2100.2)( 355

0

0.25 0.5

100

50

E V(x)-Vo

xVxV a0

Per disegnare il grafico mi calcolo il valore di V(x)-V0

alla distanza x = d = 0.5 mm, mi trovo il punto sul

piano ed unisco tale punto con l'origine degli assi per

ottenere la retta V(x)-V0=ax. Contemporaneamente

rispondo alla seconda domanda

2500 V

C

A

Esercizio:

Cannone elettronico in un tubo catodico.

Le placche cariche del cannone elettronico di un tubo catodico sono chiamate anodo e catodo.

Gli elettroni vengono emessi dal catodo con velocità quasi nulla ed accelerati verso l’anodo che si trova

ad un potenziale positivo rispetto al catodo.

Alcuni degli elettroni escono attraverso un piccolo foro praticato al centro dell’anodo e formano il fascio

elettronico.

Supponiamo che la ddp (differenza di potenziale) anodo-catodo sia: V=VA-VC=2500V.

Ammettendo che gli elettroni partano da fermi, determinare:

a)L’energia cinetica degli elettroni all’uscita dall’anodo

b)La velocità degli elettroni all’uscita dall’anodo

a) Per determinare l’energia cinetica degli elettroni all’uscita dell’anodo bisogna applicare la

conservazione dell’energia meccanica:

meccanicaAAcc ETUTU Dove:

• UC e TC=0 (velocità nulla) sono rispettivamente l’energia potenziale elettrica e l’energia cinetica

dell’elettrone quando si trova sul catodo

•UA e TA sono rispettivamente l’energia potenziale elettrica e l’energia cinetica dell’elettrone quando

si trova sull’anodo

ACAAACcA UUTTTTUU

Ricordando che V=U/q dove q nel nostro caso è la carica dell’elettrone si può scrivere:

CAACACA VVeVeVeUUT )()(

keVeVVeVeTA 5.2 2500 2500

NB: l’unità di misura eV, o elettronvolt è definita come l’energia acquisita da un elettrone

libero che attraversa una differenza di potenziale elettrico di 1 volt nel vuoto.

1 eV = 1,60 × 10-19 J;

b) La velocità dell’elettrone all’uscita dall’anodo è quindi:

smsm.

kg.

kV.C.

m

eΔΔ

m

Tv

-

ee

AA

72215

31

19

10310901019

521061222

Esercizio sul calcolo della velocità di una carica sottoposta ad un campo elettrico

NB: Ogni punto della superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico si

trova allo stesso potenziale elettrico, cioè è una superficie EQUIPOTENZIALE.

Inoltre, poiché il campo elettrico all’intero del conduttore è nullo, il potenziale all’interno

del conduttore e uguale in ogni punto e pari al suo valore sulla superficie.

Esercizio:

Calcolare il potenziale di una sfera metallica piena isolata di raggio r0 = 0.1 m e

carica Q = 100 nC. Su una sfera la carica si distribuisce uniformemente, essendo un conduttore in equilibrio

elettrostatico il campo elettrico all’interno della sfera è nullo mentre sulla superficie è

perpendicolare alla superficie stessa e vale:

24 ooo r

QE

Il grafico di E in funzione di r è rappresentato in figura: r r0

E

2

0or4

Q

2

o rπε4

QA distanze r maggiori di r0 il campo elettrico è uguale a quello

generato da una carica puntiforme Q posta nel centro della

sfera, cioè è diretto radialmente con centro il centro della sfera

e vale: 24 rπε

QE

o

Per quanto riguarda il potenziale, esso all’interno della sfera è costante in ogni punto (in quanto E≡0)(

ricordiamo che E = - dV/dr, per cui se E≡0 V è costante), ed il suo valore è quello che assume sulla

superficie della sfera stessa. Poiché la carica Q si distribuisce uniformemente sulla superficie della sfera:

00

2

0

000

044

4

44

1

4

1

rπε

Q

rπε

π rσdS

rπε

σσdS

rπεr

dq

πε)V(r

ooooo

Il potenziale in un punto P ad una distanza r>r0 dal centro della sfera (fuori dalla sfera) sarà dato da:

r

QQEdErV

o

r

o

rP

4r

dr

4dr )(

2

V

oo rπε4

Q

rπε4

Q

o

Quindi ricapitolando, per una sfera conduttrice

in equilibrio elettrostatico :

