1

Capítulo III

3.2. Método das Diferenças Finitas

Este item 3.2 foi extraído da referência [55] Carnahan 1969, sofrendo modificações. Em todo o desenvolvimento da análise numérica, utiliza-se as diferenças finitas, com um roteiro a ser seguido numa seqüência lógica. Partindo da definição de operadores numéricos de diferenças finitas (∆, ∇ , µδ e δ), introduz-se o conceito de interpolação através das fórmulas de Gregory-Newton e Stirling, que utilizam estes operadores. Em seguida, introduz-se a derivação numérica e a integração numérica (Quadratura) por meio da derivação e integração da fórmula de Gregory-Newton, chegando às fórmulas de Newton-Cotes.

Seguindo essa técnica, praticamente todos os tópicos da análise numérica podem ser introduzidos por meio das diferenças finitas, e depois, eles são desenvolvidos para além das diferenças finitas. No estudo de análise numérica de equações diferenciais não é diferente. Sugere-se uma introdução por meio dos métodos das diferenças finitas (do inglês: Finite Difference Methods ou FDM), e posteriormente, o desenvolvimento do assunto para além das diferenças finitas, como por exemplo, a introdução do Método dos Elementos Finitos. Com isso, segue-se um desenvolvimento didático muito próximo do desenvolvimento histórico, uma vez que, conforme foi citado no item 1.2 da Introdução, o método das diferenças finitas surgiu antes do Método dos Elementos Finitos.

O método das diferenças finitas pode ser utilizado para resolver problemas de valor de contorno ou valor inicial, envolvendo equações diferenciais ordinárias ou parciais. Assim, este método pode ser usado para solucionar as equações de modelos a parâmetros concentrados ou distribuídos. A técnica consiste em substituir cada derivada ou diferencial das equações diferenciais por aproximação de diferenças finitas ou acréscimo finitos das variáveis, como mostra as equação 3.1 abaixo:

∆∆∆≈

∂∂∂

∆∆≈

∂∂

∆∆≈

∂∂

∆∆≈

∂∂

∆∆≈

∆∆≈

∆∆≈

∆≈∆≈

yx

u

yx

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

y

dx

yd

x

y

dx

yd

x

y

dx

dy

ydyxdx

.,,,

,,

,

22

3

3

3

3

2

2

2

2

3

3

3

3

2

2

2

2

(3.1)

O Método de Elementos Finitos é bem mais recente que o anterior, sendo mais

genérico, e podendo ser aplicado a complexas estruturas geométricas e a ambientes com várias mudanças de meio. Ele possui uma formulação matemática mais trabalhada, sendo, portanto, um conjunto de técnicas e métodos que se baseia na discretização do problema em elementos pequenos e na aproximação de cada elemento por um conjunto de polinômios.

Considere, primeiramente, o problema formado por equações diferenciais ordinárias (EDOs). Existem dois tipos. Um deles, é o problema de valor inicial, que

2

assume a forma geral abaixo: F[ t, y(t), y´(t) ] =0, t>0 t=t0, y=yo, y´=y´0 (3.2)

Onde, o t é a variável independente, usualmente o tempo; y é um vetor de variáveis dependentes; y´ é a sua derivada em relação a t; F é um vetor de funções de t, y, e y´; e, finalmente, yo e y´o são vetores que representam as condições iniciais do problema. Note-se, que o domínio da variável t é semi-infinito, e que a solução deste problema deverá ser obtida marchando-se no tempo, a partir da condição inicial. Caso exista, pelo menos, uma função dentro do vetor F que não dependa de nenhum elemento do vetor y´, a equação representa um sistema de equações algébrico-diferenciais (sistema de EAD). [68]

O outro tipo de problema é o do valor de contorno, que assume a seguinte forma geral para sistemas de segunda ordem: F[ x, y(x), y´(x), y´´(x) ] = 0, xo<x<xf x=xo, go(x,y,y´)=0 (3.3) x=xf, gf(x,y,y´)=0

Onde, o x é a variável independente, usualmente, uma coordenada espacial; y é o vetor de variáveis dependentes; y´ e y´´ são as suas derivadas: primeira e segunda, respectivamente, em relação a x; F é um vetor de funções; e go e gf são vetores de funções que representam as condições de contorno nos limites do domínio do sistema de equações.

O objetivo do Método das Diferenças Finitas é transformar um problema composto por equações diferenciais em um problema formado por equações algébricas. O primeiro passo, nesta direção, é a chamada discretização do domínio da variável independente. A discretização consiste em dividir o domínio de cálculo em um certo número de subdomínios. Para um domínio semi-infinito, existem infinitos subdomínios. Quando o domínio é finito, o número de subdomínios também o é, e digamos que seja J. Em qualquer caso, estipulam-se os pontos que delimitam os subdomínios, que, no caso de um domínio finito, são iguais a (J+1), em número.

Note-se, que os subdomínios podem ter o mesmo tamanho, gerando uma malha uniforme, ou então, formando uma malha não-uniforme. Embora as discretizações baseadas no primeiro tipo de malha sejam mais simples, existem vantagens numéricas, em muitos casos, no uso de malhas não-uniformes.

O segundo passo é gerar aproximações para as derivadas das variáveis dependentes que aparecem nas diferenciais, nos pontos discretos, xj ou tj, isto é, obter y´j e y´´j, utilizando apenas os valores de y nestes pontos discretos: yj. Finalmente, aplicam-se as equações diferenciais ordinárias aos pontos discretos xj, substituindo as aproximações obtidas para y´j e y´´j. Isto gera sistemas de equações algébricas na forma: f( yj ) =0, (3.4)

Onde, o f é um vetor de equações algébricas que depende dos valores desconhecidos yj, sendo que esta dependência varia conforme o tipo de problema, de contorno ou inicial. Este sistema de equações, quer seja ele linear ou não linear, pode ter

3

a sua solução obtida. Note-se, que a solução assim obtida para o problema consistirá em uma seqüência de pontos, xj ou tj, onde se conhecem os valores de y, yj.

Ficam claras, agora, duas características do Método de Diferenças Finitas: a aplicação das equações diferenciais é local, isto é, em cada ponto, xj ou tj, e a solução obtida é composta por um conjunto enumerável de pontos onde os valores da solução são conhecidos.

Um dos passo necessários na solução de equações diferenciais por diferenças finitas é a aproximação das derivadas presentes nestas equações, aplicadas a um dado ponto arbitrário, xj ou tj. Uma maneira simples de se obter estas aproximações, é por meio do uso da expansão de uma função em série de Taylor, em torno de um dado ponto. Seja xj este ponto base, podemos escrever o valor de y( xj+1 )= yj+1, pela seguinte série infinita:

...!4

)(

!3

)(

!2

)()(

41

31

21

11 +−′′′′

+−′′′

+−′′

+−′+= +++++

jjjjjjjjjjjjjj

xxyxxyxxyxxyyy (3.5)

Enquanto que o valor de y(xj-1)=yj-1 é dado por:

...!4

)(

!3

)(

!2

)()(

41

31

21

11 +−′′′′

+−′′′

−−′′

+−′−= −−−−−

jjjjjjjjjjjjjj

xxyxxyxxyxxyyy (3.6)

Considere, agora, a necessidade de se aproximar o valor de y´j , o que será feito,

utilizando-se as expansões acima. Estas equações podem ser escritas de forma mais compacta por meio da definição do comprimento do domínio j : hj=xj-xj-1.

Dessa forma, multiplicando a segunda expansão (3.6) por hj+12, e diminuindo da

primeira expansão (3.5) multiplicada por hj2, obtemos a seguinte expressão, na qual y´´j foi

eliminado:

)()(

])([2

211

2

12

122

112

hOhhhh

yhyhhyhy

jjjj

jjjjjjjj +

+−−+

=′++

−+++ (3.7)

Nela, o O(z) indica que a aproximação tem ordem de grandeza de z, isto é, o valor

exato da derivada da função, no ponto considerado, é obtido, a partir da expressão aproximada, no limite, quando z→0. Esta ordem de grandeza é oriunda do termo de menor ordem (ou primeiro termo) entre aqueles que envolvem as derivadas de maior ordem. O conjunto deste termos, ou a sua forma simplificada de representação por ordem de grandeza, é denominado de erro de truncamento.

Para uma malha uniforme hj=h, qualquer que seja j, a aproximação dada fica com a simplificação:

)(2

211 hOh

yyy jjj +

−=′ −+ (3.8)

Ela é chamada aproximação por diferença central da derivada primeira de y.

Podemos, ainda, usar as expansões, para obter mais duas aproximações para a

4

derivada primeira de y, que para uma malha uniforme são dadas por:

)(1 hOh

yyy jjj +

−=′ − (3.9)

Ela é obtida, a partir da segunda expansão (3.6), sendo chamada de aproximação

por diferença descendente (backward differentiation):

)(1 hOh

yyy jjj +

−=′ + (3.10)

Ela é obtida, a partir da primeira expansão (3.5), sendo chamada de aproximação

por diferença ascendente (forward differentiation).

Para uma aproximação da derivada segunda, pode-se somar as duas expansões (3.5) e (3.6), obtendo-se:

)(2

2

2

11 hOh

yyyy jjjj +

+−=′′ −+ (3.11)

Ela é chamada aproximação por diferenças centrais da derivada segunda de y.

A equação anterior envolve três valores funcionais, para descrever uma

aproximação da derivada segunda da função, o que representa o mínimo necessário para isto, já que a derivada primeira tem que ser eliminada da forma final, e, portanto, pelo menos duas expansões em série de Taylor têm que ser consideradas.

Nada impede, que seja utilizada uma outra expansão em série de Taylor, para melhorar a ordem de aproximação das equações acima. Por exemplo, poder-se-ia utilizar a expansão para o valor funcional yj-2 ( ou yj+2 ), para eliminar o primeiro termo do erro de truncamento da equação, obtendo-se, assim, uma aproximação de ordem h3. Entretanto, aproximações envolvendo mais de três valores funcionais, em pontos adjacentes, apresentam uma maior dificuldade de solução das equações algébricas obtidas pelo processo de discretização.

Como exemplo, considere o problema de valor de contorno abaixo: y´´+y´-2y=0 com x=0, y(0)=0 e para x=1, y(1)=1 (3.12)

Seja o domínio discretizado por uma malha uniforme com J, e subdomínios de comprimento h e com xo=0 e xf=1. Aplicando a equação diferencial acima, nos pontos onde não se conhecem os valores funcionais de y, temos: y´´j+y´j-2yj=0, j=1,2,3,4....J-1 (3.13)

Utilizando as aproximações das derivadas primeiras e segunda por diferenças centrais e arrajandos os termos, tem-se: 2(yj+1 2 yj + yj-1) + h(yj+1-yj-1) 4 h2 yj =0, j=1,2,3,4....,J-1 (3.14)

5

ou (2+h) yj+1 - 4(h2+1) yj + (2-h) yj-1 =0, j=1,2,3,4,.....,J-1 (3.15) e yo=0 e yJ=1

Logo, caímos em um sistema linear de equações algébricas. As condições de contorno do problema dado acima são chamadas de primeiro tipo, isto é, definem o valor da variável no contorno, sendo facilmente incorporadas ao sistema algébrico das equações discretizadas. Diversos outros tipos de condições de contorno são possíveis, sendo que, a sua utilização no sistema de equações algébricas discretizadas, torna-se um pouco mais elaborada.

Em geral, a condição de contorno pode ser não-linear, na qual go e gt são funções arbitrárias de x, y e y´. Entretanto, são três, os tipos existentes de condições de contorno lineares.

Diz-se, que a condição de contorno é do primeiro tipo, quando o valor da variável dependente é dado no contorno, sendo facilmente utilizada nas equações discretizadas. O problema acima serve de exemplo, e a forma geral é dada por: x=xc, y=yc (3.16)

Quando a condição de contorno é de segundo tipo, o valor da derivada da variável dependente é dado no contorno, isto é: x=xc, y´=y´c (3.17)

Esta condição de contorno tem que ser discretizada, para ser combinada com o sistema algébrico discretizado, fazendo:

h

yyy jjj 2

11 −+ −=′ (3.18)

A condição de contorno é dita de terceiro tipo, quando tem a seguinte forma geral:

x=xc, ay´+by=c (3.19)

Nela, a, b e c são constantes conhecidas. O seu tratamento é similar ao dado às condições de contorno de segundo tipo.

Considere, agora, o seguinte problema de valor inicial que envolve apenas uma diferencial ordinária na sua forma normal: y´=f(t,y) com t=0, y(0)=yo (3.20)

Sendo o intervalo genérico entre tj e tj+1, considere diferentes formas de aproximar a derivada primeira, utilizando, como informação conhecida, apenas o ponto j, isto é y(tj)=yj .

Utilizando a aproximação de diferenças finitas para frente, para y´j, obtém-se :

6

Yj+1=yj+hf(t,yj) + O(h2), h=tj+1-tj (3.21)

Fórmula que permite calcular yj+1 a partir de yj , com erro da ordem de h2. Esta equação é explícita no valor desconhecido de yj+1, sendo, pois, o método denominado de explícito. Especificamente, representa o método explícito de Euler. Não caímos em um sistema linear, tendo a solução direta.

Caso, por outro lado, resolvermos utilizar a aproximação de diferenças finitas para

trás de y´j+1 , dada com j+1 no lugar de j, podemos aplicar no ponto tj+1 e escrever: yj+1=yj + h f(tj+1, yj+1) + O(h2), h=tj+1-tj (3.22)

Fórmula que calcula yj+1 a partir de yj, com erro da ordem de h2. Note-se que, no caso geral, a equação é não linear no valor desconhecido de yj+1, sendo, pois, necessário, utilizar-se um método adequado à solução de problemas não lineares, para se obter o valor de yj+1.Assim, como yj+1 não pode ser explicitado a partir da equação, o método é denominado de implícito. Mais especificamente, este é chamado método implícito de Euler.

Além dos dois métodos acima, podemos, ainda, obter um terceiro, a partir da aproximação por diferença central de y´j+1/2, no intervalo considerado. Aplicando ao meio do intervalo, temos: yj+1=yj + h f(tj+h/2, yj+1/2) + O(h3), h=tj+1-tj (3.23)

Fórmula que ainda não pode ser usada para obter yj+1, porque o valor de f no ponto considerado, não é conhecido. Entretanto, expandindo fj e fj+1 em série de Taylor, em torno do ponto tj+1/2=tj+h/2, tem-se que: yj+1=yj+h/2 . [ f(tj,yj) + f(tj+1,yj+1) ] + O(h3), h= tj+1-tj (3.24)

Fórmula que permite calcular yj+1, ainda que de forma implícita. Este método é ainda implícito, sendo denominado de método trapezoidal (ou de Crank-Nicholson).

Considere a solução numérica do problema de valor inicial, abaixo: y´=-y2, t>0 com t=0, y=1 (3.25)

Ela utiliza os métodos de Euler, até o ponto t=1, com passos uniformes de integração de 0,2. A solução analítica deste problema é: y(t)=1/(1+t) (3.26)

Aplicando os métodos, temos:

7

Tabela 3.1 Comparação dos métodos de diferenças finitas aplicados à equação 3.25.

[68]. T Euler

Explícito Euler Implícito

Trapezoidal Solução Analítica

0,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,2 0,8000 0,8541 0,8310 0,8333 0,4 0,6720 0,7434 0,7113 0,7143 0,6 0,5817 0,6572 0,6220 0,6250 0,8 0,5140 0,5880 0,5528 0,5556 1,0 0,4612 0,5316 0,4975 0,5000

No caso de problema de valor inicial com equações de ordem maior do que 1, uma redução de ordem deve ser feita para uma ordem menor, com a inserção de uma variável no sistema. Exemplo: y´´=3y´+y+5x com y(0)=1 e y´(0)=2 (3.27)

Introduz-se a variável z com z=y´, derivando z´=y´´. Assim, temos agora, dois P.V.I. (Problema de Valor Inicial) de primeira ordem:

==′

=++=′

1)0(

2)0(

53

y

zyz

xyzz

(3.28)

Resolvemos, simultaneamente, os dois P.V.I., construindo uma tabela de x, y e z.

[52]

Os métodos de Runge-Kutta são de ponto simples, explícitos, mas com diversos estágios, de modo a se obter uma maior ordem de aproximação. A idéia básica deste tipo de método é definir que a variação da variável dependente, no passo em questão, é dada por uma média ponderada de variações desta variável, calculadas com avaliações diferentes da função derivada, isto é:

>++∆=∆∆=∆

∆=− =

+

1 com , ),(.

),(.1

11

ibyatfty

ytfty

yCyy

ijiji

jj

n

iiijj

(3.29)

Nela, Ci, ai e bi são coeficientes a serem determinados. Usando a equação acima,

e ou igualando-a à série de Taylor, determinamos estes coeficientes para a diversa ordem de Runge-Kutta. Mostra-se, que Runge-Kutta é, na verdade, uma variação do Método das Diferenças Finitas. Por exemplo:

Para segunda ordem: C1+C2=1, aC2=1/2 e bC2=1/2. Se escolhermos C2=1/2, chegamos a Euler Modificado, onde C1=C2=0,5 e a=b=1.

8

Para quarta ordem: C1=C4=1/6, C2=C3=1/3, a2=a3=h/2, a4=h, b2=b3=1/2 e b4=1.

Os problemas matemáticos descritos nesta seção correspondem a modelos mais simples, onde existe apenas uma variável independente, seja ela o tempo ou uma coordenada espacial. Entretanto, modelos físicos mais elaborados originam equações diferenciais parciais (EDPs), com duas ou mais variáveis independentes. As equações diferenciais parciais, com suas condições auxiliares, formam tanto problemas de valor inicial quanto problemas de valor de contorno.

A discretização de problemas, em mais de uma variável dependente, segue um procedimento similar ao visto para problemas unidimensionais. O primeiro passo, aqui, é, como antes, a discretização do domínio de cálculo. Serão considerados, neste estudo, problemas com, no máximo, duas coordenadas espaciais, já que estes apresentam todas as características dos problemas multidimensionais. A extensão do procedimento para problemas tridimensionais é facilmente obtida.

Considere uma função u(t,x,y) definida em um domínio 0≤x≤1, 0≤y≤1 e t ≥0, que podem ser coordenadas adimensionais ou não. A discretização do domínio pode ser feita com malhas uniformes ou não uniformes. Como não há nenhuma característica fundamental do procedimento de discretização, que seja dependente do tipo da malha, a atenção especial é dada a malhas uniformes. i-1, j+1 i, j+1 i+1, j+1 y i-1, j i, j i+1, j i-1, j-1 i, j-1 i+1, j-1 x Figura 3.1 Malha de diferenças finitas em problemas com duas dimensões espaciais x e y. Note-se, que, em geral, as malhas são quadradas, e se adota um índice para cada variável i para x e j para y.

Temos assim: ui,jn=u(tn,xi,yj), onde tn, xi e yj representam cada ponto da malha de

discretização. O segundo passo é, também, a aproximação por diferenças finitas das derivadas,

que aparecem na equação diferencial parcial, e que podem ser obtidas das expansões da variável dependente, em série de Taylor, em relação a uma ou mais variáveis independentes. [55]

Dada a expansão de Taylor para u(x,y), em um formato clássico:

....),()(!

1...),()(

!3

1

),()(!2

1),()(),(),(

3

2

+∂∂+

∂∂++

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+=++

yxuy

kx

hn

yxuy

kx

h

yxuy

kx

hyxuy

kx

hyxukyhxu

n

(3.30)

Ou fazendo a expansão até a derivada segunda :

9

...),(

2

1),(),(

2

1

),(),(),(),(

2

22

2

2

+∂

∂+∂∂

∂+∂

∂+

∂∂+

∂∂+=++

y

yxuk

yx

yxuhk

x

yxuh

y

yxuk

x

yxuhyxukyhxu

(3.31)

Assumindo-se o índice i para x e j para y, tem-se: u(x,y)=ui,j , u(x+h,y)=ui+1,j,

u(x,y+k)=ui,j+1, e assim por diante, onde cada espaçamento de h em x corresponde a somar ou subtrair 1 no índice i, e cada espaçamento de k em y corresponde a somar ou subtrair 1 no índice j. Com isso, faz-se a expansão em série, de Taylor, até a derivada segunda de u(x+h,y) e u(x-h,y), usando a equação 3.31, abaixo:

...2

1

....),(

2

1),(),(),(

,2

22

,,,1

2

22

+∂∂+

∂∂+=

+∂

∂+∂

∂+=+

+ jijijiji ux

hux

huu

x

yxuh

x

yxuhyxuyhxu

(3.32)

e

...2

1

....),(

2

1),(),(),(

,2

22

,,,1

2

22

−∂∂+

∂∂−=

−∂

∂+∂

∂−=−

+ jijijiji ux

hux

huu

x

yxuh

x

yxuhyxuyhxu

(3.33)

Da equação 3.32, truncando todos os termos maiores que h2, ou seja, com erro

O(h2), e isolando a derivada primeira, chega-se a uma primeira aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de u em relação a x:

x

uu

h

uu

x

u jijijijiji

∆−

=−

=∂

∂ ++ ,,1,,1, (3.34)

Da equação 3.33, truncando todos os termos maiores que h2 , ou seja, com erro

O(h2), e isolando a derivada primeira, chega-se a uma segunda aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de u em relação a x:

x

uu

h

uu

x

u jijijijiji

∆−

=−

=∂

∂ −− ,1,,1,, (3.35)

Somando-se a equação 3.32 com a equação 3.33, truncando todos os termos

maiores que h3, ou seja, com erro O(h3), e isolando a derivada primeira, chega-se a uma terceira aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de u em relação a x:

x

uu

h

uu

x

u jijijijiji

∆−

=−

=∂

∂ −+−+

22,1,1,1,1, (3.36)

Subtraindo-se a equação 3.33 da equação 3.32, truncando todos os termos

maiores que h3, ou seja, com erro O(h3), e isolando a derivada segunda, chega-se a uma aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de segunda ordem de u em relação a x:

10

2

,1,,1

2

,1,,1

2

,2

)(

22

x

uuu

h

uuu

x

u jijijijijijiji

∆+−

=+−

=∂

∂ −+−+ (3.37)

A última etapa para a solução de uma equação diferencial parcial por diferenças

finitas, é substituir as aproximações das derivadas na equação e nas suas condições de contorno, gerando um sistema algébrico, cuja solução fornece a solução aproximada do problema original.

