INTRODUCCIÓN AL METODO DELOS ELEMENTOS FINITOS

Prof. Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras

Problema de elasticidad

Modelo de elementos finitos

lLlL BDBC 8,06,0 ==

De la geometría de la estructura:

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL TEOREMA T. V.

C

P

l B

D

3

43

4

δ

C

P

l B

D

3

43

4

B’

Desplazamiento virtual: B B´

CBCB L

αδε δ cos=

DBDB L

βδε δ cos=

Deformacionesvirtuales:

α

β δ

C

P

l B

D

B’δ

C

Bα

δ cos α

B’

0=⋅= ∑ δrr

FWe '

( ) ( )DBDB

DBCBCB

CBbarras

xxi LAL

LAL

VolW ⋅+⋅=⋅= ∑ βδσαδσεσ δ coscos'

( ) ( ) 0=⋅+⋅ DBDB

DBCBCB

CB LAL

LAL

βδσαδσ coscos

Trabajo virtual fuerzas exteriores:

Trabajo virtual desarrollado por las tensiones internas:

CBCBDB σσσ34

53

54

−=−=

ELEMENTO TRIANGULAR DE TENSIÓN CONSTANTE

ELEMENTO DE TRES NUDOS DE TURNER (1957)

Sentido denumeracióndel elemento

x

y

1

2

3

(F1)x , u1

(F1)y , v1

(F2)x , u2

(F2)y , v2

(F3)y , v3

(F3)x , u3

Se consideran en cada nudo dos grados de libertad de traslación

Fi = fuerzas en los nudosui = desplazamientos de los nudos

¿Qué buscamos para este elemento?

{ } [ ]{ }uKF e=

donde:

{ }

( )( )( )( )( )( ) ⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

y

x

y

x

y

x

FFFFFF

F

3

3

2

2

1

1

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

3

3

2

2

1

1

vuvuvu

u

Vector de fuerzas queactúan en los nudos

Vector de desplazamientosde los nudos

[ ]eK = Matriz de rigidez del elemento (6x6)

Hipótesis: los desplazamientos de los puntos del interior del elemento pueden aproximarse mediante funciones lineales de las coordenadas del punto que consideremos.

u y v = componentes del desplazamiento en un punto genérico del elemento según los ejes coordenados

( )( ) yxvyxv

yxuyxu

654

321

,,

αααααα

++==++==

Coeficientes α’s = coeficientes a determinar

Lógicamente, en los nudos del elemento, dichos desplazamientos deben coincidir con los desplazamientos nodales que experimentan dichos nudos. Si las coordenadas de los nudos fueran: del nudo 1, (x1,y1), del 2, (x2,y2) y del 3, (x3,y3), se tiene que:

363543

333213

262542

232212

161541

131211

yxvyxuyxvyxuyxvyxu

αααααααααααααααααα

++=++=++=++=++=++=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

5

4

3

2

1

33

33

22

22

11

11

3

3

2

2

1

1

10000001

10000001

10000001

αααααα

yxyx

yxyx

yxyx

vuvuvu

{ } [ ] { }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

6

5

4

3

2

1

33

33

22

22

11

11

3

3

2

2

1

1

10000001

10000001

10000001

αααααα

αy

yxyx

yxyx

yxyx

C

vuvuvu

u

{ } [ ]{ }αCu =

{ } [ ] { }uC 1−=α

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

321

321

321

321

321

321

1

000000000

000000000

21

cccbbbaaa

cccbbbaaa

aC

123

312

231

213

132

321

12213

31132

23321

xxcxxcxxcyybyybyyb

yxyxayxyxayxyxa

−=−=−=−=−=−=−=−=−=

3212 aaaa ++=

La expresión de los movimientos de un punto resulta ahora

yxu 321 ααα ++=

yxv 654 ααα ++=

[ ] [ ] [ ] 333322221111 21

21

21 uycxba

auycxba

auycxba

a⋅+++⋅+++⋅++=

[ ] [ ] [ ] 333322221111 21

21

21 vycxba

avycxba

avycxba

a⋅+++⋅+++⋅++=

N1(x,y) N2(x,y) N3(x,y)