E è nullo all’interno della sfera

E è pari a sulla superficie della sfera

E è pari a ad una distanza r >ro dal centro della sfera

Il potenziale V della sfera vale:

Fuori dalla sfera il potenziale decresce con r come:

2oo rπε4

Q

2o rπε4

Q

oo rπε4

Q

rπε4

Q

o

Potenziale sulla superficie della sfera

e all'interno di essa V

m

CCNm

r

QrV

o

o 9000 1.0

10100109

4)(

9229

0

r r0

CONDENSATORI E CAPACITÀ

Il valore del potenziale elettrostatico di un conduttore isolato è proporzionale alla carica del conduttore e la

costante di proporzionalità C tra la carica ed il suo potenziale elettrostatico V riferito all’infinito viene

detta CAPACITÀ elettrica di un conduttore.

NB: La capacità dipende solo dalla forma del conduttore per cui possiamo associare ad un conduttore

una sua capacità specifica anche se in quel momento il conduttore è scarico.

Esempio:

Determinare la capacità di una sfera di raggio R

Sappiamo che per una sfera conduttrice di raggio R e carica Q il potenziale elettrostatico della sfera, rispetto

al riferimento all’infinito è dato da:

R

QV

o4

R

RQ

Q

V

QC o

o

44

CVQ V

QC

CONDENSATORE:

Dispositivo costituito da due conduttori (armature) tra loro isolati posti l’uno molto vicino all’altro in

modo da poter assumere che vi sia induzione totale che viene usato nei circuiti per immagazzinare

carica ed energia elettrostatica.

Le due armature sono solitamente separate da un isolante (dielettrico).

La capacità C di un condensatore è data dal rapporto tra la carica accumulata sulle due armature e la

differenza di potenziale sulle due armature stesse.

V

QC

NB: La capacità dipende solo dalle caratteristiche geometriche del condensatore e dalla natura

del dielettrico interposto tra le sue armature.

Esempio:

Capacità di un condensatore piano con il vuoto tra le due armature: d

AC o

Esercizio:

Qual’è la capacità di un condensatore piano le cui armature sono quadrati di lato 122 mm, distanti 0.24

mm, fra i quali c’è il vuoto?

Qual’è la carica presente su questo condensatore se la ddp tra le armature è di 45 V?

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

+

d

A=area delle due armature

d= distanza tra le due armature

pFnFFNmC

mm

NmCm

d

AC o 550 55.01055.0

104.2

1032.1

1024.0

1085.8 122.0 92

3

13

3

22122

nCNmNmCVpFCVQ 25C 451055.045550 29

capacità di una

sfera di raggio R

d

A

d

A

Ed

A

V

QC 0

0

Unità di misura della

capacità:

faraday=F=C2/(Nm)

Esercizio:

Determinare la capacità di un tratto di cavo coassiale di lunghezza L, supponendo che tra il filo interno e

l’armatura esterna vi sia il vuoto.

NB: Un cavo coassiale (come quello dell’antenna TV) è costituito da un filo conduttore circondato da un

cilindro conduttore coassiale fra i quali vi è interposto un isolante. É quindi un caso di condensatore

cilindrico ed ha una sua capacità.

Ra

Rb

Il filo metallico= armatura positiva +Q

Cilindro esterno= armatura negativa -Q

Per poter applicare la relazione C=Q/V

dobbiamo conoscere la ddp tra le armature di

un condensatore cilindrico di lunghezza L

molto maggiore della distanza tra le due

armature.

a

b

oa

b

o

Rb

Rao

Rb

Ra

r

a

b

abR

RLQ

R

R

r

drdrEdEVV ln

2ln

22

rE

o

2

Il campo elettrico tra le due

armature di un condensatore

cilindrico con densità lineare

di carica =Q/L, è dato da:

Q=λL

La capacità di un condensatore cilindrico, ed in particolare di un cavo coassiale (con isolante

il vuoto) di lunghezza L è quindi:

ab

o

a

b

o

RR

L

R

RLQ

Q

V

QC

ln

2

ln2

La capacità di un condensatore cilindrico dipende dalla lunghezza dei cilindri e dal rapporto dei loro

raggi

Esercizio:

Supponiamo di voler costruire un condensatore piano con capacità pari ad 1F nel quale la distanza tra le

due armature è 10mm. Se le armature sono quadrate e tra loro c’è il vuoto quale deve essere la lunghezza

del loro lato?