Dado o exemplo abaixo, considere uma barra fina metálica de 1 metro de comprimento, e estude a condução de calor, segundo a equação:

2

2

x

u

t

u

∂∂=

∂∂

(3.38)

u(x,t) é a temperatura da barra na posição x e instante t. Condição Inicial: u(x,0)=0oC Condições de Contorno: u(0,t)=u(1,t)=100oC Passos: ∆x=0,2metros e ∆t=0,01segundos

Substituindo, na equação diferencial, as aproximações de diferenças finitas das equações 3.34 e 3.37, e trocando o índice i por j para a derivada em relação a t, tem-se:

2

,1,,1,1,

)(

2

x

uuu

t

uu jijijijiji

∆+−

=∆− −++ (3.39)

Isolando o termo ui,j+1 , que corresponde ao tempo seguinte, e substituindo os

valores de ∆x e ∆t, tem-se :

4

2 ,1,,11,

jijijiji

uuuu −+

+

++= (3.40)

A equação acima fornece a temperatura do tempo j+1 em função do tempo anterior

j. Quando se tem uma equação deste tipo, onde o novo valor é calculado em função de valores conhecidos, dá-se o nome de método explícito, pois pode-se explicitar um valor desconhecido em função de outros já conhecidos. Em seguida, pode-se chegar na tabela abaixo:

Tabela 3.2: Solução numérica do problema de condução de calor. [55] I 0 1 2 3 4 5 J t \ x 0,0 m 0,2 m 0,4 m 0,6 m 0,8 m 1,0 m 0 0,00 0 0 0 0 0 0 1 0,01 100 0 0 0 0 100 2 0,02 100 25 0 0 25 100 3 0,03 100 37,5 6,25 6,25 37,5 100 4 0,04 100 45,3 14,0 14,0 45,3 100 5 0,05 100 51,1 21,8 21,8 51,1 100 6 0,06 100 56,0 29,1 29,1 56,0 100

11

Veja-se, agora, um outro exemplo: considere uma placa quadrada fina metálica de

1 metro de comprimento, e encontre a temperatura de equilíbrio (após um tempo muito grande), segundo a equação de Laplace:

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

u

x

u (3.41)

u(x,y) é a temperatura da barra na posição x e y como na figura abaixo: y 1 x

0 1 Figura 3.2 Placa Quadrada do Exemplo Condições de Contorno: u(0,y)=u(x,0)=100oC e u(1,y)=u(x,1)=0oC Passos: ∆x=∆y=0,25 metros

Substituindo, na equação diferencial, as aproximações de diferenças finitas da equação 3.37, e trocando o índice i por j para a derivada em relação a y, tem-se:

0)(

2

)(

22

1,,1,

2

,1,,1 =∆

+−+

∆+− −+−+

y

uuu

x

uuu jijijijijiji (3.42)

Lembrando que ∆x = ∆y, corta os denominadores e isolando o termo ui,j , tem-se :

41,1,,1,1

,−+−+ +++

= jijijijiji

uuuuu (3.43)

A equação acima fornece a temperatura na posição i, j , em função da média

aritmética das temperatura de cima, de baixo, da direita e da esquerda. Quando se tem uma equação deste tipo, onde o novo valor é calculado em função de valores desconhecidos, dá-se o nome de método implícito. Em seguida, pode-se chegar a um sistema linear, onde a equação 3.43 é expandida para cada ponto do interior da placa, seguindo a numeração dada na figura abaixo: y 100 0 0 0 0 100 u7 u8 u9 0 100 u4 u5 u6 0 100 u1 u2 u3 0 100 100 100 100 100 0 0,25 0,5 0,75 1 x

Figura 3.3 : Malha da discretização da placa.

Expandindo a equação 3.43 para cada ponto do interior, de u1 a u9, chega-se às equações:

12

=+−−=−+−−

=−+−=−+−−

=−−+−−=−−+−

=−+−=−−+−

=−−

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

04

04

1004

04

04

1004

1004

1004

2004

4

004

04

01004

04

4

1004

10004

1004

100100

986

9875

874

9653

86542

7541

632

5321

421

689

5798

487

3956

28465

1754

623

5132

421

uuu

uuuu

uuu

uuuu

uuuuu

uuuu

uuu

uuuu

uuu

uuu

uuuu

uuu

uuuu

uuuuu

uuuu

uuu

uuuu

uuu

(3.44)

Resolvendo o sistema linear da equação 3.44, chega-se à solução abaixo:

000,50428,71714,85

571,28000,50428,71

285,14571,28000,50

321

654

987

=========

uuu

uuu

uuu

(3.45)

Observa-se a simetria em relação à diagonal principal da placa, e constata-se que

os valores da temperatura, nos vértices da placa, não entraram no cálculo. [55]

13

3.3. Método dos Elementos Finitos

O primeiro método numérico com o intuito de resolver equações diferenciais parciais (PDE - Partial Differential Equations) foi o método das diferenças finitas. Neste método, o domínio da solução é dividido em uma malha de pontos ou nós discretos. O PDE é então aplicado para cada nó e suas derivadas substituídas por diferenças finitas divididas. Embora tal aproximação seja, conceitualmente, de fácil compreensão, registra-se alguns inconvenientes. Em particular, torna-se difícil sua aplicação em sistemas com geometria irregular, condições de contorno não usuais ou composição heterogênea.

Figura 3.4 (a) Uma peça industrial com geometria irregular e composição não homogênea. (b) Tal sistema é muito difícil de modelar com a aproximação por diferenças finitas. Isso se deve ao fato de complicadas aproximações serem requeridas nos contornos do sistema e na fronteira entre as regiões de diferentes composições. (c) Uma discretização de elementos finitos é muito melhor aplicada a tal sistema. [54]

O Método dos Elementos Finitos fornece uma alternativa melhor a tais sistemas. Em contraste à técnica das diferenças finitas, o MEF divide o domínio da solução em formas simples de regiões ou elementos. Uma solução aproximada do PDE pode ser desenvolvida para cada um destes elementos. A solução total é então gerada, colocando-as juntas ou montando-as. Utilizando-se as soluções individuais, toma-se o cuidado de assegurar a continuidade dos contornos entre os elementos. Assim, o PDE é satisfeito em forma de fatias.

O uso de elementos, em vez de malhas retangulares, fornece melhor aproximação em sistemas com formatos irregulares, além de valores desconhecidos poderem ser gerados continuamente por meio do domínio da solução inteira, em vez de pontos isolados. Em razão de uma descrição detalhada ir além do escopo deste texto, este capítulo se conterá a uma introdução geral do Método dos Elementos Finitos. O objetivo é mostrar, de forma simples e fácil, suas características, princípios e capacidades. Assim, a seção seguinte abordará uma visão geral dos passos envolvidos na solução de um problema, utilizando o MEF. Este é seguido por um simples exemplo: molas ligadas em séries. Embora este exemplo não envolva PDE, permite-se desenvolver e mostrar os principais aspectos da aproximação de elementos finitos, sem ser desencorajados por fatores complicados. Pode-se, então, discutir algumas características, envolvendo o emprego do método de elementos finitos em PDE.

14

Etapas para aplicação do Método dos Elementos Finitos

- Pré-Processamento: - Definição do problema e do domínio. - Discretização ou divisão do domínio em elementos.

- Processamento:

- Obter as equações dos elementos [k]u=f. - Escolha da função de aproximação. - Ajuste ótimo da função de aproximação.

- Formulação Direta.(ou) - Método dos Resíduos Ponderados.(ou)

- Método Colocacional - Método de Subdomínios - Método dos Mínimos Quadrados - Método de Galerkin

- Técnica Variacional. - Método Rayleigh-Ritz

- Montagem ou colocação das equações dos elementos juntas [K]u´=F´. - Acréscimo das condições iniciais e de contorno [ ] Fuk ′=′ . - Solução do sistema linear (ou não linear) u´.

- Pós-Processamento: - Apresentação dos resultados ou visualização gráfica. - Determinação de variáveis secundárias.

3.3.1. Visão Geral

Este desenvolvimento foi extraído da referência [54], Chapra 1997. Embora as

particularidades irão variar, utiliza-se, usualmente, na implementação do Método dos Elementos Finitos, um padrão de procedimentos, passo a passo. A seguir, é apresentada uma breve visão geral de cada um desses passos, cuja aplicação, nos contextos de Engenharia, irá ser demonstrada em itens subseqüentes.

3.3.1.1 Discretização (Pré-Processamento)

Este passo envolve a divisão do domínio solução em elementos finitos, e podem ser em uma, duas ou três dimensões. Os pontos de interseção das linhas que descrevem os lados dos elementos são referenciados como nós, e os lados são chamados de linhas ou planos nodais.

15

Figura 3.5 - Exemplos de elementos empregados em (a) uma, (b) duas, e (c) três dimensões.

3.3.1.2. Equações dos Elementos (Processamento)

A seguir, desenvolvem-se equações, a fim de aproximar a solução de cada elemento. Isso envolve dois sub-passos. Primeiro, escolhe-se uma função apropriada com coeficientes desconhecidos, que serão usados para aproximar a solução. Por último, avaliam-se os coeficientes, em que as funções se aproximam da solução, de forma considerada ótima. [54]

Escolha das Funções de Aproximação Considera-se que, por serem de fácil manipulação matemática, os polinômios são

freqüentemente empregados para este propósito. Para o caso unidimensional, a

Elemento Linear

(a) Unidimensional

Nó

Linha Nodal Elemento Elemento Quadrílateral Triangular

(b) Bidimensional

Elemento Hexaédrico

Plano Nodal

Elemento Tetraédrico

(c) Tri-dimensional

16

alternativa mais simples é um polinômio de primeira ordem, ou uma linha reta: u(x) = a0 + a1 x (3.46)

Nesta fórmula, u(x) é a variável dependente; a0 e a1 são constantes; e x é a variável independente. Essa função deve passar através dos valores u(x) nos pontos finais dos elementos em x1 e x2. Portanto: u1 = a0 + a1 x1 u2 = a0 + a1 x2

Onde u1 = u (x1) e u2 = u (x2). Estas equações podem ser resolvidas, usando a regra de Cramer, onde: a0 = (u1 x2 u2 x1) / (x2 x1) a1 = (u2 u1) / (x2 x1)

Este resultado pode, então, ser substituído na Eq. (3.46), a qual, depois de se arrumar os termos, pode ser escrita como: u = N1 u1 + N2 u2 (3.47) onde N1 = (x2 x) / (x2 x1) (3.48) e N2 = (x x1) / (x2 x1) (3.49)

A equação (3.47) é chamada função de aproximação ou de forma, e N1 e N2 são chamados de funções de interpolação. Inspecionando melhor, percebe-se que a Eq. (3.47) é, de fato, o polinômio interpolador de primeira ordem de Lagrange. Ela fornece um significado, para predizer valores intermediários (que é interpolar) entre valores dados u1 e u2 nos nós.

17

Figura 3.6 (b) Uma função de aproximação ou forma para (a) um elemento linear. As correspondentes funções de interpolação são mostradas em (c) e (d). Note-se, que a soma das funções de interpolação (N1+N2) são iguais a 1.

Em adição, lidar com equações lineares facilita operações como a diferenciação e integração. Tais manipulações, mais à frente, serão importantes em outros itens. A derivação da Eq. (3.47) é:

22

11 u

dx

dNu

dx

dN

dx

du += (3.50)

De acordo com as Eq. (3.48) e (3.49), as derivadas de N1 e N2 podem ser

calculadas como:

12

2

12

1 1

1

xxdx

dN

xxdx

dN

−=

−−= (3.51)

E, portanto, a derivada de u é:

)(1

2112

uuxxdx

du +−−

= (3.52)

Em outras palavras, essa é a diferença dividida, representando a inclinação da reta

conectada nos nós. A integral pode ser expressa como:

Nó 1 Nó 2

(a)

u1 u

u2

x1 x2

(b)

1 N1

x1 x2

(c)

N2 1

x1 x2

(d)

18

dxuNuNudxx

x

x

x

2211

2

1

2

1

+=

Cada termo, no lado direito, é somente a integral de um triângulo reto com base x2

x1 e altura u. Isto é:

uxxNudxx

x

)(2

112

2

1

−=

Assim, a integral inteira é:

)(2 12

212

1

xxuu

udxx

x

−+= (3.53)

Ou seja, simplesmente, a regra dos trapézios.

Obtenção de um Ajuste Ótimo da Função de Aproximação

Após a escolha da função de interpolação, as equações que governam o comportamento dos elementos deve ser desenvolvida. Elas representam um ajuste da função de aproximação, com a finalidade de solução da subjacente equação diferencial. Vários métodos são disponíveis para este propósito. Entre os mais comuns, cita-se a aproximação direta, o método dos resíduos ponderados, e a técnica variacional. O resultado desses métodos é análogo para o ajuste de curvas. Contudo, em vez de ajustar funções para dados, eles especificam relacionamentos entre a desconhecida Eq. (3.47) para satisfazer as subjacentes PDE, em uma forma apropriada.

Matematicamente, o resultado das equações dos elementos irá, freqüentemente, consistir de um conjunto de equações lineares algébricas, podendo ser expressa na forma matricial: [ k ] u = F (3.54)

Nela, [ k ] é uma matriz propriedade ou rigidez do elemento; u é um vetor coluna de valores desconhecidos dos nós; e F é um vetor coluna, refletindo o efeito de quaisquer influências externas aplicadas nos nós. Percebe-se, que, em alguns casos, as equações podem ser não lineares. Contudo, nos exemplos elementares descritos aqui e em muitos dos problemas práticos, os sistemas são lineares.

3.3.1.3. Montagem (Processamento)

Depois de se obter as equações dos elementos individuais, elas devem ser colocadas juntas ou montadas, para caracterizar o comportamento unificado do sistema inteiro. O processo de montagem é governado pelo conceito de continuidade. Isto é, as soluções de elementos contíguos são combinadas, e os valores desconhecidos (algumas vezes, as derivadas) de seus comuns nós são equivalentes. Assim, a solução total será contínua.

19

Quando todas as versões individuais da Eq. (3.54) são, finalmente, montadas, o

sistema inteiro é expresso sob forma matricial, como: [ K ] u´ = F´ (3.55)

Nela, [ K ] é a matriz propriedade montada e u´ e F´ são vetores colunas de valores desconhecidos dos nós e forças externas feitas com apóstrofos, para denotar uma montagem dos vetores u e F dos elementos individuais.

3.3.1.4. Condições de Contorno e Iniciais (Processamento)

Antes da Eq. (3.55) poder ser resolvida, deve-se modificá-la, para considerar as condições iniciais e de contorno do sistema. Estes ajustes resultam em: [ ] Fuk ′=′ (3.56)

Nela, as barras significam as condições de contorno incorporadas.

3.3.1.5. Solução (Processamento)

Pode-se obter a solução da Eq. (3.56), com técnicas para a resolução de sistemas lineares e não lineares. Em muitos casos, os elementos serão configurados, de modo que as equações resultantes possam ser unidas, diminuindo o tamanho do sistema. Assim, o esquema de eficiência mais alto disponível a cada sistema é possível de ser empregado. O uso de simetrias, onde uma parte do sistema é igual à outra, possibilita a redução da ordem do sistema linear.

3.3.1.6 Apresentação dos Resultados (Pós-Processamento)

Obtida a solução, esta será exibida na forma de tabelas ou gráficos. Em adição, variáveis secundárias serão determinadas e expressas.

Apesar dos passos precedentes serem muito genéricos, eles são comuns na maioria das implementações do Método dos Elementos Finitos. No item seguinte, ilustra-se como eles podem ser aplicados na obtenção do resultado numérico de dois sistemas físicos simples o primeiro, molas ligadas em série, e depois, uma haste sendo aquecida. 3.3.2. Exemplo da Temperatura de Equilíbrio

Nos item seguinte vai-se exemplificar o Método dos Resíduos Ponderados usando a Técnica de Galerkin para um caso bidimensional. Usa-se um exemplo semelhante ao do item 3.2 do MDF. Considere uma placa quadrada fina metálica de 1 metro de comprimento, e encontre a temperatura de equilíbrio (após um tempo muito grande), segundo as equação de Laplace:

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

u

x

u (3.57)

20

u(x,y) é a temperatura da barra na posição x e y como na figura abaixo: y 1 x

0 1 Figura 3.7 Placa Quadrada do Exemplo. Condições de Contorno: u(x,0)=0oC, u(x,1)=100oC, u(0,y)=75oC e u(1,y)=50oC 3.3.3. Problema Bidimensional

Este item foi extraído da referência [54]. Embora o número de operações matemáticas cresça bastante, a extensão da aproximação de elementos finitos para duas dimensões é, conceitualmente, similar à aplicação unidimensional discutida. Assim, ela segue os mesmos passos, como mostrado no subitem 3.2.1.

3.3.3.1. Discretização

Uma variedade de simples elementos, como triângulos e quadriláteros, são usualmente empregados para fracionar os elementos finitos em duas dimensões. Na discussão presente, limitar-se-á a elementos triangulares do tipo descrito na Fig. 3.8. y 3 2 1 x Figura 3.8 Um elemento triangular

3.3.3.2. Equações dos Elementos

Como no caso unidimensional, o próximo passo é desenvolver uma equação para aproximar a solução ao elemento. Em um elemento triangular, a aproximação mais simples é um polinômio linear [Compare com a Eq. (3.46)]. u(x, y) = a0 + a1,1x + a1,2y (3.58)

Onde u é a variável dependente, os as representam os coeficientes, e x e y são variáveis independentes. Essa função deve passar pelos valores de u(x, y) nos nós do triângulo (x1, y1), (x2, y2), e (x3, y3). Portanto: u1(x, y) = a0 + a1,1x1 + a1,2 y1 u2(x, y) = a0 + a1,1x2 + a1,2 y2

21

u3(x, y) = a0 + a1,1x3 + a1,2 y3

Ou na forma matricial:

=

3

2

1

2,1

1,1

0

33

22

11

1

1

1

u

u

u

a

a

a

yx

yx

yx

Este pode ser resolvida a:

)]()()([2

11221331132233210 yxyxuyxyxuyxyxu

Aa

e

−+−+−= (3.59)

)]()()([2

12131323211,1 yyuyyuyyu

Aa

e

−+−+−= (3.60)

)]()()([2

11233122312,1 xxuxxuxxu

Aa

e

−+−+−= (3.61)

Onde Ae é a área do elemento triangular:

)]()()[(2

1122131132332 yxyxyxyxyxyxAe −+−+−=

As equações (3.59) até (3.61) podem ser substituídas na Eq. (3.58). Depois de

agrupar os termos, o resultado pode ser expresso como: u = N1u1 + N2u2 + N3u3 (3.62)

Onde:

])()()[(2

1233223321 yxxxyyyxyx

AN

e

−+−+−=

])()()[(2

1311331132 yxxxyyyxyx

AN

e

−+−+−=

])()()[(2

1122112213 yxxxyyyxyx

AN

e

−+−+−=

A equação (3.62) fornece uma maneira de predizer valores intermediários para o

elemento, com base nos valores dos nós. A Figura 3.9 mostra a função de aproximação com as correspondentes funções de interpolação. Percebe-se, que a soma das funções de interpolação é sempre igual a um.

22

Figura 3.9 (a) Uma linear função de aproximação para um elemento triangular. As correspondentes funções de interpolação são mostradas em (b) até (d). Fonte [54]

Também no caso unidimensional, vários métodos são disponíveis para desenvolver as equações dos elementos, baseadas na subjacente PDE e nas funções de aproximação. As equações resultantes são, consideravelmente, mais complicadas que as do caso unidimensional. Contudo, devido às funções de aproximação serem usualmente polinômios de mais baixa ordem, como na Eq. (3.58), os termos da matriz final do elemento consistirá a polinômios de baixa ordem e constantes.

23

3.3.3.3. Ajuste Ótimo da Função de Aproximação O desenvolvimento foi extraído da referência [37]. Seja em R2, espaço onde se

situa o maior número de problemas físicos, a ortogonalidade de duas funções f e g é dada por:

Ω

= 0 . dvgf

Logo, na resolução de um problema, onde as derivadas parciais podem ser

traduzidas pela pesquisa de uma função v , tal como os operadores L sobre o domínio e B sobre a fronteira, que verifica-se: L(v) f = 0 e B(v) g =0. [37]

O método denominado Método dos Resíduos Ponderados consiste, na pesquisa de funções v , em que satisfaçam a condição de contorno, ponderadas por funções u, tais que, para toda função u que satisfaça condições de continuidade determinadas, se possa escrever:

Ω

=− 0))(.( dwfvLu (3.63)

Se o conjunto de funções u é de dimensão infinita, então, é possível obter uma

equivalência entre o problema, as derivadas parciais e sua formulação integral. Entretanto, nas aplicações práticas, as funções u formam um espaço de dimensão finita, e a fórmula (2.63) constitui uma única aproximação caracterizada pela função dada e por este conjunto de funções.

A vantagem do Método dos Resíduos Ponderados, em relação à formulação variacional, é poder se aplicar a qualquer equação, independentemente, da existência e do conhecimento de uma formulação variacional do problema; por outro lado, de início, existe um erro de método caracterizado pela escolha das funções u; no entanto, este último ponto é de importância secundária, pois este erro e o de aproximação se conjugam, para resultar, sob certas condições, os mesmos resultados nas duas formulações.

Tem-se, como exemplo, o problema térmico (Para o exemplo do item 3.3.2 tem-se k=1 e Q=0):

sITT

Qy

Tk

yx

Tk

x

0

0

=

=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

A formulação, em termos do Método dos Resíduos Ponderados, consiste em

escolher funções T, que verificam as condições de contorno, onde u∀ é:

0=Ω

+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

Ω dQy

Tk

yx

Tk

xu

Uma integração, por partes, permite transformar esta integral:

24

0=∂∂+Ω

+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂− dS

n

TkuduQ

y

u

y

T

x

u

x

Tk

S

Se impusermos u=0 sobre o contorno, o segundo termo desaparece e resulta a:

0=Ω

−

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

dQuy

u

y

T

x

u

x

Tk

A seqüência de funções de projeção ui tomada e as funções de aproximação αi

escolhida para T caracterizarão, portanto, o método. [37] O princípio geral consiste em determinar os coeficientes u1, u2,..., uNN da

aproximação u* , pela realização de um certo número de condições a impor. Se a função u é substituída por sua aproximação u* sobre todo domínio Ω, obtém-se:

===

′=′′=′=NN

iiyiyix

NN

iix

NN

iii NuuNuuNuu

1

*

1

*

1

* ; ; ,

Onde os ui são os coeficientes numéricos. Como foi visto, anteriormente, são, de

fato, valores de u* em cada um dos nós da discretização. Logo, o funcional vem a ser uma função exclusiva dos coeficientes u1, u2,..., uNN. Pode-se, então, escrever a função pesquisada u* aproximada pela combinação linear:

NNNN NANANAu +++= ...2211*

Onde os coeficientes A1, A2,..., ANN serão determinados pelo método, de forma a

realizar a melhor aproximação possível de u sobre a base de funções N1, N2,..., NNN.

No Método dos Elementos Finitos, o domínio de estudo é discretizado em subdomínios chamados Elementos Finitos, sobre os quais, a função procurada é aproximada por um polinômio. A discretização realizada é uma partição do domínio, sem buracos nem recobrimentos. Os polinômios próprios de cada elemento devem respeitar, na fronteira, as condições de continuidade compatíveis com aquelas impostas pela natureza do problema. Este vínculo permite determinar o conjunto de funções Ni, a partir das funções Ni

(e) definidas sobre cada elemento.

Um exemplo em R2, é uma divisão em dois sub-domínios triangulares de primeira ordem, sobre os quais, a função procurada é aproximada por um polinômio de primeira ordem: P=a+bx+cy. Em cada elemento, existem três coeficientes a determinar, e, portanto, três monômios, perfazendo um total de seis coeficientes não conhecidos; mas as condições de continuidade sobre a aresta, que une os vértices 2 e 3 aos seis coeficientes, restringem a 4 o número real de coeficientes não conhecidos. Há, então, uma função de aproximação que afeta cada vértice, como mostrado na Figura 3.10.

25

Figura 3.10 - Domínio a dois elementos triangulares.

A escolha de cada elemento das funções de aproximação definirá o seu tipo, e caracterizará, pela seqüência, a natureza das funções de aproximação. Há uma ligação matemática rigorosa entre a escolha da natureza das funções de aproximação (lineares, quadráticas, cúbicas) e a forma dos elementos, sempre definidas por trechos sobre a discretização.

Na aplicação deste método, é preciso escolher um conjunto de funções de projeção (ou funções de ponderação) Φ1, Φ2,..., ΦNN antes de escrever as equações de projeção L(u*) sobre cada uma destas funções. Na técnica de Galerkin tem-se N1=Φ1 , N2=Φ2 e assim por diante.[37]

01

1 =Ω

−

Φ

=dfNuL

NN

jjj

01

2 =Ω

−

Φ

=dfNuL

NN

jjj (3.64)

...

01

=Ω

−

Φ

=dfNuL

NN

jjjNN

Obtém-se, de novo, um sistema de NN equações algébricas a resolver para se

encontrar as NN incógnitas u1, u2,..., uNN. Observações Importantes:

A aplicação do método dos elementos finitos conduz à substituição de uma

equação ou sistema de equações a derivadas parciais por um sistema de equações algébricos, contento coeficientes da função de aproximação, que são, na realidade, os valores das funções de aproximação nos nós do domínio discretizado. Como no Método dos Resíduos Ponderados as funções de ponderação são idênticas às funções de aproximação, o sistema de equações obtido é idêntico àquele obtido pela formulação variacional.

Se o operador L é linear, então a funcional é quadrática, implicando na linearidade do sistema de equações algébricas obtido. Da mesma forma, no Método dos Resíduos Ponderados, a linearidade de L implica na linearidade das equações (3.64), pois, em cada uma delas, os coeficientes ui podem ser colocadas em evidência na integral.

3 1

4 2

26

( )( ) =

Ω=

ΩΦ−ΩΦ=Ω

−Φ

NN

iiijj

NN

jjji fddNLudfNuL

11

3.3.3.4. Condições de Contorno e Montagem

A incorporação das condições de contorno e a montagem do sistema matricial também se tornam mais complicados, quando a técnica dos elementos finitos é aplicada em problemas de duas ou três dimensões. Contudo, como na derivação da matriz elemento, as dificuldades relativas ao mecanismo dos processos são maiores do que a complexidade conceitual. Por exemplo, o estabelecimento da topologia do sistema, o qual era trivial para o caso de uma dimensão, torna-se um problema de grande importância em duas ou três dimensões. Em particular, a escolha do esquema de numeração irá ditar a estrutura do sistema matricial resultante e, portanto, a eficiência com a qual ele pode ser resolvido. A Figura 3.11 mostra um esquema desenvolvido para uma placa plana em equilíbrio térmico, solucionada por meio do método dos elementos finitos.

Figura 3.11 - Um esquema de numeração dos nós e elementos para uma aproximação por elementos finitos, para uma placa plana em equilíbrio térmico. [54]

Logo para o exemplo tem-se:

2

2

2

2

y

T

x

TR

∂∂+

∂∂=

Integrando pelo Método dos Resíduos ponderados e associado à técnica de

Galerkin, tem-se:

02

2

2

2

=Ω

∂∂+

∂∂

Ω

dy

T

x

TNi

Y

X

100 oC

O oC

50 oC

75 oC

27

onde Ni são as funções de teste no caso as funções de Lagrange N1, N2 e N3 da função de aproximação T = T1 . N1 + T2 . N2 + T3 . N3. Após uma integração por partes (Teorema de Green), obtém-se:

dSn

TNd

y

N

y

T

x

N

x

T

S

iii

∂∂−=∆

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∆

para cada elemento triangular. O termo do lado direito representa o fluxo sobre o contorno do elemento triangular (Percorrendo no sentido anti-horário). Assim para um elemento genérico 1,2 e 3 pode-se escrever:

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )312312 F 31 F 23 F 12 ladonoFluxoladonoFluxoladonoFluxodSn

TN

S

i ++=∂∂−

Pode-se aplicar as equações acima em cada elemento da malha:

Para o Elemento (1) tem-se: Nó 7 (0,25;0,25) Nó 1 (0;0) Nó 2 (0,25;0) Figura 3.12 Elemento 1 da Malha com as coordenadas (x,y) de cada nó. Para i=1:

dSn

TNdydx

y

N

y

T

x

N

x

T

S

x

∂∂−=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

1

25,0

0 0

11

Substituindo a integral do lado direito pelo fluxo em cada lado do triangulo e

lembrando que N1 é zero para o lado oposto ao vértice 1 (F27=0) tem-se:

7112

25,0

0 0

11 FFdydxy

N

y

T

x

N

x

Tx

+=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

Resolvendo o lado esquerdo tem-se:

711221 5,05,0 FFTT +=− (3.65)

Para i=2 tem-se de maneira similar:

28

1227

25,0

0 0

22 FFdydxy

N

y

T

x

N

x

Tx

+=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

ou

122771 5,05,0 FFTT +=+− (3.66)

Para i=3 tem-se:

2771

25,0

0 0

33 FFdydxy

N

y

T

x

N

x

Tx

+=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

ou

277172 5,05,0 FFTT +=+− (3.67)

As equações de (3.65) até (3.67) formam as equações elemento para o primeiro

triangulo. De maneira similar para o segundo elemento tem-se:

+=+−+=−+=−

177676

766176

611761

5,05,0

5,05,0

5,05,0

FFTT

FFTT

FFTT

Cada equação acima foi obtida para N1, N2 e N3, respectivamente. Deve notar que

F71=-F17 ou seja o fluxo que sai do elemento 1 e vai para o elemento 2 através do lado modal 17 é o mesmo que sai do elemento 2 e vai para o elemento 1 só que com sentido oposto. Isso é fundamental na fase de montagem onde os termos de fluxo interno na placa irão se anular.

Vai-se procedendo assim para os 32 elementos da malha do exemplo. Para os triângulos inferiores (Elementos impares 1,3,5,7...31) tem-se:

+=+−+=+−

+=−

233132

231231

311221

5,05,0

5,05,0

5,05,0

FFTT

FFTT

FFTT

Para os triângulos superiores (Elementos pares 2,4,6,8...32) tem-se:

+=+−+=−+=−

133232

322132

211321

5,05,0

5,05,0

5,05,0

FFTT

FFTT

FFTT

Montando as equações elementos tem-se 25 equações e 41 incógnitas, das quais

25 são de T1, T2,..., T25 mais 16 correspondente ao fluxo em cada lado externo dos elemento (F12, F23, F34, F45, F5,10 .... F61).

29

=−−++−−+=+−+−=−−++−−

=+++−+=+−+−=+++−+=+−+−

+=+−+−=−−+−−−+=+++−=−−+−−−+=+−+−=−−+−+−+=+++−=+−+−

=−+−+−=−−+−=++−+−+=++−+−

+=+−+−=−−+−+=++−−=+−+−

=−+−−+=+−+

;05,05,05,05,05,0

;5,05,05,0;05,05,05,05,15,05,0

;5,05,05,0;5,05,05,0

;5,05,05,0;5,05,05,0

;5,05,05,0;05,05,05,15,05,0

;5,05,05,0;05,05,05,15,05,0

;5,05,05,0;05,05,05,05,05,0

;5,05,05,0;5,05,0

;05,05,05,05,0;5,05,05,0

;05,05,05,0;5,05,05,0

;5,05,05,0;5,05,05,0

;5,05,05,0;5,05,05,0

;05,05,05,05,0;5,05,0

1915141387

25,2025,24252420191817131276

24,232524191816,1111,61712116

23,222423181715,1010,51514109

23,2222,212322171615159843

22,2121,162221171614138732

20,1525,202520151413128732

24,2525,20251915141612761

242318132110,591054

232217131210,545109543

21,1616,1121161211349432

20,1510,52015109238421

19181410916128721

TTTTTT

FFTTTTTTTTTT

FTTTTFFTTTT

FTTTTFFTTTT

FFTTTTTTTTTT

FFTTTTTTTTTT

FFTTTTTTTTTT

FFTTTTFTTTT

TTTTTFTTTT

TTTTTFFTTTTT

FFTTTTFTTTT

FFTTTTFTTTT

TTTTTFFTTTT

Pode-se agora colocar as condições de contorno:

===========

=====

;100;100;100;100;100

;50;50;50

;75;75;75

;0;0;0;0;0

2524232221

201510

16116

54321

TTTTT

TTT

TTT

TTTTT

Resolvendo o sistema final de 25 equações e 25 incógnitas tem-se :

=========

93,3326,3386,42

46,5225,5617,63

64,6912,7657,78

987

141312

191817

TTT

TTT

TTT

Solução para as temperaturas internas na placas em equilíbrio térmico. As outras incógnitas tem um interesse menor pois são o fluxo nas bordas da placa.

30

3.3.3.5. Solução e Apresentação do Resultado (Pos-Processamento)

Embora o mecanismo seja complicado, o sistema matricial é meramente um

conjunto de n equações simultâneas, que pode ser solucionada, para se encontrar os valores das variáveis dependente nos n nós. A Figura 3.13 mostra uma solução possível, no caso de uma placa em equilíbrio térmico.

Figura 3.13 - A distribuição da temperatura de uma placa em equilíbrio térmico, sendo calculada por meio do Método dos Elementos Finitos. [54] 3.3.3.6. Comparação com a Solução pelo MDF Mesmo neste exemplo com meio homogêneo e geometria simples, nota-se uma vantagem no MEF, pois não se é obrigado a usar malhas retangulares de mesmo tamanho como no MDF. Em outros problemas com meios não homogêneos, geometrias complexas e parâmetros não lineares as vantagens do MEF aumentam bastante. O que torna o MEF um método bem mais amplo e com uma aplicabilidade prática muito maior que o MDF. Assim o aumento na complexidade matemática dos elementos finitos é compensada por sua portabilidade e eficiência na solução de equações diferenciais parciais encontradas na engenharia. Por esta razão o MEF é o método mais comumente implementado pelas ferramentas de CAE e para muitos autores é a base da Engenharia Assistida por Computador.

31

Apêndice A Ajuste Ótimo da Função de Aproximação em uma

Dimensão

A.1. Solução de Elementos Finitos para Molas em Séries

Figura A.1 (a) Uma série de molas interconectadas. Uma extremidade é fixada na parede, enquanto a outra é submetida a uma força constante F. (b) Representação em elementos finitos. Cada mola é representada por um elemento. Portanto, o sistema consiste de quatro elementos e cinco nós. [54]

Descrição do problema: a figura A.1 mostra uma série de molas Interconectadas. Uma extremidade é fixada a uma parede, enquanto a outra é sujeita a uma força constante F. Usando, passo a passo, os procedimentos do Método dos Elementos Finitos, determina-se o deslocamento das molas.

Solução − Discretização: o modo de particionar esse sistema é, obviamente, tratar cada mola como um elemento. Assim, o sistema consiste de quatro elementos e cinco nós (Fig. A.1b).

Equações dos Elementos: como este sistema é muito simples, suas equações dos elementos podem ser escritas diretamente, sem o recurso da aproximação matemática. Este é um exemplo de aproximação direta para os elementos derivados.

32

Figura A.2 - Um diagrama de corpo livre de um sistema de molas. [54]

A Figura A.2 mostra um elemento individual. O relacionamento entre a força F e o deslocamento x pode ser representado, matematicamente, pela lei de Hooke: F = k x

Onde, k representa a constante da mola, a qual pode ser interpretada como a força requerida para causar uma unidade de deslocamento. Se uma força F1 é aplicada no nó 1, o seguinte balanço de força (reação) deve segurar: F = k (x1 x2)

Onde, x1 é deslocamento do nó um da sua posição de equilíbrio; e x2 o deslocamento do nó dois da sua posição de equilíbrio. Assim, x2 x1 representa o quanto a mola é alongada ou comprimida e relativa ao equilíbrio (Fig. A.2).

Essa equação pode também ser escrita como: F1 = k x1 k x2

Para um sistema estacionário, um balanço de forças também necessita que F1=F2 e, portanto:

F2 = -k x1 + k x2

Estas duas simultâneas equações especificam o comportamento do elemento em resposta às forças aplicadas. Podem ser escritas numa forma matricial, como:

=

−−

2

1

2

1

F

F

x

x

kk

kk

Ou então:

[ k ] x = F ,

Onde a matriz [ k ] é a matriz propriedade do elemento. Neste caso, é também referenciada com a matriz rigidez do elemento. Note-se, que esta última equação tem sido

33

moldada no formato da Eq. (3.54). Assim, obteve-se sucesso na geração de uma equação matricial, que descreve o comportamento de um elemento típico no sistema.

Antes de proceder para o próximo passo, montagem da solução total, introduzir-se-

á alguma notação. Os elementos [ k ] e F são convencionalmente colocados sobreescrito e subescrito, como em:

=

−−

)(2

)(1

2

1

)(22

)(21

)(12

)(11

e

e

ee

ee

F

F

x

x

kk

kk ,

Onde, o sobreescrito (e) designa que estas são equações elemento; os k s são também colocados subescritos, e kij denota sua localização na linha i e coluna j da matriz. Para o presente caso, elas são também fisicamente interpretadas como representando a força requerida no nó i, para induzir uma unidade de deslocamento no nó j.

Montagem − Antes das equações elementos serem montadas, todos os elementos

e nós devem ser numerados. Esse esquema global de numeração especifica a configuração ou topologia do sistema (o presente caso usa um esquema idêntico ao da tabela A.1). Ou seja, mostra-se o nó que pertence a cada elemento. Uma vez que a topologia é especificada, as equações, para cada elemento, podem ser escritas com referência às coordenadas globais.

As equações elementos podem então ser adicionadas, uma de cada vez, para montar o sistema total. O resultado final pode ser expresso na forma matricial como [lembrando Eq. (3.55)]: [ K ] x´ = F´

Onde:

−−+−

−+−−+−

−

=

)4(22

)4(21

)4(12

)4(11

)3(22

)3(21

)3(12

)3(11

)2(22

)2(21

)2(12

)2(11

)1(22

)1(21

)1(12

)1(11

][

kk

kkkk

kkkk

kkkk

kk

K

e

=′

)4(2

)1(1

0

0

0

F

F

F

E x´ e F´ são os vetores deslocamento e força expandida. Quanto às

34

equações que foram montadas, as forças internas se cancelaram. Assim, o resultado final para F´ é zero, em todas as linhas, exceto no primeiro e último nó.

Antes de proceder o próximo passo, deve-se comentar a estrutura da matriz propriedade montada. Ela é tridiagonal. Isso é um resultado direto do esquema particular de numeração escolhido (Tabela A.1) antes da montagem. Embora não seja muito importante no contexto presente, com a realização de tal união, sistemas esparsos podem ser uma vantagem na colocação de problemas mais complicados. Isso é devido a esquemas eficientes disponíveis para a resolução de tal sistema.

Condições de Contorno − O sistema presente é sujeito a simples condições de contorno e x1=0. Introduzindo essas condições, e aplicando o esquema de remuneração, reduz-se o sistema para (k´s=1):

=

−−−

−−−

Fx

x

x

x

0

0

0

11

121

121

12

5

4

3

2

O sistema está agora na forma da Eq. (3.56), e está pronto para ser resolvido.

Embora a redução das equações é, certamente, uma valiosa aproximação

incorporada nas condições de contorno, usualmente, prefere-se deixar o número de equações intactas, quando a solução é realizada por computador. Neste caso, temos de F1 = -F (reação de F da parede) e x1=0. Assim fica o sistema:

−

=

−−−

−−−−

−

F

F

x

x

x

x

x

0

0

0

11

121

121

121

11

5

4

3

2

1

Uma vez incorporadas as condições de contorno, muda-se ao próximo passo: a

solução.

Gerando a Solução − Resolvendo o sistema linear com uma das técnicas numéricas, onde todos os k´s = 1 e F = 1, temos: X1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3 e x5 = 4.

Apresentação dos Resultados (Pós-processamentos) − O resultado pode agora ser desenhado graficamente. Na Figura A.3, os resultados estão como esperados. Cada mola alongada é uma unidade de deslocamento.

35

Figura A.3 (a) O diagrama do sistema original. (b) O sistema depois da aplicação da força constante. Os deslocamentos são indicados no espaço entre os dois sistemas. [54]

A.2. Exemplo de uma Haste Sendo Aquecida

A figura A.4 mostra um sistema modelado pela equação de Poisson, na forma unidimensional:

)(2

2

xfdx

Td −= (A.1)

Onde, f(x) é uma função que define a fonte de calor ao longo da haste, e onde, as

pontas da haste, são mantidas numa temperatura fixa T(0, t) = T1 e T(L, t) = T2. Essa não é uma equação diferencial parcial, mas uma equação diferencial ordinária com condições de contorno. Esse modelo simples é usado, porque ele permitirá introduzir a aproximação por elementos finitos, sem algumas das complicações, como por exemplo, um PDE de duas dimensões.

Figura A.4 (a) Uma longa e fina haste sujeita a fixas condições de contorno e a uma contínua fonte de calor ao longo do seu eixo. (b) A representação de elementos finitos consistindo de quatro elementos de igual comprimento e cinco nós.[54]

Exemplo: solução analítica para uma haste sendo aquecida. Descrição do Problema − Resolver a Eq. (A.1) para uma haste de 10 cm, com as

seguintes condições de contorno: T(0, t) = 40 oC e T(10, t) = 200 oC e uma fonte de calor

36

uniforme f(x) = 10.

Solução − A equação a ser resolvida é:

102

2

−=dx

Td

Assume-se uma solução na forma:

T = a x2 + b x + c

Ela é diferenciada duas vezes, resultando T´´ = 2 a. Substituindo este na equação diferencial, temos: a = -5. As condições de contorno são usadas para avaliar os coeficientes restantes. Da primeira condição, para x=0: 40 = -5 (0)2 + b(0) + c ou c = 40.

Similarmente, para a segunda condição: 200 = -5(10)2 + b(10) + 40

A qual é solucionada dando b = 66. Portanto, a solução final é: T = -5 x2 + 66 x + 40

O resultado é mostrado na figura A.5

Figura A.5 - Distribuição de temperatura ao longo de uma haste aquecida por uma fonte uniforme de calor e mantida fixa a temperatura nos extremos da haste.

Temperatura da Haste

0

40

80

120

160

200

240

280

x 5

x (cm)

T (

Gra

us

Cel

sus)

37

A.3. Discretização

Uma configuração simples modeladora do sistema é uma série de elementos de igual comprimento (Fig. A.4b). Assim, o sistema é tratado com quatro elementos de igual comprimento e cinco nós.

A.4. Equações dos Elementos

Um elemento individual é mostrado na Fig. A.6a. A distribuição de temperatura para o elemento é representada pela função de aproximação:

2211

~TNTNT += (A.2)

Onde N1 e N2 são funções lineares de interpolação especificadas pelas Eq. (3.48) e

(3.49), respectivamente. Assim, como descrito na Fig. A.6b, a função de aproximação é uma interpolação linear entre as duas temperaturas dos nós. Nó 1 Nó 2 (a)

T~

T2 T1 x1 x2 (b)

Figura A.6 (a) Um elemento individual (b). A função aproximação usada para caracterizar a distribuição de temperatura ao longo do elemento.

A.5. Aproximação Direta Como descrito no subitem 3.2.1, há uma variedade de aproximações para

desenvolver as equações elementos. Nesse subitem, emprega-se duas delas. Primeiro, uma aproximação direta será usada em um caso simples, onde f(x)=0. Então, em função de sua aplicabilidade geral na Engenharia, devotar-se-á a maior parte da abordagem para o método dos resíduos ponderados.

No caso onde f(x)=0, o método direto é empregado para gerar as equações elementos. O relacionamento entre o fluxo de calor e o gradiente de temperatura é assim representado pela lei de Fourier:

dx

dTkq ′−=

38

Nesta equação, q é fluxo [cal/(cm2. s)] e k´ é o coeficiente de condutividade térmica

[cal/(s.cm.oC)]. Se uma função linear de aproximação é usada na caracterização da temperatura do elemento, o fluxo de calor para o elemento, através do nó 1, é representado por:

12

211 xx

TTkq

−−′=

Onde q1 é o fluxo de calor no nó 1. Similarmente, com o nó 2:

12

122 xx

TTkq

−−′=

Estas duas equações expressam o relacionamento da distribuição da temperatura

interna do elemento (refletido pelas temperaturas dos nós) e o fluxo de calor nas suas extremidades. Assim, elas constituem as equações dos elementos desejadas, e serão simplificadas pelo reconhecimento da lei de Fourier, como útil para moldar o fluxo terminal em termos do gradiente de temperatura na fronteira. Ou seja:

dx

xdTkq

dx

xdTkq

)(

)( 22

11 ′−=′−=

Pode-se substitui-la dentro das equações dos elementos, resultando:

−=

−−

−dx

xdTdx

xdT

T

T

xx )(

)(

11

111

2

1

2

1

12

(A.3)

A Eq. (A.3) é moldada no formato da Eq. (3.54). Assim, obteve-se sucesso na

geração da equação matricial onde o comportamento de um elemento típico no sistema é descrito.

Outra forma de se chegar às mesmas equações elementos anteriores, é a partir da seguinte idéia :

Se T(x)=0 então T´(x)= constante.

Assim, pode-se ter:

12

12

xx

TT

dx

dT

−−

= (A.4)

Aplicando (A.4) aos nós 1 e 2, tem-se:

39

=+−−

−−

=

−=−−

−−=

2 nó )(

)()(

1)(

1 nó )(

)()(

1)(

221

1212

122

121

1212

121

dx

xdTTT

xxxx

TT

dx

xdT

dx

xdTTT

xxxx

TT

dx

xdT

(A.5)

Chegando-se, assim, a (A.3), e tem-se:

−=

−−

dxxdT

dxxdT

T

T)(

)(

4,04,0

4,04,0

2

1

2

1 (A.6)

Parte-se, então, para a etapa de montagem:

40

( )

( )

( )

( )

( )

−

=

−−−

−−−−

−

+

−

−

=

+−−+−

−−−−

−

+

−

−

=

+−−+−

−−−

+

−

−

=

+−−+−

−

−

=

−−

dxxdT

dxxdT

T

T

T

T

T

e

dxxdT

dxxdT

dxxdT

dxxdT

T

T

T

T

T

d

dxxdT

dxxdT

dxxdT

dxxdT

T

T

T

T

c

dxxdT

dxxdT

dxxdT

dxxdT

T

T

T

b

dxxdT

dxxdT

T

T

a

)(0

0

0

)(

4,04,0000

4,08,04,000

04,08,04,00

004,08,04,0

0004,04,0

)(0

)()(0

0

)(

4,004,00000

4,004,04,04,000

04,08,04,00

004,08,04,0

0004,04,0

0

)(0

)()(0

)(

000000

04,004,0000

04,004,04,04,00

004,08,04,0

0004,04,0

0

0

)(0

)()(

)(

0

0

00000

00000

004,004,000

004,004,04,04,0

0004,04,0

0

0

0

)(

)(

0

0

0

00000

00000

00000

0004,04,0

0004,04,0

5

1

5

4

3

2

1

5

44

1

5

4

3

2

1

4

33

1

4

3

2

1

3

22

1

3

2

1

2

1

2

1

Figura A.7 - A montagem das equações no sistema total para a aproximação direta.

Segue-se, para o acréscimo das condições de contorno T1=40oC e T5=200oC:

41

−=−−

=+−=−+−=−

−=−

)2004,0()(4,0

08,04,0

04,08,04,0

)404,0(4,08,0

)404,0(4,0)(

54

43

432

32

21

xdxxdTT

TT

TTT

xTT

xTdxxdT

(A.7)

Tem-se o sistema abaixo:

−=−−

=+−=−+−=−

−=−

80)(4,0

808,04,0

04,08,04,0

164,08,0

164,0)(

54

43

432

32

21

dxxdTT

TT

TTT

TT

TdxxdT

(A.8)

Resolvendo o sistema, chega-se à solução para f(x)=0 :

16)(00,260

00,12000,8016)(

54

321

==

===

xdx

dTT

TTxdx

dT

(A.9)

A aproximação tem grande apelo intuitivo. Adicionalmente, em áreas como

mecânica, ela é empregada na solução, para resolver problemas significativos. Contudo, em outros contextos, é freqüentemente difícil ou impossível obter, diretamente, as equações dos elementos finitos. Conseqüentemente, como é descrito, a seguir, técnicas matemáticas mais gerais são disponíveis.

A.6. O Método dos Resíduos Ponderados.

A equação diferencial (A.1) pode ser re-expressa como:

)(02

2

xfdx

Td +=

A função aproximação [Eq. (A.2)] é substituída nesta equação. Em razão da Eq.

(A.2) não ser a solução exata, o lado direito da equação resultante não será zero, mas um resíduo:

)(~

2

2

xfdx

TdR += (A.10)

O método dos resíduos ponderados (do inglês, Method of Weighted Residuals -

MWR) consiste em calcular um mínimo para o resíduo, de acordo com a fórmula geral:

42

midDRWD

i ..., 2, 1, 0 == (A.11)

onde D é o domínio solução e Wi representam funções teste ou peso linearmente

independente. Essa aproximação advém do fato de que, se a Eq. (A.11) é verdadeira, se R é igual a zero e Wi, ela é uma função contínua qualquer. Nela, a integral é usada para diminuir a ordem da equação diferencial de segunda para primeira derivada.

Neste ponto, há uma variedade de escolhas para as funções teste. Cada qual representa uma aproximação alternativa para o MWR. (Seção A.7).

A aproximação mais rotineira no Método dos Elementos Finitos é empregar as funções de interpolação Ni como funções de teste. Quando são substituídas na Eq. (A.11), o resultado é referenciado como Método de Galerkin, onde:

midDRND

i ..., 2, 1, 0 ==

Para a haste unidimensional, a Eq. (A.10) é substituída na formulação, resultando

em:

2 ,1 )(~

2

12

2

=

+ idxNxf

dx

Tdi

x

x ,

Que pode ser reescrita como:

2 ,1 )()()(~ 2

1

2

1

2

2

=−= idxxNxfdxxNdx

Tdx

x

ii

x

x

(A.12)

A partir de então, manipulações matemáticas serão aplicadas, simplificando e

avaliando a Eq. (A.12). Entre as mais importantes, está a simplificação do lado esquerdo, utilizando a integração por partes, relembrando o cálculo onde esta operação é expressa, geralmente, como:

−=b

a

b

a

b

a

vduuvudv

Se u e v são escolhidos apropriadamente, a nova integral, no lado direito, será

melhor avaliada que a original, no lado esquerdo. Isso pode ser feito para o termo do lado esquerdo da Eq. (A.12), pela escolha de Ni (x) como u e (d2T/dx2) dx como dv. Tem-se, então:

2 ,1 ~~

)(~

)(2

1

2

1 1

2

2

2

=−= idxdx

dN

dx

Td

x

x

dx

TdxNdx

dx

TdxN i

x

x

i

x

x

i (A.13)

Assim, tem-se um significante passo de redução no termo de maior ordem na

formulação da derivada segunda para a primeira. Em seguida, avalia-se os termos

43

individuais criados na Eq. (A.13). Para i=1, o primeiro termo, no lado direito, da Eq. (A.13), é avaliado como:

dx

xTdxN

dx

xTdxN

x

x

dx

TdxN

)(~

)()(

~)(

~)( 1

112

211

21 −=

Contudo, lembrando da Fig. 3.6, na qual N1(x2)=0 e N1(x1)=1:

dx

xTd

x

x

dx

TdxN

)(~~

)( 1

1

21 −= (A.14)

Similarmente, para i=2:

dx

xTd

x

x

dx

TdxN

)(~~

)( 2

1

22 = (A.15)

Portanto, o primeiro termo do lado direito, da Eq. (A.13), representa as condições

de contorno naturais nas extremidades dos elementos.

Antes de prosseguir, agrupa-se a Eq. (A.13), substituindo o resultado anterior na equação original. Transpondo a Eq. (A.13), através da (A.15), na Eq. (A.12), e arranjando-as para i=1, tem-se:

+−=2

1

2

1

)()()(

~~

111

x

x

x

x

dxxNxfdx

xTddx

dx

dN

dx

Td (A.16)

E para i=2:

+=2

1

2

1

)()()(

~~

222

x

x

x

x

dxxNxfdx

xTddx

dx

dN

dx

Td (A.17)

A integração por partes tem conduzido a dois importantes resultados. Primeiro, ela

tem incorporado as condições de contorno diretamente dentro das equações dos elementos, e por último, reduzido a alta ordem, passando da segunda para a primeira derivada. Isso significa, que o resultado da função de aproximação precisa preservar a continuidade dos valores, mas não a inclinação nos nós.

Agora começa-se a atribuir algumas significâncias físicas para os termos individuais já obtidos. Ao lado direito de cada equação, o primeiro termo representa uma das condições de contorno dos elementos, e o segundo, o efeito da função de forças externas do sistema, no presente caso, a fonte de calor f(x). Como se torna evidente, o lado esquerdo engloba o mecanismo interno, que governa a distribuição de temperatura do elemento. Isto é, em termos do Método de Elementos Finitos, o lado esquerdo se tornará a matriz propriedade do elemento.

Para demonstrar melhor isso, concentra-se nos termos do lado esquerdo. Assim, para i=1, o termo é:

44

dxdx

dN

dx

Tdx

x

12

1

~

(A.18)

Lembrando do subitem 3.1.3, a natureza linear da função de aproximação torna

simples a diferenciação e a integração. Substituindo a Eq. (3.51) e (3.52), na Eq. (A.18), tem-se:

)(1

)(21

122

12

212

1

TTxx

dxxx

TTx

x

−−

=−−

(A.19)

Similar substituição para i=2 [Eq. (A.17)], conduz a:

)(1

)(21

122

12

212

1

TTxx

dxxx

TTx

x

+−−

=−

+− (A.20)

Comparando com a Eq. (A.3), estas são similares nos relacionamentos

desenvolvidos com o método direto, usando a lei de Fourier. Isso se torna bem claro, com a reescrita das Eq. (A.19) e (A.20), na forma matricial como:

−−

− 2

1

12 11

111

T

T

xx

Substituindo esse resultado nas Eq. (A.16) e (A.17), e expressando-o na forma

matricial, obtém-se a versão final das equações elementos:

Externos Efeitos

2

1

Contorno de Condições

2

1

[k] Elemento do rigitezMatrix

122

1

2

1

)()(

)()(

)(

)(

11

111

+

−=

−−

−

x

x

x

x

dxxNxf

dxxNxf

dx

xdTdx

xdT

Txx

(A.21)

Além do método direto e dos resíduos ponderados, as equações elementos

também são derivadas, usando o cálculo variacional. Para o presente caso, essas aproximações condizem a equações idênticas para ambas derivações.

Exemplo: Equações Elemento para uma Haste Aquecida

Descrição do Problema - Empregando a Eq. (A.21), desenvolver as equações elementos para uma haste de 10 cm com condições de contorno de T(0, t)=40 e T(10, t)=200, além de, uma uniforme fonte de calor de f(x)=10. Usar quatro elementos de igual tamanho, com comprimento =2,5cm.

Solução - O termo da fonte de calor, na primeira linha da Eq. (A.21), é avaliada pela substituição da Eq. (3.48). Integrando, temos:

45

5,125,2

5,210

5,2

0

=− dx

x

Similarmente, a Eq. (3.49) é substituída dentro do termo da fonte de calor da

segunda linha da Eq. (A.21), à qual pode, também, ser integrada, conduzindo a:

5,125,2

010

5,2

0

=− dx

x

Este resultado, com valores de outros parâmetros, pode ser substituído na Eq.

(A.21), para resultar em :

5,12)(4,04,0 121 +−=− xdx

dTTT

e

5,12)(4,04,0 221 +=+− xdx

dTTT

46

A.7. Esquemas Alternativos de Resíduos para os Métodos dos Resíduos Ponderados (MWR)

Várias escolhas podem ser feitas nas funções teste da Eq. (A.11). Cada uma

representa uma aproximação alternativa para o MWR.

Na aproximação colocacional, escolhe-se tantas posições quantas são os coeficientes desconhecidos. Então, os coeficientes são ajustados até o resíduo desaparecer em cada uma dessas posições. Conseqüentemente, a função de aproximação conduzirá a resultados perfeitos para as posições escolhidas, mas terão um resíduo diferente de zero em outras partes. Assim, ele é um poderoso método de interpolação. Quantidades colocacionais usam a seguinte função teste:

niparaxxW ii ,...,2,1 )( =−= δ

Onde n é número de coeficientes desconhecidos e δ(x-xi) é a função do delta de

Dirac, que vale zero em toda parte, exceto em x=xi , onde é igual a 1.

No método de subdomínios, o intervalo é dividido em muitos segmentos ou subdomínios, onde há coeficientes desconhecidos. Então, estes são ajustados até o valor médio do resíduo ser zero em cada um deles. Assim, para cada subdomínio, a função teste é igual a 1 e a Eq. (3.66) é:

niparaRdxi

i

x

x

,...,2,1 01

==−

Onde xi-1 e xi são as extremidades do subdomínio.

Para o caso dos mínimos quadrados, os coeficientes são ajustados para minimizar

a integral do quadrado do resíduo. Assim, as funções peso são:

ii a

RW

∂∂=

Pode ser substituído, na Eq. (A.11), para resultar em:

nidDa

RR

D i

,...,2,1 0 ==∂∂

Ou

nidDRa Di

,...,2,1 02 ==∂∂

Observando esta formulação, conclui-se tratar de uma forma contínua de

regressão.

O método de Galerkin emprega as funções de interpolação Ni como funções de

47

teste, lembrando terem essas funções sempre a soma igual a 1. em qualquer posição em um elemento. Em muitos problemas de contexto, o método de Galerkin conduz aos mesmos resultados obtidos por meio do método variacional. Conseqüentemente, é o mais empregado das versões do MWR, usando a análise de elementos finitos.

A.8. Montagem

Antes das equações elementos serem montadas, um esquema global de numeração deve ser estabelecido para especificar a topologia do sistema ou seu esquema espacial. A Tabela A.1 define as conectividades entre os elementos. Devido ao presente caso ser unidimensional, o esquema de numeração parece tão simples que o torna trivial. Contudo, para problemas de duas ou três dimensões, ele serve, freqüentemente, somente para especificar qual nó pertence a cada elemento. Tabela A.1 A topologia do sistema para o esquema de segmentação de elementos finitos da Fig. A.4b.

Elemento Número dos Nós Local Global

1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 3 2 4 4 1 4 2 5

Uma vez a topologia especificada, as equações dos elementos Eq. (A.21) podem ser escritas para cada elemento, usando as coordenadas globais. Então, adicionando um de cada vez, montando a matriz do sistema total, como descrito na Fig. A.8.

48

( )

( )

( )

( )

( )

+

+−

=

−−−

−−−−

−

++

+−+

+−

=

+−−+−

−−−−

−

++

+−+

+−

=

+−−+−

−−−

++

+−+

+−

=

+−−+−

−

+

+−

=

−−

5,12)(25

25

25

5,12)(

4,04,0000

4,08,04,000

04,08,04,00

004,08,04,0

0004,04,0

5,12)(0

5,12)(5,12)(25

25

5,12)(

4,004,00000

4,004,04,04,000

04,08,04,00

004,08,04,0

0004,04,0

0

5,12)(0

5,12)(5,12)(25

5,12)(

000000

04,004,0000

04,004,04,04,00

004,08,04,0

0004,04,0

0

0

5,12)(0

5,12)(5,12)(

5,12)(

0

0

00000

00000

004,004,000

004,004,04,04,0

0004,04,0

0

0

0

5,12)(

5,12)(

0

0

0

00000

00000

00000

0004,04,0

0004,04,0

5

1

5

4

3

2

1

5

44

1

5

4

3

2

1

4

33

1

4

3

2

1

3

22

1

3

2

1

2

1

2

1

dxxdT

dxxdT

T

T

T

T

T

e

dxxdT

dxxdT

dxxdT

dxxdT

T

T

T

T

T

d

dxxdT

dxxdT

dxxdT

dxxdT

T

T

T

T

c

dxxdT

dxxdT

dxxdT

dxxdT

T

T

T

b

dxxdT

dxxdT

T

T

a

Figura A.8 A montagem das equações no sistema total. A.9. Condições de Contorno

Com as equações montadas, as condições internas de contorno se cancelam. Assim, o resultado final para F , na Fig. A.8e, tem condições de contorno para, somente, o primeiro e último nó. Em razão de T1 e T5 serem disponíveis, suas naturais condições de contorno nas extremidades da barra, dT(x1)/dx e dT(x5)/dx, apresentam-se desconhecidas. Portando, as equações podem ser expressas como:

49

−=−−

=+−=−+−=−

−=−

5,67)(4,0

1058,04,0

254,08,04,0

414,08,0

5,34,0)(

54

43

432

32

21

dxxdTT

TT

TTT

TT

TdxxdT

(A.22)

A.10. Solução

A Eq. (A.22) pode ser solucionada, onde se conclui:

34)(75,253

24575,17366)(

54

321

−==

===

xdx

dTT

TTxdx

dT

A.11. Apresentação dos Resultados (Pós-Processamentos)

Os resultados podem ser mostrados, graficamente. A Figura A.9 mostra os resultados dos elementos finitos com a solução exata. O cálculo de elementos finitos captura a tendência total da solução exata e, de fato, fornece valores bem aproximados nos nós. Contudo, existe discrepância no interior de cada elemento, em virtude da natureza linear da função de aproximação.

Figura A.9 Resultados da aplicação do método de elementos finitos para uma barra aquecida. A solução exata é também mostrada.

T e m p e ra tu ra d a H a s te

0

4 0

8 0

1 2 0

1 6 0

2 0 0

2 4 0

2 8 0

0 2 ,5 5 7 ,5 1 0

x (c m )

T (

Gra

us

Cel

sio

s)

A na lític a E le m e nto s F in i to s

50

Apêndice B

Aplicações do MEF na Engenharia Elétrica

B.1 Introdução

Este apêndice está baseado no desenvolvimento da referência [39,75]. O Método dos Elementos Finitos vem se consagrando, há alguns anos, como uma das mais poderosas ferramentas utilizadas na determinação das distribuições de campos eletromagnéticos em dispositivos e sistemas elétricos. Apesar das equações de Maxwell descreverem completamente os fenômenos eletromagnéticos, sua solução analítica é impraticável em dispositivos com geometrias complexas. Uma alternativa para contornar este problema é a utilização de métodos de cálculo numérico, para se obter uma solução aproximada.

O Método dos Elementos Finitos é um entre os vários conhecidos do cálculo numérico para fenômenos eletromagnéticos. Ele pode ser aplicado sem as limitações ou dificuldades de implementação que existem em alguns outros métodos, notadamente, aqueles de uso já consagrado, quando o Método dos Elementos Finitos estava sendo desenvolvido, dentre eles, o Método das Diferenças Finitas, ou ainda, outros mais limitados, como o Método da Simulação de Cargas, por exemplo.

Mesmo alguns métodos numéricos mais recentes, como por exemplo, o Método dos Elementos de Fronteira ou Contorno, apresentam mais dificuldades de aplicação que o Método dos Elementos Finitos, quer no cálculo dos coeficientes dos sistemas de equações, quer no tratamento de meios não lineares ou na exploração dos resultados obtidos. [39]

Para se utilizar o Método dos Elementos Finitos, o objeto de estudo deve ter sua geometria subdividida em várias partes, que são os elementos finitos. Essa subdivisão é chamada malha, sendo geralmente constituída, no caso bidimensional, de triângulos ou quadriláteros, cujos vértices são denominados nós da malha. É através dela, que se monta um sistema de equações, cuja solução permite determinar as grandezas de interesse no fenômeno utilizado. No caso eletromagnético, essa solução é o vetor potencial magnético (A) ou o potencial elétrico (V), em cada nó da malha, a partir dos quais é possível determinar os campos magnéticos (B e H) ou elétricos (E e D) no interior dos Elementos Finitos, e proceder os cálculos de energia, força, torque, parâmetros como indutâncias, capacitâncias, resistências, e etc.

Para demonstrar a importância do Método dos Elementos Finitos na Engenharia de Eletricidade, faz-se uma análise, nos itens abaixo, de problemas básicos de campos eletromagnéticos bidimensionais, usando elementos finitos triangulares, isto é, as distribuições de campos elétricos ou magnéticos que não variam, nas seções transversais dos dispositivos a serem analisados, e, admite-se, ainda, que o regime, no qual a variável tempo não afeta as grandezas de campo, é estacionário. Assim, tem-se três situações a analisar:

a) Eletrostática b) Campo de Correntes (Eletrocinética)

51

c) Magnetostática.

Nos dois primeiros casos, o campo elétrico age em meios lineares, isto é, as permissividades ou condutividades presentes não são afetadas pela intensidade do campo elétrico, ao passo que, na Magnetostática, a presença de meios ferromagnéticos introduzem uma não linearidade, que deve ser considerada. [39,75]

B.2. Eletrostática

A aplicação do Método dos Elementos Finitos na eletrostática é baseada na Quarta equação de Maxwell ( Lei de Gauss da Eletrostática):

=S

iQdSD. (B.1)

Onde: D é o Vetor Deslocamento (C/m3)

Qi é a quantidade total de Cargas Elétricas envolvidas pela superfície fechada S.

O vetor deslocamento D e o vetor campo elétrico E estão relacionados através da relação constitutiva: D=εE, onde ε é a permissividade elétrica do meio, que na maioria das aplicações pode ser admitida constante.

O vetor campo elétrico E e a função potencial são associados através da relação :

E=-∇ V

Chegando-se ao elemento triangular genérico de um domínio discretizado, sejam V1 , V2 e V3 os potenciais elétricos dos vértices 1, 2 e 3 (numeração local) do elemento. Face ao fato, de que a função potencial é contínua, pode-se calcular o potencial elétrico num ponto R qualquer no interior do elemento, através de uma interpolação linear dos potenciais de seus vértices. Assim sendo, o potencial do ponto R poderá ser expresso por uma função linear do tipo: V(x,y) = α1 + α2 x + α3 y (B.2)

Onde os coeficientes α1, α2 e α3 são funções de V1, V2 e V3.

Para determiná-los, basta aplicar a Eq. B.2 aos vértices do elemento considerado, resultando o sistema de equações seguinte: Vi = α1 + α2 xi + α3 yi , i=1,2,3 (B.3)

A solução da Eq. B.3 fornece os valores dos coeficientes de B.2, resultando: α1=(1/2∆)(a1 V1+a2 V2+a3 V3) α2=(1/2∆)(b1 V1+b2 V2+b3 V3) (B.4) α3=(1/2∆)(c1 V1+c2 V2+c3 V3)

52

Onde: a1=x2 y3 x3 y2; b1=y2 y3; c1=x3 x2; e ∆=(b1 c2 b2 c1)/2, os demais coeficientes a, b e c são obtidos por rotação cíclica dos seus índices, e ∆ é a área do elemento.

Substituindo-se B.4 por B.2, obtém-se a expressão do potencial, num ponto qualquer no interior do elemento, por meio de uma interpolação linear dos potenciais em seus vértices, como segue: V(x,y)=N1 V1 + N2 V2 + N3 V3 (B.5)

Onde: Ni = (1/2∆)(ai + bi x + ci y) i=1,2,3

As funções Ni, denominadas funções de forma do elemento, observam a seguinte propriedade: Ni (x,y) = δij (B.6)

Onde δij é o símbolo de Kronecker, e é tal, que:

≠=

=jise

jiseij ,0

,1δ

Observa-se que os erros desta aproximação serão menores, na medida em que

são reduzidas as dimensões do elemento, de modo que a discretização exerce um papel fundamental na qualidade dos resultados, e exige uma solução de compromisso entre a quantidade de elementos, a capacidade do sistema computacional utilizado e a precisão requerida. Desta forma, o algoritmo de geração automática de elementos deve contemplar, com alguma interação com o usuário, a possibilidade de discretizar o domínio em estudo, respeitando não só sua geometria, como também, as características do fenômeno físico.

53

Figura B.1 Apresenta uma interpretação geométrica para esta aproximação. Fonte [39]

Lembrando que E=-∆∆∆∆V, podemos escrever para cada componente: Ex = -∂V/∂x = -(1/2∆) (b1 V1 + b2 V2 + b3 V3) (B.7) Ey = -∂V/∂y = -(1/2∆) (c1 V1 + c2 V2 + c3 V3)

54

Figura B.2 Regiões de Controle envolvendo os nós. [39]

A análise das expressões B.7 mostra, como era de se esperar, que o campo elétrico, no interior do elemento, resulta constante, no caso da aproximação linear da função potencial. A aplicação da quarta equação de Maxwell (B.1) a superfícies fechadas (constituídas por um prisma de profundidade unitária e seção transversal idêntica às das regiões de controle, que são definidas como regiões envolvendo cada um de seus nós, construídas por segmentos de reta, que passam pelos pontos médios das aresta ligadas ao nó, e pelos baricentros dos triângulos, que admitem o referido nó como vértice), pode ser calculada por partes, obedecendo a seguinte procedimento:

Para a superfície que envolve o nó 7, pode-se escrever:

=

++++=

S

ei

S

dSDEonde

EEEEEdSD

.:

. 57

67

127

117

47

(B.8)

E representa o fluxo do vetor deslocamento na porção da superfície S, que envolve o nó (i) pertencente ao elemento (e).

No caso do nó 3, que pertence à fronteira do domínio, resulta:

′+′+++= 43

13

13

53

43. EEEEEdSD

S

(B.9)

Como condição adicional, vai-se considerar que o campo elétrico além da fronteira

é nulo ou tangente a esta, de modo que as duas últimas parcelas da expressão anterior são nulas.

