III. Campo eléctrico y conductores -...

®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2008/09 mez, 2008/09 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

III. Campo elIII. Campo elééctrico y ctrico y conductoresconductores

2. El problema del potencial. 2. El problema del potencial. Capacidad elCapacidad elééctrica ctrica

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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∂∂CCNN∂∂CCMM+1+1

∂∂CCMM∂∂CC11

εε00

QQ11

CM

FFρρee((rr))

C00 0C

V=φ

φ|φ|CCMM+1+1==VVMM+1+1 φ|φ|CCNN=0=0

¿¿φ|φ|CCMM??

¿¿φ|φ|CC11??

¿¿QQMM+1+1?? ¿¿QQNN??

¿¿φφ((rr))??

lim ( ) 0→∞

= =φr

r

QQMM=0=0QQMM

Planteamiento del problemaPlanteamiento del problemaDescripciDescripcióón del sisteman del sistema

conductor “de referencia” C0

se extiende hasta el “infinito”conductores aislados C1,…, CM, con cargas eléctricas Q1,…, QM

conductores CM+1,…, CN a potencial fijo VM+1,…, VN

conectados a fuentes de potencialotras posibles fuentes de campo:

distribución ρe(r) en región F.

CuestiCuestióón generaln general¿es posible encontrar el potencial φ(r) creado por el sistema?

¿cómo son las relaciones entre car-gas y potenciales en el sistema? (capacidades eléctricas)


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( ) 0=φ r2∇∂∂CCNN

∂∂CCMM+1+1

∂∂CC11

εε00

QQ11

C00 0C

lim ( ) 0V→∞∂

= = =φφr

r

φ|φ|∂∂CCMM+1+1==VVMM+1+1 φ|φ|∂∂CCNN==VVNN==00

nnMM

∂∂CCMM

EcuaciEcuacióón diferencialn diferencial

en el vacen el vacíío: (Laplace)o: (Laplace)

enen FF : : (Poisson)(Poisson)

Condiciones de contornoCondiciones de contornoen conductores a potencial fijo…

en conductores cargados…

SoluciSolucióón (Th. de unicidad)n (Th. de unicidad)existe φφ ((rr)) ÚÚNICO que satisface NICO que satisface las condiciones del problema las condiciones del problema

( ) 0=φ r2∇

0

( )( ) eρ

ε= −φ r

r2∇

{ }C 1, , ,0(Dirichlet), ctes.

ii

i M NV

∂ = +=φ

…

1, ,0C C

(Neumann)e

i Mi i in =∂ ∂

∂⎧ ⎫= −⎨ ⎬∂⎩ ⎭φ

…

σε

11

CeQ dSσ

∂= ∫

CMM eQ dSσ

∂= ∫

QQMM

FormulaciFormulacióón matemn matemááticatica

FF

0

( ) eρε

= −φ r2∇nn11


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Conductor a potencial fijoConductor a potencial fijocondición tipo Dirichlet

solucisolucióón del potencial y carga en n del potencial y carga en ∂∂CC::

V V

Problema del potencial para un conductor (I)Problema del potencial para un conductor (I)

Ejemplo: esfera conductoraEjemplo: esfera conductorasuperficie conductora ∂C: r =R

la carga se distribuirá uniformemente simetría esférica:

Condiciones sobre el conductorCondiciones sobre el conductor

εε00

OO

rr

∂∂CC: : φφ((rr))= = V V

φ(r)=φ(r)2

21 0dd r

drr drφ⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

RR

φφ((r<Rr<R)=)=VVn

CV

∂=φ

04 RV qε =π

Conductor aislado y cargadoConductor aislado y cargadocondición tipo Neumann

solucisolucióón del problema del potencialn del problema del potencial::

ur=

( )lim 0r

r→∞

=φ

2C 4eqR∂ π

σ =

0

( ) ;4

r Rq

r≥ =

πεφ

04C

qR∂

=πε

φ V= ( ) ;r RVRr

≥ =φC

Q∂

=

solución en r ≥ R

( )r Ar

=φ B+

φφ((rr))Z

XXqq

¿¿φφ((PP))??

