Campi magnetici generati da correnti - Pagina principale · Andrea Zucchini Liceo Scientifico E....

Andrea Zucchini

Liceo Scientifico E. Fermi

Bologna

Campi magnetici generati da correnti

Andrea Zucchini


Bologna

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Campo magnetico generato nel punto r dal filo percorso da corrente i

( )2

0 sin4 r

sdiBd

θπµ ⋅⋅

=rr

AmT 104 7

0 ⋅⋅= −πµ

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Legge di Biot-Savart

30

4 rrsdiBdrrr ×

⋅=πµ

∫∫×

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ll rrsdiBdB 3

0

4

rrrr

πµ

La curva l rappresenta la geometria del filo

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Campo magnetico attorno ad un filo

• Il filo percorso da corrente è circondato da campo magnetico

• Il campo è più forte vicino al filo e diminuisce allontanandosi dal filo

• L’orientamento del campo magnetico segue la regola della mano destra

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Regola della mano destra• Prendete il filo

ponendo il pollice nella direzione della corrente

• Chiudete la mano• