Costruzioni Aerospaziali richiami di Scienza delle Costruzioni

Impostazione del problema elastico Risolvere un problema di elasticità comporta la

determinazione di complessive 15 incognite: a) tre incognite del vettore spostamento {S}; b) sei incognite del tensore delle deformazioni [E]; c) sei incognite del tensore degli sforzi [Σ]. Si hanno a disposizione le 15 relazioni: 1) le sei relazioni cinematiche ; 2) le tre equazioni di equilibrio alla traslazione con relative

condizioni al contorno ; 3) le sei relazioni costitutive .

Nessun gruppo delle relazioni 1), 2), 3) è tale da contenere singolarmente un numero di incognite pari al numero di relazioni, per cui a prima vista si ha un sistema accoppiato di 15 equazioni in 15 incognite.

Per semplificare il problema si può tentare di isolare un certo numero di equazioni in un pari numero di incognite.

Risolto questo primo gruppo di equazioni, si passa a risolvere un altro gruppo di equazioni in un pari numero di incognite e così via. Possiamo sinteticamente indicare questo modo di procedere come risolvere per risalita il sistema iniziale.

A)−Metodo degli spostamenti A)−Metodo degli spostamenti, è quello nel quale sono gli

spostamenti le prime incognite del processo di risalita. Delle relazioni a disposizione il gruppo meno numeroso è

quello delle tre equazioni di equilibrio che però è nelle sei incognite componenti del tensore degli sforzi. Esprimendo queste ultime componenti, prima in termini di deformazioni (attraverso i legami costitutivi) e poi in termini di spostamenti (attraverso le relazioni cinematiche), è possibile scrivere le tre equazioni di equilibrio e relative condizioni al contorno in termini delle tre componenti di spostamento.

Una volta determinati gli spostamenti è possibile per risalita, attraverso le relazioni cinematiche e costitutive, ricavare tutte le quindici incognite.

B)−Il metodo degli sforzi B)−Il metodo degli sforzi, è quello nel quale sono gli sforzi le prime

incognite del processo di risalita. Si utilizzano ancora le tre equazioni di equilibrio, che sono però

insufficienti per trovare le sei componenti univoche degli sforzi. Dal punto di vista teorico si potrebbero assumere arbitrariamente

tre componenti degli sforzi e ricavare le tre rimanenti componenti dalle equazioni di equilibrio.

Noti gli sforzi, dai legami costitutivi si hanno le deformazioni ma, al momento di ricavare gli spostamenti non c’è garanzia circa la loro continuità ed unicità. Garanzia che si può avere se gli sforzi, oltre che soddisfare l’equilibrio, garantiscono i necessari requisiti sulle deformazioni. Questo può essere fatto ricorrendo alle equazioni di compatibilità.

Unicità della soluzione 1)−Determinare sforzi e deformazioni quando sono note: −le forze corpo bx, by, bz ; −le forze di superficie fx*, fy*, fz* su tutto il contorno S. Metodo degli sforzi: equ. di equilibrio con le c.c + equ. di compatibilità. 2)− Determinare sforzi e deformazioni quando sono note: −le forze corpo bx, by, bz ; −gli spostamenti u*,v*,w* su tutto il contorno S. Metodo degli spostamenti: equ. di equilibrio con le c.c.. 3)− Determinare sforzi e deformazioni quando sono note: −le forze corpo bx, by, bz ; −le forze di superficie fx*, fy*, fz* sulla parte di contorno S1; −gli spostamenti u*,v*,w* sulla parte del contorno S2. Per tutti tali problemi di condizioni al contorno si dimostra, in campo lineare,

l’esistenza e l’unicità del tensore degli sforzi e delle deformazioni. Per i due ultimi problemi, gli spostamenti sono determinati univocamente dal

momento che sono assegnati almeno su una parte del contorno.

Tipologia di problemi

Il metodo inverso e semi−inverso

A)-Metodo inverso: si scelgono le funzioni incognite con l’unico requisito di soddisfare le equazioni differenziali nel campo; si trovano poi le forze e/o gli spostamenti da assegnare al contorno perché anche queste risultino soddisfatte.

In altri termini si sceglie la soluzione e si trova il problema che la soddisfa.