“Los desplazamientos de un punto cualquiera son una media ponderada de los movimientos de los extremos”

ELEMENTO DE TURNER: FUNCIONES DE FORMA

N1(x,y) N2(x,y) N3(x,y)

332211 uyxNuyxNuyxNu ⋅+⋅+⋅= ),(),(),(

332211 vyxNvyxNvyxNv ⋅+⋅+⋅= ),(),(),(

Es decir:

Ni (x,y) son las denominadas funciones de forma del elementoSi expresamos lo anterior matricialmente:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

3

3

2

2

1

1

321

321

000000

vuvuvu

NNNNNN

vu

( ) [ ]ycxbaa

yxNN ii 11121

++== ,

La "función de forma" i_ésima del elemento es:

Interpretación geométrica de las funciones de forma:

N1

N3

N2

21u

3

1u

1u

x

y

1

23

[ ]{ }uB

vuvuvu

xN

yN

xN

yN

xN

yN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

xy

y

x

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

3

2

2

1

1

332211

321

321

000

000

γεε

33

22

11 u

xN

ux

Nux

Nxu

x ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ε

33

22

11 v

yN

vy

Nvy

Nyv

y ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ε

33

33

22

22

11

11 v

xN

uy

Nv

xNu

yNv

xNu

yN

xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=γ

Deformaciones:

Es decir:

CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL ELEMENTO

La matriz [B] ¡¡¡es constante!!!

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

332211

321

321

000000

21

bcbcbcccc

bbb

aB

[ ] [ ]321 BBBB = [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

xN

yN

yN

xN

B

ii

i

i

i 0

0

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−

−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x

ESimétrica

E

EE

γεε

ν

ν

νν

ν

τσσ

12

01

011

2

22

Campo de tensiones en el interior del elemento(Hipótesis de tensión plana)

( )( )( )

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−+−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x

Simétrica

E

γεε

νν

νν

ννν

τσσ

1221

01

01

1

2111

Campo de tensiones en el interior del elemento(Hipótesis de deformación plana)

{ } [ ]

( )

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−

−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

xy

y

x

xy

y

x

ESimétrica

E

EE

Dγεε

ε

ν

ν

ν

ν

ν

τσσ

σ

12

01

011

2

22

{ } [ ]{ }εσ D={ } [ ][ ]{ }uBD=σ

{ }σ se denomina vector tensión en el elemento,

{ }u se denomina vector desplazamientos nodales,

[ ]D es una matriz que depende de las propiedades elásticas del material

y, finalmente, [ ]B es una matriz cuyos elementos dependen de las coordenadas

cartesianas de los nudos del elemento.

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

''''''

'

3

3

2

2

1

1

vuvuvu

u

x

y

1

2

3

u1’

u3’

u2’

v1’

v2’

v3’

Aplicación del P.T.V.Vector de desplazamientos virtualesimpuestos al elemento:

{ } { } nodalesfuerzaslasdeTrabajouF T =′

{ } { } { } { } VolduFVolumen

TT ∫ ′=′ εσ

{ } [ ]{ }uB ′=′ε

Campo de deformaciones virtuales:

{ } { } { } [ ] [ ]( ) [ ]{ }( ) { } [ ] [ ] [ ]{ } VolduBDBuVolduBDBuuFVolumen

TTT

Volumen

TTTT ∫∫ ′=′⋅=′

{ } { } [ ] [ ] [ ]⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= ∫ VoldBDBuF

Volumen

TTTT

Como la ecuación anterior debe verificarse para cualquiervector de desplazamientos virtuales {u’} impuesto al elemento:

{ } { } [ ] [ ] [ ]⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= ∫ VoldBDBuF