Assim sendo, para cada elemento finito pode-se calcular 3 parcelas de integrais de superfície: uma parcela da integral de superfície que envolve o nó 1 (E1

e), uma que envolve o nó 2 (E2

e), e outra que envolve o nó 3 (E3e), como mostra a figura abaixo:

55

Figura B.3 - Partes das regiões de controle internas ao elemento. O ponto O é seu baricentro; os pontos P, S e G são os pontos médios de suas arestas. Os segmentos PO e OS são partes da região de controle que envolve o nó 1. Os segmentos PO e OG são partes da região que envolve o nó 2, e os segmentos GO e OS são partes da região de controle que envolve o nó 3. [39]

O cálculo de E1e sobre aquele elemento genérico pode ser facilmente obtido,

levando-se em conta que o campo elétrico em seu interior é constante. Assim, na face POS de S1 pode-se escrever:

=POS

e dSDE .1 (B.10)

Lembrando-se que:

D=ε Ex ux + ε Ey uy

dS = - ∆y ux - ∆x uy

O que resulta em:

E1

e= - ε Ex ∆y - ε Ey ∆x (B.11)

Substituindo-se Ex e Ey por seus valores expressos em (B.7), e notando-se que: ∆x= xs xp = (x3 x2)/2 = c1 /2 ∆y= yp ys = (y2 y3)/2 = b1 /2

O resultado é:

E1e=(ε/4∆)[(b1 b1 + c1 c1)V1 +(b1 b2 + c1 c2)V2 + (b1 b2 + c1 c2)V3] (B.12)

O cálculo de E2

e, que representa o fluxo do vetor deslocamento na parte da superfície S que envolve o nó 2 (S2), pertencente ao elemento (e), é calculado de forma semelhante a E1

e, fazendo: E2

e= - ε Ex ∆y - ε Ey ∆x

56

Substituindo-se Ex e Ey por seus valores expressos em (B.7) e notando que:

∆x= xg xp = (x3 x1)/2 = -c2 /2 ∆y= yp yg = (y1 y3)/2 = -b2 /2

O resultado é: E2

e=(ε/4∆)[(b2 b1 + c2 c1)V1 +(b2 b2 + c2 c2)V2 + (b2 b3 + c2 c3)V3] (B.13)

Seguindo procedimento análogo, pode-se deduzir:

E3e=(ε/4∆)[(b3 b1 + c3 c1)V1 +(b3 b2 + c3 c2)V2 + (b3 b3 + c3 c3)V3] (B.14)

Em resumo, as contribuições dos fluxos do vetor deslocamento por meio das

porções das superfícies, que envolvem os nós 1,2 e 3 do elemento (e), podem ser expressas, matricialmente, como segue:

+++++++++

∆=

3

2

1

333332323131

323222222121

313121211111

3

2

1

4V

V

V

ccbbccbbccbb

ccbbccbbccbb

ccbbccbbccbb

E

E

E

e

e

e

ε (B.15)

A matriz quadrada da expressão B.15 é denominada matriz do elemento, tendo as

características de simetria e singularidade (determinante nulo). O segundo membro da quarta equação de Maxwell é igual à carga interna à superfície S. Assim sendo, para a superfície fechada, que envolve o nó 7, podemos escrever: Q7=Q7

4+Q711+Q7

12+Q76+Q7

5

Onde Qie é a parcela da carga total contida no interior da superfície S que envolve

o nó (i) pertencente ao elemento (e). Reportando-se ao elemento genérico, as linhas PO, OS e OG, onde O é seu baricentro, divide-o em 3 polígonos de áreas iguais a 1/3 da área total do elemento. Admitindo que as cargas elétricas, nele contidas, são distribuídas, uniformemente, no volume delimitado pelo prisma de base triangular e altura unitária, segundo a densidade volumétrica ρ (C/m3), pode-se escrever: Q1

e=Q2e=Q3

e=ρ∆/3

Ou, matricialmente,

∆∆∆

=

3/

3/

3/

3

2

1

ρρρ

e

e

e

Q

Q

Q

(B.16)

Finalmente, a aplicação da quarta equação de Maxwell numa superfície fechada

envolvendo o nó (i), resultará:

57

= =

==NE

e

NE

e

ei

ei NNiQE

1 1

,...,2,1 (B.17)

Onde NE é o número total de elementos e NN é o número total de nós do domínio.

Note-se, que os termos das somatórias indicadas em (B.17) só terão valor não

nulo, nos elementos (e´s) que admitirem o nó (i) como vértice. Esta expressão também gera um sistema de NN equações com NN incógnitas, cujas incógnitas são os potenciais elétricos dos nós. Assim sendo, pode-se escrever: [C][V] = [Q] (B.18)

Como a matriz [C] é montada a partir das matrizes dos elementos, e sendo estas singulares, resulta que a referida matriz também é singular. Esta singularidade é levantada após a introdução das condições de contorno. A resolução do sistema de equações, obtida após a introdução das condições de contorno, fornece os potenciais em todos os nós do domínio, que, uma vez conhecidos, permitem calcular a intensidade de campo elétrico no interior de todos os elementos e as demais grandezas de interesse, tais como: capacitâncias, energia elétrica armazenada, forças e conjugados de natureza eletrostática. [39]

B.3. Campo de Correntes Estacionárias Eletrocinética

A mesma técnica utilizada na formulação do Método dos Elementos Finitos, na eletrostática, é integralmente aplicada nos estudos do campo de correntes estacionárias. Neste caso, a equação que descreve o fenômeno é a equação da continuidade:

=S

dSJ 0. (B.19)

A relação constitutiva a ser considerada é a lei de Ohm: J=σE, onde σ é a

condutividade do meio, conjuntamente com a definição da função potencial: E=-∆∆∆∆V

As deduções das integrais de superfície E1e, E2

e e E3e são obtidas, para este caso,

seguindo-se procedimento idêntico ao desenvolvido na eletrostática, ou seja, substituindo-se simplesmente D por J e ε por σ, que resultará:

+++++++++

∆=

3

2

1

333332323131

323222222121

313121211111

3

2

1

4V

V

V

ccbbccbbccbb

ccbbccbbccbb

ccbbccbbccbb

E

E

E

e

e

e

σ (B.20)

Finalmente, a aplicação da equação da continuidade numa superfície fechada

envolvendo o nó (i), resultará:

NNiENE

e

ei ,...,2,1 0

1

===

(B.21)

58

A expressão B.21, a exemplo da B.17, pode ser expressa matricialmente, como segue: [G][V] = 0 (B.22)

A indeterminação do sistema anterior é levantada com a introdução das condições de contorno inerentes ao problema. A resolução do sistema de equações, após a introdução destas condições, fornecerá os potenciais elétricos em todos os nós do domínio, a partir dos quais são determinadas as intensidades do campo elétrico em cada elemento e as demais grandezas de interesse, tais como: resistência ôhmica e potência dissipada. [39]

B.4. Magnetostática

Na Magnetostática, a segunda equação de Maxwell (Lei de Ampère) é a que governa o fenômeno físico:

=C

SdSJdlH .. (B.23)

A relação constitutiva a ser considerada é a que relaciona o vetor intensidade

magnética (H) e o vetor campo magnético (B): H=νB onde ν=1/µ é a relutividade do meio. A partir da terceira equação de Maxwell ∇ .B=0, define-se o vetor potencial magnético A, tal que: B= ∇ x A (B.24)

E impõe-se, ainda, que: ∇ .A=0.

Nos estudos dos campos bidimensionais planos na Magnetostática, admite-se que as correntes fluem na direção normal ao domínio de estudo. Assim sendo, supondo-se que este domínio está definido no plano (x,y), o vetor densidade de corrente deverá ser tal, que: J=Jux, com J constante no elemento. Como as direções de J e A são idênticas, resulta que: A=A(x,y) ux.

Desta forma, nos campos bidimensionais planos, a equação B.24 é escrita como segue: B = ∂A/∂y ux - ∂A/∂x uy (B.25)

Sejam A1, A2 e A3 os valores da componente z do vetor potencial magnético nos vértices 1, 2 e 3 do elemento triangular, calcula-se o potencial magnético no interior do elemento, por meio de uma interpolação linear de seus valores nos vértices, à semelhança do que já foi feito na eletrostática e na Eletrocinética, de modo, que pode-se escrever: A(x,y) = N1 A1 + N2 A2 + N3 A3 (B.26)

Desta forma, pode-se escrever:

59

( )

( )332211

332211

2

2

AbAbAbx

AH

AcAcAcy

AH

y

x

++∆

−=∂∂=

++∆

=∂∂=

νν

νν (B.27)

Aplicando-se, agora, a segunda equação de Maxwell (Lei de Ampère) a contornos

fechados, do tipo mostrado na Fig. B.3, os quais envolvem os nós do domínio, e orientando-se no sentido anti-horário, obtém-se

∆−∆==POS

yxe yHxHdlHE .1 (B.28)

Substituindo-se Hx e Hy por seus valores obtidos em B.27, obtém-se:

E1

e=(ν/4∆)[(b1 b1 + c1 c1)V1 +(b1 b2 + c1 c2)V2 + (b1 b3 + c1 c3)V3] (B.29)

Para a parcela da circuitação ao redor do nó (2) do e-ésimo elemento, pode-se escrever: E2

e = Hx ∆x + Hy ∆y (B.30) Com: ∆x= xp xg = c2/2 ∆y= yp yg = -b2/2

Substituindo-se H e H por seus valores, em B.30, obtém-se: E2

e=(ν/4∆)[(b2 b1 + c2 c1)V1 +(b2 b2 + c2 c2)V2 + (b2 b3 + c2 c3)V3] (B.31)

Para a parcela da circuitação ao redor do nó (3), obtém-se: E3

e=(ν/4∆)[(b3 b1 + c3 c1)V1 +(b3 b2 + c3 c2)V2 + (b3 b3 + c3 c3)V3] (B.32)

Representando esses resultados matricialmente, chega-se à matriz do elemento para a Magnetostática:

+++++++++

∆=

3

2

1

333332323131

323222222121

313121211111

3

2

1

4A

A

A

ccbbccbbccbb

ccbbccbbccbb

ccbbccbbccbb

E

E

E

e

e

e

ν (B.33)

Em cada elemento, tem-se contribuições para corrente concatenada de três

contornos diferentes. Admitindo-se densidade de corrente uniforme no interior deles, essas contribuições serão tais, que:

∆∆∆

=

3/

3/

3/

3

2

1

J

J

J

I

I

I

e

e

e

(B.34)

Assim, a segunda equação de Maxwell aplicada a um contorno fechado

60

envolvendo o nó (i), obtém-se:

NNiIENE

e

ei

NE

e

ei ,...,2,1

11

====

(B.35)

Que expressa matricialmente, obtém-se:

[S][A] = [I] (B.36)

Estes três exemplos mostram a força e a importância do Método dos Elementos Finitos aplicado em cálculo de campos bem gerais, utilizados em qualquer parte da Engenharia Elétrica. Outros desenvolvimentos com variações no tempo dos campos elétricos (E) e magnéticos (B) podem também ser feitos, usando-se o MEF, mas a formulação matemática é um pouco mais complicada. [39]

61

Apêndice C Pacotes Computacionais

C.1. Pacotes Computacionais

Este apêndice foi baseado na referência [72]. Bibliotecas e pacotes de Softwares têm sido criados para solucionar, diretamente, as equações diferenciais parciais. Contudo, em geral, quando se implementa os Métodos dos Elementos Finitos, restringe-se a um dado problema físico especifico. Isso é particularmente verdade para duas ou três dimensões. Apesar disso, com essa aparente limitação, simples aplicações podem ser de grande utilidade, no sentido de uma visão pedagógica.

Uma poderosa ferramenta computacional e de relativa simplicidade é a caixa de ferramentas (Toolbox) de Equações Diferenciais Parciais do Matlab, que é acionada pelo comando pdetool de dentro do Matlab. Essa caixa de ferramenta estende o ambiente do Matlab, para o estudo e a solução de PDE em duas dimensões e no tempo. O Toolbox fornece um conjunto de funções de comando de linha e uma interface gráfica com o usuário, desde o pré-processamento até o pós-processamente de PDE de 2-D, usando o Método de Elementos Finitos (MEF). A ferramenta também fornece potencialidades de gerar malhas automáticas e adaptáveis, além de resolver os sistemas de equações resultantes e sistemas de equações diferenciais ordinárias.

Estas aproximações fundamentais facilitam o uso de coeficientes não constante e de não linearidade específicas, o uso de subdomínios e de sistemas dimensionais de n variáveis dependentes. Também possibilitam o uso de uma sintaxe familiar de comandos de linha do Matlab. São exemplos de problemas que podem ser resolvidos:

- Problema Magnestostático e Eletrostático; - Problemas de Stress em Resistência de Materiais; - Problemas de Propagação de Ondas; - Problemas de Estruturas usadas em Engenharia Civil e Mecânica; - Problemas de Vibrações de Membranas; - Problemas de Transferência de Calor; - Processos Industriais e Químicos; - Estudos de Mecânica Quântica e Relativística; - Estudos de Movimentos de Corpos e etc.

As equações diferenciais parciais são usadas como modelos matemáticos, para

fenômenos em todas as áreas da Engenharia e ciência. Por exemplo, as equações elípticas e parabólicas podem ser usadas na transferência de calor constante e não constantes em sólidos, para fluxos em meios viscosos, e em problemas de difusão, para eletrostática em meios dielétricos e condutores, e para fluxo de potencial. O PDE hiperbólico é usado na propagação de ondas acústicas e eletromagnéticas e nos movimentos transversais das membranas. O sistema elíptico de PDE pode ser usado para resolver problemas de planos da tensão de stress e do plano em estruturas mecânicas (Momentos e Esforços).

Soluciona-se quatro tipos de PDE (onde a, c, d e λ são constantes ou números reais, u variável dependente, função de x, y e t variáveis independentes, t representa o

62

tempo, e x e y, o plano cartesiano, e ∇ o operador gradiente em geral yx ∂

∂+∂∂

, e f uma

função dada; a solução aplicada sempre no domínio Ω ) :

Elíptico: fauuc =+∇∇− ).(

Exemplo de uso: transferência constante de calor, fluxo e difusão, magnestotática e eletrostática em materiais condutivos.

Hiperbólico: fauuct

ud =+∇∇−

∂∂

).(2

2

Exemplo de uso: transientes e harmônicos em propagação de ondas acústicas e

movimento transversal de membranas.

Parabólicos: fauuct

ud =+∇∇−

∂∂

).(

Exemplo de uso: transiente de transferência de calor, fluxo e difusão em meios

porosos. Autovalores (ou valores próprios): duauuc ).( λ=+∇∇−

Exemplo de uso: estudo de freqüências acústicas, transversal e longitudinal; movimento de membranas; mecânicas quânticas e propagação de ondas eletromagnéticas.

As funcionalidades gráficas da interface do usuário e os comandos de linha da ferramenta foram projetadas para seguir, intuitivamente, o processo de resolução dos PDE. O processo da solução do PDE, usando o Método dos Elementos Finitos pode ser caracterizado por seis etapas genéricas. Estas etapas e modalidades correspondentes ao uso da ferramenta de PDE, são:

- Definição da geometria (modalidade de tração) - Especificação de condições de limite (modalidade da condição de limite) - Seleções dos coeficientes do PDE que definem o problema (modalidade de

PDE) - Discretização em elementos finitos (modalidade de malhas) - Especificação de condições e da solução iniciais do PDE (modalidade de

resolução) - E apresentação dos resultados e soluções (modalidade de lote).

Cada uma dessas modalidades está disponível por meio das linhas de comando e

da interface gráfica com o usuário. [72]

Figura C.1 - Resolução passo a passo no MatLab, empregando o Método dos Elementos Finitos em um exemplo que usa a equação de equilíbrio térmico de Laplace

=

∂∂+

∂∂

02

2

2

2

y

u

x

u para uma placa fina metálica retangular, onde um lado é mantida a 100oC

63

[u(-1,y)] e os outros três lados são mantidos a 0oC [u(1,y); u(x,-0,8); u(x,0,8) com condições de contorno]:

(a) Chamada da rotina PDETOOL no MatLab e desenho da placa retangular.

(b) Definição da condição de contorno do lado de 100oC. 1*u=100 (h=1 e r=100).

64

(c) Definição das condições de contorno dos três outros lados à 0oC. 1*u=0.(h=1 e r=0).

(d) Definição da equação diferencial a ser resolvida. Tipo Elíptico com c=1, a=0 e

f=0.

=

∂∂+

∂∂=∇∇ 0.

2

2

2

2

y

u

x

uu

.

65

(e) Definição da malha inicial de elementos finitos triangulares planos na placa metálica.

(f) Melhora da malha onde cada elemento triangular se torna quatro. Onde o ponto médio de cada lado do triângulo se torna vértice dos triângulos internos. (g) Exemplo de como o MatLab melhora a malha. Um triângulo vira quatro outros triângulos menores.

66

(h) Solução do PDE por elementos finitos. Onde cada tom de cor representa uma

temperatura na placa metálica. Note a escala do lado. (=)

(i) Solução do PDE por elementos finitos, visão em três dimensões. O princípio do método dos elementos finitos segue os passos:

- Definição do domínio; - Discretização em elementos finitos; - Cálculo dos Coeficientes do Sistema Algébrico; - Resolução das Equações; - Exploração dos Resultados.

67

Apêndice D Técnica ou Formulação Variacional

Uma originalidade do método dos elementos finitos reside no fato de ser baseado

numa formulação integral do fenômeno analisado, derivada da forma diferencial que representa a equação a derivadas parciais e respectivas condições de contorno. Esta formulação integral pode ser do tipo Variacional, deste que possível, enquanto, em outros problemas, ela será do tipo projetada em associação com uma base de funções.

A formulação projetada (Método dos Resíduos Ponderados) é de aplicação mais

ampla que a formulação Variacional. Desde que esta exista, pode ser equivalente à primeira, através de uma escolha adequada de funções base. Entretanto, é sempre interessante tentar explorar o princípio dos trabalhos virtuais, porque este permite uma interpretação física que poderá servir de suporte à determinação de algumas grandezas globais com um mínimo de cálculos suplementares e, sobretudo, conseguir uma grande precisão originária da coerência entre a física destas grandezas e o aspecto Variacional (freqüentemente energético) do método. Algumas vezes, o método Variacional também é chamado de método das energias.

O cálculo Variacional é a parte da matemática onde melhor se estuda os extremos

das funções, buscando os seus máximos e mínimos. Trabalha com o funcionais, que são funções de funções, ou seja, f é função de y, que por sua vez é função de x. Um dos problemas básicos é achar o máximo ou o mínimo de I, onde:

=b

a

dxxyxyxfI ))´(),(,(

É importante relembrar o lema fundamental do cálculo Variacional:

Lema: Se ∀=2

1

)( .0)()(t

t

tdtttf ξξ contínua e tal que 0)()( e 0)( 21 ==> ttt ξξξ ,

então ),( ,0)( 21 ttttf ∈∀= . Ou seja, se a integral é zero, devemos ter f(t)=0. Isso nos traz a Eq. (3.16), onde se

deseja o resíduo R próximo de zero, solucionado a equação diferencial e realizando a aproximação através da integral que se iguala a zero:

midDRWD

i ..., 2, 1, 0 ==

onde )( e )( tWtfR i ξ== .

O lema fundamental do cálculo Variacional também é verdade se dispensar as

condições 0)()( e 0)( 21 ==> ttt ξξξ , cuja a demonstração pode ser encontrada em Sagan [18].

68

Outra razão para a formulação Variacional é a equivalência entre calcular o extremo de uma integral e resolver uma equação diferencial parcial de segunda ordem, como mostra o teorema abaixo:

Teorema: Seja u(x, y, t), uma função de três variáveis contínuas com derivadas

primeiras também contínuas. A função v(t) derivável e de derivada v´(t), definida num intervalo (t1, t2) tal que v(t1)=v1, v(t2)=v2 e torna extrema a integral:

′=2

1

),,(t

t

dttvvuI

Verifica a equação de Euler associada a esta funcional:

==

=

′∂∂−

∂∂

2211 )( , )(

0

vtvvtvv

u

dt

d

v

u

Demonstração: Pesquisa-se, entre todas as funções que passam pelos pontos M1(t1, v1) e M2(t2, v2),

aquela que torna a integral I extremante. Seja v0 a função solução e, a partir de uma função contínua ξ(t), onde ξ(t1)=ξ(t2)=0 e ξ(t)>0, defini-se uma função v(t)=v0(t)+λξ(t).

A integral I torna-se uma função de λ :

( )dtttvtvuIt

t ′=2

1

),,(),,()( λλλ

Esta função será extrema para λ=0 se sua derivada dI(0)/dλ = 0

Ora: dtv

v

uv

v

udt

d

du

d

dIt

t

t

t

∂′∂

′∂∂+

∂∂

∂∂==

2

1

1

1λλλλ

Se ∂v/∂λ se exprime facilmente, o mesmo não se pode dizer de ∂v´/∂λ, e convém

transformá-la por uma integração por partes. O segundo termo de dI/dλ resulta então em:

λλ

λλ

∂∂==

∂∂∂

′∂∂=

′∂∂=

∂∂

′∂∂−

∂∂

′∂∂=

∂′∂∂

′∂∂

ydydtt

v

dtv

u

dt

ddx

v

ux

dtu

v

u

dt

dv

v

udttv

v

v

ut

t

t

t

t

t

2

2 2

1

2

1

2

1

Considerando que ( ) )(0 tvv ξλξ

λλ=+

∂∂=

∂∂

,

69

resulta

′∂∂−

∂∂+

′∂∂=

2

1

2

1

)()(t

t

t

t

dttv

u

dt

d

v

ut

v

u

d

dI ξξλ

,

As propriedades de ξ(t) ( ξ(t1)=ξ(t2)=0 ) resulta que λ=0, v=v0 e verifica:

==

=

′∂∂−

∂∂

2211 )( , )(

0

vtvvtvv

u

dt

d

v

u

Mesmo não parecendo, esta é uma equação diferencial de segunda ordem, pois u é

uma função semi-implícita de t. Através de v e v´ obtém-se:

tv

uv

vv

uv

v

u

tv

u

dt

vd

v

u

dt

dv

vv

u

v

u

dt

d

∂′∂∂+′

′∂∂∂+′′

′∂∂=

∂′∂∂+

′′∂

∂+∂′∂

∂=

′∂∂ 22

2

22

2

22

Resultando, após um reagrupamento, tem:

==

=∂∂−

∂′∂∂+

′∂∂∂+′′

′∂∂

2211

22

2

2

)( , )(

0

vtvvtvv

u

tv

u

vv

uv

v

u

Estes teoremas mostram que, sob certas condições, há uma equivalência entre a

resolução de um problema diferencial de Segunda ordem e a pesquisa de uma função, que torna extrema uma funcional associada àquela equação diferencial. A equação diferencial em questão é denominada equação de Euler associada à funcional, cujo extremo se está pesquisando.

Pode-se, portanto, indiferentemente, resolver a equação diferencial com suas

condições de contorno ou minimizar a integral a ela associada. Até recentemente, o conjunto de ferramentas matemáticas que se dispunha eram orientados de modo a resolver diretamente os problemas diferenciais ao invés de fazê-lo através da minimização de funcionais, devido ao fato de que as maiorias dos tratados de física descrevem os fenômenos sob a forma diferencial, mesmo que na maior parte dos casos a análise, seguindo os princípios energéticos e termodinâmicos, fornecessem uma formulação integral ou mesmo variacional, em particular nos casos da mecânica ou do eletromagnetismo.

Em geral, as formulações variacionais são montadas a partir do principio da ação

Hamiltoniana, da qual dar-se-á uma breve descrição. Considerando um sistema físico cuja evolução em função das variáveis

independentes x1, x2,..., xn seja descrita pela variação de um certo número de funções,

chamadas variáveis de estado q1, q2,..., qn , e suas derivadas qk

iik x

qq

∂∂

=′ . O princípio da

ação Hamiltoniana postula a existência de uma funcional do tipo integral:

′= dwqqxLI ijjia ),,(

70

Cujo extremo definido por uma condição de equilíbrio (estacionária) caracteriza a

evolução do sistema. O domínio é definido a partir das variáveis independentes xk e do integrando L(xi, qj, q´ij), também conhecidos pelo nome de função de Lagrange do sistema, sendo a mesmo uma função escalar das variáveis de estado qi, de suas derivadas e das variáveis independentes xk.