B)-Metodo semi-inverso: l’esperienza ed i risultati del metodo inverso consentono di intuire il campo di spostamenti e/o di sforzi del problema. Su tale base si esprimono spostamenti e/o sforzi in termini di funzioni e/o coefficienti incogniti che vengono poi trovati in modo da soddisfare tutte le condizioni del problema.

Principio di Saint−Venant Se su una superficie dove agisce una distribuzione di forze viene applicata

una diversa distribuzione di forze, gli effetti delle due distinte distribuzioni sono essenzialmente gli stessi se:

a)−si considerano regioni del corpo sufficientemente distanti dalla regione in cui si è effettuata la sostituzione;

b)−le due distribuzioni di forze risultano staticamente equivalenti (in termini di forza risultante e momento risultante)

Stati Bidimesionali

• A)-Deformazione piana

• B)-Sollecitazione piana

Stati bidimensionali A)-Deformazione piana.

Se risulta nulla (o costante) la componente di spostamento in una direzione.

In particolare si consideri il cilindro di figura di generatrici parallele all’asse z con le facce estreme piane e parallele al piano xy.

x

y

z

Si assume: −sulla superficie cilindrica sono applicate delle forze di superficie

T indipendenti da z con componenti sono solo nel piano xy; −eventuali forze di volume B sono anche loro indipendenti dalla z

con componenti solo nel piano xy.

0w;)y,x(vv;)y,x(uu ===

segue-Deformazione piana.

Relazioni cinematiche: 0;0;0 yzxzzz =γ=γ=ε

xv

yu;

yv;

xu

xyyyxx ∂∂

+∂∂

=γ∂∂

=ε∂∂

=ε

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

E (1 )(1 )(1 2 )

E (1 )(1 )(1 2 )

E2(1 )

σ = −ν ε + νε + ν − ν

σ = −ν ε + νε + ν − ν

τ = γ

+ ν

xyxx

yy yx

0x y

c.c.0

y x

∂τ∂σ+ = ∂ ∂ +∂σ ∂τ + = ∂ ∂

Legami costitutivi:

Equazioni di equilibrio:

B)-Sollecitazione piana Se risultano nulle le componenti di sforzo in

una direzione. In particolare si consideri il corpo di figura,

ottenuto come sezione di un cilindro retto con due piani z=±h/2.

x

y

z

Si assume: −spessore h piccolo rispetto alle dimensioni nel piano xy; −sulle facce non vi sono applicate delle forze; −sul bordo sono applicate solo forze di superficie T con

componenti solo nel piano xy indipendenti da z; −le forze di volume sono solo in direzione x,y indipendenti da z.

σ τ τzz xz yz= = =0 0 0; ;

Relazioni cinematiche: xx yy

zz

xy

xz yz

u v u v; ;x y yw

x

; 0 ; 0z

∂ ∂ ∂ ∂ε = ε = γ =

∂ε

+∂ ∂ ∂ ∂

γ γ∂

= ==

xx xx yy2

yy yy xx2

xy xy

E(1 )

E(1 )

E2(1 )

σ = ε + νε − ν

σ = ε + νε − ν

τ = γ

+ ν

xyxx

yy yx

0x y

c.c.0

y x

∂τ∂σ+ = ∂ ∂ +∂σ ∂τ + = ∂ ∂

Legami costitutivi:

Equazioni di equilibrio:

segue -Sollecitazione piana

M. degli spostamenti: sollecitazione piana

Condizioni al contorno S=S1+S2:

Equazioni di equilibrio:

S1).dove sono date le forze

S2).dove sono dati gli spostamenti

* *u u ; v v= =

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

u 1 u 1 v 0x 2 y 2 x yv 1 v 1 u 0

y 2 x 2 x y

∂ −ν ∂ + ν ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂

∂ −ν ∂ + ν ∂ + + =∂ ∂ ∂ ∂

*x y x

*y x y

1 u v 1 v u 1n n f1 x y 2 x y E

1 v u 1 v u 1n n f1 y x 2 x y E

∂ ∂ ∂ ∂ + ν+ ν + + = − ν ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ + ν + ν + + = − ν ∂ ∂ ∂ ∂

M. degli spostamenti: deformazione piana

Condizioni al contorno S=S1+S2:

Equazioni di equilibrio:

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

u 1 2 u 1 v 0x 2(1 ) y 2(1 ) x yv 1 2 v 1 u 0

y 2(1 ) x 2(1 ) x y

∂ − ν ∂ ∂+ + =∂ −ν ∂ −ν ∂ ∂

∂ − ν ∂ ∂ + + =∂ −ν ∂ −ν ∂ ∂

S1).dove sono date le forze

*x y x

*y x y

1 u v 1 v u 1n n f1 2 x y 2 x y E

1 v u 1 v u 1n n f1 2 y x 2 x y E

− ν ∂ ∂ ∂ ∂ + ν+ ν + + ν = − ν ∂ ∂ ∂ ∂

− ν ∂ ∂ ∂ ∂ + ν + ν + + ν = − ν ∂ ∂ ∂ ∂

S2).dove sono dati gli spostamenti

* *u u ; v v= =

M. degli sforzi (B=0 → soll. p. ≡ def. p.)

Equazioni di equilibrio:

Condizioni al contorno dove sono date le forze

xyxx

yy yx

0x y

0y x

∂τ∂σ+ = ∂ ∂

∂σ ∂τ + = ∂ ∂

Equazione congruenza:

2 22 2 2xy yyxx

x y2 2 2 2 ( ) 0x y y x x y∂ γ ∂ ε ∂ ε ∂ ∂

= + ⇒ + σ +σ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

*xx x yx y x

*yy y xy x y

n n fn n f

σ + τ =σ + τ =

Funzione sforzo (Airy) Φ

Equazioni di equilibrio:

Condizioni al contorno dove sono date le forze

xyxx

yy yx

0x y

0y x

∂τ∂σ+ = ∂ ∂

∂σ ∂τ + = ∂ ∂

Identicamente soddisfatte se:

2 2 2

xx yy xy2 2; ;y x x y

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φσ = σ = τ = −

∂ ∂ ∂ ∂

Equazione congruenza:

4 4 4

4 2 2 4

2 2

x y2 2 0x x y

( ) 0x y y

∂ ∂+ σ + σ = ⇒ ∂ ∂

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

2 2*

x y x2

2 2*

y x y2

n n fy x y

n n fx x y

∂ Φ ∂ Φ− =

∂ ∂ ∂

∂ Φ ∂ Φ− =

∂

∂

∂

Funzione sforzo Φ

Il Metodo Inverso Funzione sforzo Φ ?

x y

2 2 2

xx yy xy2 2; ;y x x y

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φσ = σ = τ = −

∂ ∂ ∂ ∂

Assenza delle forze bx e by

4 0∇ Φ =2 2

*x y x2

2 2*

y x y2

n n fy x y

n n fx x y

∂ Φ ∂ Φ− =

∂ ∂ ∂

∂ Φ ∂ Φ− =

∂

∂

∂

M Nm n

mnm 0 n 0

a x y= =

Φ = ∑ ∑

[ ] [ ][ ] [ ]

*x 02 12 03 x 11 21 12 y

*y 20 21 30 y 11 21 12 x

f 2 a a x 3a y n a 2a x 2a y n

f 2 a a y 3a x n a 2a x 2a y n

= + + − + +

= + + − + +

Condizioni al contorno sulle forze

4 0∇ Φ =2 2

*x y x2

2 2*

y x y2

n n fy x y

n n fx x y

∂ Φ ∂ Φ− =

∂ ∂ ∂

∂ Φ ∂ Φ− =

∂

∂

∂

0 202a x yΦ =

x y

xx 02 yy xy2a ; 0 ; 0σ = σ = τ =

*x 02*y

f 2a

f 0

=

=

Sforzi intorno al punto

dx)cossen(dy)sencos(ds yxyyxyxxXX ατ+ασ+ατ+ασ=σ

dx)sencos(dy)cossen(ds yxyyxyxxXY ατ−ασ+ατ−ασ−=τ

α=α= cosdsdy;sendsdx

Sforzi intorno al punto 2 2

XX xx2 2

YY yy2 2

XY xy

cos sen 2cos sensen cos 2cos sen

cos sen cos sen cos sen

σ α α α α σ σ = α α − α α σ

τ − α α α α α − α τ

Sforzi principali

yy xx xyd ( )sen 2 2 cos 2 0dσ= σ −σ α + τ α =

α

02sen22cos)(d

dxyxxyy

XY =ατ−ασ−σ=ατ

xy

xx yy

2tan 2 σ

τα =

σ − σ

xx yy

xy

tan 22τ

σ − σα = −

τ

tan 2 tan 2 1σ τα α = −

I due angoli ἀσ e ἀσ+ 90 definiscono due direzioni e sui piani di cui sono la normale lo sforzo assiale assume il massimo e minimo valore. Questi sforzi sono indicati come principali e i piani su cui agiscono piani principali

Indica che le direzioni tra sforzo assiale e sforzo di taglio principale e’ di 45 deg.