2r R

d Adr R0 0

=

== −ε εφ ( )r R A R=== φ

0


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Problema del potencial para un conductor (II)Problema del potencial para un conductor (II)RelaciRelacióón cargan carga−−potencialpotencial

superficie ∂C cargada o a potencial fijono hay más conductores o cargas exterioreslíneas del campo desde ∂C hasta |r|→∞

φ(r) potencial en el exteriorcarga y potencial en superficie conductora:

Capacidad elCapacidad elééctricactricaes la relación carga−potencial en ∂C

Propiedadessólo depende de la geometría

fijado el valor de la carga en ∂C, determina el del potencial y viceversa

unidades (SI):

∂C: : φφ((rr))==VV

σσee((rr′′))

( ) ;CC

Q n dS0∂∂

′= −ε ∂φ ∂∫ C( )V

∂= φ r

( ) CC Q V

∂=

[ ] [ ] [ ]C Q V= C V F (faradio)= =

EEintint==00

ρρeeintint=0=0

φφintint ==VV

Cεε00

EE((rr))

φφ ((rr))

n

εε00


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∂∂ττ22

dS2

∂∂ττ11

dS1

Sistema de dos conductores: condensadorSistema de dos conductores: condensadorSoluciSolucióón al problema del potencialn al problema del potencial

sea φ(r) solución al problema planteado verifica ecuación de Laplace:

(en el exterior)cumple condiciones en superficies ∂C1 y ∂C2

Conductores en Conductores en ““influencia totalinfluencia total””todas las líneas de E(r) van de ∂C1 a ∂C2

cargas eléctricas opuestas en los conductores

las superficies ∂C1−∂C2 forman un condensadorcapacidad eléctrica (parámetro geométrico)

1 1 2 221

e eC C

dS dSQ Q∂ ∂

′ ′= = − =−∫ ∫σ σ

1

1 2

QV V

C =−

1 2C1 C2( ) ( );V V

∂ ∂= =φ φr r

2 1C2 C1

0 0( ) ; ( )e en n∂ ∂

′ ′∂φ ∂φ= − = −

∂ ∂ε εr rσ σ

2

2 1

QV V

=−

( ) 0=φ r2∇ ∂C1: : φφ((rr))==VV11

σσee22((rr′′))

σσee11((rr′′))

∂C2: : φφ((rr))==VV22

EE((rr))

n1

n2

εε00φφ ((rr))

C1

C2

DirichletDirichlet

NeuNeu--mannmann

mixtasmixtas


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Sistema de dos conductores: condensador esfSistema de dos conductores: condensador esfééricoricoSoluciSolucióón al problema del potencialn al problema del potencial

superficies conductoras ∂C1:r =a y ∂C2: r = bproblema del potencial en a<r<b (vacío)

solución con simetría esférica

condiciones de contorno mixtas (p. e.)

Capacidad del condensador∂C1 y ∂C2 en influencia total: Q2=−Q1

valor de la capacidad eléctrica:

12C1 4e

Qa∂ π

σ =

∂C2

∂C1σσee11

σσee22

σσee11

φφ((rr))

∂Cext

σσeeextext

σσeeextext

δ

22

1 0dd rdrr dr

φ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )r A r B= +φ

2C2V

∂=φ

r a

ddr0

=

φ= −ε

)r b= φ( =

1 ( )r aV == φ 4( )

b a

ba0πε

−⇒ =1

1 2

QCV V

=−

solución en a ≤ r ≤ b

12

( )( )

4Q b r

r Vbr0

−+

πε=φ

VV22

εε00

∂C1

∂C2

b

aO QQ11σσee22

EE((rr))

n1n2

QQ22

εε00

εε00

QQextext

QQ00


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Sistema de dos conductores: condensador planoSistema de dos conductores: condensador planoPotencial entre conductores planoPotencial entre conductores plano−−paralelosparalelos

discos de radio “R”, sección “S” y separación “d”superficies ∂C1≡Π1: z =−d/2 y ∂C2 ≡Π2 : z =d/2

problema del potencial entre discos, para R >> d:equivalente a superficies infinitas

condiciones de contorno “Dirichlet”:

Capacidad del condensadordensidades de carga en ∂C1 y ∂C2

en influencia (casi)total…

2

2

dzdφ≈

1Q = C⇒ =

( ) 0=φ r2∇ solución en −d/2 ≤ z ≤ d/2:( )z Az B= +φ

V2

V1

1 2C1 / 2 C2 / 2;

z d z dV V

∂ =− ∂ == = = ==φ φ φ φ

2 1 2 1

2( ) ( )V V V V

z d z− +≈ = +φ φr

O

∂C2

∂C1

Z

ε00z

0

=ε

E uσ

2Q= −1eS σ

( )1e d dz0σ = −ε φ 2e= −σ

S d0ε

Eext(r)≅0

Eext(r)≅0

σe2= −σ0

σe1= σ0ρ << R

ZR

dS

φ(r)n1

n2

⇒⇒ φ(r)≈φ(z)

ε0

( )1 2V V d0 −= ε


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FlexP

4. 4.5 5. 5.5 6.

-1.

-0.5

0.

0.5

1.CAMPO E (efectos de borde)zoom(4,-1,2,2)

9.00 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00

Fle

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

-4.

-3.

-2.

-1.

0.

1.

2.

3.

4.

b

c

d

e

f

gh

i

j kl

m

n

opq r

s

t

o

x

LINEAS DE POTENCIAL Yzoom(0,-1.25*c,2.5*c,2.5*c

max 1.00u : 1.00t : 0.90s : 0.80r : 0.70q : 0.60p : 0.50o : 0.40n : 0.30m : 0.20l : 0.10k : 0.00j : -0.10i : -0.20h : -0.30g : -0.40f : -0.50e : -0.60d : -0.70c : -0.80b : -0.90a : -1.00min -1.00

F

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

-4.

-3.

-2.

-1.

0.

1.

2.

3.

4.

o

x

MÓDULO Ezoom(0,-1.25*c,2.5*c,2.5

9.00 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00

FlexPDE

0. 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1

-0.9

-0.6

-0.3

0.

0.3

0.6

0.9

b

b

cd efghi j kl m np q rs t

t

o

x

LINEAS DE POTENCIAL (detalle)zoom(0,-1,2,2)


z

ρ

z

ρz

ρ

z

ρ

FlexLINEAS DE POTENCIAL Y Czoom(0,-1.25*c,2.5*c,2.5*c)


R/d=12.5

CC22

CC11

CC22

CC11


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3.9 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 5.7 6.

-0.9

-0.6

-0.3

0.

0.3

0.6

0.9

o

x

0. 2. 4. 6. 8. 10.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

a

a

a

^ ^ ^ ^1 23 4

aa bb

ccdd

z

ρ

Distribución del campo E (módulo) en los bordes del condensador

Densidad superficial de carga en conductor

x

aa bb

ccdd

σeε0

bb

cc

CC22

CC11

9.00 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 6.00 5.50 5.004 50

4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.500.00


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Sistema de dos conductores: condensador cilSistema de dos conductores: condensador cilííndricondricoSoluciSolucióón al problema del potencialn al problema del potencial

superficies conductoras ∂C1:ρ =a y ∂C2: ρ = bproblema del potencial en a < ρ < b (vacío)

simetría cilíndrica (h >> b−a)

condiciones de contorno “Dirichlet” (p. e.)

Capacidad del condensadorcarga eléctrica en ∂C1 y ∂C2

valor de la capacidad eléctrica:

∂C2 ∂C1

2 1( ) 0ddd d

ρ=ρ ρ ρ

φ⎛ ⎞∇ =⎜ ⎟⎝ ⎠

φ r ( ) lnA Bρ = ρ +φ

C20

∂=φ

1 21Q V VC −= ( ) ( )2 lnh b a0= π ε

solución en a ≤ ρ ≤ b

( )1

ln( ) lnV

a b bρ

ρ=φ

σσee11

φφ((rr)) εε00

∂C1

∂C2

b

aOσσee22

EE((rr))

n1n2

QQ22

εε00

⇒⇒ φ(r)≈φ(ρ)

2C2V

∂=φ )a= (ρ=φ

)b= (ρ=φ

( )1 2 1 lne ea b V b a0σ = − σ =ε ⇒⇒ QQ11= = −−QQ22QQ11

ZZ

hh

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