29

2210212

2

1012.11085.8

1

1085.8

101m

NmC

mNmC

NmC

mFCdA

d

AC

o

o

kmmAL 341012.1 9

CONDENSATORI IN SERIE ED IN PARALLELO

La capacità equivalente di un sistema di condensatori è la capacità di un unico condensatore che,

quando viene usato in luogo del sistema ha lo stesso effetto esterno.

capacità equivalente di N condensatori in SERIE:

N

1i ieq C

1

C

1

capacità equivalente di N condensatori in PARALLELO:

N

1i

ieq CC

C1 C2

C3 CN Ceq

C1

C2

C3

CN

Ceq

Esercizio:

Si consideri il sistema di condensatori in figura, dove C1=2.9 μF, C2=1.8 μF, C1=2.4 μF.

La differenza di potenziale ai capi del sistema è Vb-Va=V=53 V.

Si determinino:

a)La capacità equivalente C123 dell’intero sistema

b)La ddp ai capi di ciascun condensatore

c)La carica di ciascun condensatore

a

b

C1 C2

C3 +Q3

-Q3

-Q2

+Q2 +Q1

-Q1

Fμ 7.4CCC 2112

I condensatori 1 e 2 sono in parallelo, questi possono essere sostituiti da un singolo

condensatore di capacità C12 data da:

Il condensatore equivalente al sistema 1-2 è posto in serie con il condensatore 3. Questo sistema può

Essere sostituiro da un singolo condensatore di capacità:

Fμ 6.1Fμ1.7

28.11Fμ

4.27.4

4.27.4

CC

CCC

CC

CC

C

1

C

1

C

1

123

312123

312

123

312123

C3 +Q3

-Q3

C12

-(Q1+Q2)

a)

12

21

1

21

1

2

1

1

2

2

1

1

12

1212

V

QQ

V

QQ

V

Q

V

Q

V

Q

V

Q

V

QC

Poichè i condensatori 1 e 2 sono in parallelo, questi due elementi ed anche il condensatore

equivalente 12 avranno ai loro capi la stessa ddp: V12=V1=V2

2112 QQQ

Poichè il condensatore 3 è in serie con il condensatre 12, la ddp V3 sommata a quella del sistema 12, V1,

deve essere uguale alla ddp totale V: 31 VVV

Per determinare V1 e V3 occorre prima considerare le cariche presenti sulle armature

Dalla figura si desume che il condensatore 3 deve possedere una carica uguale ed opposta alla

somma delle cariche sulle armature di 1 e 2: 213 QQQ

C123

Il condensatore equivalente 123 possiede questa stessa carica quando ai suoi capi è applicata la ddp V

-(Q1+Q2)

-Q3 -Q =

Q = Q3

V

QQ

V

QC 213

123

Cμ85V53Fμ6.1VCQ 1233 V35V

4.2

85

C

QV

3

33

V 18V3553VVVV 312

C85Q

C 32C 188.1VCQ

C 52C 189.2VCQ

3

222

111

m

mmmm

DIELETTRICI

Quando un isolante o dielettrico viene posto in un campo elettrico, gli atomi e le molecole che lo

costituiscono si polarizzano e viene indotta una densità superficiale di carica legata. Questa densità di carica

legata, o polarizzazione, produce un campo elettrico che si oppone al campo esterno (verso opposto)

cosicché sia E che V si riducono. L’entità della polarizzazione è caratterizzata dalla costante dielettrica

relativa (al vuoto) k

Se consideriamo un condensatore per il quale, tra le due armature viene

posto una sostanza dielettrica, la costante dielettrica relativa di questo

isolante è pari al rapporto tra la ddp tra le armature quando tra di esse

c’è il vuoto e quella quando il condensatore è riempito con il dielettrico:

V

Vk 0

Poiché k è sempre maggiore di 1 (k per il vuoto è 1), l’inserimento del dielettrico produrrà un

aumento della capacità del condensatore. Se C è la capacità in presenza del dielettrico e C0 quella

del condensatore quando tra le due armature vi è il vuoto si trova che:

0

00

kCV

Qk

kV

Q

V

QC

0kCC

1k

L’inserimento di un dielettrico fa aumentare la

capacità del condensatore di un fattore k

NB in finale si può scrivere: 0

00

C

C

V

V

E

Ek

Esercizio:

Un condensatore piano è costruito inserendo a sandwich un foglio di carta (k=3,7) di spessore 0.14

mm tra due fogli di alluminio di dimensioni 15 mm x 480 mm. Si determinino:

a)La capacità del condensatore

b)La massima differenza di potenziale che può essere applicata tra le due armature senza che si

verifichi la perforazione (rigidità della carta= 1.6•106 V/m). Si trascurino gli effetti di bordo

a)

nF7.1F10168m104.1

NmC1085.8m1080.45.17.3

d

AkkCC 11

4

221223

0

0

La rigidità dielettrica è il valore massimo di campo elettrico Emax che può essere presente nel

dielettrico senza che avvenga una scarica (cioè quando il materiale comincia a condurre)

Per un condensatore piano: kV 24.2m104.1mV106.1dEV 47

a)

CORRENTE ELETTRICA

Il flusso della carica attraverso un elemento di circuito è

caratterizzato dall’intensità della corrente elettrica dt

dQI

Il senso della corrente corrisponde alla direzione della velocità di deriva vd dei portatori di carica positiva.

La corrente in un conduttore viene espressa in termini

del moto dei portatori di carica: AnqvI d

Dove: n è la densità dei portatori di carica, q è la loro carica, vd la loro velocità di deriva, A la sezione

del conduttore

La resistenza R di un conduttore è definita come il rapporto tra la

differenza di potenziale ai capi del conduttore e l’intensità di corrente I

VΔR

Unità di misura

ampere 1A=1C/s

Unità di misura Ohm

1Ω=1V/A

Legge di Ohm

La resistenza di un conduttore dipende dalla natura (resistività) e dalla forma geometrica del

conduttore stesso.

Se il conduttore ha una sezione uniforme di area A, lunghezza ℓ e resistività ρ la resistenza è data dalla relazione:

AρR

NB: la resistività di un conduttore varia con la temperatura, es: i materiali superconduttori hanno

resistenze bassime , ma solo per temperature molto basse, prossime allo zero assoluto

ρ= ρo[1+α(T-To)] Dove α è il coefficiente termico e ρo è la resistività

alla temperatura di riferimento To

Gli elettroni, in assenza di campo hanno velocità in media nulla. Applicando un campo elettrico gli

elettroni si muovono con una velocità di deriva media vd opposta alla direzione del campo elettrico.

Se ai capi del conduttore viene mantenuta una ddp ΔV, la potenza, o energia per unità di tempo fornita

ad un elemento del circuito è:

R

VΔRIVΔIP

2

2 POTENZA

Esercizio:

Una lampada ad incandescenza da 100W è alimentata a 220 V. Qual’è l’intensità di corrente che circola

nella lampada? E la resistenza?

A45.0A220

100

VΔ

PIVΔIP

Ω484Ω45.0

220

I

VΔR

Esercizio:

Una lampada ad incandescenza da 50W è alimentata a 220 V. Qual’è la resistenza della lampada?

Ω 968Ω

50

220

P

VΔR

R

VΔP

222

Esercizio:

Un filo di rame è attraversato da una corrente elettrica? Se si raddoppia la lunghezza del filo e si dimezza

la sezione, di quanto varia la resistenza?

11

1

1

1

1

1

2

22

1

11 R4

Aρ4

A

4ρ

A2

1

2ρ

AρR

AρR

AρR

12 R4R

Esercizio:

Sapendo che la resistività del rame a 20 °C è ρ=0.017 Ω∙mm2/m, determinare la lunghezza che deve

avere un filo di rame di diametro 2mm affinhcè la resistnza alle temperatura di 20°C sia uguale ad 1Ω

R

m7.184

mmmΩ 017.04

mm414.3Ω1

ρ

d4πR

ρ

RA

AρR

2

22

Esercizio:

In un circuito passano in un’ora 4.5∙1022 elettroni. Quanto vale l’inensità di corrente?

