METODO DABEJA

P2

P2

P2

P2P2

P2

P3

P3

P3

P3

P3

P3

P4P4

P4

P4

P4

P4

P5

P5

P5

P5

P5

P5

P1

MÉTODODABEJAMÉTODODABEJA

P2

P2

P2

P2P2

P2

P3

P3

P3

P3

P3

P3

P4P4

P4

P4

P4

P4

P5

P5

P5

P5

P5

P5

P1

Daniel Bejarano Segura

Editado por Editorial ABCDario para la Gobernación del Meta

θ =15º, 30º, 55º, 80º, 100º y 120ºcon P = (0,0) con L = 8 cm.1

P1

P2

P3

P4

P6

P7

P9

P5

P1

P2

P3

P4

P6

P7

P9

P5

1144

++33

xxMÉTODO DABEJA

MÉTODO DABEJA

MAT

EMÁT

ICAS

ISBN: 978-958-44-2589-8

Autor: Daniel Bejarano Segura DABEJA Primera edición, 2007

Editado y Realizado porCASA EDITORIAL ABCDarioGerenteAlejandro Pineda ArroyaveEditor GeneralSergio David Acevedo ValenciaDiseño y diagramaciónCASA EDITORIAL ABCDarioCorrección de estiloJorge Hernán Arbeláez UribeCarrera 23 No. 73-39 Tel. (57) (6) 8867788Manizales, Caldas, Colombiaemail: [email protected]ón

Noviembre de 2007Todos los derechos reservados ®

AGRADECIMIENTOS

Agradecerle a Dios por la sabiduría y conocimiento que me ha dado; a mi esposa amada Darkis Nelle Pérez Silva, mis hijos, Juan David y Dairon Andrés, a mi madre Sol Marina Segura y padre (q.e.p.d.) hermanos y familiares que siempre han creído en mi trabajo. A la tierra del Vaupés que me acogió durante seis años, con buenos amigos, al doctor Hidelbrando Albarracín, Secretario de Educación del Meta, quien ha apoyado incondicionalmente este trabajo; y demás personas que de una u otra forma han estado siempre conmigo durante todo este tiempo. Gracias.

MÉTODO DABEJA

BIOGRAFÍA

Daniel Bejarano Segura, nació el 15 de septiembre

de 1976 en la ciudad de Arauca, en el departamento

de Arauca. Bautizado en el Municipio de San Juan

de Arama en el Departamento del Meta. Ingresa a la

Universidad de los Llanos Orientales a la

Licenciatura en Matemáticas y Física, donde se

destacó por sus buenas calificaciones que le

otorgaron Matrícula de Honor, razón por la cual fue

eximido de los derechos de grado, en el año 2000. Viaja a la ciudad de

Mitú en el departamento del Vaupés, donde es nombrado en propiedad,

en la Escuela Normal Superior Indígena María Reina "ENOSIMAR"

Allí realiza trabajos de investigación desde las ciencias naturales

"Física" "FENÓMENOS Y CREENCIAS NATIVAS 2002-2005"

"CONCEPCIONES ÉTNICAS Y CIENTÍFICOS NATURALES 2004-

2005" y la Etnomatemática "PENSANDO MATEMÁTICAMENTE

DESDE NUESTRA CULTURA 2002-2006" reconocidos por el

Ministerio de Educación Nacional quien los hizo partícipes del Foro

Educativo Nacional en el 2003 por sus diversas experiencias

significativas en el aula. Co-Autor del Libro "DIVERSIDAD

CULTURAL EN LA FORMACIÓN DE MAESTROS, Universidad

Pedagógica Nacional, Bogotá, 2006 ediciones Géminis Ltda."

Capacitador de propuestas pedagógicas para la enseñanza-aprendizaje

de las matemáticas "PENSAMIENTOS Y ESTRATEGIAS EN EL

ÁREA DE LAS MATEMÁTICAS" desde 2003 hasta el 2006.

Reconocido por el departamento del Vaupés por sus innovaciones

pedagógicas y administrativas, ese mismo año empieza a investigar

sobre lo que hoy se denomina el Método DABEJA; en junio del 2006 es

trasladado de la ciudad de Mitú al Municipio de Vista Hermosa en la

vereda de Piñalito en el Departamento del Meta, antigua Zona de

Distensión, y actualmente, labora en la Institución Educativa IRACÁ

En IRACÁ ha formado un semillero de investigación con estudiantes

de grado décimo. Es invitado al primer foro educativo municipal en Chía

(Cundinamarca), luego representa al Departamento del Meta en el Foro

Educativo Nacional con el Método DABEJA, su investigación ha sido

reconocida por las principales universidades del país, quienes lo han

invitado a sus eventos en matemáticas como conferencista "XVIII

ENCUENTRO DE GEOMETRÍA Y SUS APLICACIONES Y VI

ENCUENTRO DE ARITMÉTICA BOGOTÁ," "8º ENCUENTRO DE

MATEMÁTICA EDUCATIVA, SANTIAGO DE CALI", XVI

CONGRESO NACIONAL DE MATEMÁTICAS MEDELLÍN", entre

otros.

PRESENTACIÓN

El pensamiento espacial componente fundamental del currículo del

área de las matemáticas desarrolla procesos de espacialidad que desde

temprano permiten al educando ubicarse en un sistema de

posicionamiento tridimensional, encaminado a su estudio en diferentes

dimensiones las cuales surgen a partir de la descomposición de cada una

de ellas y que permiten desarrollar un esquema coherente en su

cotidianidad.

La investigación matemática sobre la construcción de los polígonos

regulares y las figuras planas constituyen la base del "método DABEJA",

el cual contiene diversas fórmulas matemáticas que logran que las

habilidades motoras y el esquema sensoro-motriz del educando desde

temprana edad sean accesibles para el docente de básica primaria y

secundaria, empleando herramientas cotidianas en el desarrollo del

pensamiento espacial,

El docente que practica el método DABEJA aplica los conocimientos

básicos del álgebra y trigonometría e implementa otros que son de poco

manejo cotidiano en la preparación de clase, emplea las herramientas de

graficación para verificar la exactitud del mismo y confronta las

aplicaciones geométricas de los polígonos regulares y las figuras planas,

controlando las variables que generan los puntos coordenados y

ordenados en la construcción. Visualiza otras propiedades geométricas

cada vez que construye las diferentes figuras; éstas a su vez están

relacionadas con la trigonometría y el álgebra desde su parametrización

y demostraciones que existen para cada una de las figuras que se

construyen sin emplear el compás.

INTRODUCCIÓN

La geometría plana, que estudia las propiedades de superficies y

figuras planas ha estado ligada desde sus inicios al compás como

herramienta de graficación, los problemas de construcción, en los que

cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de

borde recto y un compás, hacen parte en la enseñanza y aprendizaje de la

geometría en los centros educativos desde hace tiempo, en especial, en

los que no cuentan con computadores y otras tecnologías que faciliten

este tipo de construcciones.

El método DABEJA permite construir los polígonos regulares y las

figuras planas sin emplear el compás, sólo a través de los puntos

coordenados y ordenados en el plano cartesiano, los cuales poseen una

parametrización algebraica de las abscisas y ordenadas para cada figura

controlando las variables que entran en juego en la representación como

el valor del lado, el del ángulo de rotación respecto de la horizontal y el

ángulo externo encontrando reglas generales para la demostración

matemática tipo geométrico y algebraico los cuales involucran

conceptos trigonométricos básicos.

En el transcurso del libro se encontrarán diversos capítulos que

permiten al lector desglosar las figuras geométricas bidimensionales

como los polígonos regulares en el primero, que generalizan dos

fórmulas a nivel general que encuentran las abscisas y las ordenadas

consecutivamente de los puntos o vértices de cada polígono regular

incentivando a la proyección de infinitos lados. Los diversos tipos de

triángulos cada uno con su característica se ven en el capítulo dos,

presentando el movimiento de un lado con respecto a otro, siendo éste

mayor que el anterior, como un límite para entender las posibilidades que

tiene un docente al querer construir un triángulo según sus ángulos.

Los cuadriláteros continúan en el capítulo tres, identificando las

diversas relaciones del cuadrado, rombo, romboide y rectángulo. Como

ejemplo, todo cuadrado es un rectángulo pero no todo rectángulo es

cuadrado; además los trapecios y trapezoides que ya han perdido su valor

en cuanto a su enseñanza en la educación básica, y nuevamente, son

caracterizados según sus partes internas y externas complementando su

estudio. Otras figuras bidimensionales como las estrellas de n-puntas, el

teorema de Pitágoras y el tangram, construidas a través del método

DABEJA permiten encontrar las relaciones del movimiento que posee

cada punto (vértice) respecto a sus ángulos y lados, estas relaciones se

observan a simple inspección al determinar cada punto coordenado.

Las transformaciones geométricas cuyas aplicaciones como las

traslaciones, rotaciones o giros y homotecias hacen parte del capítulo

cinco, reconociendo en ellas interacciones de los puntos coordenados y

sus propiedades que los identifican sin tener en cuenta el tipo de figura

que se desee mover. Se culmina con las construcciones de los cuerpos

geométricos graficados desde el plano, recortadas y pegadas tipo

plegados en dos dimensiones, las cuales desarrollan desde temprana

edad la motricidad y la visualización espacial de estas construcciones

que desarrolladas con valores reales, alcanzan tamaños jamás

imaginados por los docentes de manera fácil y divertida para los

estudiantes.

El método DABEJA continúa encontrando otros aspectos

geométricos de las figuras, siendo éstos motivos de futuras

investigaciones por parte de docentes y estudiantes con grandes

aptitudes de investigación, permitiendo así un mayor desarrollo en las

matemáticas y la labor docente en el aula.