Trazione con il metodo semi−inverso

Con tale sollecitazione esterna, possiamo ipotizzare che: −sulle sezioni ortogonali all’asse x, il vettore sforzo T(x) sia

costante con unica componente non nulla quella assiale σx; −sulle sezioni con piani ortogonali agli assi y,z i vettori sforzo

T(y) , T(z) siano identicamente nulli.

y

xx

σσ

z

L

y

[ ]Σ =

σ 0 00 0 00 0 0

Verifica del campo di sollecitazione a)−Equilibrio:

b1)− sulle facce d’estremità x=0,L

b)−Condizioni al contorno:

∂σ∂x

= 0

{ }

±=

001

n [ ]{ }

σ±=Σ=

ττσ

=±

00n

xz

xy

xx)x(T

b2)− sul resto del contorno { }n nn

y

z

=

0

[ ]{ }

=Σ=

ττσ

=000

n

nz

ny

nx)n(T

c)−Congruenza

Determinazione delle altre incognite a)−su ciascuna sezione

N σ σ

N

b)−deformazioni

c)−Spostamenti

AN σ=

x y z

yz xz xy

;E E

0

σ νσε = ε = ε = −

γ = γ = γ =

EANx)0(u)x(u +=

v yE

w zE

νσ= −

νσ= −

Condizioni di congruenza soddisfatte poiché le componenti del tensore delle deformazioni sono costanti

Diagrammi

a)−della risultante N

x

N

0

x

σ

0 b)−dello sforzo σ=N/A.

c)−dello spostamento elastico u

x

u

0

La torsione

Mt Mt x

Mt

Mt

x

G

n Mt antiorario +

Mt orario −

n Mt antiorario +

Mt orario −

Diagramma dei momenti torcenti

4M M 5M

M

4M

5M x

1 2

n +

+

−

3

4M M 5M

1 2

n −

−

+

3

Torsione: Cilindro Circolare

Mt Mt x

Mt

Mt

x

G

u 0v r sen z (x)w r cos y (x)

= = −ϕ α = − ϕ = ϕ α = ϕ

Cilindro Circolare u 0v r sen zw r cos

(x)(x)y

= = − α =ϕ ϕ

ϕ−ϕ

= α =

1.Spostamenti (assunti): con ϕ incognita.

2.Deformazioni (legami cinematici) xy xz

d d(x, z) z ; (x, y) ydx d(x) )

x(x

γ = − γ =ϕ ϕ

[ ]0 z y

G z 0 0y 0 0

− Σ = −

′ϕ

3.Sforzi (relazioni costitutive) xy xz

yz xx yy zz

d dGz ; Gydx dx

0

ϕ ϕτ = − τ =

τ = σ = σ = σ =

3.Tensore degli Sforzi

a)−Equazioni di equilibrio

La prima è identicamente soddisfatta, mentre dalle rimanenti:

Quindi l’equilibrio è soddisfatto se la rotazione per unità di lunghezza o angolo relativo di torsione φ è costante .

A meno di una traslazione rigida: ϕ= φ x.

La rotazione φ definisce la deformazione ovvero è, per la torsione, l’equivalente degli allungamenti relativi del caso della trazione.

xyxx xz

2yy xy yz xy

2

2yzzz xz xz

2

0x y z

dGz 0y x z x dx

dGy 0z x y x dx

ϕ

∂τ∂σ ∂τ+ + ≡ ∂ ∂ ∂

∂σ ∂τ ∂τ ∂τ + + = = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ∂σ ∂τ ∂τ

+ϕ

+ = = =∂ ∂ ∂ ∂

d costante =dxϕ

=′ϕ = φ

Metodo semi inverso

b)−Condizioni al contorno:

b1)−sulla superficie cilindrica CIRCOLARE

(n)y

z

0 z y 0 yz zyGG z 0 0 n 0R

y 0 0 n 0

− − + ′ϕ ′= ϕ − =

T

y

z

α

x

R n

Rzsenn;