Volumen

TTTT

{ } [ ] [ ][ ] { }uVoldBDBFVolumen

T⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= ∫

{ } [ ] [ ][ ]( ){ }uVolumenBDBF T=

[ ] [ ] [ ] [ ]VolumenBDBK Te =

{ } [ ]{ }uKF e=

ó, trasponiendo:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

.4

kkksimkkkkkkkkkkkkkkkkkk

aeK e

( )

3133311216

3133311115

2133211214

2133211113

11331212

2333

232266

2333

231155

2233

222244

2233

221133

2133

212222

2133

211111

bcdcbdkccdbbdkbcdcbdkccdbbdk

cbddkbdcdk

cdbdk

bdcdk

cdbdk

bdcdk

cdbdk

+=+=+=+=

+=+=

+=

+=

+=

+=

+=

3133312226

3133131225

2133212224

2133121223

bbdccdkcbdcbdkbbdccdkcbdcbdk

+=+=+=+=

( )

2333321236

3133321135

22331234

cbdcbdkccdbbdk

cbddk

+=+=

+=

( ) 33332156

2333322246

3233232145

cbddkbbdccdkcbdcbdk

+=+=

+=

( )32121 aaaa ++=

e = espesor del elemento

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO TRIANGULAR

Se establece la relación entre los nodos de cada elemento y los nodos de la malla global

4

2

Nudo 2

322

3

Nudo 3

11

Nudo 1ELEMENTO

ENSAMBLAJE

u

v3

y

xv

1

2

4

3

u2

u4

u3

u1

v1

v4

v2

Elemento 1

Elemento 2

Matriz de rigidez del elemento 1

Cada elemento tiene 6 grados de libertad (2 por nudo)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=)1(k

u1

u2

v1

v2

u3

v3

u1 v1 u2 v2 u3 v3

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=)2(k

u2

u3

v2

v3

u4

v4

v2 u3 v3 u4 v4u2

Matriz de rigidez del elemento 2

)1(k

)2(k

Las condiciones de contorno se incorporan como ya sabemos

u1 v1 u2 v2

88

K

×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

u1

v1

u2

v2u3

v3u4v4

u3 u4v4v3

P

x

y

2

1 35

4

12

3

P

x

y

P

x

y

2

1 35

4

12

3

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Elemento 1 Nudos: 1 2 3Elemento 2 Nudos: 2 4 3Elemento 3 Nudos: 3 4 5

(F3’ )x

2

1 3

1

(F1’ )y

(F1’ )x

(F3’ )y

(F2’ )y

(F2’ )x

(F2’’ ) x(F2

’ ) x (F2’ ) y

(F2’’ ) y

(R2 )x

(R2 )y

2

(F1’ )x

(F1’ )y

(R1 )x

(R1 )y

1

(F2’ ) x

(F2’ ) y

(F3’’’ ) x

(F3’’’ ) y

(R3)x

(R3 )y

3

(F3’’ )y

(F3’’ )x

4

2(F2

’’ )x

2

(F2’’ )y

3 (F3’’ )x

(F3’’ )y

(F4’’ )x

(F4’’ )y

5

3

4

3

(F3’’’ )y

(F3’’’ )x

(F4’’’ )x

(F4’’’ )y

(F5’’’ )x

(F5’’’ )y

(R4 )y

(R4)x(F4’’ )x

(F4’’’ )x

(F4’’ )y

(F4’’’ )y

4

(R5)x

(R5 )y

(F5’’’ )x

(F5’’’ )y

5

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

661

561

551

461

451

441

361

351

341

331

261

251

241

231

221

161

151

141

131

121

111

1

.kkksimkkkkkkkkkkkkkkkkkk

K elementoe

ELEMENTO 1 { } [ ] { }111 uKF elementoe=

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′

=

y

x

y

x

y

x

F

F

F

F

F

F

F

3

3

2

2

1

1

1 { }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

3

3

2

2

1

1

1

vuvuvu

u

ELEMENTO 2 { } [ ] { }222 uKF elementoe=

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″

=

y

x

y

x

y

x

F

F

F

F

F

F

F

3

3

4

4

2

2

2 { }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

3

3

4

4

2

2

2

vuvuvu

u

{ } [ ] { }333 uKF elementoe=ELEMENTO 3

{ }

( )( )( )( )( )( ) ⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

y

x

y

x

y

x

FFFFFF

F

''''''''''''''''''