Esta função de Lagrange, característica da evolução do sistema, tem uma

significação física direta e é em geral construída a partir da diferença de dois termos energéticos, um termo Wc de coenergia do tipo cinético, que varia de maneira quadrática em função das derivadas parciais q´ij e um termo Wp de energia potencial que é uma função complicada das variáveis de estado qi:

L(xi, qj, q´ij) = Wc(q´ji, q´kl) Wp(qk). A condição necessária de equilíbrio (estacionaridade) da integral Ia, definida pelas

equações de Euler da integral de L, é a representação diferencial do fenômeno físico caracterizado pela funcional Ia.

Com exemplo para o campo eletrostático Admitindo, então, um espaço de duas dimensões, as variáveis independentes são

as coordenadas x, y, a variável de estado é o potencial elétrico V, e suas derivadas parciais os campos Ex= -∂V/∂x e Ey= -∂V/∂y.

As considerações energéticas elementares introduzem as noções de energia

potencial Wp = - ρ(x, y) V e de coenergia cinética num meio caracterizado por uma

permissividade ε ,

∂∂+

∂∂=

22

2 y

V

x

VWc

ε.

A função de Lagrange é escrita como segue:

( ) VVVL

Vyxy

V

x

VL

yx ρε

ρε

−′+′=

−

∂∂+

∂∂=

22

22

2

1

),(2

1

A equação de Euler da integral sobre o domínio de estudo = LdwIa fornece:

0=

′∂∂

∂∂−

′∂∂

∂∂−

∂∂

yx V

L

yV

L

xV

L

resultando ( ) ( ) 0=−′∂∂+′

∂∂ ρεε yx V

yV

x

71

ou ),( yxy

V

yx

V

xρεε =

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

D.5.1 Método da Projeção O princípio fundamental deste método é baseado em um teorema próprio dos

espaços de Hilbert, estabelece que neste espaço, apenas o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores do espaço. Na prática, a ortogonalidade de dois vetores, ou ainda de duas funções, é descrita pela nulidade de seus produtos escalares. Seja em R2, espaço onde se situa o maior número de problemas físicos, a ortogonalidade de duas funções f e g é dada por:

Ω

= 0 . dvgf

Logo, na resolução de um problema, onde as derivadas parciais podem ser

traduzidas pela pesquisa de uma função v tal como os operadores L sobre o domínio e B sobre a fronteira que verifica: L(v) f = 0 e B(v) g =0.

O método denominado Método dos Resíduos Ponderados consiste na pesquisa de

funções v que satisfaçam a condição de contorno, ponderadas por funções u tais que, para toda função u que satisfaça condições de continuidade determinadas, possa-se escrever:

Ω

=− 0))(.( dwfvLu (D.33)

Se o conjunto de funções u é de dimensão infinita, então é possível obter uma

equivalência entre o problema, as derivadas parciais e sua formulação integral. Entretanto, nas aplicações práticas, as funções u formam um espaço de dimensão finita e a fórmula (D.33) constitui uma única aproximação caracterizada pela função dada e por este conjunto de funções.

A vantagem do Método dos Resíduos Ponderados, em relação à formulação

variacional, é poder se aplicar a qualquer equação, independentemente da existência e do conhecimento de uma formulação variacional do problema; por outro lado, de início existe um erro de método caracterizado pela escolha das funções u; no entanto, este último ponto é de importância secundária, pois este erro e o de aproximação se conjugam para resultar, sob certas condições, os mesmos resultados nas duas formulações.

Tem-se como exemplo o problema térmico:

sITT

Qy

Tk

yx

Tk

x

0

0

=

=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

A formulação em termos do Método dos Resíduos Ponderados consiste em escolher

72

funções T que verificam as condições de contorno, onde u∀ é:

0=Ω

+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

Ω dQy

Tk

yx

Tk

xu

Uma integração por partes permite transformar esta integral:

0=∂∂+Ω

+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂− dS

n

TkuduQ

y

u

y

T

x

u

x

Tk

S

Se impusermos u=0 sobre o contorno, o segundo termo desaparece e resulta a:

0=Ω

−

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

dQuy

u

y

T

x

u

x

Tk

A seqüência de funções de projeção ui tomada e as funções de aproximação αi

escolhida para T caracterizarão então o método. D.5.2 Outras Formulações Junto com outras formulações possíveis, pode-se utilizar formulações variacionais

mistas utilizando os multiplicadores de Lagrange ou métodos do tipo penalidade. Entre os métodos de projeção, o dos mínimos quadrados onde, minimizando a norma quadrática do erro sobre a equação e as condições de contorno, permite definir coeficientes da combinação linear das funções de base que realiza a aproximação da função procurada.

D.5.3 Funções de Aproximação Uma vez definida a formulação integral, o resultado obtido pela minimização do

funcional é a solução do problema diferencial inicial. Entretanto, para a maior parte dos problemas, a obtenção de uma solução exata é tão difícil na formulação integral como na diferencial; esta dificuldade incita a pesquisar uma solução aproximada sob a forma de uma combinação linear de funções independentes conhecidas e cuja manipulação matemática não apresente dificuldades. Estas funções podem ser trigonométricas, como no caso das séries de Fourier, ou polinomiais por trechos, como no Método dos Elementos Finitos. Pode-se, então, escrever a função pesquisada u aproximada pela combinação linear:

NNNN NANANAu +++= ...2211*

Onde os coeficientes A1, A2,..., ANN serão determinados pelo método, de forma a

realizar a melhor aproximação possível de u sobre a base de funções N1, N2,..., NNN. No Método dos Elementos Finitos, o domínio de estudo é discretizado em sub-

domínios chamados Elementos Finitos, sobre as quais cada um deles, a função procurada é aproximada por um polinômio. A discretização realizada é uma partição do

73

domínio, sem buracos nem recobrimentos. Os polinômios próprios de cada elemento devem respeitar, na fronteira, as condições de continuidade compatíveis com aquelas impostas pela natureza do problema. Este vínculo permite determinar o conjunto de funções Ni a partir das funções Ni

(e) definidas sobre cada elemento. Um exemplo em R2 é uma divisão em dois sub-domínios triangulares de primeira

ordem sobre os quais a função procurada é aproximada por um polinômio de primeira ordem: P=a+bx+cy. Em cada elemento existem três coeficientes a determinar e, portanto, três monômios, perfazendo um total de seis coeficientes não conhecidos; mas as condições de continuidade sobre a aresta, que une os vértices 2 e 3 aos seis coeficientes, restringem a 4 o número real de coeficientes não conhecidos. Há, então, uma função de aproximação que afeta cada vértice, como mostrado na figura D.10.

3 1 4 2 Figura D.10 Domínio a dois elementos triangulares. A escolha de cada elemento das funções de aproximação definirá o seu tipo e

caracterizará, pela seqüência, a natureza das funções de aproximação. Há uma ligação matemática rigorosa entre a escolha da natureza das funções de aproximação (lineares, quadráticas, cúbicas) e a forma dos elementos, sempre definidas por trechos sobre a discretização.

D.5.4 Minimização através das Funções de Aproximação O princípio geral comum a duas formulações integrais, definidas anteriormente,

consistirá em determinar os coeficientes u1, u2,..., uNN da aproximação u* , pela realização de um certo número de condições a impor a estas funcionais.

Formulação Variacional Seja u a função procurada que verifica uma equação a derivadas parciais: L(u)=f e

condições de contorno que, por enquanto, não consideraremos, mas poderão ser levadas em conta pelo funcional:

Ω′′= Ω dyxuuuLF yx ),,,,( (D.34)

Se a função u é substituída por sua aproximação u* sobre todo domínio Ω, obtém-se:

===

′=′′=′=NN

iiyiyix

NN

iix

NN

iii NuuNuuNuu

1

*

1

*

1

* ; ; ,

onde os ui são os coeficientes numéricos, como foi visto anteriormente são de fato

valores de u* em cada um dos nós da discretização. Logo o funcional vem a ser uma

74

função exclusiva dos coeficientes u1, u2,..., uNN. A condição necessária para a obtenção do extremo da Eq. (D.34) é, na maior parte dos casos, uma de minimização, tal que:

0 ..., , 0 , 021

=∂∂=

∂∂=

∂∂

NNu

F

u

F

u

F,

sendo um sistema de NN equações algébricas a NN incógnitas u1, u2,..., uNN. A

resolução deste sistema fornece, então, a função de aproximação u* sobre todo o domínio.

D.5.5 Método dos Resíduos Ponderados Na aplicação deste método é preciso escolher um conjunto de funções de projeção

(ou funções de ponderação) Φ1, Φ2,..., ΦNN antes de escrever as equações de projeção L(u*) sobre cada uma destas funções.

01

1 =Ω

−

Φ

=dfNuL

NN

jjj

01

2 =Ω

−

Φ

=dfNuL

NN

jjj (D.35)

...

01

=Ω

−

Φ

=dfNuL

NN

jjjNN

Obtém-se, de novo, um sistema de NN equações algébricas a resolver para se

encontrar as NN incógnitas u1, u2,..., uNN. Observações importantes Nos dois casos, a aplicação do método dos elementos finitos conduz à substituição

de uma equação ou sistema de equações a derivadas parciais por um sistema de equações algébricos contento coeficientes da função de aproximação, que são, na realidade, os valores das funções de aproximação nos nós do domínio discretizado. Como no Método dos Resíduos ponderados as funções de ponderação são idênticas às funções de aproximação, o sistema de equações obtido é idêntico àquele obtido pela formulação variacional.

Se o operador L é linear, então a funcional é quadrática, implicando na linearidade

do sistema de equações algébricas obtido. Da mesma forma, no Método dos Resíduos Ponderados, a linearidade de L implica na linearidade das equações (D.35), pois, em cada uma delas, os coeficientes ui podem ser colocadas em evidência na integral.

( )( ) =

Ω=

ΩΦ−ΩΦ=Ω

−Φ

NN

iiijj

NN

jjji fddNLudfNuL

11

75

Apêndice E Revisão Conceitual de Equações Diferenciais

Parciais O conjunto de equações a derivadas parciais que regem os fenômenos físicos é bem

vasto, e compreende um número de casos particulares que seria ilusório querer descrever de maneira exaustiva, sem ir de encontro a uma redação enciclopédia. Pode-se, no entanto, classificar a maioria das equações em três grandes classes, cada uma ilustrada por um tipo de fenômeno bem particular. Seja a u(x, y) e equação diferencial de segunda ordem abaixo:

02

22

2

2

=++∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

GFuy

uE

x

uD

y

uC

yx

uB

x

uA

- Se B2 4 AC > 0, têm-se as Equações Hiperbólicas, como, por

exemplo, as equações de ondas: . ),( 2

2

2

2

x

u

t

utemostxuPara

∂∂=

∂∂

- Se B2 4 AC < 0, têm-se as Equações Elípticas, como nas equações

de Laplace ou de Equilíbrio: .0 ),( 2

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

u

x

utemosyxuPara

- Se B2 4 AC = 0, têm-se as Equações Parabólicas, exemplificado

pelas equações de condução de calor: . ),( 2

2

x

u

t

utemostxuPara

∂∂=

∂∂

As equações do tipo elípticas são representativas dos problemas de potencial que

aparecem nos estudos em regime permanente na eletricidade (eletrostática ou magnetostática), mecânica (deformação de um sólido, escoamento Laplaciano de um fluido) e térmica (distribuição de temperaturas). As condições de contorno normalmente associadas são do tipo:

Dirichlet, ))()(( 00 sfusu ==

Neuman

=∂∂

)()( 0 sfsn

u

ou mista

=∂∂+ )()()( 0 sfsn

usu

As equações parabólicas são representativas dos problemas de difusão, cuja

equação de difusão da temperatura em um corpo incompreensível é o caso típico. Esta equação é igual a de penetração das correntes induzidas em um corpo condutor de eletricidade. As condições de contorno associadas à equação parabólica são de dois tipos:

a) Condições de Dirichlet, Neuman ou mista sobre a fronteira espacial do domínio.

b) Uma condição inicial (t=0) em todo o domínio.

76

As equações hiperbólicas caracterizam o fenômeno da propagação das ondas,

sejam elas vibratórias do tipo mecânicas ou eletromagnéticas. As condições de contorno relacionadas à equação de propagação são associadas às condições de Cauchy ao instante inicial (dada sua função u e sua derivada ∂u/∂t em relação ao tempo).

Desde que o domínio de estudo seja formado de vários sub-domínios, sobre os

quais os coeficientes da equação diferem por causa das propriedades físicas, diferentes materiais que compõem estes sub-domínios, há na fronteira de separações derivadas de ordens elevadas e formação de condições de transmissão que exprimem as condições atribuídas às diversas funções e suas derivadas. Como exemplo, na eletrostática é bem conhecido que na passagem de um meio isolante a outro, há refração das linhas de campo elétrico. Chamando de V o potencial elétrico definido no interior de um domínio D formado de um sub-domínio D1 , no qual o material dielétrico tenha permissividade dielétrica ε1 , e um sub-domínio D2 , caracterizado por um meio de permissividade ε2 , a equação do potencial varia de um meio a outro.

Meio 1 : 011 =

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

y

V

yx

V

xεε

Meio 2 : 022 =

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

y

V

yx

V

xεε

Na interface, estas equações não são válidas e substituem-se por duas outras: da

continuidade do potencial e da indução elétrica, que leva em conta a descontinuidade do campo elétrico:

Interface: V1 = V2 e n

V

n

V

∂∂=

∂∂ 2

21

1 εε (n normal a interface)

Os problemas elípticos são características da análise de fenômenos de regime

permanente, fenômenos do tipo estático (sem variação temporal) ou variável no tempo segundo função conhecida (senoidal, por exemplo). Os problemas parabólicos e hiperbólicos são ligados aos estudos de regime transitório (chamados algumas vezes de dinâmicos) e sua resolução permite analisar a evolução de um fenômeno físico no decorrer do tempo (regime transitório elétrico ou térmico, resposta mecânica a uma perturbação).

Noção de um problema Bem Definido As equações a derivadas parciais e as condições de contorno associadas

constituem o chamado problema a derivadas parciais. Entretanto, a associação de uma equação e das condições de contorno não conduzem forçosamente a um problema matemático simulando um fenômeno ou um processo físico.

Com finalidade de caracterizar mais precisamente este tipo de problema, Hadamard

introduziu a noção de problema bem definido. Um problema é bem definido desde que satisfaça as três condições seguintes:

- O problema possui uma solução;

77

- A solução é única; - A solução varia de maneira contínua em função dos dados.

Se as duas primeiras condições parecem triviais (apesar de ser muito fácil definir um

problema sem solução), a terceira condição, de mais difícil entendimento, impede a formulação de um problema cuja definição parece a priori suficiente, mas que, por vezes, pode conduzir, salvo exceções, a uma ausência de solução, caracterizada por um fenômeno de instabilidade.

O exemplo mais significativo é o seguinte problema:

==∂∂

==

>=∂∂+

∂∂

0)sen(

)

0 0)

00)

2

2

2

2

2

yn

nx

y

Vc

yVb

yy

V

x

Va

A condição (c) converge uniformemente para zero, desde que n tenda ao infinito,

podendo, neste caso, definir-se o problema pela equação (a) e pelas condições V=0, ∂V/∂y=0 para y=0, cuja solução é uma constante.

Ora, a solução do problema como definido é:

)()(1

),(3

nxsinnysinhn

yxV =

Que tende ao infinito com n, qualquer que sejam os valores de x e y não nulos. Definimos aqui um problema instável (este problema torna-se bem definido se a

condição V=0 for suprimida e levada ao infinito). Geralmente as equações elípticas são associadas a condições de contorno de

Dirichlet, Neuman ou mista, e as equações parabólicas e hiperbólicas são associadas a condições de Cauchy (definição do valor inicial de sua derivada em relação à variação no tempo).

A tabela E.2 que se segue, extraída da obra de Morse e Freschbach [16], define, de

modo bem preciso as associações de equação e condições de contorno que, seguindo a natureza aberta (isto é: se estende ao infinito) ou fechada na fronteira, conduzem a problemas bem definidos.

78

Condição de Contorno

Natureza da Fronteira

Equação Parabólica

Equação Elíptica

Equação Hiperbólica

Aberta Única (t>0) Insuficiente Insuficiente Dirichlet ou Neuman Fechada Excessiva Única Estável Não Única

Aberta Excessiva Instável Única Estável Cauchy ou mista Fechada Excessiva Excessiva Excessiva

Tabela E.2 Classificação dos PDE segundo sua solução. Figura E.18 Exemplo de uma malha em três dimensões de elementos finitos.

(Elementos Tetraédricos). Figura E.19 Exemplo de malhas: (a) Discretização em duas dimensões - 2D

(elementos triangulares) e (b) Discretização em três dimensões - 3D (elementos tetraédricos).

79

Apêndice F Visão Histórica

Esta parte é baseada na contribuição original de [34]. O desenvolvimento moderno do método de elementos finitos começa na década de quarenta no campo da engenharia estrutural com o trabalho de HRENNIKOFF [1] (1941) e MCHENRY [2] (1943), usando um modelo de elementos em linhas, de uma dimensão tipo barras e feixes, para a solução de problemas de esforços em sólidos contínuos. Em artigos publicados em 1943, mas não largamente reconhecidos por muitos anos, COURANT [3] propôs usar a solução para os esforços, de uma forma variacional. Ele. então, introduz funções de interpolação sobre pedaços de sub-regiões triangulares, e une todas estas em um método, para obter uma solução numérica aproximada. LEVY [4] (1947), desenvolve o método de flexibilidade ou forças, e, em outro trabalho [5] (1943), sugere um método de rigidez ou deslocamentos, prometendo ser uma alternativa na análise de estruturas redundantes estáticas de aviões. Contudo, suas equações apresentavam dificuldade de solução manual, e seu método só se tornaria popular com o advento dos computadores digitais de alta velocidade.

ARGYRIS e KELSEY [6], [7] (1954) desenvolvem um método matricial de análise estrutural, usando o princípio das energias. Este ilustraria a importância das regras, que o princípio das energias poderia ter no Método dos Elementos Finitos.

O primeiro tratamento de elementos em duas dimensões foi dado por TURNER, CLOUGH, MARTIN e TOPP [8], em 1956. Eles derivaram matrizes de rigidez de elementos de pontos, feixes e elementos triangulares e retangulares de duas dimensões em planos de esforços, e esboçaram procedimentos comuns conhecidos, como o método da rigidez direta para obter a matriz total da estrutura rígida. Logo, com desenvolvimento de computadores digitais de alta velocidade, no começo da década de cinqüenta, o trabalho de TURNER, CLOUGH, MARTIN e TOPP [8] apontou para o desenvolvimento das equações de rigidez de elementos finitos expressas na notação matricial. O termo Elementos Finitos foi introduzida por CLOUGH [9] (1960), quando ambos, elementos triangulares e retangulares, foram usados na análise do plano de esforços. SILVERTER [58], nesta mesma época, cria avanços no modelamento matemático, trabalhando em esquemas de discretização e ajuste de curvas.

A matriz de rigidez para elementos curvos de planos retangulares foi desenvolvida por MELOSH [10], em 1961, seguida pelo desenvolvimento de conchas (três dimensões) curvas em elementos curvos de matriz de rigidez, para conchas assimétricas e pressões em embarcações, por GRAFTON e STROME [11] (1963).

Extensões do Método dos Elementos Finitos, para os problemas de três dimensões, com o desenvolvimento da matriz de rigidez tetrahédrica, foram realizadas por MARTIN [12] (1961), por GALLAGHER, PADLOG e BIJLAARD [13] (1962) e por MELOSH [14] (1963). Elementos tridimensionais adicionais foram estudados por ARGYRIS [15] (1964). Os casos especiais de sólidos assimétricos foram considerados por CLOUGH, RASHID [16] e WILSON [17], em 1965.

A maioria dos trabalhos de elementos finitos, no começo dos anos 60, lidava com pequenos esforços e deslocamentos, elasticidade de materiais e cargas estáticas. Contudo, grandes deflexões e análises térmicas foram consideradas por TURNER, DILL, MARTIN e MELOSH [18] (1960), e a não linearidade dos materiais, por GALLAGHER,

80

PADLOG, e BIJLAARD [13] (1962), quando problemas de curvaturas foram inicialmente tratados por GALLAGHER e PADLOG [19] (1963). ZIENKIEWICZ, WATSON e KING [20] (1968) estenderam o método para problemas de visco-elasticidade.

Em 1965, ARCHER [21] considera a análise dinâmica no desenvolvimento da matriz de massas de consistência (distribuições das cargas), aplicada para análise de sistemas de massa distribuída, tal como barras e feixes na análise estrutural.

MELOSH [14] considera, em 1963, que o método de elementos finitos poderia ser colocado em termos da formulação variacional, e então, este começou a ser usado para a resolução de aplicações não estruturais. Problemas de cálculo de campo, tal como a determinação de torção de hastes, escoamento de fluidos e condição do calor foram resolvidos por ZIENKIEWICZ e CHEUNG [22] (1965), MARTIN [23] (1968), e WILSON e NICKEL [24] (1966).

O trabalho que marcou a aplicação do MEF na Engenharia de eletricidade é

creditado a SILVERTER & CHARI [74], em 1969, que promoveram seu desenvolvimento. A partir de então, uma série de pesquisadores dedicou esforços, no sentido de aplicá-lo na resolução dos maiores problemas da Engenharia de eletricidade, que é o cálculo de campos eletromagnéticos presentes nos dispositivos e sistemas elétricos.

As extensões dos métodos foram possíveis, pela adaptação da técnica dos resíduos ponderados, primeiramente, por SZABO & LEE [25] (1969), que derivaram as equações de elasticidade usadas em análise estrutural, e posteriormente, por ZIENKIEWICZ & PAREKH [26] (1970), que a utilizaram nos problemas de campos transitórios. Entende-se, então, que a formulação direta e a variacional era difícil ou impossível de se usar, e logo, o método dos resíduos ponderados tornava-se mais apropriado. Por exemplo, em 1977, LYNESS, OWEN & ZIENKIEWICZ [27] aplicaram os resíduo ponderados para determinação de campos magnéticos.

BELYTSCHKO [28], [29] (1976) estudou problemas associados a grandes deslocamentos em dinâmica não linear, e melhorou as técnicas numéricas para a resolução de sistemas de equações. Aplicações em novos campos como a bioengenharia foram tratadas pelo Métodos dos Elementos Finitos, embora outros, como materiais não lineares, geometria não lineares e outras complexidades, permaneceram ainda sem solução.

Resumidamente, o Método dos Elementos Finitos é conhecido, no que se refere aos seus princípios, a, aproximadamente, meio século, e só veio a ser utilizado, com o aparecimento dos modernos meios informáticos. De fato, apesar das formulações integrais serem conhecidas a longo tempo, graças aos trabalhos de GALERKINE, RITZ, COURANT e HILBERT, suas aplicações não puderam se generalizar, de imediato, pela dificuldade em se resolver, facilmente, os sistemas algébricos lineares e não lineares de grandes dimensões. De fato, o trabalho necessário para se resolver um sistema linear, com algumas dezenas de equações e com o correspondente número de incógnitas, levou a maioria dos engenheiros a restringir este tipo de cálculo a um pequeno número de especialistas, como CHOLESK, SEITEL, JACOBI e GAUSS, que desenvolveram métodos astuciosos, recentemente, ainda utilizados.