CAPÍTULO 1

FIGURAS GEOMÉTRICAS I

P6

P3

P1

P9

P7

P5

P4

P2

P8

1.1 POLÍGONOS REGULARES:

1.1.1 Conceptos

Figura plana cerrada constituida por n puntos (vértices) de los que en ningún caso pueden encontrarse alineados tres consecutivos (formando línea de 180º) y por n segmentos rectilíneos que unen entre sí a los vértices. (Diccionario enciclopédico Color. 2001)

Todo polígono regular de n-lados tiene n-puntos coordenados y ordenados, P (X , Y ) P (X , Y ), P (X , Y ), P (X , Y ), P (X5, Y5), P1 n-

(X , Y ). P (X , Y ), P (X , Y ). Los cuales surgen por:2 n-2 n-2 n-1 n-1 n-1 n n n

1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5

X = LCos (q + k w) + Xn n-1

Y = LSen (q + k w) + Yn n-1

+Con LЄ R , 0 θ 360º respecto a la horizontal K=n-2, n= puntos coordenados ω= (360/i), i, al número de lados. Donde L es el valor del lado que usted asigna y es cualquier número real, θ es el ángulo de rotación respecto de la horizontal, “asignado por usted” ω es el ángulo suplementario o externo y depende del número de lados del polígono, X y Y “abscisas y ordenadas” puntos coordenados que generan los polígonos, X y Y punto anterior respecto de X y Y . (Método DABEJA 2006)

1.1.2 Fórmulas método DABEJA para polígonos regulares y generalización.

Estas fórmulas contienen variables conocidas en cursos de trigonometría, como las funciones seno y coseno, ángulos de rotación “θ”, suplementarios “ω” e internos “ ω´ ” puntos coordenados P = (x , y ) cuyas componentes tiene valores reales positivos localizados n n n

en el plano cartesiano, el valor del lado del polígono regular “L”. Interactuando entre ellas para encontrar los puntos coordenados y ordenados que construyen la figura según sus lados.

≤ ≤igual

n

n

n-1 n-1 n n

Figuras Geométricas IFiguras Geométricas I

1212

FÓRMULAS PARA POLÍGONOS REGULARES DE N-LADOS

Para las componentes en el eje horizontal X (abscisas),

X = LCos θ + X X = LCos θ + X2 2-1 2 1

X = LCos (θ + ω) + X X = LCos (θ + ω) + X3 3-1 3 2

X = LCos (θ + 2ω)+ X X = LCos (θ + 2ω) + X4 4-1 4 3

X = LCos (θ + 3ω) + X X = LCos (θ + 3ω) + X5 5-1 5 4

.

.

.

X = LCos (θ + k ω) + Xn n-1

De igual forma para las componentes en y (ordenadas),

Y = LSen θ + Y Y2 = LSen θ + Y2 2-1 1

Y = LSen (θ + ω) + Y Y = LSen (θ+ ω) + Y3 3-1 3 2

Y = LSen (θ + 2ω) + Y Y = LSen (θ+ 2ω) + Y4 4-1 4 3

Y = LSen (θ + 3ω) + Y Y = LSen (θ+ 3ω) + Y5 5-1 5 4

.

.

.

Yn = LSen (θ+ k ω) + Yn-1

1.1.3 Demostración y construcciones

Se realizará la demostración y construcción del pentágono regular

teniendo en cuenta los siguientes procesos apoyados en conceptos y

relaciones trigonométricas, segmentos, ángulos y puntos coordenados.


1313

X X = - Y = - 2 1 1X X Y Y Y2 1 2 1 2

X X = A Y = 2 1 COSq Y ASENq 2 1

X - X = A Y = 2 1 COSq - Y ASENq 2 1

X = A + X = 2 COSq Y ASENq + Y 1 1 1

X X = Y = 2 1 COSq Y SENq2 1


A A

X X = - Y = - 3 2 2X X Y Y Y3 2 3 2 3

X - X = A Y = 3 2 COS(q + w) - Y ASEN(q + w) 3 2

X = A + X = 3 COS(q + w) Y ASEN(q + w) + Y 2 3 2

X X = Y = 3 2 COS(q + w) Y SEN(q + w)3 2

A A

X X = - Y = - 3 4 3X X Y Y Y4 3 3 4 4

X - X = A Y = 4 3 COS(q + 2w) - Y ASEN(q + 2w) 4 3

X = A + X = 4 COS(q + 2w) Y ASEN(q + 2w) + Y 3 4 3

X X = Y = 3 4 COS(q + w + w) Y SEN(q + w+ w)3 4

A A

X X = - Y = - 4 5 4X X Y Y Y5 4 4 5 5



X X COS(q + w + w + w) Y SEN(q + w+ w + w)4 5 4 5 = Y =

A A

P2

P1 = (x , y )1 1x2

y2

y2

y3

P2

P1

A

A

q

q

w

P3

P2

P4

P 1

qw

w

q

w’

A

A

A

x3

y3

y4

x4

P4

P5

P2

y4

y5

x5 x4

A

AA

A

ww

w

q

q


1414

X X = - Y = - 5 1 5X X Y Y Y1 5 5 1 1

Y Y = Y = 5 1 SEN(q + 4w) - Y ASEN(q + 4w) 1 5


X X COS(q + w + w + w + w)5 1 =

A

A

P5 y5

x5 P1 = (x , y )1 1

A

A

ww

w w

q

A

A

A

En la construcción del pentágono regular se demuestra cómo los

puntos coordenados y ordenados conservan el movimiento rotacional

con ángulos de rotación “θ” y suplementarios “ω” cada vez que se

encuentran sus coordenadas cartesianas ordenadamente. En la parte final

de la demostración se comprueba que el punto final del pentágono

regular es el mismo punto inicial, generando de manera cíclica los puntos

coordenados posteriores limitándolo a encontrar tan solo cinco puntos

coordenados y ordenados para construirlo. De manera similar se

demuestran y construyen cada uno de los polígonos regulares de

cualquier número de lados. Invitamos al lector a demostrar y construir el

polígono regular que desee, apoyado en la fórmula general para

polígonos de n-lados

1.1.3 Construcción de polígonos regulares

Para construir un polígono regular de n-lados se deben tener en cuenta:

· Los conceptos y variables mencionadas en apartados anteriores.

· El polígono es construido según los datos que usted plantee para

las variables dadas.

· Manejar adecuadamente el plano cartesiano, la ubicación de

puntos coordenados con valores reales positivos y su

aproximación a decimales de una o varias cifras.

· Según el número de lados del polígono a construir, así será el

número de puntos a localizar.


1515

· El ángulo suplementario para un polígono regular está dado por

ω = (360/i), donde i, al número de lados.

· Cada punto se une con el siguiente a través de un segmento de

recta llamado lado del polígono.

· La rotación de la figura es respecto de la horizontal y toma

valores de grados desde cero a trescientos sesenta, incluyendo

minutos y segundos si lo desea.

· Después de encontrar todos los puntos del polígono, si usted,

aumenta en uno el número de puntos se dará cuenta que es el

punto inicial del mismo.

· Se recomienda emplear papel milimetrado.

Cabe recordar que los datos asignados son los que usted desee, dando

el P1 punto inicial (x, y), el valor del lado del polígono regular L= a cm. +Con a Є R , K= n-2, n= puntos coordenados, el ángulo de rotación de la

figura 0 θ 360º y el ángulo externo del polígono regular ω = (360/i),

i, al número de lados.

Si se desea construir un pentágono regular con:

P1 = (0, 0) L = 5 cm θ = 0º ω = (360º/5) = 72º

Los puntos coordenados y ordenados restantes que debo encontrar son:

P (X , Y ) P (X Y ) P (X , Y ) P (X , Y )2

Con coordenadas

igual

≤ ≤

igual

, , , ,2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5

“K = n-2 = 2 -2 = 0”P2= (5, 0)

“K= n-2 = 3-2 = 1”

P = (6.54, 4.75),3

“K= n-2=4 - 2 =2”

P = (2.5, 7.69)4

K = 3P5 = (-1.54, 4.75)

Y = Lsen (θ + K ω) + YY =5Sen(0) + 0 = 02

Y = Lsen (θ + K ω) + Y3 2

Y =5Sen (0+ 72) + 0 = 4.753

Y = Lsen (θ + 2ω) + Y4 3

Y =5Sen (144) +4.75=7.694

Y = Lsen (θ + 3ω) + Y5 4

Y = 5Sen (216) + 7.69 = 4.755

2 1X = Lcos (θ + K ω) + X2

X = 5Cos (0) + 0 = 52

X = Lcos (θ + K ω) + X23

X = 5Cos (0+ 72) + 5 =6.543

X = Lcos (θ + 2ω) + X4 3

X = 5Cos (144) + 6.54=2.54

X = Lcos (θ + 3ω) + X5 4

X = 5Cos (216) + 2.5= -1.545

1


1616

Los cuales se representan en el plano cartesiano

Pentágono regular

P1 P2

P3P5

P4

Ahora se construirá un heptágono regular con:

P = (-2,-3) L = 3.5 cm θ = 230º ω = (360º/7)1

Los puntos coordenados y ordenados restantes que se deben encontrar son:

P (X , Y ), P (X , Y ), P (X , Y ), P (X , Y ), P (X , Y ), P (X , Y )2 2 2 3 2 2 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7

Con coordenadas

K = 0P = (-4.24, -5.68)2

K = 1P = (-3.55, -9.11),3

K = 2P = (-0.44, -10.70)4

K = 3P = (2.74, -9.26)5

K = 4P = (3.61, -5.87)6

K = 5P = (1.49, -3.08)7

Y = Lsen (θ + K ω) + YY = 3.5Sen (230) -3 = -5.682

Y = Lsen (θ + K ω) + Y3 2

Y = 3.5Sen (230 + 360/7) - 5.68 = -9.113

Y = Lsen (θ + 2ω) + Y4 3

Y = 5Sen (230 + 720/7) -9.11 = -10.74

Y = Lsen (θ + 3ω) + Y5 4

Y = 5Sen (230 + 1080/7) -10.7 = -9.265

Y = Lsen (θ + 4ω) + Y6 5

Y = 5Sen (230 + 1440/7) -9.26 = -5.876

Y = Lsen (θ + 5ω) + Y7 6

Y = 5Sen (230 + 1800/7) -5.87 = -3.087

2 1X = Lcos (θ + K ω) + X2

X = 3.5Cos (230) - 2 = -4.242

X = Lcos (θ + K ω) + X3 2

X = 3.5Cos (230 + 360/7) -4.24 = -3.553

X = Lcos (θ + 2ω) + X4 3

X = 5Cos (230 + 720/7) -3.55 = -0.444

X = Lcos (θ + 3ω) + X5 4

X = 5Cos (230 + 1080/7) -0.44 = 2.745

X = Lcos (θ + 4ω) + X6 5

X = 5Cos (230 + 1440/7) + 2.74 = 3.616

X = Lcos (θ + 5ω) + X7 6

X = 5Cos (230 + 1800/7) + 3.61 = 1.497

1


1717

Las figuras (a), (b) y (c) muestran el proceso de construcción del

heptágono regular a través de puntos coordenados y ordenados.