A2sC2s 106.3

C106.1105.4

tΔ

QΔI

3

1922

Tabella resistività elettrica di alcuni

materiali alla temperatura di

riferimento T=20 °C

Esercizio:

Il campo elettrico di un filo di rame percorso dalla corrente di 2A è 5∙10-3 V/m. Calcolare il diametro del

filo

V105EVΔ 3 La ddp su 1 m di filo è:

Per la prima legge di Ohm: Ωm5.2Ω

2

105

I

VΔR

3

Per la seconda legge di Ohm:

mm 8.6Ω105.2

m1mmmΩ017.0

RρA

AρR 2

32

mm 9.2π

A2d

Esercizio:

Determinare la resistenza di un filo di rame a 100 °C, lungo 1000 m e di sezione 1mm2 sapendo che la

resistività a 20°C è 1.7∙102(Ωmm2/m) e che il coefficiente di temperatura a è 3.9∙10-3°C-1

La resistività di un elemento varia con la temperatura secondo la relazione:

To)]-(Tα[1ρ ρ o

Dove ρo è la resistività alla temperatura di riferimento To

mmmΩ102.2ρ

C20C100C 10·9.31mmmΩ101.7 To)]-(Tα[1ρ ρ

22-

1-3-2-2o

La resistività del rame a 100°C sarà quindi:

Ω22mm1

m10mmmΩ102.2

AρR

2

322-

RESISTENZE IN SERIE

N

1i

ieq RR

CIRCUITI

RESISTENZE IN PARALLELO

N

1i ieq R

1

R

1

Forza elettromotrice f.e.m.: Si definisce forza elettromotrice la tensione ai capi di un generatore

di tensione( batteria) quando la corrente è nulla ed è pari a ε. Se si considera la batteria come un

generatore ideale a resistenza nulla più una resistenza interna r, quando la batteria viene collegata

ad un circuito con una resistenza di carico R, la caduta di tensione ai capi della batteria è minore

della f.e.m ed è data da: ΔV= ε-rI=RI. Si ha quindi che ε=(R+r)I

Leggi di Kirchhoff:

1)La somma delle correnti che entrano in un nodo deve

essere uguale alla di quelle che ne escono.

•I positiva se entra nel nodo

•I negativa se esce dal nodo

0I

NODI

R2

R3

R4

R5

R6

R7

Maglia B

Maglia C

Maglia A

Nodo 1

Nodo 2 Nodo 3

Nodo 4

R1

Un circuito è costituito da:

1)un generatore di tensione (batteria)

2)un filo metallico

3)un interruttore

4)resistenze

5)rami (collegamento in serie di più elementi)

6)nodi (punto in cui corvergono almeno 3 rami)

7)maglie(insieme di due o più rami che formano

un cammino chiuso

2) La somma delle ddp ai capi degli elementiappartenenti

ad una maglia deve essere nulla

Dove:

•ΔV=-RI se la resistenza viene percorsa nel senso della corrente

•ΔV=+RI se il resistere viene percorso in senso opposto

•Se il generatore di tensione viene attraversato nel verso della f.e.m ( da

negativo a positivo) la variazione di porenziale è +ε •Se il generatore di tensione viene attraversato nel verso opposto alla

f.e.m ( da positivo a negativo) la variazione di porenziale è -ε

0VΔ

maglie

+

-

Per applicare i principi di Kirchhoff si deve:

1)Definire i rami del circuito ed applicare un verso arbitrario alla corrente per ogni ramo

2)Identificare la polarità della batteria

3) Determinare se parte del circuito può essere ridotto utilizzando resistenze equivalenti

4)Determinate le maglie ed i nodi del circuito

5)Disegnare il cicuito identificando tutte le resistenze e le correnti circolati su di esse

e le ddp ai loro capi

6)Applicare le prima legge di kirchhoff ai nodi (tranne uno) del circuito, quindi apllicare la seconda

Legge di kirchhoff ad un numero sufficiente di maglie da determinare tutte le incognite (in modo di

avere in totale un numero di equazioni nodi+ maglie= numero di incognite)

R1

R3

R5

R4 R2

ε1

ε4

ε2

Esercizio:

Consideriamo la rete in figura:

Ricavare le correnti che scorrono nei vari rami del circuito

ε1= 60V

ε2= 80V

ε4= 100V

R1=R2=R5=2kΩ

R3=20kΩ

R4=5kΩ

1) Definiamo i rami del circuito e assegnamo arbitrariamente un direzione di corrente per ogni ramo