5

5

4

4

3

3

3 { }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

5

5

4

4

3

3

3

vuvuvu

u

( )( )( )( )( )( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

′

′

′

′

′

′

0000

3

3

2

2

1

1

y

x

y

x

y

x

F

F

F

F

F

F

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000000000.000000000000000000000000

166

156

155

146

145

144

136

135

134

133

126

125

124

123

122

116

115

114

113

112

111

Simkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

0000

3

3

2

2

1

1

vuvuvu

=

ELEMENTO 1

( )( )( )( )( )( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

″

″

″

″

″

″

00

00

4

4

3

3

2

2

y

x

y

x

y

x

F

F

F

F

F

F

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000000.000000000000000000000000000

244

234

233

264

263

266

254

253

256

255

226

225

224

223

222

216

215

214

213

212

211

kkkSimkkkkkkkkkkkkkkkkkk

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

00

00

4

4

3

3

2

2

vuvuvu

=

ELEMENTO 2

ELEMENTO 3

( )( )( )( )( )( ) ⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

y

x

y

x

y

x

FFFFFF

''''''''''''''''''

0000

5

5

4

4

3

3

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

366

356

355

346

345

344

336

335

334

333

326

325

324

323

322

316

315

314

313

312

311

.

0000000000000000000000000000000000

kkkkkkkkkkSimkkkkkkkkkkk

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

5

5

4

4

3

3

0000

vuvuvu

=

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++++++++

+++++++

=

366

356

355

346

345

344

244

336

335

334

234

333

233

326

325

324

264

323

263

322

266

166

316

315

314

254

313

253

312

256

156

311

255

155

224

223

226

146

225

145

222

144

214

213

216

136

215

135

212

134

211

133

126

125

124

123

122

116

115

114

113

112

111

000000000000

kkkkkkkkkkkkkSimkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkk

K

.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

{ } [ ]{ }uKR =

{ }

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++

++++

+

+

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

y

x

yy

xx

yyy

xxx

yy

xx

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

FF

FFFF

FFFFFF

FFFF

FF

RRRRRRRRRR

R

''''''

''''''''''

''''''''''''

''''''

''

5

5

44

44

333

333

22

22

1

1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

vuvuvuvuvu

u

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRyRRRRR yyxxyx −====== 344311 0

{ }

( )( )

( )( ) ⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

y

x

y

x

RR

P

RR

F

5

5

2

2

00

0

00

Incógnitas: 4

05522 ==== vuvu

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

00

00

4

4

3

3

1

1

vuvu

vu

uIncógnitas: 6

( )( )

( )( )

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

y

x

y

x

RR

P

RR

5

5

2

2

00

0

00

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++++++++

+++++++

366

356

355

346

345

344

244

336

335

334

234

333

233

326

325

324

264

323

263

322

266

166

316

315

314

254

313

253

312

256

156

311

255

155

224

223

226

146

225

145

222

144

214

213

216

136

215

135

212

134

211

133

126

125

124

123

122

116

115

114

113

112

111

.

000000000000

kkkkkkkkkkkkkSimkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkk

¡10 ECUACIONES CON 10 INCÓGNITAS!

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

00

00

4

4

3

3

1

1

vuvu

vu

Ejemplos de problemas en los que puede aplicarse este elemento:

1. Tuberías

2. Tanques cilíndricos

3. Tanques esféricos,…

•Problemas en los que no haya flexiones

Porque a los nodos del elemento solo se les ha posibilitado moverse en su plano

•Problemas en los que la tensión pueda aceptarse como constante

Porque con las funciones de forma definidas la tensión en el elemento es constante

•Problemas en los que la deformación pueda aceptarse como constante

Porque con las funciones de forma definidas la deformación en el elemento es constante

“CONDICIONES DE USO” DEL ELEMENTO TRIANGULAR DE TURNER