P1

P2

P3

P1

P2

P3

P4

P5

Figura (b)

P1 P7

P6P2

P3

P4

P5

Figura ( c )

Figura (a)


1818

CAPÍTULO 2

FIGURAS GEOMÉTRICAS II

2.1 TRIÁNGULOS

2.1.1. Conceptos y clasificación

Triángulo (figura), polígono de tres lados. Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales; isósceles, si tienen dos lados iguales; y escalenos, si los tres lados son distintos. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene un ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.

Los triángulos se clasifican según sus lados y ángulos, el método Dabeja presenta para cada uno de ellos las fórmulas de los puntos coordenados y ordenados diferenciándolos en sus datos iniciales especialmente en sus ángulos y lados limitándolos al dar valores en el ángulo suplementario ω = 120º y sus tres lados iguales para el triángulo

equilátero. Si el ángulo suplementario ω 120º con L y L iguales en el 1 2

caso del triángulo isósceles. Si el ángulo suplementario 0<ω<180º y los

lados a b para el triángulo escaleno. Si ω = 90º para el triángulo

rectángulo, sus dos lados iniciales pueden ser iguales, menores o mayores

entre sí. Cuando 90º<ω< Cos [-L /L ] si L < L y cuando el ángulo 1 2 1 2

suplementario 90º < ω<180º si L L en los triángulos acutángulos. 1 2

Cuando el ángulo suplementario ω < 90º si L L y para 1 2

-1Cos [-L /L ]<ω< 180º si L < L para los triángulos obtusángulos. Siendo 1 2 1 2

éstos los datos de los ángulos y lados que se deben tener en cuenta para cuando usted desee construir cualquier tipo de triángulo con el método Dabeja.

2.1.2 Fórmulas método DABEJA para cualquier tipo de

triangulo

Triángulo EquiláteroAquel polígono regular de 3-lados. Que tiene 3-puntos coordenados y ordenados, P (X , Y ), P (X , Y ), P (X , Y ) basados en las fórmulas del 1 1 1 2 2 2 3 3 3

método Dabeja, las cuales encuentran los puntos restantes.

≠

≠

≥

≥

-1

Figuras Geométricas IIFiguras Geométricas II

2020

Clasificado como el polígono regular de tres lados, por ello se emplea la fórmula de los polígonos regulares de i-lados, siendo i = 3, K= n-2,

n, puntos coordenados, el ángulo suplementario ω = (360/i), i = 3, +

ω = 120º, el ángulo de rotación 0 θ 360º L = a cm. con a Є R . P (X ,

Y ) el punto inicial del triángulo. Cada valor dado por usted a las 1

variables encuentran los dos puntos restantes

X = LCos (θ + k ω) + X Y = LSen (θ + k ω) + Yn n-1 n n-1

≤ ≤ 1 1

· X = LCos θ + X2-1 Y = LSen θ + Y 2 2 2-1

· X = LCos θ + X Y = LSen θ + Y P (X , Y ), 2 1 2 1 2 2 2

· X = LCos (θ + ω) + X Y = LSen (θ + ω) + Y3 3-1 3 3-1

· X = LCos (θ + ω) + X Y = LSen (θ + ω) + Y P (X , Y )3 2 3 2 3 3 3

P1 P2

P3

Triángulo Equilátero

Con θ = 0º ω = 120º L = 5 cm. P = (0,0)1

Triángulo Isósceles

Es aquel cuyo ángulo suplementario 0 < ω < 180º y ω 120º con

L y L iguales, constituidos por tres puntos coordenados y ordenados 1 2

P (X , Y ) (inicial), P (X , Y ), P (X , Y )1

· X = LCos θ + X Y = LSen θ + Y P (X , Y ),


≠

1 1 2 2 2 3 3 3

2 1 2 1 2 2 2


2121

El comportamiento del triángulo isósceles es semejante al triángulo

equilátero su diferencia radica en el ángulo suplementario diferente a

120º tomando valores mayores a cero y menores a ciento ochenta grados.

Generando dos ángulos internos iguales.

P3

P2

P1

P3

P2

P1

Triángulo Isósceles (a)

Triángulo Isósceles (b)

Con θ = 60º ω=80º L = 5 cm. P1 = (0,0) 1y2

Con θ = 30º ω = 145º L = 6.5cm. P1 = (0, 0) 1y2

Triángulo Escaleno

Triángulo cuyos lados no tienen igual medida , siendo su

ángulo suplementario 0 < ω < 180º y sus internos diferentes entre sí. Los

tres puntos coordenados y ordenados que lo conforman son P (X , Y ) 1

(punto inicial del triángulo), P (X , Y ), P (X , Y ) restantes con 2 2 2 3 3 3

formulas.

· X = L Cos θ + X1 Y = L Sen θ + Y P (X , Y ), 2 1 2 1 1 2 2 2

· X = L Cos (θ+ ω) + X Y = L Sen (θ + ω) + Y P (X , Y )3 2 2 3 2 2 3 3 3

L L L1 2 3≠ ≠

1 1


2222

El triángulo escaleno presenta la condición para sus lados L y L , siendo 1 2

estos diferentes entre sí y los valores para el ángulo suplementario mayor

que cero y menor que ciento ochenta grados definen ángulos internos

P3

P2P1

Triángulo Escaleno

Con θ = 0º ω = 165º L = 7 cm. L = 9 cm. P = (0,0)1 2 1

Triángulo Rectángulo

Triángulo cuyos ángulos interno y suplementario son iguales ω’=ω= 90º,

sus dos lados iniciales L y L pueden ser iguales, menores o mayores 1 2

entre sí. Su punto inicial P (X , Y ) dado por usted y las demás variables 1 1 1

permiten encontrar a P (X , Y ), P (X , Y ) puntos restantes a través de2 2 2 3 3 3

· X = L Cos θ + X Y = L Sen θ + Y P (X , Y ), 2 1 1 2 1 1 2 2 2

· X = L Cos (θ + ω) + X Y = L Sen (θ+ ω) + Y P (X , Y )3 2 2 3 2 2 3 3 3

P3

P2 P1

Con θ = 180º ω = 90º L = 6 cm. L = 8 cm. P = (0,0)1 2 1

Triángulo Rectángulo


2323

Triángulo Acutángulo

Un triángulo es acutángulo cuando sus ángulos internos miden

menos de noventa grados. Cuando el ángulo suplementario mide

90º ω 180º si L L el triángulo conserva el carácter de acutángulo. 1 2

Pero se presenta además el caso cuando al construir un triángulo

acutángulo si el lado uno es menor que el lado dos, no se cumple para

todos los valores mayores de noventa y menores de ciento ochenta

grados, en la investigación del método Dabeja se encontró los valores

para los cuales el ángulo suplementario llega a un ángulo menor de ciento

ochenta grados siendo éste valor el máximo posible para que el triángulo -1

no cambie a obtusángulo, el valor está dado por la relación Cos [-L /L ]1 2

el cual depende de los lados uno y dos del triángulo, siendo ésta el límite

para el ángulo suplementario, entonces cuando el ángulo suplementario -1 “90º ω Cos [-L /L ]” si L < L también se construye un triángulo 1 2 1 2

acutángulo con ángulos internos menores de noventa grados. Valores, los

cuales son reemplazados en la fórmula de los puntos coordenados y

ordenados P (X ,Y ), P (X , Y )2 2 2 3 3 3


· X = L Cos (θ + ω) + X Y = L Sen (θ + ω) + Y P (X , Y )3 2 2 3 2 2 3 3 3

< < ≥

< <

P2

P1

L1

L2

P3

P2

P1

L1

L2

P3

θ = 230º ω = 135 L = 6 cm L = 8 cm P1 = (1,1). L L1 2 1 2

Triángulo acutángulo

Triángulo acutángulo

θ = 115º ω = 110 L = 7 cm L = 5 cm P1 = (4,-3). L L1 2 2 1


2424

Triángulo Obtusángulo

Un triángulo es obtusángulo cuando uno de sus ángulos internos mide más de noventa grados. Cuando el ángulo suplementario mide ω= 90º

si L L el triángulo conserva el carácter de obtusángulo. Pero se 1 2

presenta además, el caso cuando al construir un triángulo obtusángulo si el lado uno es menor que el lado dos, no se cumple para todos los valores mayores de noventa y menores de ciento ochenta grados, en la investigación del método Dabeja se encontró los valores para los cuales el ángulo suplementario llega a un ángulo mayor que la

-1 relación Cos [-L /L ] y menor a ciento ochenta grados siendo éste 1 2

valor el mínimo posible para que el triángulo no cambie, el valor está -1 dado por la relación Cos [-L /L ] el cual depende de los lados uno y dos 1 2

del triángulo, entonces cuando el ángulo suplementario toma valores -1“Cos [-L /L ] ω 180º ” si L < L también se construye un triángulo 1 2 1 2

obtusángulo. Valores los cuales son reemplazados en la fórmula de los puntos coordenados y ordenados P (X , Y ), P (X , Y ).2 2 2 3 3 3



≥

< <

P2

P1

L1

L2

P3

P2

P1

L1

L2

P3

Triángulo obtusángulo

Triángulo obtusángulo

θ = 60º ω = 140 L = 4 cm. L = 7 cm P1 = (0,0). L L1 2 1 2

θ = 25º ω = 60 L = 6.5 cm. L = 4 cm. P1 = (-1,0). L L1 2 2 1


2525

2.1 Demostración y construcciones

La demostración para el triángulo equilátero se presenta a continuación

X X = - Y = - 2 1 1X X Y Y Y2 1 2 1 2

X - X = A Y = 2 1 COSq - Y ASENq 2 1

X = A + X = 2 COSq Y ASENq + Y 1 2 1

X X = A Y = A2 1 COSq Y SENq2 1


A A

X X = - Y = - 3 2 2X X Y Y Y3 2 3 2 3



X X = Y = 3 2 COS(q + w) Y SEN(q + w)3 2

A A

A

qP1 - (x , y )1 1

P2 - (x , y )2 2

x2

y2

X X = - Y = - 3 1 3X X Y Y Y1 3 3 1 1



X X = Y = 3 1 COS(q + w + w) Y SEN(q + w+ w)3 1

A A

Y3

Y2 P2

X2X3

q

w

w’

q

A

A

1P3

P3

X3

Y3

q

w

wA

A

A

P1 - (x , y )1 1

La demostración del triángulo equilátero, es semejante a las de los

demás triángulos, los cuales permiten visualizar el comportamiento de

los puntos con relación a los lados y los ángulos de rotación y


2626

suplementarios. Se debe aclarar que las fórmulas también son

semejantes para cada triángulo, los cuales se diferencian en los lados y

los ángulos según la clasificación. Al abordar los rangos de las variables

usted reconocerá aún más las diferencias y semejanzas de cada triángulo.