R1

R3

R5

R4 R2

ε1

ε4

ε2

I1 I2

I5 I3 I4

I6

Nel circuito ci sono 6 rami per ognuno dei

quali viene assegnata una corrente

2) Definiamo la polarità (segno + -) ai capi dei resistori e dei generatori del circuito e definiamo

tutti i nodi (A, B, C, D) e le maglie (M1, M2, M3)

R1

R3

R5

R4 R2

ε1

ε4

ε2

I1 I2

I5 I3 I4

I6 - +

+ + - -

A B

D C

M1

M2

M3

N. Di rami: 6

N. Di nodi: 4

N. Di maglie 3

N correnti incognite: 6

R1

R3

R5

R4 R2

ε1

ε4

ε2

I1 I2

I5 I3 I4

I6 - +

+ + - -

A B

D C

M1

M2

M3

Partiamo dal nodo D, arriviamo ad A

percorrendo il ramo 1 e torniamo a D

percorrendo il ramo 3

0IRIRE 33111

Maglia M1

Maglia M2

Partiamo dal nodo D, arriviamo ad A

percorrendo il ramo 3 andiamo a B,

percorrendo il ramo 5andiamo a C

percorrendo il ramo 4 e torniamo a D

percorrendo il ramo 6

Otteniamo:

0EIRIRIR 4445533

Maglia M3

Partiamo dal nodo C, arriviamo a B

percorrendo il ramo 4 torniamo a C

percorrendo il ramo 2

Otteniamo:

0EIRIRE 222444

NODI:

A B

C

I1 I5 I5 I2

I6 I2 I3

I4

I4

0III 351 0III 452 0III 462

0IRIRE

0EIRIRIR

0EIRIRE

0III

0III

0III

33111

4445533

222444

351

452

462

0III

0III

0III

0IΩk20IΩk2V60

0V100IΩk5IΩk2IΩk20

080IΩk2IΩk5V100

351

452

462

31

453

24

Bisogna a questo punto solo risolvere le equazioni

MOTO DI PARTICELLE CARICHE IN UN CAMPO PUNTIFORME

Esercizio:

Con riferimento alla figura precedente, determinare la velocità di arrivo dell’elettrone sullo schermo,

sapendo che il campo elettrico uniforme è presente solo nel tratto d .

EqF

Il lavoro fatto dal campo elettrico (se positivo, altrimenti fatto dalla carica per opporsi al campo)

è dato da F∙S=F∙d dove

Il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro è

anche uguale alla variazione di energia cinetica,

cosicchè:

qEdvvm2

1TTL 2

i2feif

2if v

m

qEd2v Da cui si trova:

Esercizio:

Moto in un campo elettrico trasverso

Determinare il punto di arrivo sullo schermo dell’elettrone mostrato nella figura seguente e calcolare

la velocità con cui vi arriva

Poichè il campo agisce solo nel tratto d l’elettrone,

superato tale tratto continuerà a viaggiare con velocità vf

Il campo è perpendicolare alla velocità iniziale dell’elettrone

Una volta che l’elettrone entra nel campo elettrico subisce una

forza lungo la direzione y data da F=qeE

Le equazioni del moto fino all’istante in cui l’elettrone esce

dal campo sono quindi:

2

e

2yyyyoy

eey

000oxoxx

t m

Eq

2

1ta

2

10y tatavv

m

Eq

m

Fa

tvtvxx vvv 0a

20

2

e0 v

x

m

Eq

2

1y

v

x t Equazione di una parabola, che vale fin quando x<d

Quando l’elettrone ha raggiunto la distanza d si è spostato lungo l’asse y di un’altezza

vm

2dqEd

vv

d

m

Eq

v

d

m

Eq

2

1h tvhy

20e00e

20

2

efyf

20

2

e v

d

m

Eq

2

1h

Da quell’istante in poi si muoverà di moto rettilineo uniforme con velocità iniziale:

vm

Eqd

v

dav

vv

oeoyyf

ofx

Il tempo impiegato dall’elettrone per raggiungere lo schermo (per percorrere la distanza l) è quindi: ov

t

E l’altezza hf del punto in cui l’elettrone raggiunge lo schermo è data da.