Rycosn;0n zyx =α==α==

Ricordiamo che sul contorno cilindrico non sono applicate forze

b)−Condizioni al contorno:

b2)− sulle facce d’estremità x=0,L

Risultanti:

y

z

τxy

τxz

x

Mt

x xx y xyA A A

z xz y zA A

2 2t xz xy p

A A

R dA 0 ; R dA G zdA 0

R dA G ydA 0 ; M M 0

M (y z )dA G (y z )dA GI

′= σ = = τ = − ϕ =

′= τ = ϕ = = = ′ ′= τ − τ = ϕ + = ϕ

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

t tp4

p

2d d dGI Bdx GI GR dx dx

ϕ ϕ= = ⇒ = =

ϕπ

M MtM

( x)

0 z y 1 0G z 0 0 0 G z

y 0 0 0 y

±

− ± ′ ′= ϕ − = ± ϕ −

T

Ip= π/2 4R

Conclusioni

y

z

τxy

τxz

x

Mt

r P

z

y x

τ

[ ]xy xz

xy

xz

0 (z) (y) 0 z y(z) 0 0 G z 0 0(y) 0 0 y 0 0

τ τ − ′Σ = τ = θ − τ

2 2 2 2 txy xz

p

M rG y z G rI

′ ′= τ = τ + τ = ϕ + = ϕ =T

tt p

p

d dGIdx dx GIϕ ϕ

= ⇒ =MM

ds dx rd r′= γ = θ ⇒ γ = ϕ

scorrimento

Sforzo di taglio normale al raggio r

Considerazioni

Mt

τ x

y z

τ t

p

M rG rI

′τ = ϕ =

t t t tMax 4 3

p p

M R 2M R 2M MI R R W

τ = = = =π π

Wp modulo di resistenza polare

Solo taglio Solo sforzo normale

Torsione: Cilindro NON Circolare

τ

τxn

τxt

τnx x

x

y

y

n 0n y / R

n z / R

=

≠ ≠

xy xz y xy z xz(n)

xy y

xz z

0 0 n n 00 0 n 0 00 0 n 0 0

τ τ τ + τ = τ = τ

≠T

Taglio non più tangente

Cilindro circolare

y

z

τxy

τxz

x

Mt

y

z

τxy

τxz

x Mt

u 0v z (x)w y (x)

= = −

= ϕ ϕ

Cilindro NON circolare

u C (y, z)v z (x)w y (x)

Ψϕ

=

ϕ

= − =

Bisogna rimuovere ipotesi u=0

Cilindro NON circolare 1.Spostamenti (assunti): con θ incognita.

2.Deformazioni (legami cinematici)

[ ]xy xz

xy

xz

00 00 0

τ τ Σ = τ τ

3.Sforzi (relazioni costitutive)

3.Tensore degli Sforzi

u C (y, z)v z (x)w y (x)

Ψϕ

=

ϕ

= − =

xy xzd dC z ; C y

y dx z dx∂Ψ ϕ ∂Ψ ϕ

γ = − γ = +∂ ∂

xy

xz

dG C zy dx

dG C yz dx

∂Ψ ϕτ = − ∂

∂Ψ ϕ τ = + ∂

Warping o ingobbamento della sezione

a)−Equazioni di equilibrio

Dalle ultime due (analoghe al cilindro circolare):

La 1° equazione di equilibrio

xyxx xz

2yy xy yz xy

2

2yzzz xz

2 2

x

2

z2

2x y zdGz 0

y x z x dxdGy 0

z x y x d

0y z

x

∂τ∂σ ∂τ+ + = ∂ ∂ ∂

∂σ ∂τ ∂τ ∂τ ϕ + + = = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ∂σ ∂τ ∂τ ϕ

+ + = = =∂

∂ Ψ ∂

∂ ∂ ∂

Ψ+ =

∂ ∂

d costante =dxϕ′θ = = φ

2 22

2 2 0 nel campoy z

∂ Ψ ∂ Ψ+ = ∇ Ψ =

∂ ∂

+ condizioni al contorno

y

z

τxy

τxz

x Mt

b)−Condizioni al contorno:

b1)−sulla superficie NON CIRCOLARE

deve risultare:

000

nn

nn0

0000

0 zxzyxy

z

y

xz

xy

xzxy)n( =

τ+τ=

ττ

ττ=T

xy

xz

dG C zy dx

dG C yz dx

∂Ψ ϕτ = − ∂

∂Ψ ϕ τ = + ∂ y z y z

dC n n n z n yy z dx

∂Ψ ∂ψ ϕ + = − ∂ ∂

2 22

2 2

y z

0 nel campoy zdC (n z n y) al contornodn

∂ Ψ ∂ Ψ+ = ∇ Ψ = ∂ ∂

Ψ ′= ϕ −

cioè:

b)−Condizioni al contorno:

b2)− sulle facce d’estremità x=0,L

Momento torcente risultante:

t xz xyA A

M (y z )dA G y y z z dA GJz y

∂Ψ ∂Ψ ′ ′= τ − τ = ϕ + − − = ϕ ∂ ∂ ∫ ∫

t td dBdx GJ B dx

ϕ= = ⇒ =

ϕ M MtM

xy xz( x)

xy xy

xz xz

0 1 00 0 00 0 0

±

τ τ ± = τ = ± τ τ τ

T

y

z

τxy

τxz

x Mt

xy xzd dG C z ; G C y

y dx z dx ∂Ψ ϕ ∂Ψ ϕ τ = − τ = + ∂ ∂

Poiche’ ϕ’ = cost, si puo’ assumere tale cost = C

Torsione: funzione sforzo 1.Campo degli sforzi (assunti):

2.Equazioni di equilibrio

la 1° equ. di equilibrio è soddisfatta dalla funz. sforzo φ

3.Compatibilità

xy xz

xx yy zz yz

, 0

0

τ τ ≠σ = σ = σ = τ =

0x

;0x

;0zy

xzxyxzxy =∂∂τ

=∂

∂τ=

∂∂τ

+∂

∂τ

xy xz(y, z) (y, z);z y

∂Φ ∂Φτ = τ = −

∂ ∂

2

2

2

22

xz2

xy2

zydove0;0

∂∂

+∂∂

=∇=τ∇=τ∇

2 20 ; 0z y∂ ∂∇ Φ = − ∇ Φ =

∂ ∂2 d2G costante

dxϕ

∇ Φ = − =

Bisogna soddisfare la compatibilità

Torsione: Striscia rettangolare a>>t

y z

a

t φ(z)

y z

a

t φ(y,z)

φ(y,z)

τyx y z

a

Ipotesi: φ (z)

2 2

2 2 cos ty z

0 al contorno

∂ Φ ∂ Φ+ =

∂ ∂Φ =

2

2

d2Gz dx

∂ Φ ϕ= −

∂2

2d tG zdx 2

ϕ Φ = − −

xy xz(y, z) d (y, z)2Gz ; 0z dx y

∂Φ ϕ ∂Φτ = = τ = − =

∂ ∂

Torsione: Striscia rettangolare a>>t

τyx y z

a

xy xz(y, z) d (y, z)2Gz ; 0z dx y

∂Φ ϕ ∂Φτ = = τ = − =

∂ ∂

2t / 2 32

2A t / 2

4 4a t atJ dA G z dz2G 2 3−

′= − Φ = ϕ − = ′∇ Φ ϕ ∫ ∫

2t / 2 32

tA t / 2

t GatM 2 dA 2aG z dz2 3−

′ ′= Φ = ϕ − = ϕ

∫ ∫

t td dBdx GJ B dx

ϕ= = ⇒ =

ϕ M MtM

La Flessione z

y

z

x G

M Piano di carico M

M y

φ

xx

yy zz xz yz xy

az by0

σ = +σ = σ = τ = τ = τ =

Si assumono come assi yz gli assi centrali della sezione (che passano per il baricentro G) e si ipotizza:

1.Sforzi

2.Deformazioni (legami cinematici)

Sforzi e deformazioni lineari, soddisfano equilibrio e congruenza. Resta da verificare le condizioni al contorno: −sulla superficie laterale, dove non sono applicate forze, si può facilmente verificare che il vettore sforzo risulta nullo; −sulla faccia x=L e/o x=0, la risultante delle forze risulta:

xx

yy zz xz yz xy

az by0

σ = +σ = σ = τ = τ = τ =

x xxx yy zz

xy xz yz

;E E

0

σ νσε = ε = ε = −γ = γ = γ =

0RR;0ydAbzdAadAR zyA AA

xx ===+=σ= ∫ ∫∫Poiché gli assi yz sono assi centrali della sezione, i momenti statici risultano nulli.