Os engenheiros civis e mecânicos, enfrentando problemas complexos de cálculo estrutural, foram os primeiros a se aproveitarem do desenvolvimento da informática e das

81

linguagens de programação de alto nível, para expressar, em termos de equações algébricas, os modelos de desempenho das estruturas mecânicas. Nos anos sessenta, o Método dos Elementos Finitos ganha rigor matemático e implementação computacional, passando a ser adotado por profissionais de diversas áreas, na resolução de equações diferenciais parciais.

A partir de 1970, sob o impulso de numerosos pesquisadores da Engenharia e Matemática (ZIENKIEWICZ, GALLAGHER, ODEN, LIONS, RAVIART, SILVESTER, CHARI, TOUZOT e outros), este método tornou-se realmente popular entre os engenheiros de todas as especialidades, e sua utilização implicou no aparecimento de vários softwares comerciais, utilizados na mecânica (NASTRAN, ASKA), em problemas de temperatura (TITUS) e eletromagnetismo (FLUX, MAGNET11, PE2D, MATLAB), para citar apenas as aplicações mais desenvolvidas.

No Brasil, o Método dos Elementos Finitos chega, na década de 70, por meio de inúmeras dissertações de mestrado e teses de doutorado na Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Universidade Estadual de São Paulo (USP), Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), originando a criação de disciplinas de pós-graduação sobre o tema. Em âmbito nacional, o primeiro trabalho sobre a aplicação deste método na engenharia de eletricidade foi desenvolvido na Escola Politécnica da USP, por JANISZEWSKI [75], em 1978, época em que surgem alguns grupos de pesquisa em universidades brasileiras, destacando-se o GRUCAD da UFSC, o grupo de pesquisa da UFMG e a equipe de Simulação de Fenômenos Eletromagnéticos da Escola Politécnica da USP.

Em seqüência, na década de noventa, surgem cursos de pós-graduação ministrado por empresas comerciais, para suprir a grande necessidade de atualização no mercado de trabalho da Engenharia. E finalmente, após longos anos sendo ministrado apenas em cursos de pós-graduação, em 1995, a USP cria a disciplina optativa de Método dos Elementos Finitos, para o curso de graduação em Engenharia Civil, tornando-se pioneira no ensino de graduação, e assumida por diversos outros cursos de graduação em todo o país.

As universidades brasileiras, a exemplo do que ocorreu nas universidades dos países desenvolvidos, foram as responsáveis pelo lançamento, no mercado nacional, dos primeiros produtos, visando atender as necessidades da comunidade acadêmica, no sentido de suprir as pesquisas neste setor, bem como assessorar o setor industrial em suas necessidades de estudos e projetos.

Ferramentas computacionais são criadas, no Brasil, pelo produto das pesquisas técnico-científicas dos cursos de mestrado e doutorado realizadas nas universidades que implementam o Método dos Elementos Finitos. Muitas dessas pesquisas são convertidas em softwares comerciais e integradas a programas de desenho de CAD, gerando um novo tipo de ferramenta: a CAE Computer Aided Enginneering. Esta, por sua vez, parece representar o futuro do projeto e concepção da Engenharia moderna.

Outros métodos numéricos, derivados dos elementos finitos, surgem em diversas partes do mundo, destacando-se o método de volumes finitos e o método dos elementos de fronteira ou contorno. Em geral, eles são aplicados a problemas específicos de Engenharia e ciências físicas. Além disso, diversas variações na implementação e formulação dos elementos finitos são comuns, principalmente, aquelas voltadas para otimizações de ajustes e características particulares de uma dada aplicação.

82

Apêndice G

Conceitos Fundamentais do Método dos Elementos Finitos

G.1. Introdução Esse capítulo pretende ser uma revisão conceitual do Método dos Elementos

Finitos, abordando os principais aspectos matemáticos do método. Todo o desenvolvimento se dará em uma dimensão estudando problemas de valor de contorno e facilitando a exposição dos principais conceitos e desenvolvimentos matemáticos empregados no MEF. Apresenta aspectos importantes do método como a diferenciação entre a formulação forte e fraca da resolução de equações diferenciais e o MEF do ponto de vista global e do ponto de vista do elemento. Segue o desenvolvimento da referência bibliográfica [76] de Thomas J. R. Hughes com algumas mudanças no intuito de sintetizar a revisão.

G.2. Princípios do Método dos Elementos Finitos Os principais constituintes do Método dos Elementos Finitos para a solução de um

problema de valor de contorno são: i. A formulação variacional ou fraca do problema; e ii. A solução aproximada das equações variacionais através do uso de funções

de elementos finitos. Para clarear esses conceitos inicia-se com um simples exemplo. Suponha que esteja-se interessado em resolver a seguinte equação diferencial

para u:

(G.1)

onde uma vírgula representa a diferenciação (ou seja, 22, dxudu xx = ). Assume-se

que f seja uma função de valores escalares contínua e suave definida num intervalo unitário. Pode-se escrever

Rf →]1,0[: (G.2)

onde [0, 1] representa o intervalo unitário (isso é, o conjunto de pontos de x tal que

0 ≤ x ≤ 1) e R representa os números reais. Em outras palavras, (G.2) diz que para um dado x em [0, 1], f(x) é um número real. (Freqüentemente, usa-se a notação ∈ que significa pertence a. Assim, para cada x ∈ [0, 1], f(x) ∈ R.). Também, [0, 1] é dito ser o domínio de f, e R é sua faixa.

Tem-se descrito a função f como sendo suave. Ou seja, se esboçar o gráfico da

0, =+ fu xx

83

função f, deseja-se que ela seja uma curva suave sem descontinuidades e torções. Faz-se isso para evitar dificuldades técnicas e complexidades matemáticas no desenvolvimento do MEF.

A equação (G.1) é conhecida por governar os deslocamentos transversais de uma

corda sob tensão e também o deslocamento longitudinal de uma haste elástica. Nestes casos, parâmetros físicos, tais como a magnitude da tensão na corda ou o módulo de elasticidade no caso da haste, aparecem em (G.1). Estes parâmetros foram omitidos para simplificar o desenvolvimento subseqüente.

Antes de prosseguir, vai-se introduzir algumas notações e terminologias adicionais.

O intervalo ]0, 1[ denotará o intervalo unitário sem pontos finais (isso é, o conjunto de pontos de x tal que 0<x<1). Os intervalos ]0,1[ e [0, 1] são referenciados como intervalos unitários aberto e fechado respectivamente. Para simplificar adotam-se as definições:

Ω = ]0, 1[ (aberto) (G.3) Ω = [0,1 ] (fechado) (G.4)

Ω = ]0, 1[ Ω = [0, 1] ] [ [ ] 0 1 0 1

Figura G.1 Mostra os intervalos abertos e fechados.

G.3. Formulação Forte ou Clássica Um problema de valor de contorno dado pela equação (G.1) envolve imposições de

condições de contorno na função u. Há uma variedade de possibilidades. Assume-se que u é requerido a satisfazer :

u(1)=g (G.5) -u,x(0)=h (G.6)

onde g e h são constantes dadas. As equações (G.5) e (G.6) requerem que u tenha

o valor de g em x=1 e a derivada de u (isso é, sua inclinação) tenha o valor de h em x=0, respectivamente. Este conjunto de condições de contorno irá possibilitar ilustrar certos aspectos chaves da formulação variacional. Por razões óbvias, as condições de contorno do tipo (G.5) e (G.6) conduzem para o chamado problema de valor de contorno de dois pontos.

A forma forte do problema do valor de contorno (S) é representada como se segue:

=−=

Ω=+→Ω→Ω

hu

g)u(

fu

hg

S

x

xx

)0(

1

em 0

que talR,:uachar ,constantes e e R:f Dado

)(

,

,

Quando se escreve Ω=+ em 0, fu xx , significa que 0)(, =+ xfu xx para todo x∈Ω . É

claro, a solução exata de (S) é trivial de ser obtida, a saber,

84

dydzzfhxgxux

y

+−+=1

0

)()1()( (G.7)

onde y e z são usados para denotar variáveis temporárias. Contudo, isso não é o

principal interesse aqui. Está-se interessado em desenvolver um esquema para obter soluções aproximadas de (S) que serão aplicáveis para muitas situações complexas na qual a solução exata não é possível.

Alguns métodos de aproximação começam diretamente com a formulação forte do

problema. O exemplo mais notável é o Método das Diferenças Finitas. O Método dos Elementos Finitos requer uma formulação diferente, a qual é tratada no próximo item.

G.4. Formulação Fraca ou Variacional Para definir a forma fraca ou variacional, contrapartida de (S), necessita-se

caracterizar duas classes de funções. A primeira é composta de funções admissíveis. Neste conjunto de soluções admissíveis é importante impor que a condição de contorno u(1)=g seja satisfeita. A outra condição de contorno não será requerida na definição. É importante também, para que certas expressões façam sentido, impor que as derivadas primeiras das funções admissíveis tenham quadrado integrável. Isto é, se u é uma solução trivial, então

∞<1

0

2, )( dxu x (G.8)

Funções que satisfazem (G.8) são chamadas de funções H1; escreve-se u ∈ H1.

Algumas vezes o domínio é explicitado, isso é u ∈ H1([0, 1]). Então o conjunto de soluções admissíveis, denotado por γ, consiste de todas as funções as quais tem derivada primeira com quadrado integrável e que tenham o valor de g para x=1. Isso é representado como se segue:

γ = u | u ∈ H1 , u(1)=g (Funções admissíveis) (G.9)

O fato de que γ é um conjunto de funções é indicado pela chave em (G.9). A

notação para um membro típico de um conjunto, neste caso u, vem em primeiro dentro no lado esquerdo das chaves, seguido à linha vertical (|) e a propriedade satisfeita pelo membro do conjunto.

A segunda classe de funções é chamada de funções de teste ou funções de peso.

Este conjunto é muito similar ao conjunto da solução admissível exceto que este requer a imposição de condições de contorno homogênea de g. Isto é, este conjunto requer que funções de teste, w, satisfaçam w(1)=0. O conjunto é denotado por υ e definida por

υ = w | w ∈ H1, w(1)=0 (Funções de teste) (G.10)

Isso simplifica o assunto no qual se quer ter f : Ω → R como sendo suave.

85

Em termos da definição anterior, pode-se agora estabelecer uma forma fraca apropriada, (W), do problema de valor de contorno.

+=

∈∈

1

0

1

0

,x, )0(w

w todopara que tal uAchar antes. como h, e g, f, Dando

)(hwwfdxdxu

Wx

υγ (G.11)

Formulações deste tipo são freqüentemente chamadas de trabalho virtual ou

deslocamento virtual na mecânica. Os ws são os deslocamentos virtuais. A equação (G.11) é chamada de equação variacional ou (especificamente na

mecânica) a equação do trabalho virtual. A solução de (W) é chamada de solução fraca ou generalizada. A definição dada

da formulação fraca não é a única possível, mas é a mais natural para os problemas que serão considerados.

G.5. Equivalência entre as Formas Forte e Fraca Claramente, há algum relacionamento entre a formulação forte e fraca do

problema, caso contrário não existiria razão para introduzir a forma fraca. Mostra-se que a solução fraca e forte são idênticas. Isso se estabelece assumindo que todas as funções são suaves. Isso permitirá prosseguir sem envolver condições técnicas que complique a matemática envolvida. Prova deste tipo exige algumas vezes provas formais. A intenção aqui não é de apresentar uma prova completamente rigorosa, mas tornar plausível se acreditar na proposição. Com esta filosofia em mente, prova-se o seguinte:

Proposição:

a) Seja u uma solução de (S). Então u é também uma solução de (W). b) Seja u uma solução de (W). Então u é também uma solução de (S).

Um outro resultado, o qual não se preocupou verificar, mas que de fato é

facilmente estabelecido, é que ambas (S) e (W) possuem solução única. Então de (a) e (b), a solução forte e fraca são uma e a mesma. Conseqüentemente, (W) é equivalente a (S).

Prova Formal:

a) Como u é assumido ser uma solução de (S), pode-se escrever

+−=1

0

, )(0 dxfuw xx (G.12)

para qualquer w ∈ υ. Integrando G.12 por partes resulta em

−−=1

0

1

0 0

1

,,,0 xxx wuwfdxdxuw (G.13)

Rearranjando e fazendo uso do fato que u,x(0)=h e w(1)=0 resulta em

86

+=1

0

1

0

,, )0( hwwfdxdxuw xx (G.14)

Além do mais, tem-se que u é uma solução de (S), satisfaz u(1)=g e portanto está

em γ. Finalmente, desde que u também satisfaz (G.14) para todo w ∈ υ, u satisfaz a definição de uma solução fraca dado por (W).

b) Agora u é assumido ser uma solução fraca. Então u ∈ γ; conseqüentemente

u(1)=g, e

+=1

0

1

0

,, )0( hwwfdxdxuw xx

para todo w ∈ υ. Integrando por partes e usando do fato de w(1)=0 resulta em

+++=1

0

,, ])0()[0()(0 huwdxfuw xxx (G.15)

Provar que u é uma solução de (S) é suficiente mostrar que (G.15) implica em

(estas equações são algumas vezes chamadas de equação de Euler-Lagrange da formulação fraca):

0)0(u .

e ; em 0u .

x,

xx,

=+Ω=+

hii

fi

Primeiro, prova-se (i). Define w em (G.15) por

w = φ( u,xx + f) (G.16) onde φ é suave; φ(x)>0 para todo x ∈ Ω = ]0, 1[; e φ(0) = φ(1) = 0. Por exemplo,

pode-se tomar φ(x) = x(1-x), o qual satisfaz todos os requisitos estipulados. Segue que w(1) = 0 e então w ∈ υ, assim (G.16) define uma função membro legítima de υ. Substituindo (G.16) em (G.15) resulta em

0)(01

0 0

2, ++=

≥

dxfu xx

φ (G.17)

Desde que φ > 0 em Ω, segue-se de (G.17) que (i) deve ser satisfeito. Agora que se tem estabelecido (i), passa-se a usar (G.15) para provar (ii), assim

0 = w(0)[u,x(0)+h] (G.18) Vê-se que w ∈ υ não impõem qualquer restrição no seu valor em x = 0. Portanto,

pode-se assumir que o w em (G.18) é tal que w(0) ≠ 0. Então (ii) está também satisfeita, a qual completa a prova da proposição.

87

G.6. Condições de Contorno Naturais A condição de contorno u,x(0) = h não é explicitamente mencionada na formulação

de (W). Da prova anterior, vê-se que essa condição de contorno é contudo, implícita para se satisfazer à equação variacional. Condições de contorno deste tipo são referenciadas como condições de contorno naturais. Por outro lado, as soluções admissíveis são explicitamente requeridas para satisfazer a condição de contorno u(1)=g. Condições de contorno deste tipo são chamadas condições de contorno essenciais. O fato de que a solução da equação variacional satisfaz a condição de contorno natural é extremamente importante em situações mais complicadas.

O método usado para provar a parte (b) da proposição é na verdade o lema

fundamental do cálculo variacional. Em essência, essa é a metodologia que possibilita deduzir equações diferenciais e condições de contorno envolvidas pela formulação fraca. Desenvolver formas fracas corretas de problemas complexos e multidimensionais é essencial para se ter um profundo entendimento deste procedimento.

Agora, vê-se que para obter solução aproximada para o problema de valor de

contorno original, tem-se um ponto de partida alternativo, isso é, a formulação forte ou fraca do problema. O Método dos Elementos Finitos é baseado em cima do último. Em outras palavras, a idéia básica é aproximar γ e υ por conjuntos convenientes de dimensões finitas de funções. (Claramente, γ e υ contem infinitas funções.) A equações variacionais são então solucionadas no contexto de dimensões finitas. Um exemplo explicito de como se fazer sobre isso é o assunto do próximo item. Contudo, primeiro introduzem-se algumas notações adicionais para simplificar a escrita subseqüente.

Tem-se

=1

0

,,),( dxuwuwa xx (G.19)

=1

0

),( wfdxfw (G.20)

Em termos de (G.19) e (G.20), a equação variacional toma a forma

a(w,u) = (w,f) + w(0)h (G.21) Aqui, a(.,.) e (.,.) são exemplos de formas bilineares simétricas. O que isso significa

é como se segue: sejam c1 e c2 constantes e u, v e w funções. Então as propriedades de simetria são

a(u,v) = a(v,u) (G.22) (u,v) = (v,u) (G.23)

Bilinearidade significa linearidade em cada termo nos parênteses; por exemplo,

a(c1u + c2v, w) = c1a(u,w) + c2 a(v,w) (G.24) (c1u + c2v, w) = c1(u,w) + c2 (v,w) (G.25)

88

As notações anteriores são muito concisas; e ao mesmo tempo elas compreendem

aspectos matemáticos essenciais que conduzem para o entendimento matemático da variação e do Método dos Elementos Finitos. Diversas classes de problemas físicos em engenharia podem ser escritas de maneira similar a (G.21).

G.7. Método de Aproximação de Galerkin Agora descreve-se um método de obter soluções aproximadas para problemas de

valor de contorno baseados na formulação fraca. Se Introduz este assunto com um tratamento abstrato.

O primeiro passo no desenvolvimento do método é construir aproximações de

dimensões finitas de γ e υ. Estas coleções de funções são denotadas por γh e υh , respectivamente. O sobre índice refere para a associação de γh e υh com uma divisão ou discretização do domínio Ω, o qual é parametrizado por um comprimento característico de escala h. Deseja-se ter que γh e υh como sendo subconjuntos de γ e υ, respectivamente. Isso pode ser escrito como

γh ⊂ γ (isso é, se uh ∈ γh, então uh ∈ γ) (G.26) υh ⊂ υ (isso é, se wh ∈ υh, então wh ∈ υ) (G.27)

onde o significado preciso é dado em parênteses. Conseqüentemente, de (G.26) e

(G.27) são respectivamente que se uh ∈ γh e wh ∈ υh, então

uh(1) = g (G.28) wh(1) = 0 (G.29)

As coleções γ, υ, γh , e υh, são freqüentemente referenciadas como espaço de

funções. A terminologia espaço em matemática usualmente conota uma estrutura linear. Este tem o seguinte significado: se c1 e c2 são constantes e v e w estão em υ, então c1v + c2w está também em υ. Ambos υ e υh são assim vistos possuindo as propriedades do espaço linear. Contudo, essas propriedades não são claramente compartilhadas por γ e γh devido a não homogeneidade das condições de contorno. Por exemplo, u1 e u2 são membros de γ, então u1 + u2 ∉ γ, uma vez que u1(1) + u2(1) = g + g = 2g em violação a definição de γ. Contudo, a terminologia de espaço de funções ainda é aplicada para γ e γh.

Método (Bubnov-) Galerkin

Assume-se que o conjunto υh seja dado. Então, para cada membro vh ∈ υh,

constrói-se uma função uh ∈ γh tal que

uh = vh + gh (G.30) onde gh é uma função dada satisfazendo a condição de contorno essencial, isso é,

gh(1) = g (G.31) Note que (G.30) satisfaz também as requeridas condições de contorno:

89

uh(1) = vh(1) + gh(1) = 0 + g (G.32)

Assim (G.30) constitue uma definição de γh; que é, γh são todas as funções da

forma de (G.30). O ponto importante a observar é que, acima disto às funções gh, γh e υh são compostas de conjuntos idênticos de funções.

Agora escreve-se a equação variacional, da forma (G.21), em termos de uh ∈ γh e

wh ∈ υh:

a(wh,uh) = (wh,fh) + wh(0)h (G.33) Essa equação é considerada como definindo uma solução aproximada (fraca), uh.

Substituindo (G.30) em (G.33), e a bilinearidade de a(.,.) possibilita escrever:

a(wh,uh) = (wh,f) + wh(0)h a(wh,gh) (G.34) O lado direito consiste totalmente de termos associados com dados fornecidos

(isso é, f, g, e h). A equação (G.34) é usada para definir vh, a parte desconhecida de uh. A forma (Bubnov-) Galerkin do problema, denotada por (G) é representada como

se segue:

−+=∈

∈+=

),()0(),(),(

w todopara que tal

, vonde ,uachar antes, como h, e g, f, Dado

)( h

hh

hhhhhh

h

hhh

gwahwfwvwa

gv

G υυ

Note que (G) é justamente uma versão de (W) em termos de uma coleção de

funções com dimensões finitas em υh. O método de Bubnov-Galerkin é comumente referenciado como simplesmente método de Galerkin, terminologia que se adotará para frente. A equação (G.34) é algumas vezes referida como Equação de Galerkin. O método de aproximações do tipo considerado são exemplos do chamado Método dos Resíduos Ponderados.

G.8. As Equações Matriciais A Matriz de Rigidez K O método de Galerkin conduz a um sistema de equações algébricas lineares. Para

ver isso, necessita-se dar mais estrutura para a definição de υh. Assim υh consiste de toda

combinação linear de funções dadas denotadas por NA: Ω →R, onde A = 1,2,....,n. Isso significa que se wh ∈ υh, então existe constantes cA, A = 1,2,...,n, tal que

nn

n

AAA

h NcNcNcNcNcw ++++===

...3322111

(G.35)

As NAs são referidas com funções de forma, base ou interpolação. Requer-se que

cada NA satisfaça

NA(1) = 0, A = 1, 2, ...., n (G.36)

90

Da qual segue por (G.35) que wh(1)=0, como é necessário. υh é dito ter dimensões

n por razões obvias. Para definir membros de γh necessita-se especificar gh. Para esse fim, introduz-se

uma outra função de forma Nn+1: Ω →R, a qual tem a seguinte propriedade

Nn+1(1) =1 (G.37)

(Note Nn+1∉ υh.) Então gh é dado por

gh = g Nn+1 (G.38)

e então

gh(1) = g (G.39) Com essas definições, um típico uh ∈ γh pode ser escrito como

11

+=

+=+= n

n

AAA

hhh gNNdgvu (G.40)

onde os dAs são constantes e das quais é aparente que uh(1)=g.

Substituindo (G.35) e (G.40) na Equação de Galerkin tem-se,

−

+

=

+===

==

1111

11

,)0(,

,

n

n

AAA

n

AAA

n

AAA

n

BBB

n

AAA

gNNcahNcfNc

NdNca

(G.41)

Usando a bilinearidade de a(.,.) e (.,.), (G.41) torna

=

=n

AAAGc

1

0 (G.42)

onde

gNNahNfNdNNaG nAAA

n

BBBAA ),()0(),(),( 1

1+

=+−−= (G.43)

Agora a equação de Galerkin é garantida para todo wh ∈ υh. De (G.35), isso

significa para todo cAs, A = 1,2,...,n. Uma vez que os cAs são arbitrários em (G.42), necessariamente segue que cada GA, A = 1,2,...,n, deve ser identicamente zero isto é de (G.43)

gNNahNfNdNNa nAAA

n

BBBA ),()0(),(),( 1

1+

=+−= (G.44)

Note que todos os termos são conhecidos em (G.44) exceto os dBs. Então (G.44)

constitue um sistema de n equações e n incógnitas. Este pode ser escrito numa forma

91

mais concisa como se segue: Tem-se

KAB = a(NA, NB) (G.45) FA=(NA, f) + NA(0)h a(NA, Nn+1) g (G.46)

Então (G.44) torna

n..., 1,2, A ,1

===

A

n

BBAB FdK (G.47)

Maior simplicidade é ganha adotando-se uma notação matricial. Tem-se

==

nnnn

n

n

AB

KKK

KKK

KKK

KK

...

......

......

......

...

...

][

21

22221

11211

(G.48)

==

−

n

n

A

F

F

F

F

FF

1

2

1

.

.

.

(G.49)

e

==

n

B

d

d

d

dd

.

.

.

2

1

(G.50)

Agora (G.47) pode ser escrita com

Kd = F (G.51) As seguintes terminologias são freqüentemente aplicadas, especialmente quando o

problema sobre consideração pertence a um sistema mecânico: K = Matriz de Rigidez F = Vetor de Forças d = Vetor Deslocamentos

92

Uma variedade de interpretações físicas são possíveis. Neste ponto, pode-se representar a matriz equivalente, (M), do problema de

Galerkin.

= FKd

que taldachar F, vetor o eK ecoeficient de matriz a Dados )(M

A solução de (M) é, claro, justamente d = K-1.F (assumindo a inversa de K, K-1,

existente). Uma vez que d é conhecido, a solução (G) pode ser obtida em qualquer ponto

x ∈ Ω , empregando (G.40), assim,

)()()(1

1 xgNxNdxun

AnAA

h

=++= (G.52)

Do mesmo modo, derivadas de uh, se requeridas, podem se obtidas pela

diferenciação termo por termo. Deve ser enfatizado, que a solução (G) é uma solução aproximada de (W). Conseqüentemente, a equação diferencial e as condições de contorno naturais são apenas aproximadamente satisfeitas. A qualidade da aproximação depende das escolhas de NAs e do número de n.

Observações:

1. A matriz K é simétrica. Isso segue da simetria de a(.,.) e do uso do método de Galerkin (que é, as mesmas funções formas são usadas para as variações e soluções admissíveis):

KAB = a(NA,NB) = a (NB,NA) = KBA (G.53) Em notação matricial

K = KT (G.54) Onde o sobre-índice T denota a matriz transposta. A simetria de K tem importantes

conseqüências computacionais.

2. Vai-se relembrar os passos seguidos para o problema matricial, já que eles são típicos do processo que se deve desenvolver na solução de um dado problema usando o Método dos Elementos Finitos:

)()()()( MGWS ⇔≈⇔ (G.55) A única aproximação aparentemente feita está na resolução aproximada de (W) via

(G). Em situações mais complexas encontradas na prática, o número de aproximações aumenta. Por exemplo, os dados f, g e h podem ser aproximados, como também o domínio Ω, cálculo de integrais e assim por diante. Prova de convergência e análise de erros envolvem considerações de cada aproximação.

3. É algumas vezes conveniente escrever

93

+

=

=1

1

)()(n

AAA

h dxNxu (G.56)

onde dn+1 = g.

G.9. O Espaço Piecewise Linear (Por Partes) Normalmente emprega-se a definição de υh e γh a qual são casos especiais do

chamado Espaço de Elementos Finitos Lineares Piecewise. Para definir o caso geral no qual υh é n dimensional, divide-se o domínio [0, 1] em n subintervalos não sobrepostos. Um subintervalo típico é denotado por [xA, xA+1], onde xA<xA+1 e A = 1,2,..., n. Também requer que x1=0 e xn+1=1 Os xAs são chamados de pontos nodais, ou simplesmente nós. Os subintervalos são algumas vezes referidos com os elementos finitos do domínio, ou simplesmente elemento. Note que o comprimento dos elementos, hA = xA+1-xA, não são necessariamente iguais. O parâmetro da malha, h, é geralmente tomado como sendo o comprimento máximo de um subintervalo (isso é, h= Max hA , A=1,2...,n). Com h menores, mais refinada é a partição ou a malha. Se os comprimentos dos subintervalos são iguais, então h = 1/n.

As funções de forma são definidas como se segue: associando a um nó típico

interno (isso é, 2 ≤ A ≤ n)

≤≤−

≤≤−

= ++

−−

−

contráriocaso

xxxhxx

xxxhxx

xN AAA

A

AAA

A

A

,0,

)(,

)(

)( 11

11

1

(G.57)

para os nós de contorno tem-se

211

21 ,)( xxx

h

xxxN ≤≤

−= (G.58)

11 ,)( ++ ≤≤−

= nnn

nn xxx

h

xxxN (G.59)

As funções de forma são esboçadas na figura G.2. Por razões obviais, elas são

referenciadas alternativamente como funções chapéu ou telhado. Note que NA(xB)=δAB, onde δAB é o delta de Kronecker (isso é, δAB=1 se A=B, caso contrario δAB=0 se A≠B). Em palavras, NA tem o valor de 1 no nó A e é 0 em todos os outros nós. Além do mais, NA não é zero somente no subintervalo que contém xA.

94

Figura G.2 Funções Base para o espaço de elementos finitos lineares Piecewise.

Um típico membro wh ∈ υh tem a forma =

n

AAANc

1

e aparece como na figura G.3.

Note que wh é contínua mas tem descontinuidades de declive (ou na derivada) em cada elemento de fronteira. Por essa razão, wh

,x, derivada generalizada de wh, irá ser constante em pedaços (Piecewise), experimentando descontinuidades entre os elementos de contorno ou fronteira. (Tal função é chamada algumas vezes de uma função de passo generalizado.) Restringindo-se a cada elemento do domínio, wh é um polinômio linear em x. Em relação as condições de contorno essenciais homogêneas, wh(1)=0. Claramente, wh é identicamente zero se e somente se cada cA=0, A=1,2,...,n.

Figura G.3 Um típico membro wh ∈ υh. Membros típicos de γh são obtidos pela adição de gh = g Nn+1 a membros típicos de

υh. Isso assegura que uh(1)=g. As funções de elemento finito linear Piecewise são mais simples e mais

largamente usadas por funções de elementos finitos em problemas unidimensionais. Exemplo: Considere a formulação fraca do problema no modelo unidimensional:

+=1

0

1

0

,, )0( hwwfdxdxuw xx (G.60)

95

onde w ∈ υ e u ∈ γ são assumidos ser suave nos interiores dos elementos (isso é, ]xA, xA+1[, A=1,2,... n), mas podem sofrer descontinuidades de declive entre os elementos de contorno. (Funções desta classe contém o espaço de elementos finitos lineares Piecewise descritos anteriormente.) De (G.60) e assumindo continuidade das funções, mostra-se que:

)]()([)(])0()[0()(0 ,,21

,,

1

−+

==

+ −++++= +

AxAx

n

AA

n

A

x

x

xxx xuxuxwhuwdxfuwA

A

(G.61)

Pode ser concluído que as condições de Euler-Lagrange de (G.61) são

i. u,xx(x)+f(x)=0, onde x∈ ]xA, xA+1[ e A = 1,2, ...,n, ii. u,x(0

+)=h; e iii. u,x(xA

-)=u,x(xA+), onde A= 2,3,..., n.

Observe que (i) é a equação diferencial restrita a elementos interiores, e (iii) é uma

condição de continuidade entre os elementos de contorno. Isso pode ser contrastado com o caso no qual a solução é assumida suave. Neste caso a condição de continuidade é identicamente satisfeita e o somatório das integrais sobre os elementos interiores pode ser trocada por uma integral sobre todo domínio. Na formulação de elementos finitos de Galerkin, uma solução aproximada de (i)-(iii) é obtida.

G.10. Propriedades da Matriz K As funções de forma NA, A= 1,2,..., n+1 são zero fora da vizinhança do nó. Como

resultado, muitos termos de K são zero. Isso pode ser visto como se segue. Seja B > A+1. Então (Figura G.4)

01

0 0

,, == dxNNK xBxAAB

(G.62)

NA NB

A A+1 B

Figura G.4 Se B > A+1, a porção diferente de zero de NB e NA não faz sobreposição. A simetria de K implica, adicionalmente, que (G.62) é garantida para A > B+1. E é

dito que K é semidiagonal (isso é, seus valores diferentes de zero estão em uma banda sobre a diagonal principal). A figura G.5 mostra essa propriedade. Matrizes Semidiagonais têm vantagens significantes uma vez que os elementos zeros fora da banda não são armazenados e nem operados pelos computadores. A matriz rigidez obtida na análise de elementos finitos, em geral, a estreita banda, conduz ela mesma a uma formulação e solução mais econômica.

96

=

−

−−−−−

−−−−−−

nnnn

nnnnnn

nnnnnn

kk

kkk

kkk

kkk

kkk

kk

K

1,

,11,12,1

1,22,23,2

343332

232221

1211

0...0

0...

00..

.......

..00

...0

0...0

Figura G.5 Estrutura de Banda de K. Definição: Uma matriz A n x n é dita ser definida positiva se

i. cTAc ≥ 0 para todo vetor c de ordem n; e ii. cTAc = 0 implica em c=0.

Observa-se:

1. Uma matriz definida positiva e simétrica possui uma única inversa. 2. Os autovalores de uma matriz definida positiva são reais e positivos.

Teorema: A matriz K n x n definida em (G.45) é definida positiva. Prova:

i. Seja cA, A= 1, 2, ..., n, e os componentes de c (isso é, c=cA), um vetor

arbitrário. Usa-se estes cAs para construir um membro de υh, == n

A AAh Ncw

1,

onde os NAs são as funções bases para υh. Então

cTKc = )K de (Definição ),( AB1,1,

==

=n

BABBAA

n

BABABA cNNaccKc

= a(.,.)) de dade(Bilineari ,11

==

n

BBB

n

AAA NcNca

= ) wde (definição ),( hhh wwa

= (2.19))(Por 0 )(1

0 0

2, ≥≥

dxwhx

ii. Assume cTKc=0. Por parte da prova de (i),

=1

0

2, 0)( dxwhx

e conseqüentemente wh deve ser constante. Uma vez que wh ∈ υh, wh(1)=0.

Combinando estes fatos, conclui-se que wh(x)=0 para todo x ∈ [0, 1], o qual é possível somente se cada cA = 0, A = 1,2,...,n. Então c=0.

Note que à parte (ii) depende da definição de K e das condições de contorno

essenciais zeros construída dentro da definição de υh.

97

Resumindo: K definido por (G.45), é

i. Simétrico ii. Semidiagonal iii. Definida Positiva

A conseqüência prática das propriedades acima é uma solução computacional de

Kd=F muito eficiente.

G.11. O MEF do Ponto de Vista do Elemento Coordenadas Locais e Globais.

Até aqui, analisou-se o Método dos Elementos Finitos simplesmente como um

procedimento de aproximação de Galerkin aplicado para formulações fracas do problema em questão. O que faz com que se tenha feito um procedimento de elementos finitos é a característica das funções bases selecionadas; particularmente suas suavidade Piecewise e o suporte local (isso é, NA≡0 fora da vizinhança do nó A). Esse é matematicamente o ponto de vista global no qual as funções bases são consideradas como definidas em todo o domínio do problema de valor de contorno. O ponto de vista global é muito usado em estabelecer as propriedades matemáticas do Método dos Elementos Finitos.

Agora deseja-se discutir um outro ponto de vista chamado de ponto de vista local

ou do elemento. Este ponto de vista é tradicional em engenharia e é muito usado na implementação computacional do Método dos Elementos Finitos e no desenvolvimento de elementos finitos.

Começa-se o tratamento do ponto de vista local com uma questão: O que é um

elemento finito ? Tenta-se dar uma resposta em termos do espaço de elementos finitos lineares

Piecewise que se definiu previamente. Um elemento individual consiste das seguintes quantidades.

Elemento Finito Linear (Descrição Global) (g1) Domínio: [xA, xA+1] (g2) Nós: xA, xA+1 (g3) Graus de Liberdades: dA, dA+1 (g4) Funções Forma: NA, NA+1 (g5) Funções de Interpolação: uh(x)=NA(x)dA+ NA+1(x)dA+1, x∈ [ xA, xA+1] No Método dos Resíduos Ponderados no qual γh e υh são construídos em cima de

diferentes classes de funções (isso é, Método de Petrov-Galerkin), pode-se também

especificar um conjunto de funções teste ou ponderadas, ditas 1~,

~+AA NN ; o conjunto

inteiro de AN~

s poderia então constituir uma base para υh. No método de Galerkin AN~

=NA. Em palavras, um elemento finito linear é justamente a totalidade da parafernália

associada com as funções uh restritas para o domínio dos elementos. As quantidades acima são em termos dos parâmetros globais chamados de coordenadas globais,

98

funções de forma globais, ordenação de nós globais e assim por diante. Passa-se agora a introduzir um conjunto de quantidades locais, correspondentes a umas globais, tal que cálculos para um típico elemento podem ser padronizados. Estes são dados a seguir:

Elementos Finitos Lineares (Descrição Local) (l1) Domínio: [ξ1, ξ2] (l2) Nós: ξ1, ξ2 (l3) Graus de Liberdades: d1, d2 (l4) Funções de Forma: N1, N2 (l5) Funções de Interpolação: uh(ξ) = N1(ξ)d1 + N2(ξ)d2 Note que na descrição local, a numeração dos nós começa com 1. Relacionam-se os domínios da descrição global e local por uma transformação afim

ξ:[xA, xA+1] → [ξ1, ξ2], tal que ξ(xA) = ξ1 e ξ(xA+1) = ξ2. Isso é padronizado na prática tomando ξ1 = -1 e ξ2 = +1. Então ξ pode ser representado pela expressão

ξ(x) = c1 + c2 x (G.63)

onde c1 e c2 são constantes na qual são determinados por

+=+=−

+ 211

21

1

1

cxc

cxc

A

A (G.64)

Solucionando esse sistema chega-se

A

AA

h

xxxx 12)( +−−

=ξ (G.65)

(Lembrando que hA = xA+1 xA.) O inverso de ξ é obtido pela resolução para x:

2)( 1+−−= AAA xxh

xξξ (G.66)

Em (G.63), ξ é um mapeamento e x é um ponto, ao contrario em (G.66) x é um

mapeamento e ξ é um ponto. Na seqüência, adota-se a notação convencional na qual os sub-indices a,b,c,...

pertencem ao sistema de numeração local. Os sub-indices A,B,C,... irão sempre pertencer ao sistema de numeração global. Para controlar a proliferação de notações, usa-se a mesma notação para o sistema local e global (por exemplo, da e dA ou Na e NA). Isso geralmente não deve causar confusão pois o contexto irá tornar claro qual o ponto de vista que esta sendo adotado. Se há perigo de confusão, um sobre-indice e irá ser introduzido para denotar uma quantidade com descrição local associada com o número do elemento e (por exemplo, da

e=dA, Nae(ξ)=NA(xe(ξ)), onde xe:[ξ1, ξ2] → [x1

e, x2e]= [xA,

xA+1], etc.). Em termos de ξ, as funções de forma na descrição local tomam a forma padrão

Na(ξ) = (1 + ξaξ)/2, a = 1,2 (G.67)

99

Note também que (G.66) pode ser escrito em termos de (G.67):

=

=2

1

.)()(a

eaa

e xNx ξξ (G.68)

Essa tem a mesma forma que as funções de interpolação. Por referência, nota-se o

seguinte resultado:

2

)1(

2,

aa

aN−==

ξξ (G.69)

2,

ee hx =ξ (G.70)

onde he = x2

e x1e e

e

eex

hx

2)( 1

,, == −ξξ (G.71)

A descrição local e global dos e-simos elementos são esboçados na Figura G.6.

Figura G.6 Descrição local e global do ézimo elemento.

G.12. A Matriz de Rigidez e o Vetor Independente de um Elemento Genérico.

Para desenvolver mais o ponto de vista dos elementos, assumi-se que o modelo

em questão consiste de nel elementos, numerados como na figura G.7. Claro que para este caso nel = n. E seja e a variável índice para os elementos; então 1 ≤ e ≤ nel.

100

Número dos Elementos (e) 1 2 3 nel x1 x2 x3 x4 xn xn+1

Coordenadas dos nós Figura G.7 Os Elementos e seus Nós.

Agora relembrando da definição (global) das matrizes de rigidez e do vetor força

[ ]

1

,××

==n

A

nn

AB FFKK

(G.72)

onde

==1

0

,,),( dxNNNNaK xBxABAAB (G.73)

++ −+=−+=1

0

,1,

1

0

111 ),(),( dxgNNhfdxNgNNahfNF xnxAAAnAAAA δδ (G.74)

Em (G.73) assumiu-se NA(x1)=δA1 , como para o espaço de elementos finitos

lineares Piecewise. As integrais sobre [0,1] podem ser escritas como a soma de integrais sobre os elementos do domínio. Então

[ ]eAB

en

e

e KKKKel

===

,1

(G.75)

eAen

e

e FFFel

===

F ,1

(G.76)

onde

Ω

==e

dxNNNNaK xBxAe

BAeAB ,,),( (G.77)

Ω

+Ω

+ −+=−+=ee

dxgNNhfdxNgNNahfNF xnxAAAe

nAAee

AeA ,1,1111 ),(),( δδδ (G.78)

e Ωe = [x1

e, x2e], o domínio do ézimo elemento.

Uma observação importante há fazer é que K e F podem ser construídos pela

soma das contribuições das matrizes e vetores dos elementos, respectivamente. Pela definição de NAs, tem-se que

KABe=0, se A ≠ e ou e+1 ou B ≠ e ou e+1 (G.79)

e FA

e=0, se A ≠ e ou e+1 (G.80)

101

A situação para um elemento típico, e, é mostrado na figura G.8. Na prática, não se

deve é claro, adicionar os zeros mas meramente adicionar os termos diferentes de zeros na locação apropriada. Para esse propósito é muito útil definir a matriz de rigidez para o ézimo elemento ke e o vetor forca elemento fe como se segue:

[ ]

1222

,××

== ea

eeab

e ffkk (G.81)

Ω

==e

dxNNNNak xbxae

baeab ,,),( (G.82)

=−−=

=+=

Ωel

ea

el

a

ea

negk

ne

eh

Nfdxfe

2

1

1,...,3,20

1δ (G.83)

1

1)(e Linha

(e) Linha

1

Coluna

××

=

→+←→←

↓↓+

=

n

e

nn

e

X

X

F

XX

XX

ee

Coluna

K

Figura G.8 Xs indica termos diferentes de zero; todos os outros termos são zeros. Aqui ke e fe são definidos com respeito à ordenação local, onde Ke e Fe são

definidos com respeito à ordenação global. Para determinar onde os componentes ke e fe irão ficar em K e F, respectivamente, requer informações adicionais. Isso é discutido no item seguinte.

G.13. A Montagem da Matriz Global de Rigidez e do Vetor Independente.

Em um programa computacional de elementos finitos, existe a tarefa de uma sub-

rotina de elementos finitos para produzir ke e fe, e=1,2,...,nel, dos dados fornecidos e para prover a sub-rotina de montagem necessita-se de informação adicional tal que os termos em ke e fe possam ser adicionados em locações apropriadas em K e F, respectivamente. Estas informações para montagem são armazenadas em uma matriz chamada LM, a matriz de localizações.

Constroe-se uma matriz LM para o problema acima considerado. As dimensões de

LM são nel, o número de nós dos elementos, pelo número de elementos; no caso presente, os números são 2 e nel, respectivamente. Dando um número particular de graus de liberdade e um número de elementos (diga-se a e e, respectivamente), o valor retornado pela matriz LM é correspondente ao número global das equações, A, isso é

102

=+=

==2a se1

1a se),(

e

eeaLMA (G.84)

A matriz completa LM é mostrada na figura G.9 esse é o modo usado para se

armazenar nos computadores. Note que LM(2, nel)=0. Isso indica que o grau de liberdade 2 do elemento número nel é prescrito e não é conhecido na equação da matriz global. Portanto os termos elelelel nnnn fkkk 2222112 e , , , não são montados em K e F respectivamente.

elenen

neElemetosdeNúmero

elel

nnn

ne

nnenne

Locais

nósde

Número

el

×=+

−

≤≤

−

)2(

0...1...432

1......321

......321

2

1

1

1

Figura G.9 Matriz LM para o problema exemplo. Como no exemplo, assume-se querer adicionar a contribuição do ézimo elemento,

onde 1 ≤ e ≤ nel-1, para a parcialmente montada K e F. Da matriz LM, deduz o seguinte procedimento de montagem:

e

eeee kKK 11+← (G.85) e

eeee kKK 121,1, +← ++ (G.86) e

eeee kKK 21,1,1 +← ++ (G.87) e

eeee kKK 221,11,1 +← ++++ (G.88) e

ee fFF 1+← (G.89) e

ee fFF 211 +← ++ (G.90)

onde a seta (←) é lida com é trocado por. Devido à simetria k21

e não deve ser montado na prática.

Para o elemento nel tem-se apenas

elnnnnn kKK 11+← (G.91)

elnnn fFF 1+← (G.92)

Com estas idéias, pode-se construir, esboçando um modelo, um algoritmo para

montar K e F; Na figura G.10.

103

Algoritmo | Ler dados de entrada | Aprontar a matriz LM | Coloca os Zeros Armazenados em K e F | e = 1 | repita | | Forma ke e fe. | | Usa a matriz LM para adicionar os componente de ke e fe na | | locação apropriada de K e F, respectivamente. | | e ← e + 1 | até e > nel Fim Algoritmo

Figura G.10 Esboço de um algoritmo para a montagem de elementos finitos. A ação do algoritmo de montagem é denotada pelo símbolo U, operador de

montagem, isso é,

elel n

e

en

e

e fFkK11

)( ,)(==

== (G.93)

G.14. A Resolução do Sistema de Equações Os problemas resolvidos pelo Método de Elementos Finitos, recaem em grandes

sistemas lineares, com as seguintes representações:

a

a x a x x b

a x a x x b

x a x x b

n

n

n n n

).

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 2 2

+ + =+ + =

+ + =

. . . + a

. . . + a

. . .

. . . .

. . . .

a . . . + a

1n

2n

n1 nn

ou

==

n

2

1

n

2

1

nn2n1

a . . . 2221

1n1211

x

.

.

.

x

x

=X ,

b

.

.

.

b

b

=B ,

a . . . a

.

.

.

a

a . . .

.)

2n

na

a

aa

ABXAb

A = Matriz de Coeficiente, B = Vetor dos Termos Independentes e X = Vetor das Incógnitas.

104

Diversos métodos numéricos são disponíveis na resolução de um sistema linear. Destaque pode ser dados as duas classes abaixo, devido à facilidade de implementação computacional e a sua simplicidade matemática:

Métodos Diretos (Baseados no Escalonamento de Matrizes):

- Método de Jordan; - Método de Gauss; - Método da Pivotação Parcial e - Método da Pivotação Completa.

Métodos Iterativos:

- Método de Jacobi; - Método de Gauss-Seidel e - Método SOR (Sucessive Over Relaxation).

Nota-se que para os métodos iterativos tem a restrição de seu critério de

convergência : ≠=

=n

ji

iijii aa

1

|||| . Em certos casos extremos pode-se até usar análise de

sistemas mal condicionados e refinamento de sistemas lineares. Além disso, alguns métodos só podem ser aplicados a sistemas especiais como por exemplo o método de Cholesky no qual a matriz A deve ser simétrica.

105

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