Instituto Tecnológico de Tijuana

Método de Montecarlo•Calculo de π

POR:

Huizar PerezMontes TenorioOchoa GuzmánVillar Flores

Método de Montecarlo

El método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser “la

capital del juego de azar”, al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios. El nombre y el

desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente

de 1944 con el desarrollo de la computadora.

La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina

conceptos estadísticos (muestreo

aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores

para generar números pseudoaleatorios y

automatizar cálculos.

La invención del método de Monte Carlo se asigna a Stan Ulam y a John von Neuman. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la

idea mientras jugaba un solitario durante una enfermedad en 1946. Advirtió que

resulta mucho más simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo

pruebas múltiples con las cartas y contando las proporciones de los

resultados que computar todas las posibilidades de combinación formalmente.

Se le ocurrió que esta misma observación debía aplicarse a su trabajo de Los Álamos sobre difusión de neutrones, para la cual resulta

prácticamente imposible solucionar las ecuaciones íntegro-diferenciales que gobiernan

la dispersión, la absorción y la fisión.

“La idea consistía en probar con experimentos mentales las miles de

posibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por un

número aleatorio distribuido según las probabilidades, qué sucedería y

totalizar todas las posibilidades y tener una idea de la conducta del

proceso físico”.

Podían utilizarse máquinas de computación, que comenzaban a estar disponibles, para efectuar las pruebas numéricas y en efecto

reemplazar el aparato experimental del físico.

Después de cierto escepticismo inicial, von Neumann se entusiasmó con la idea y

pronto comenzó a desarrollar sus posibilidades en un procedimiento

sistemático. Ulam expresó que Monte Carlo

“comenzó a tener forma concreta y empezó a desarrollarse con

todas sus fallas de teoría rudimentaria después de que se

lo propuse a Johnny”.

A principios de 1947 Von Neumann envió una carta a Richtmyer a Los Álamos en la que

expuso de modo influyente tal vez el primer informe por escrito del método de Monte Carlo. Su carta fue encuadernada

junto con la respuesta de Richtmyer como un informe de Los Álamos y distribuida entre los miembros del laboratorio. Von Neumann sugería aplicar le método para

rastrear la generación isotrópica de neutrones desde una composición variable de material activo a lo largo del radio de una esfera. Sostenía que el problema era adecuado para el ENIAC y estimaba que llevaría 5 horas calcular la acción de 100 neutrones a través de un curso de 100

colisiones cada uno.

Ulam estaba particularmente interesado en el método Monte Carlo para evaluar

integrales múltiples. Una de las primeras aplicaciones de este método a un problema

determinista fue llevada a cabo en 1948 por Enrico Fermi, Ulam y von Neumann

cuando consideraron los valores singulares de la ecuación de Schrödinger.

Definición

La simulación de Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística

y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos

(por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el

paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien a la

simulación de sistemas continuos).

El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico usado para aproximar expresiones

matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.

El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas

matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una

computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir

una solución aproximada, el método de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como en

virtud del teorema del límite central. 

Clave del método de Montecarlo

Crear un modelo

matemático del sistema

que se quiere analizar

Identificar las variables cuyo comportamiento aleatorio determina el comportamiento global del sistema.

se lleva a cabo un experimento consistente en

generar muestras

aleatorias para las variables

Tras repetir n veces este

experimento, dispondremos de n

observaciones sobre el

comportamiento del sistema

nuestro análisis será tanto más preciso cuanto mayor sea el número n de

experimentos que llevemos a cabo.

Aplicaciones del Metodo

Se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de

los eventos a simular

La simulación de Monte Carlo se ha venido aplicando a una infinidad de ámbitos como alternativa a los

modelos matemáticos exactos o incluso como único medio de estimar soluciones para problemas

complejos. Así, en la actualidad es posible encontrar modelos que hacen uso de simulación MC en las

áreas informática, empresarial, económica, industrial e incluso social.

En otras palabras, la simulación de Monte Carlo está presente en todos

aquellos ámbitos en los que el comportamiento aleatorio o

probabilístico desempeña un papel fundamental precisamente

Ejemplo

Una forma de hacer pruebas de Monte Carlo es con una hoja de cálculo como Microsoft Excel. En el ejemplo se muestra

un análisis histórico de 200 días sobre consultas realizadas en un sistema de información. La tabla muestra

el número de consultas diarias (de 0 a 5) junto con las frecuencias absolutas (# de días por cada frecuencia), las

frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas.