Risultanti:

+=+=σ=

+=+=σ=

∫ ∫∫

∫ ∫∫

zyzA A

2

Axz

yzyA A

2

Axy

bIaIdAybzydAadAyM

bIaIzydAbdAzadAzM

y z yz z y z y yz y z2 2

y y z zyz z y yz z y

ˆ ˆM M I / I M M M I / I M1 1a ; bI I I I1 I / I I 1 I / I I

− − = = = =

− −

yI

M̂zI

M̂

z

z

y

yxx +=σ

Assi yz assi centrali con orientamento generico:

Momenti flettenti positivi quando tendono le fibre nel quadrante positivo

y z yz z y z y yz y z2 2

y y z zyz z y yz z y

ˆ ˆM M I / I M M M I / I M1 1a ; bI I I I1 I / I I 1 I / I I

− − = = = =

− −

yI

M̂zI

M̂

z

z

y

yxx +=σ

y z yz z y z y yz y z2 2

y yz z y y z yz z y z

M M I / I M M M I / I M1 1a ; bI 1 I / I I I I 1 I / I I I − −

= = = = − −

Sistema di Assi: assi YZ assi principali d’inerzia

YI

MZI

M

Z

Z

Y

Yxx +=σ

Dove: • MY, MZ sono le componenti del momento M rispettivamente intorno agli assi principali Y,Z; • IY, IZ i momenti principali d’inerzia.

Poiché gli assi YZ sono assi principali:

Y Zxx

Y Z

M Mz Y

I Iσ = +

Posizione Asse Neutro NN L’asse neutro è l’asse della sezione sulla quale σx=0

Y

Y

Y N cosZ N sen= β

= β

Z YY

Y Z

M IZtanY M I

β = = −

Y Y

Z Y

M M senM M cos

= φ = φ

YZ

YY ctan

IItan φ−=β

Nxx

N

MD

Iσ =

Sistema di assi cartesiani N-D (asse neutro e asse ad esso ortogonale

Posizione Asse Neutro YZ

YY ctan

IItan φ−=β

Il piano neutro è ortogonale al piano di carico solo se IY=IZ. Se IY≠IZ la struttura tende ad inflettersi nel piano in cui la rigidità a flessione è minore e non in quello del momento, ovvero: l’asse NN non coincide con la perpendicolare al piano di carico ma è ruotato di un angolo ε verso l’asse principale rispetto al quale la sezione presenta un momento d’inerzia minore e la flessione è detta flessione deviata ; se ε=0 si ha flessione retta o diretta.

Nello studio della flessione si possono impiegare indifferentemente gli assi yz, YZ, ND, ognuno dei quali ha vantaggi e svantaggi: −il sistema (centrale) yz presenta il vantaggio di essere arbitrario ma fornisce poche informazioni sulle proprietà della struttura e quindi si ha una scarsa visione fisica del problema; −il sistema (centrale) YZ di assi principali presenta il vantaggio di leggere la struttura attraverso le proprie caratteristiche intrinseche e di utilizzare una formula in cui lo sforzo σ è la somma di ciò che avviene separatamente intorno all’asse Y e all’asse Z. In altri termini lo studio della flessione deviata può essere condotto sommando gli sforzi ottenuti considerando due distinti problemi: a) MZ=0 ed MY≠0, b) MZ≠0 ed MY=0. Lo svantaggio risiede nella necessità di ricerca degli assi principali; −il sistema (centrale) ND presenta il vantaggio di individuare i punti più sollecitati che sono i punti più distanti dall’asse neutro e di utilizzare una formula per σ particolarmente semplice. Lo svantaggio risiede nel fatto che gli assi ND variano al variare dell’inclinazione del carico; in altri termini mentre gli assi principali sono caratteristici della sezione, l’asse neutro dipende anche dalla sollecitazione.

Teoria semplificata della Flessione Ipotesi: “le sezioni piane ed ortogonali alla linea media ruotino mantenendosi piane ed ortogonali alla linea media deformata”.

RRRR D

ddd)D(

dsdsds 0

x =θ

θ−θ+=

−=ε

DEx R=σ

xA A

EdA DdA 0σ = =∫ ∫R

Nel piano della sezione c’è una linea dove gli sforzi risultano nulli che passa per il baricentro della sezione; tale linea è detto asse neutro.

Non essendoci carichi in direzione normale alla sezione, deve risultare:

La struttura si inflette come un arco di cerchio

Dall’equilibrio dei momenti:

2x

A A

E EI E MdA D dA MI

σ = = = ⇒ =∫ ∫R R R

2

2 3 2 2

1 w d w[1 w ] dx

′′= χ = ≅

′+R

2

f 2

E M d wM EII dx

= ⇒ =R

xE MD D

Iσ = =

R

Curvatura

Sforzo

Flessione per Taglio

nella sezione trasversale posta ad x<L, si esercita un momento M=Tzd ed una forza di taglio T=Tz.

Consideriamo una Tz nel piano di simmetria xz che induce flessione solo in tale piano in direzione del verso positivo dell’asse z.

A)−La presenza del momento, comporta l’insorgere di sforzi assiali σ che possiamo valutare con la formula della flessione:

B)−La presenza della T genera sforzi di taglio τ il cui valore può essere calcolato imponendo l’equilibrio di un elemento bdxdz.

12bhI;z

I)x(M 3

x ==σ

dx

M+dM

M

T T

dx

z

x

z y

σ

-h/2

h/2

b

σ dxx∂σ

σ +∂

σ+dσ 0 τ

dzz∂τ

τ +∂

y dz

z

0

z0

dx(bdz) dz(bdx) 0 dz Cx z x∂σ ∂τ ∂σ

+ = ⇒ τ = − +∂ ∂ ∂∫

)Lx(T)x(M z −=

In particolare per sezione rettangolare:

z x zx

T (x L) TM(x) z z zI I x I

− ∂σσ = = ⇒ =

∂

0 0

z z

0 0z z

z h / 2

yh / 2 z

TC dz C zdAx Ib

T T TzdA zdA QIb Ib Ib

−

−

∂στ = − = − =

∂

− = =

∫ ∫

∫ ∫

z

y h/2

b

-0,6 -0,4 -0,2

0 0,2 0,4 0,6

0,05 0,1 0,15

ITh

xzτ2

ζ

−== ∫

−2

22/h

zy z

4h

2bzdAQ

ττ

ζxzz

y

y xz

z

TI

hz

IT h

= −

⇒ = −

2 4

12

14

22

22

Momento statico rispetto all’asse y

Flessione e torsione per Taglio

Po x

z

Ty

Tz

z

T

y 0

E’ sempre possibile pensare di sostituire la T applicata in P0(yo,zo), con sistema staticamente equivalente di una forza T applicata in un altro punto P* più una coppia.

In generale la sezione, è di forma qualsiasi e la forza applicata T ha orientamento e punto di applicazione tale da generare una sollecitazione combinata di flessione, taglio e torsione.

Centro di Taglio (o di Flessione) Tra tutti i possibili punti P*, esiste un punto dove: l’applicazione della T induce solo flessione senza rotazione; Tale punto è un punto caratteristico della sezione detto Centro di Flessione o di Taglio (C.T.). Trasportando T nel C.T. il problema è riportato, per la linearità del problema, allo studio dei due distinti casi: −di flessione con taglio: sforzi assiali σxx e di taglio τxy, τxz senza rotazione ϕ. −di torsione: sforzi di taglio τxy, τxz con rotazione ϕ.

t tM MT Txx xy xy xy xz xz xz

yy zz yz

0 ; 0 ; 0

, , 0

σ ≠ τ = τ + τ ≠ τ = τ + τ ≠

σ σ τ =

Centro di Taglio (o di Flessione)

Affinchè a seguito dell’applicazione della sola T si abbia solo flessione (senza rotazione) il Centro di Taglio si deve trovare in un punto del piano della sezione rispetto al quale il momento torcente risultante delle forze di taglio τ risulti nullo. La condizione di annullamento del momento torcente è quindi una condizione che può essere utilizzata per determinare il C.T. Tuttavia in alcuni casi, l’individuazione del C.T. risulta semplificata e talvolta immediata. In particolare nei seguenti casi: −sezione con un asse di simmetria: il C.T. giace su tale asse; −sezione con due assi di simmetria: il C.T. è il punto di intersezione di detti due assi e coincide con il baricentro della sezione.