Aunque existen diversos autores que combinan los nombres de los

triángulos clasificándolos por sus lados y ángulos no entraremos en esa

discusión, ya que estamos reconociendo al método para construir los

triángulos con sus partes y propiedades a través de puntos coordenados y

ordenados en el plano cartesiano, sin necesidad de emplear las

herramientas del compás y el transportador.

2.1.3 Construcción de triángulos

Para construir cualquier tipo de triángulos se deben tener en cuenta las

consideraciones mencionadas en la construcción de polígonos regulares,

diferenciando al ángulo suplementario cuyo rango varía en cada

triángulo, el número de puntos coordenados y ordenados son tres y los

lados no siempre tienen el mismo valor.

A continuación se presenta la construcción de sólo tres triángulos a los

cuales no se clasificarán por sus lados ni ángulos, dejándole al lector su

clasificación.

Triángulo 1

P = (3,-2)1

L = 4 cm1

L = 4 cm2

q = 300°

w = 30°

Triángulo 2

P = (0,1)1

L = 7 cm1

L = 5 cm2

q = 158°

w = 90°

Triángulo 3

P = (-2,0)1

L = 2.5 cm1

L = 2.5 cm2

q = 230°

w = 1560°

Los puntos coordenados y ordenados restantes que se deben encontrar

para cualquier triángulo son P (X , Y ) y P (X , Y ), con coordenadas

· X = L Cos θ + X1 Y = L Sen θ + Y1 P (X , Y ), 1 1

· X = L Cos (θ+ ω) + X Y = L Sen (θ + ω) + Y P (X , Y )3 2 2 3 2 2 3 3 3

2 2 2 3 3 3

2 2 2 2 2


2727

Para el triángulo uno se tiene,

X = L Cos θ + X Y = L sen θ + Y 1 1 1 1

X = 4Cos (300) + 3 = 5 Y = 4Sen (300) -2 = -5.46 P = (5,-5.46)2 2 2

X = L Cos (θ + ω) + X Y = L sen (θ + ω) + Y 3 2 2 3 2 2

X = 4Cos (300+ 30) + 5 = 8.46 Y = 4Sen (300 + 30) -5.46 = -7.46 P = (8.46,-7.46)3 3 3

Para el triángulo dos,

X = L Cos θ + X Y = L sen θ + Y 2 1 1 2 1 1

X = 7Cos (158) + 0 = -6.49 Y = 7Sen (158) +1 = 3.62 P = (-6.49, 3.62)2 2 2

X = L Cos (θ + ω) + X Y = L sen (θ+ ω) + Y 3 2 2 3 2 2

X = 5Cos (158 + 90) -6.49 = -8.36 Y = 5Sen (158+90) + 3.62 = -1.01 P = (-8.36,-1.01)3 3 3

Para el triángulo tres,

X = L Cos θ + X Y = L sen θ + Y 2 1 1 2 1 1

X = 2.5Cos (230) -2 = -3.60 Y =2.5Sen (230) +0 = -1.91 P = (-3.60, -1.91)2 2 2

X = L Cos (θ + ω) + X Y = L sen (θ + ω) + Y 3 2 2 3 2 2

X = 2.5Cos (230 + 156) -3.60 = -1.35 Y = 2.5Sen (230 + 156) -1.91 =-0.81 P = (-1.35,-0.81)3 3 3

2 2

P3

P2

L2

L1

P1

Triángulo tres

Triángulo dos

P1

P2

P3

L2

L1


2828

P1P1

P2P2

P3P3

P4P4

CAPÍTULO 3

FIGURAS GEOMÉTRICAS III

3.1 CUADRILÁTEROS

Cuadrilátero, polígono de cuatro lados. La suma de sus ángulos

interiores es 360º. Los cuadriláteros tienen dos diagonales.

Se clasifican en paralelogramos (si tienen los dos pares de lados

opuestos iguales entre sí) y no paralelogramos.

Los paralelogramos son los cuadrados (los cuatro lados iguales y los

cuatro ángulos rectos), rectángulos (los cuatro ángulos rectos), rombos

(los cuatro lados iguales) y romboides (no tienen los lados iguales ni los

cuatro ángulos rectos).

Los no paralelogramos son los trapecios (dos de sus lados son

paralelos y los otros dos no) y los trapezoides (no tienen ningún par de

lados paralelos).

3.2 Conceptos y clasificación

Los cuadriláteros cuya clasificación en paralelogramos y no

paralelogramos pueden ser construidos como usted desee, cada uno de

ellos presenta datos iniciales que le permiten diferenciarse a través de sus

lados y ángulos suplementarios. Si sus lados son iguales 'L = L = L = L ' 1 2 3 4

y el ángulo suplementario es noventa grados 'ω= 90º' es el cuadrado. Si

los lados uno y tres son iguales pero diferentes a los lados dos y cuatro

que también son iguales '(L = L ) (L = L )' y el ángulo suplementario 1 3 2 4

mide noventa grados 'ω= 90º' es el rectángulo. Si sus lados son iguales

'L = L = L = L ' y el ángulo suplementario mide más de cero y menos de 1 2 3 4

ciento ochenta grados, 0 <ω<180º' es el rombo. Si los lados uno y tres

son iguales pero diferentes a los lados dos y cuatro que también son

iguales '(L = L ) (L = L )' y el ángulo suplementario mide más de cero y 1 3 2 4

menos de ciento ochenta grados, pero diferente a noventa grados

0<ω<180º ω 90º es el romboide. Los trapecios cuya clasificación en

isósceles, rectángulos y escalenos poseen características diferentes, si el

≠

≠

≠

Figuras Geométricas IIIFiguras Geométricas III

3030

lado uno es diferente al lado tres y a los lados dos y cuatro que son

iguales ''L L (L = L )' y el ángulo suplementario mide más de cero y 1 3 2 4


'0<ω<180º ω 90º' es el trapecio isósceles. Para el trapecio rectángulo

pueden o no ser iguales los lados uno y dos pero siempre diferentes a los

lados tres y cuatro '[(L = L ) o (L L )] L L , y sus dos primeros 1 2 1 2 3 4

ángulos con relación a los puntos uno y dos miden noventa grados. Si los

todos los lados son diferentes 'L L L L ' y el ángulo suplementario 1 2 3 4

mide más de cero y menos de ciento ochenta grados, pero diferente a no-

venta grados '0 < ω < 180º, ω 90º, ω+ω`= 180º' es el trapecio escaleno.

3.3 Fórmulas del método Dabeja para cuadriláteros

Cada una es diferente a las demás teniendo en cuenta los lados y los

ángulos suplementarios pero conservan la misma cantidad de puntos

coordenados y ordenados en el plano cartesiano.

3.3.1 Cuadrado

También llamado polígono regular de 4-lados. Que tiene 4-puntos

coordenados y ordenados, P (X , Y ), P (X2 , Y ), P (X , Y ), P (X , Y ), 1 2 3 4

basados en las fórmulas del método Dabeja, las cuales encuentran los

puntos restantes.

Clasificado como el polígono regular de cuatro lados, por ello se

emplea la fórmula de los polígonos regulares de i-lados, siendo i= 4,

K= n-2, n= puntos coordenados, el ángulo suplementario ω = (360/i), +

i = 4, ω = 90º, el ángulo de rotación 0 θ 360º L = a cm. Con a Є R .

P (X , Y ) el punto inicial del cuadrado. Cada valor dado por usted a las 1 1 1

variables encuentran los tres puntos restantes

X = LCos (θ + k ω) + X Y = LSen (θ + k ω) + Y n n-1 n n-1

≠ ≠

≠

≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠

≠

1 1 2 2 3 3 4 4

< <


3131

P1

P2

P3

P4

L2

L2

L1

L1

P1

P2

P3

P4

· X = LCos θ + X1 Y = LSen θ + Y1 P (X , Y ), 2


· X = LCos (θ + 2ω) + X Y = Lsen (θ + 2ω) +Y P (X , Y )4 3 4 3 4 4 4

2 2 2 2

θ = 60º ω = 90º L = 6 cm. P = (-2,2)1

Cuadrado

Rectángulo

3.3.3 Rectángulo

Construir un rectángulo sí:

Cuadrilátero cuyos ángulos interno y suplementario son iguales ω’ = ω = 90º, sus lados impares son iguales diferentes a los lados pares que también son iguales '(L = L ) (L = L )'. Su punto inicial 1 3 2 4

P (X , Y ) dado por usted y las demás variables permiten encontrar a 1

P (X , Y ) P (X , Y ), P (X , Y ) puntos restantes a través de2 2 2 3 3 3 4 4 4



· X = L Cos (θ + 2ω) + X Y = L sen (θ + 2ω) + Y P (X , Y )4 1 3 4 1 3 4 4 4

≠

1 1

,

θ = 75º ω = 90º L = 5.5 cm. L = 7.5 cm. P = (3,2)1 2 1


3232

3.3.4 Rombo

Semejante al cuadrado, ya que todos sus lados son iguales pero sus

ángulos suplementarios son mayor que cero y menor a ciento ochenta

grados, los puntos que se deben encontrar sólo son tres ya que el punto

inicial es dado por usted, siendo P (X , Y ), P (X , Y ), P (X , Y4) los 2 2 2 3 3 3

puntos restantes hallados a través de:

· 2 1 2 1 2 2 2

· X = LCos (θ + ω) + X Y = LSen (θ + ω) + Y2 P (X , Y )3 2 3 3 3 3

· X = LCos (θ + ω + ω’) + X Y = Lsen (θ + ω + ω’) +Y P (X , Y )4 3 4 3 4 4 4

4 4

X = L Cos θ + X Y = L Sen θ + Y P (X , Y ), 1 1

P1

P2

P3

P4

θ = 200º ω = 80º L = 6.5 cm. P = (4,3)1

Rombo

3.3.5 Romboide

Semejante al rectángulo, con los lados uno y tres iguales pero

diferentes a los lados dos y cuatro que también son iguales

'(L = L ) (L = L )' y el ángulo suplementario mide más de cero y menos 1 3 2 4

de ciento ochenta grados, pero diferente a noventa grados 0º < ω < 180º

ω 90º teniendo que encontrar,

· 2 1 2 1 2 2 2


· X = L Cos (θ + ω + ω’) + X Y = L Sen (θ + ω + ω’) + Y P (X , Y )4 1 3 4 1 3 4 4 4

≠

≠



3333

P1

L1 L1

L2

L2

P2 P3

P4

θ = 325º ω = 20º L = 7 cm. L = 4 cm. P = (-3,1)1 2 1

Romboide

3.3.6 Trapecio isósceles

Cuadrilátero con el lado uno es diferente al lado tres pero paralelos y a

los lados dos y cuatro que son iguales “'L L (L = L )” y el ángulo 1 2 4

suplementario mide más de cero y menos de ciento ochenta grados, pero

diferente a noventa grados 0º < ω < 180º ω 90º' los puntos a encontrar

definidos por,

· X = L Cos θ + X Y = L Sen θ + Y P (X , Y ), 1 1


· X = L Cos (θ + ω’) + X Y = L Sen (θ + ω’) + Y P (X , Y )4 2 1 4 2 1 4 4 4

≠ ≠

≠

2 1 2 1 2 2 2

P4

P2

L2

L1

P3

P1L2

L3

θ = 15º ω = 25º L = 5 cm. L = 6 cm. P = (-1,1)1 2 1

Trapecio isósceles


3434

3.3.7 Trapecio Rectángulo

Con características similares al rectángulo, ya que su ángulo

suplementario mide noventa grados ω = 90º, pero sus lados opuestos

son diferentes. Para el trapecio rectángulo pueden o no ser iguales los

lados uno y dos pero siempre diferentes a los lados tres y cuatro

'[(L = L ) o (L L )] L L , sus puntos coordenados están dados por,1 2 1 2 3 4

· X = L Cos θ + X1 Y = L Sen θ + Y P (X , Y ), 2 1 1

· X = L Cos (θ + ω) + X Y = L Sen (θ + ω) + Y P (X , Y )2 2 3

· X = L Cos (θ + 2ω) + X Y = L Sen (θ + 2ω) +Y P (X , Y )4 3 3 4 3 3 4 4 4

≠ ≠ ≠

2 1 2 2 2

3 2 3 2 3 3

P3

P1

L1

L3

L2 P2

P4

θ = 90º ω = 90º L = 6 cm. L = 6 cm. L = 8.5 cm. P = (2,-3)1 2 3 1

Trapecio rectángulo

3.3.8 Trapecio escaleno

Cuadrilátero llamado así por sus lados, pues todos tienen diferente

medida, “L L L L ” y el ángulo suplementario mide más de cero y 1 2 3 4


0º < ω < 180º, ω 90º, ω + ω’ = 180º' sus puntos restantes,


X = L Cos (θ + ω) + X Y = L Sen (θ + ω) + Y P (X , Y )3 2 2 3 2 2 3 3 3

X = L Cos (θ + ω+ ω’) + X Y = L Sen (θ + ω + ω’) + Y P (X , Y )4 3 3 4 3 3 4 4 4

≠ ≠ ≠

≠

2 1 2 1 2 2 2


3535

P4 P3

P2L1

L3

L2

P1

θ = 0º ω = 135º L = 8 cm. L = 5 cm. L = 6 cm. P1= (-2,-4)1 2 3

Trapecio escaleno

3.4 Demostración y Construcciones

Aunque las demostraciones de los cuadriláteros no son iguales se

asemejan en la cantidad de puntos coordenados y ordenados, así solo se

presentaran dos de las seis demostraciones para que el lector pueda

resolverlos en sus estudios posteriores sobre el método Dabeja.

Demostración del rectángulo

X X = - Y = - 2 1 1X X Y Y Y2 1 2 1 2

X - X = A Y = 2 1 COSq - Y ASENq 2 1

X = A + X = 2 COSq Y ASENq + Y 1 2 1



A A

y2

x2

P2

P1 = (X , Y )1 1

A

q

X X = - Y = - 3 2 2X X Y Y Y3 2 3 2 3

X - X = B Y = 3 2 COS(q + w) - Y BSEN(q + w) 3 2

X = B + X = 3 COS(q + w) Y BSEN(q + w) + Y 2 3 2

X X = Y = 3 2 COS(q + w) Y SEN(q + w)3 2

B B y2

y3

x2x3

P3

P2

A

B

qw

q


3636

X X = - Y = - 3 4 3X X Y Y Y4 3 3 4 4



X X = Y = 3 4 COS(q + w + w) Y SEN(q + w + w)3 4

A A

X X = - Y = - 4 1 4X X Y Y Y1 4 4 1 1

Y - Y = BSEN(1 4 q + 3w)

X = B + 3w) + X1 COS(q 4

Y = B + 3w) + Y1 SEN(q 4

X - X = B1 4 COS(q + 3w)

X X = 4 1 COS(q + w + w + w)

X X = 4 1 SEN(q + w + w + w)

B

By4

P4

x4

B

B

P1 1 1= (x , y )

A

A

q

w

w

w

q

y3

y4

P4

x4 x3

B

A

A

qw

w

q

P2

P1 = (x , y )1 1

y2

x2

A

Demostración del trapecio isósceles

X X = - Y = - 2 1 1X X Y Y Y2 1 2 1 2

X - X = A Y = 2 1 COSq - Y ASENq 2 1

X = A + X = 2 COSq Y ASENq + Y 1 2 1



A A


3737

X X = - Y = - 3 2 2X X Y Y Y3 2 3 2 3

Y - Y = BSEN(3 2 q + w)

X = B + w) + X3 COS(q 2

Y = B + w) + Y3 SEN(q 2

X - X = B3 2 COS(q + w)

X X = 3 2 COS(q + w)

X X = 3 2 SEN(q + w)

B

BP2

P3

x2x3

q

q

wB

y2

y3

X X = - Y = - 4 1 1X X Y Y Y4 1 4 1 4

Y - Y = BSEN(4 1 q + w’)

X = B + w’) + X4 COS(q 1

Y = B + w’) + Y4 SEN(q 1

X - X = B4 1 COS(q + w’)

X X = 4 1 COS(q + w’)

X X = 4 1 SEN(q + w’)

B

B

C

A

B

B

q

w’

P4 y4

x4 P1 = (x , y )1 1

Demostración del rombo

X X = - Y = - 2 1 1X X Y Y Y2 1 2 1 2

X - X = A Y = 2 1 COSq - Y ASENq 2 1

X = A + X = 2 COSq Y ASENq + Y 1 2 1



A AA

x2

P2y2

P1 = (x , y )1 1


3838

q

qw’

w

w

A

A

A

Ay4

x4 P1 = (x , y )1 1

X X = - Y = - 3 2 2X X Y Y Y3 2 3 2 3



X X = Y = 3 2 COS(q + w) Y SEN(q + w)3 2

A A

X X = - Y = - 3 4 3X X Y Y Y4 3 3 4 4

Y - Y = ASEN(4 3 q + w + w’)

X = A + w ’) + X4 COS(q + w 3

Y = A + w ’) + Y4 SEN(q + w 3

X - X = A4 3 COS(q + w + w’)

X X = 3 4 COS(q + w + w’)

X X = 3 4 SEN(q + w + w’)

A

A

X X = - Y = - 4 1 4X X Y Y Y1 4 4 1 1

Y - Y = ASEN(1 4 q + 2w + w’)

X = A + 2w ’) + X1 COS(q + w 4

Y = A + 2w ’) + Y1 SEN(q + w 4

X - X = A1 4 COS(q + 2w + w’)

X X = 4 1 COS(q + w + w’ + w)

Y Y = 4 1 SEN(q + w + w’ + w)

A

A


3939

En la construcción de cuadriláteros los valores dados por usted son el

punto inicial, el ángulo de rotación, el ángulo suplementario, el valor de

los lados según la figura. Debe tener en cuenta que el número de puntos

coordenados y ordenados son cuatro y las consideraciones mencionadas

anteriormente.

A continuación se presenta la construcción de cada cuadrilátero con

sus datos iniciales para hallar los tres puntos restantes a través de las

fórmulas para cada uno.

Cuadrado

P = (1,1)1

L = 4 cm.1

L = 4 cm.2

L = 4 cm.3

q = 185°

w = 90°

Rectángulo

P = (0,-2)1

L = 4 cm.1

L = 7 cm.2

L = 4 cm.3

q = 30°

w = 90°

Rombo

P = (-2,-7)1

L = 6 cm.1

L = 6 cm.2

L = 6 cm.3

q = 55°

w = 132°

Romboide

P = (4,3)1

L = 7 cm.1

L = 4 cm.2

L = 7 cm.3

q = 122°

w = 40°

Trapecioisósceles

P = (0,1)1

L = 6.5 cm.1

L = 5 cm.2

L = 5 cm.3

q = 80°

w = 75°

Trapeciorectángulo

P = (-2,0)1

L = 5 cm.1

L = 6 cm.2

L = 7 cm.3

q = 340°

w = 90°

Para la construcción de los cuadriláteros omitiremos el procedimiento

numérico y sólo aparecerán las fórmulas y los puntos coordenados y

ordenados de manera aproximada.

Cuadrado

X = LCos θ + X Y = LSen θ + Y P = (-3, 0.6)2 1 2 1 2

X = LCos (θ + ω) + X Y = Lsen (θ + ω) + Y P = (-2.6, -3.3)3 2 3 2 3

X = LCos (θ + 2ω) + X Y = LSen (θ + 2ω) + Y P = (1.3, -3)4 3 4 3 4

P2

P1

P3P4

θ = 185º ω = 90º L = 4 cm. P = (1,1)1

Cuadrado


4040

Rectángulo

X = L Cos θ + X Y = L Sen θ + Y P = (3.5, 0)2 1 1 2 1 1 2

X = L Cos (θ + ω) + X Y = L Sen (θ + ω) + Y P = (0, 6.1)3 2 2 3 2 2 3

X = L Cos (θ + 2ω) + X3 Y = L Sen (θ + 2ω) +Y P = (-3.5, 4.1)4 1 4 1 3 4

P2

L2

L1

P1

P4

P3

θ = 30º ω = 90º L = 7 cm. P = (0,2)1 L = 4 cm. 1 2

θ = 55º ω = 132º L = 6 cm. P = (-2,-7)1

Rectángulo

Rombo

Rombo

X = LCos θ + X Y = LSen θ + Y P = (1.4, -2.1)2 1 2 1 2

X = LCos (θ + ω) + X Y = LSen (θ + ω) + Y P = (-4.5, -2.8)3 2 3 2 3

X = LCos (θ + ω + ω’) + X Y = LSen (θ + ω + ω’) + Y P = (-7.9, -7.7)4 3 4 3 4

P2

P1

P4

P3


4141

P2

P1

P4

P3

Romboide

Trapecio isósceles

θ = 122º ω = 40º L = 7 cm. P = (4,3)1 L = 4 cm. 1 2

θ = 80º ω = 75º L = 6.5 cm. P = (0,1)1 L = cm. 1 2

Trapecio isósceles

X = L Cos θ + X Y = L Sen θ + Y P = (1.1, 7.4)2 1 1 2 1 1 2

X = L Cos (θ + ω) + X Y = L Sen (θ + ω) + Y P = (-3.4, 9.5)3 2 2 3 2 2 3

X = L Cos (θ + ω’) + X Y = L Sen (θ + ω’) + Y P = (-5, 0.6)4 2 1 4 2 1 4

P2

P1P4

P3

Romboide

X = L Cos θ+ X Y = L Sen θ + Y P = (0.3, 8.9)2 1 1 2 1 1 2

X = L Cos (θ+ ω) + X Y = L Sen (θ + ω) + Y P = (-3.5, 10.2)3 2 2 3 2 2 3

X = L Cos (θ+ ω+ ω’) + X Y = L Sen (θ + ω+ ω’) +Y P = (0.2, 4.2)4 1 3 4 1 3 4


4242

P2

P1

P4

P3

θ = 340º ω = 90º L = 5 cm. L = 6 cm. L = 7 cm. P = (-2,0)1 2 3 1



X = L Co θ + X Y = L Sen θ + Y P = (2.7, -1.7)2 1 1 2 1 1 2

X = L Cos (θ + ω) + X Y = L Sen (θ + ω) + Y P = (4.7, 3.9)3 2 2 3 2 2 3

X = L Cos (θ + ω+ ω’) + X Y = L Sen (θ + ω + ω’) +Y P = (-1.8, 6.3)4 3 3 4 1 3 4

s


4343

CAPÍTULO 4

FIGURAS GEOMÉTRICAS IV

’P 3

P3 P 2

’

P2

P 1

’

P1

P 5

’

P5

P4

P 4

’

4.1 ESTRELLAS Y OTROS

Las figuras como las estrellas de n-puntas, el teorema de Pitágoras, el

tangram entre otras, hacen parte del método Dabeja. Las cuales son

construidas a través de puntos coordenados y ordenados de forma

semejante a otras figuras anteriormente vistas, los datos iniciales son

dados por usted, así que siempre se hallará un punto menos de los que

conforman las figuras.

4.2 Fórmulas

ESTRELLAS DE N-PUNTAS

Toda estrella poligonal regular de n-puntas tiene puntos coordenados y

ordenados, con L Є R,

0º q 360° respecto a la horizontal K = n-2, J = n-1, w = (360/i), i = al

número de lados. La construcción de estrellas poligonales de n-puntas,

se basa en la combinación de las fórmulas:

< <

P = (X ,Y )1 1 1

P = (X ,Y )1

’ ’

n- n-1 n-1

P = (X ,Y ),2 2 2’P = (X ,Y ),n

’ ’

n n

P = (X ,Y ),3 3 3

’P = (X ,Y )1

’ ’

1 1

P = (X ,Y )n n n

’P = (X ,Y ),2

’ ’

2 2’P = (X ,Y ),3

’ ’

3 3

X = LCOS(q + Kw) + Xn n-1

Y = LSEN(q + Kw) + Yn n-1

’X = LCOS(q + Jw + 240°) + Xn n+1

Y = LSEN(q + w + ’ J 240°) + Yn n+1

Puntos del polígono regular

Puntos externos

La construcción de estrellas relaciona la fórmula general de los

polígonos regulares y la de los puntos externos a ellos que generan

triángulos equiláteros al trazar segmentos, encontrando un polígono

regular.

Figuras Geométricas IVFiguras Geométricas IV

4646

’P 3

P3 P 2

’

P2

P 1

’

P1

P 5

’

P5

P4

P 4

’

θ = 45º ω = 72º L = 4 cm. P = (0,0)1

Estrella pentagonal

TEOREMA PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras basado en los cuadrados de los lados de un

triángulo rectángulo, se puede construir gráficamente a través del

método Dabeja con los puntos coordenados en el plano cartesiano.

Con los datos propuestos, encuentran los puntos restantes:

X = L COS(q + 270°) + X Y = L SEN(q + 270°) + Y2 1 1 2 1 2

X = L COS(q + 90°) + X Y = L SEN(q + 90°) + Y4 1 3 4 1 3

X = L COS(q + 90°) + X Y = L SEN(q + 90°) + Y6 2 5 6 2 5

X = L COS(q + 180°) + X Y = L SEN(q + 180°) + Y7 2 6 7 2 6

X = L COS(q + a + 90°) + X Y = L SEN( ) + Y8 3 7 8 3 7q + a + 90°

X = L COS(q + a + 180°) + X Y = L SEN( ) + Y9 3 8 9 3 8q + a + 180°

X = L COS(q) + X Y = L SEN(q) + Y3 1 2 3 1 2

X = L COS(q) + X Y = L SEN(q) + Y5 2 4 5 2 4

2 2 -1P1 = (X , Y ), 0º q 360° L = a cm. L = b cm. L = (L ) + (L ) a = COS 1 2 3 1 21 1< < L1

L2


4747

P6

P3

P1

P9

P7

P5

P4

P2

P8

-1θ = 0º = Cos (4/3) L = 4 cm. L = 3 cm. P = (2,2)1 2 1

Teorema de Pitágoras

L =1

a

2 2L =3

a

2

TANGRAM

Los rompecabezas mecánicos o manuales como el Tangram chino, popular desde 1800, emplea siete piezas de forma geométrica, cortadas a partir de un cuadrado, para formar un sinfín de posibilidades de siluetas muy sugerentes de personas, animales y cosas. El método Dabeja permite construirlo con puntos coordenados y ordenados relacionando el lado del cuadrado con sus proporciones de las figuras internas que lo componen, sí L = a1

entonces y , P = (X , Y ), 0 < q < 360°1 1 1


X = L COS(q) + X Y = L SEN(q) + Y2 1 1 2 1 2

X = L COS(q + 225°) + X Y = L SEN(q + 225°) + Y4 2 3 4 1 3

X = L COS(q + 225°) + X Y = L SEN(q + 225°) + Y6 2 5 6 2 5

X = L COS(q + 90°) + X Y = L SEN(q + 90°) + Y7 4 6 7 2 6

X = L COS(q + 45°) + X Y = L SEN( ) + Y8 3 7 8 3 7q + 45°

X = L COS(q + 180°) + X Y = L SEN( ) + Y9 3 8 9 3 8q + 180°

X = L COS(q + 270°) + X Y = L SEN( ) + Y10 3 9 10 3 9q + 270°

X = L COS( ) + X Y = L SEN( ) + Y3 1 2 3 1 2q + 90° q + 90°

X = L COS(q ) + X Y = L SEN(q ) + Y5 2 4 5 2 4+ 225° + 225°


4848

P8P9

P7

P10

P1

P2

P4

P5

P6

P3

Se solicita al lector que visualice punto a punto el movimiento que se

tiene según la fórmula del mismo, por ejemplo del punto dos al punto tres

se adiciona un ángulo de 90º el cual indica el movimiento de un punto a

otro, estas secuencias de rotación interna permiten encontrar relaciones

de cada figura.


4949

CAPÍTULO 5

FIGURAS GEOMÉTRICAS V

P 1’

P 2’

P2

P1

P3

P 3’

5.1 Aplicaciones

Las aplicaciones son de movimientos y transformaciones en el plano,

la traslación, la rotación, simetrías y homotecias, estas se hacen también

a través de las figuras y los puntos de rotación o traslación de la misma,

las homotecias de la figura se transforma, aumenta o disminuye el

tamaño de la figura desde los puntos coordenados y ordenados dando

mayor visualización de los movimientos que las figuras en el plano

pueden hacer.

5.2 Movimientos

Traslación, de vector, es una transformación geométrica que hace

corresponder a cada punto P otro punto P’. Las traslaciones son

movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las

figuras, a las cuales deslizan según el vector.