Podemos interpretar la frecuencia relativa como la probabilidad de que ocurra el suceso asociado, en este caso, la probabilidad de un determinado

número de consultas (así, p.e., la probabilidad de que se den 3 consultas en un día sería de 0,30), por lo que la tabla anterior nos proporciona la

distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta (la variable aleatoria es el número de consultas, que sólo puede tomar

valores enteros entre 0 y 5).

Supongamos que queremos conocer el número esperado (o medio) de consultas por día.

Una forma directa es haciendo la operación

Valor Medio = sumatoria (#de visitas*Probabilidad de que ocurran) = 0*0,05+1*0,1+2*0,2+3*0,3+4*0,2+5*0,15=2,95

Por otro lado se puede usar una simulación Monte Carlo para deducirla. Para ello se tiene en cuenta

las frecuencias relativas acumuladas de esta manera:

[0,00 a 0,05) para el suceso 0[0,05 a 0,15) para el suceso 1[0,15 a 0,35) para el suceso 2[0,35 a 0,65) para el suceso 3[0,65 a 0,85) para el suceso 4[0,85 a 1,00) para el suceso 5

El gráfico siguiente nos muestra cada una de las probabilidades sobre el número de consultas.

Enél, se aprecia claramente la

relación existente entre probabilidad de cada suceso y

el área queéste ocupa.

Así por ejemplo, si el ordenador nos proporciona el número pseudo-aleatorio 0,2567, podremos suponer

que ese día se han producido 2 consultas

0,2567

Esto significa que, al generar un número pseudo-aleatorio con el ordenador (proveniente de una distribución uniforme entre 0 y 1), estaremos

llevando a cabo un experimento cuyo resultado, obtenido de forma aleatoria y según la

distribución de probabilidad anterior, estará asociado a un

suceso.

A veces la aplicación del método Monte Carlo se usa para analizar problemas

que no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro determinista del problema

se expresa como una distribución aleatoria y se simula dicha

distribución. Un ejemplo sería el famoso problema de las Agujas de

Bufón.

Una manera que conocemos para calcular el valor de es trazando un círculo

y dividiendo lo que mide su circunferencia entre lo que mide su diámetro. Sin embargo,

desde que hace cientos de años, los matemáticos han desarrollado otras

maneras para llegar al número . Una de ellas es el experimento propuesto por el

Conde de Buffon en 1777.

Georges Louis Leclerc Conde de Buffon. Naturalista, matemático, biólogo, cosmólogo y escritor francés. Las ideas de Buffon influyeron a las siguientes generaciones de naturalistas incluyendo aLamarck y Darwin.

En matemáticas Buffon es recordado por su teoría de la probabilidad y elproblema clásico de la aguja de Buffon.

La aguja de Buffon es un clásico problema de probabilidad geométrica, de inmediata

realización práctica y cuyo interés radica en que es un método sencillo para ir aproximando el

valor del número π a partir de sucesivos intentos. Fue planteado por el naturalista francés

Buffon en 1733 y reproducido por él mismo ya resuelto en 1777.

La aguja de Buffon

Buffon demostró que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre

una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una

distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es :

Vamos a utilizar este resultado para medir

Material Necesario

Una superficie con líneas paralelas Una aguja, palillo u objeto similar, de longitud menor o igual a

la distancia entre líneas. Para simplificar es conveniente que la

distancia entre dos rayas coincida con la longitud de la aguja.

Caso ASe trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí de manera uniforme.

Construyamos una red de 10 segmentos de recta paralelos, equidistantesen una unidad D.  Tomemos además una aguja cuya longitud l sea menor queD.

Si la aguja tiene una longitud (L) menor que la distancia entre dos líneas (D) :

              

Fig.: Red de paralelas de Buffon con su aguja

Caso BEn este caso utilizaremos una aguja de tamaño igual a la distancia

entre líneas, de tal manera que la longitud de la aguja sea igual a la

distancia entre dos líneas.

PROCEDIMIENTO:

Deja caer, de la forma más aleatoria posible, la aguja sobre la superficie.

Anota el número de tiradas y el número de veces que la aguja corta a una

línea. El cociente entre el número total de tiradas y el número de veces

que la aguja corta a una línea tiende a pi/2 ( se parecerá tanto más

cuanto mayor sea el número de tiradas)

Comprobación del experimento

DEMOSTRACIÓN:

# Nº de lanzamientos: 55# Nº de cortes: 35# Distancia entre las líneas paralelas(en este caso, igual a la

longitud de la aguja): 1.6 cm

Π= 2X55/35Π= 3.1428571428487

Gracias por su atención