METODO APLICADO AL PROBLEMA DEL CAMINO MAS CORTO

El Problema

1

2

3

4

tse1

e2e3

e4

e5

e6e7

e8

2

1

3

1

3 2

2

5

G = (V,E)Cj≥0arc ej pertenece E

Formulación

Como un problema de optimización, el conjunto factible es

F = {secuencia P=(ej1,…,ejk): esta secuencia en un camino dirigido de s a t en el grafo G}

Y función de costoc(P) = Σ1≤i≤k Cji

Formulación

Podemos formular una instancia de SP como un LP definiendo primero la matriz incidente A=[aij] del grafo G por

+1 si ej sale del nodo i aij= -1 si ej entra al nodo j

0 en otro caso

FormulaciónAsociamos una variable fj con arc ej para representar un flujo. Entonces la conservación del flujo en el nodo i es expresado por la ecuación:

OMITIDO

Formulación

Fila s

El principio del criterio de optimalidad y en el algoritmo simplex

si hay una solución optima

Entonces existe una base

Para el LP tal que

Asi es solución factible para las restricciones lineales,

donde y m es el numero de filas en la original A

Problema Dual

Estas restricciones definen un nuevo LP, llamado el DUAL del LP principal, el principal LP es llamado PRIMAL. El valor es factible en el dual.

Podemos escribir el dual de la instancia LP de SP por asignación de una variable a cada nodo i:

Dualidad

Dualidad

Algoritmo Primal-Dual

PrimalP

DualD

Primal Restringido

RP

Dual del primal

restringidoDRP

x π π

Adaptado a π

Algoritmo

P D

RP DRP

Una solución optima para DRP es entonces:

Donde θ se puede calcular como sigue:

Corrida paso a pasocon el primer ejemplo delproblema del camino mas corto

CONCLUSION