Con el método DABEJA las traslaciones de las figuras son muy

sencillas de realizar sólo se necesita saber la magnitud de la traslación y

su dirección, ya que los datos iniciales se mantienen como es el valor de

los lados y su ángulo de rotación, entonces si se desea trasladar un

triángulo, con sus puntos iniciales P = (X , Y ) son reemplazados por el 1

’nuevo punto inicial por otro P = (X , Y ) los nuevos puntos son 1 1 1

encontrados por la fórmula para cada figura.

’Ejemplo: trasladar al punto P = (2, 0) un triángulo equilátero de 8 cm. 1

de lado con una rotación de 105° con P = (2, 4).1

Para el triángulo se tiene, L = 8 cm. q = 105° w = 120° P = (-2, 4).1

1 1

X = L Cos q + X2 1 1

X = L Cos (q + w) + X3 2 2

X = 8Cos (105 - 2) = -4.0705522

X = 8Cos (105 + 120) -4.07 = -9.723

Y = L Sen q + Y2 1 1

Y = L Sen (q + w) + Y3 2 2

Y = 8Sen (105) + 4 = 11.7274062

Y = 8Sen (105 + 120) + 11.72 = 6.723

P = (-4.07,11.72)2

P = (-9.72, 6.72)3

Figuras Geométricas VFiguras Geométricas V

5252

Para el triángulo que se desea trasladar se tiene, L = 8 cm. q = 105° w = 120° P’ = (2,0)1

X = L Cos q + X2 1 1

X = L Cos (q + w) + X2 2 2

X = 8Cos (105) + 2 = -0.0705522

X = 8Cos (105 + 120) -0.07 = -5.723

Y = L Sen q + Y2 1 1

Y = L Sen (q + w) + Y3 2 2

Y = 8Sen (105) + 0 = 7.7274062

Y = 8Sen (105 + 120) + 7.72 = 2.723

P’ = (-0.07, 7.72)2

P’ = (-5.72, 2.72)3

Puntos iniciales

P = (2,4)1 P’ = 1 (2,0)

P = 2 (4.07, 11.72) P’ = 2 (0.07, 7.72)

P = 3 (9.72, 6.72) P’ = 3 (5.72, 2.07)

Puntos imágenes

Se muestra la tabla con los puntos iniciales y los puntos imágenes del

triángulo trasladado y la gráfica en el plano cartesiano. A través del

cálculo de distancia se encuentra que la figura se trasladó 32 cm., los

demás datos se pueden calcular empleando las fórmulas básicas o por

inspección

P 1’

P 2’

P2

P1

P3

P’3

Triángulo trasladado de P a P’1 1


5353

Rotación

Las figuras se rotan a través de un ángulo, cuya función es mover la

figura teniendo en cuenta el movimiento rotacional de los puntos

iniciales de la figura a otros nuevos llamados puntos rotados, estos

identifican a su vez movimientos circulares si ésta se rota

indefinidamente generan círculos inscritos y circunscritos, con el

método DABEJA, se pueden rotar desde un punto cualquier figura ya

que se tiene el mismo valor de los lados de la figura, su ángulo

suplementario y su primera rotación respecto de la horizontal.

La figura muestra la rotación a 10º de cuadrados de L =10 cm. de ladodesde un mismo punto

La tabla nos muestra como se va rotando la figura sobre un mismo

punto inicial, recordando que estos puntos se originan con las fórmulas

del método DABEJA según la figura que se desee construir. Se rotará un

pentágono regular con los siguientes datos iniciales L = 4 cm. ω = 72º

P = (1,1) teniendo en cuenta que la fórmula del pentágono regular 1

siempre tendrá el mismo punto inicial P1 por tanto sólo aparecerán los

cuatro puntos restantes y el ángulo de rotación de la figura para

diferenciarlos unos de otros, por conveniencia se escribirá una cifra

decimal la cual será la aproximada de los datos con valores reales que son

empleados en cada punto coordenado.


5454

q = 15° q = 30° q = 55° q = 80° q = 100°

P = (-3, 7.9)2

P = (-4.3, -4.5)5

P = (-10.8, 6.3)3

P = (-11.7, -1.7)4

P = (-0.4, 8.9)2

P = (-6.2, -2.8)5

P = (-8.3, 10)3

P = (-11.8, 2.8)4

P = (2.4, 8.9)2P = (5.6, 7.5)2P = (7.9, 5)2P = (8.7, 3.1)2

P = (-6.9, -0.1)5P = (-6.6, 3.3)5P = (-4.9, 6.3)5P = (-3.4, 7.7)5

P = (-4.7, 12.6)3P = (0.8, 13.9)3P = (6.3, 12.8)3P = (9.1, 11.1)3

P = (-10.4, 7.1)4P = (-6.8, 11.3)4P = (-1.7, 13.7)4P = (1.7, 13.9)4

q = 120°

P2

P2

P2

P2P2

P2

P3

P3

P3

P3

P3

P3

P4P4

P4

P4

P4

P4

P5

P5

P5

P5

P5

P5

P1

Pentágonos rotados desde θ =15º, 30º, 55º, 80º, 100º y 120ºcon P = (0,0) con L = 8 cm.1

Homotecias

Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un

punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una

amplificación. Su definición rigurosa es vectorial “Sea E un espacio

vectorial sobre un cuerpo K. Sea Ω un elemento (visto como un punto) de

E, y kεK un escalar

WM ’ = KWM

Al abordar la fórmula de cualquier figura del método DABEJA, en

esta sección se espera que el docente o estudiante ya esté familiarizado

con las fórmulas , y los cálculos numéricos la relación que se encuentra


5555

es que la figura siempre va aumentar o a disminuir según el valor del

lado que se le dé a la figura, puede conservar el mismo punto inicial y si

ángulo de rotación inicial rotación, para poder darle una inversión se

debe aumentarle al ángulo de rotación 180º (θ + 180º). Se recomienda al

lector que practique inicialmente con figuras de pocos lados para

efectuar los cálculos numéricos fácilmente e ir experimentando poco a

poco con las demás figuras. y

x

Las homotecias de un triángulo equilátero inicialmente con L = 6 cm. θ = 180º

Sea un trapecio con las siguientes mediadasL = 6 cm. L = 4.4 cm. θ = 70º ω = 60º aumentar 5/2 1y3 2y4

Para construir este trapecio vamos a emplear un caso especial con las

fórmulas del Rectángulo cuando en ellas se utilizan el ángulo

suplementario con un valor diferente al de 90º por ejemplo “ω = 60º”

Los puntos del trapecio son

Rectángulo

X = L Cos θ + X Y = L sen θ + Y P = (3.05, 7.6)2 1 1 2 1 1 2

X = L Cos (θ + ω) + X Y = L sen (θ + ω) + Y P = (0.22, 11)3 2 2 3 2 2 3

X = L Cos (θ + 2ω) + X Y = L sen (θ + 2ω) + Y P = (-5.7, 10)4 1 3 4 1 3 4

Entonces la homotecia a 5/2 es igual

X = 5/2(L Cos θ) + X Y = 5/2(L Sen θ) + Y P = (6.1, 16 1)2 1 1 2 1 1 2

X = 5/2(L Cos (θ + ω)) + X Y = 5/2(L Sen (θ+ ω)) + Y P3= (-0.9, 24.5)3 2 2 3 2 2

X = 5/2(L Cos (θ + 2ω)) + X Y = 5/2(L Sen (θ+ 2ω))+Y P = (-15.7, 21.9)4 1 3 4 1 3 4


5656

L = 6 cm. L = 4.4 cm. θ = 70º ω = 60º y homotecia a 5/21y3 2y4

El cambio de fórmulas para encontrar un trapecio se debe al

movimiento interno de los puntos, transformándose en semejante ya que

es un cuadrilátero, recordando que el ángulo interno debe ser diferente a

90º este cambio no garantiza el saber con exactitud que tipo de trapecio

se construirá, por eso se recomienda realizar este ejercicio con las

fórmulas de los trapecios. Los movimientos en el plano pueden ser

profundizados por parte del lector con sus demostraciones, aplicando

además las propiedades de las isometrías.

P3

P2

P2

P1

P4

P4


5757

CAPÍTULO 6

FIGURAS GEOMÉTRICAS VI

6.1 Cuerpos geométricos

Las construcciones de los cuerpos geométricos se realizan a través de

las figuras hechas en el plano de manera que el docente con los puntos

coordenados y ordenados traza, dobla y recorta la figura para luego

pegarla formando así la figura tridimensional deseada. Aunque son

demasiados los cuerpos geométricos veremos la construcción de las más

representativas como el cubo, la pirámide de base triangular y

pentagonal, el octaedro y el icosaedro entre otros.

6.2 Fórmulas y Construcciones

POLIEDROS REGULARES

Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales.

En los poliedros regulares se cumple una curiosa relación:

Número de caras + número de vértices = número de aristas + 2

Solo hay cinco poliedros regulares, que son: el tetraedro, el hexaedro o

cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

El tetraedro tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros.

El cubo tiene 6 caras, que son cuadrados.

El octaedro tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros.

El dodecaedro tiene 12 caras, que son pentágonos regulares.

El icosaedro tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.

Una caja de zapatos, un dado y muchos otros objetos con superficies

planas que ves a tu alrededor, tienen forma poliédrica. Se llaman

poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos.

Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides.

PRISMAS

Los prismas tienen dos caras (sus bases) que son iguales y paralelas

Figuras Geométricas VIFiguras Geométricas VI

6060

entre sí. Sus caras laterales son paralelogramos.

Los elementos de un prisma son los siguientes:

Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta.

Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las

bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.

Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.

Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.

Las diagonales: son segmentos que unen dos vértices no consecutivos

del prisma. Se pueden trazar las diagonales de una cara o entre dos caras.

Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma

triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…

PIRÁMIDES

Una tienda de campaña o las pirámides de Egipto son ejemplos de este

tipo de poliedros. Poliedros limitados por una base, que es un polígono

cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice

común llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la

distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular,

cuadrangular, pentagonal… según que su base sea un triángulo, un

cuadrilátero, un pentágono…Una pirámide es regular si su base es un

polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre

el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son

triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

Los elementos de una pirámide son:La base: es la cara en la que se apoya la pirámide. Las caras laterales: son las caras que comparten uno de sus lados con la

base. La suma de sus áreas es la superficie lateral de la pirámide. Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Las apotemas: son las alturas de las caras laterales de la pirámide.

