Estudo da circunferência e de seus elementos

1. Definição de circunferência

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência.

De uma circunferência, podemos obter o seu comprimento, que é determinado por , onde r é o raio.

2. Definição de círculo

É o conjunto formado por todos os pontos da circunferência e de seu interior.

Desse, obtemos a área, que é definida por .

3. Elementos da circunferência

Podemos considerar três elementos para o estudo de uma circunferência. São eles:

I. Segmento cujas extremidades são pontos da circunferência.

II. Segmento cujas extremidades são pontos da circunferência, passando obrigatoriamente pelo centro dessa. Outra interpretação é de que a diâmetro é a maior corda de uma circunferência.

III. Segmento de reta com uma extremidade no centro e outra em um ponto qualquer da circunferência.

4. Posições relativas entre ponto e circunferência

Considerando o ponto como sendo P, temos:

I. O P é exterior à circunferência, ou seja, .

II. O ponto P pertence à circunferência, ou seja, .

III. O ponto P é interior à circunferência, ou seja, .

5. Posição de uma reta em relação a uma circunferência

Dadas uma reta s e uma circunferência , vamos determinar as posições relativas entre :

Daí, temos três situações:

Lembrete!

Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

6. Relações métricas na circunferência

Tomemos as três situações a seguir:

I. Duas cordas que se interceptam em um ponto interno à circunferência

Usando a semelhança de triângulos, vamos provar que, se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, o produto das medidas das partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra.Comparando os triângulos PCB e PAD, temos:

▪ Os ângulos e são congruentes, pois são opostos pelo vértice;▪ , pois são ângulos inscritos sob um mesmo arco;

Pelo caso AA (ângulo, ângulo), os triângulos PCB e PAD são semelhantes e, dessa forma, as medidas dos seus lados são proporcionais, de onde escrevemos:

II. Dois segmentos secantes que se interceptam em um ponto exterior à circunferência

Usando novamente a semelhança de triângulos, vamos provar que, se um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos dois segmentos secantes: e , então o produto das medidas de pela sua parte exterior é igual ao produto das medidas de pela sua parte exterior .Considerando os triângulos PCB e PAD, temos:

▪ O ângulo é comum;▪ , pois são ângulos inscritos sob um mesmo arco.

Pelo caso AA, os triângulos PCB e PAD dão semelhantes; dessa forma, as medidas dos seus lados são proporcionais e podemos escrever as razões:

III. Dois segmentos, um secante e outro tangente à circunferência que se interceptam em um ponto exterior a essa

Novamente usando a semelhança de triângulos, vamos provar que, se por um ponto P, exterior a uma circunferência, traçarmos um segmento secante e outro tangente, o produto da medida do segmento secante pela sua parte exterior é igual ao quadrado da medida do segmento tangente.Comparando os triângulos PBT e PTC, temos:

▪ é ângulo comum aos dois triângulos;▪ , pois são ângulos de segmento e inscrito no mesmo arco.

Pelo caso AA, os triângulos PBT e PTC são semelhantes. Assim, as medidas dos seus lados são proporcionais.