Con el método DABEJA es posible construir los poliedros regulares,

prismas y pirámides teniendo en cuenta su base poligonal, los puntos


6161

coordenados y ordenados y los datos iniciales que usted desee. A

continuación presentaremos algunas de las construcciones de pirámides

de diversas bases poligonales.

Tetraedro o Pirámide de base triangular

El tetraedro tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros. Su base y

caras triangulares componen su forma las cuales con sus seis puntos

coordenados y ordenados identifican características propias de los

triángulos, los dobleces de la figura que según el material que se utilice

para su construcción y las pestañas para pegarla que pueden estar a un

centímetro del lado, son las consideraciones especiales para la

construcción de los cuerpos geométricos. Sus puntos se encuentran

teniendo en cuenta los siguientes datos iniciales

P = (X , Y ) punto inicial de la figura, 0 θ 360º ángulo de rotación, 1 1 1

+L = a cm. Lados del polígono con L Є R , ω = 120º

< <


X = L COS(q) + X Y = L SEN(q) + Y2 1 1 2 1 2

X = LCOS(q + w) + X Y = LSEN(q + ) + Y4 3 4 3w

X = LCOS(q + ) + X Y = LSEN(q + 2 ) + Y6 5 6 5w w

X = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y3 2 3 2q q

X = LCOS(q ) + X Y = LSEN(q ) + Y5 4 5 4+ w + w

P5

P4

P3

P2P1

P6

Tetraedro con pestañas


6262

Pirámide de base pentagonal

Su base es un pentágono y caras triangulares compuesto por diez

puntos coordenados y ordenados los cuales se encuentran teniendo en

cuenta los siguientes datos iniciales

P = (X , Y ) punto inicial de la figura º º ángulo de rotación, 1

+L = A cm. Lados del polígono con L Є R , ω = 72º.

, 0 θ 3601 1 < <


P5

P4

P3

P2P1

P6P7

P8

P9

P10

Pirámide de base pentagonal con pestañas


6363

( ) ( ) 2212 YLSENYXLCOSX +=+= qq

( ) ( ) 2323 44 YLSENYXLCOSX ++=++= wqwq

( ) ( ) 3434 364º364 YLSENYXLCOSX +++=+++= wqwq

22

46

5

46

5

YYY

XXX

+=

+=

( ) ( ) 7676 YLSENYXLCOSX +=+= qq

8787 22YLSENYXLCOSX +÷

øö

çèæ +=+÷

øö

çèæ += wqwq

( ) ( ) 2828 YLSENYXLCOSX ++=++= wqwq( ) ( ) 8989 22 YLSENYXLCOSX ++=++= wqwq

( ) ( ) 910910 33 YLSENYXLCOSX ++=++= wqwq

Reconociendo sus propiedades, se pueden deducir los demás datos

que en cualquier clase se deben manejar, como el área de la base, la

altura, y demás que el docente estime necesario según el planteamiento

de la clase.

Octaedro

Poliedro de ocho caras, que son triángulos equiláteros. Se suele designar

genéricamente así al octaedro regular, poliedro formado por ocho

triángulos equiláteros idénticos, compuesto por diez puntos coordenados y

ordenados. P1 = (X , Y ) punto inicial de la figura, 0º θ 360º ángulo de 1 1

+rotación, L=a cm. Lados del polígono con L Є R , ω = 72º

< <


X = LCOS(q) + X Y = LSEN(q) + Y2 1 2 2

X = LCOS(q + ) + X Y = LSEN(q + ) + Y4 3 4 3w + w’ w’

X = LCOS(q + ) + X Y = L SEN(q + ) + Y6 5 6 2 5w’ w’

X = LCOS(q + ) + X Y = LSEN(q + ) + Y7 6 7 6w + w’ w + w’

X = LCOS(q + ) + X Y = LSEN( ) + Y8 7 8 7w q + w

X = LCOS(q + 2 ) + X Y = L SEN( ) + Y9 8 9 3 8w q + 2w

X = LCOS(q + ) + X Y = L SEN( ) + Y10 9 10 3 9w + w’ q + w + w’

X = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y3 2 3 2q + 2w + w’ q + 2w + w’

X = LCOS(q) + X Y = LSEN(q) + Y5 4 5 4


6464

P5

P7 P6P9

P4 P5

P3

P2

P1

P10

Octaedro con puntos coordenados

Hexaedro o Cubo

Poliedro de seis caras, que son cuadrados, compuesto por catorce

puntos coordenados y ordenados. P1 = (X , Y ) punto inicial de la 1 1

figura, 0º θ 360º ángulo de rotación, L = A cm. Lados del polígono +con L Є R , ω = 90º

< <


X = LCOS(q) + X Y = LSEN(q) + Y2 1 2 2

X = LCOS(q) + X Y = LSEN(q) + Y4 3 4 3

X = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y6 5 6 5q + 2w q + 2wX = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y7 6 7 6q + 3w q + 3wX = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y8 7 8 7q + 3w q + 3wX = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y9 8 9 8q + 2w q + 2wX = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y10 9 10 9q + w q + wX = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y11 10 11 10q + w q + w

X = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y12 11 12 11q + 2w q + 2wX = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y13 12 13 12q + w q + w

X = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y14 13 14 13q q

X = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y3 2 3 2q + 3w q + 3w



6565

P1

P14P13

P12 P11

P2

P3

P6 P5

P7

P8

P10

P9

P4

Hexaedro con puntos y relleno de color

El icosaedro Poliedro de veinte caras, que son triángulos equiláteros,

compuesto por veintidós puntos coordenados y ordenados. P1= (X , Y ) 1 1

punto inicial de la figura, 0º θ 360º ángulo de rotación, L = a cm. +Lados del polígono con L Є R , ω = 90º

< <


X = LCOS(q + 2w + w’) + X Y = LSEN(q + ) + Y2 1 2 12w + w’

X = LCOS(q + ) + X Y = LSEN(q ) + Y4 3 4 32w + w’ + 2w + w’

X = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y6 5 6 5q + 2w + w’ q + + 2w + w’

X = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y7 6 7 6q + w’ q + w’






6666

Icosaedro con puntos

P17P19P21

P20P22 P18 P16

P15

P14 P12

P11

P10

P9P7

P5P3P1

P2P4 P6 P8









X = LCOS( ) + X Y = LSEN( ) + Y13 12 13 12q + w q + w






6767

Aunque no aparecen todos los poliedros regulares se debe tener en

cuenta que sus fórmulas hacen parte del método DABEJA y la invitación

para el lector es a continuar su estudio de la figura con la que desee

experimentar, pues en estos momentos debe haber aplicado y

comprendido la esencia del método con criterios propios.

El método DABEJA presenta el siguiente impacto para quien lo

estudie y aplique reconociendo las diversas propiedades de los

movimientos en las figuras, interna y externamente aportando a la

visualización de las mismas desde la bi-dimensionalidad puntos

coordenados y ordenados.

v Aplicar un método diferente para construir polígonos regulares y

figuras planas sin emplear el compás.

v Sintetizar el lenguaje representacional de la geometría a través de

expresiones algebraicas. Identificar características específicas de

los polígonos regulares y figuras planas apoyados con

demostraciones y generalizaciones.

v Relacionar movimientos de traslación, rotación y reflexión con el

método DABEJA.

v Uso y control de las variables para construir las figuras en el plano

cartesiano.

v Relacionar estudios de las funciones con movimientos

ondulatorios.

v Relacionar movimientos de traslación, rotación y reflexión con el

método DABEJA.

v Potencializar al docente en el manejo de procesos matemáticos que

involucran a la geometría, los números reales, la destreza de medir

y la resolución de variables matemáticas

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

APOSTOL. Cálculo 2ª ed. Editorial Reverte, 1980.

LEITHOLD, Louis. Cálculo México: Oxford, 1999. Mx. 7ª edición.

GIL PÉREZ, Daniel. La enseñanza de las ciencias y la matemática,

Ozamiz. Ed. Popular España, 2001.

JOHNSON/LENDSEY/SLESNICK. Matemática Moderna Algebra,

FEI S.A. Buenos Aires. 1972.

LINEAMIENTOS CURRICULARES. “Matemáticas”. M.E.N. ed.

Magisterio, Colombia, 1998.

LINEAMIENTOS CURRICULARES “Nuevas tecnologías y currículo

de matemáticas” M.E.N. ed. Magisterio Bogotá D.C. 1998

MAZA GÓMEZ, Carlos. Matemáticas en la antigüedad. Sevilla, España

2002. www.personal.us.es/cmaza/portada.html.

MEDINA GALLEGO, Carlos. La enseñanza problémica. Rodríguez

Auto editores, España, 1999.

PEÑA, Miguel. Historia de la geometría Euclidiana. Los orígenes de la

geometría, Revista Candidus, Año 1, No. 10 junio/julio, 2000.

P L A N O C A R T E S I A N O , Á L G E B R A 5 . T I N T A S .

www.edilatex.com/index-archivos/algebra5tintas.pdf.

RAHT GEO ALG Traslaciones, rotaciones y reflexiones, 07-2000.

w w w . c a m p u s - v i r t u a l . u p r r p . e d u / c a m p u s -

virtual2/cursos/Geovectplana/PDFS/Avgo7.pdf

SOLER MARTÍ, Miquel Albert. Didáctica multisensorial de las

ciencias. Paidós, Barcelona, 1999.

SEMINARIO DE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA. El trabajo de

Gauss sobre la teoría de las paralelas. Víctor S. Albis González y René

Álvarez, Universidad Nacional de Colombia, Universidad de Sucre.

1975. Josep Rochera. Gaga, Taller de talentos Matemáticos. Zaragoza,

marzo, 2006. www.unizar.es/ttm/2005-06/constrgeoml.pdf

paraISBN: 978-958-44-2589-8

DEPARTAMENTO DEL METASECRETARÍA DE EDUCACIÓN

METODO DABEJA

Documents

Transcript of METODO DABEJA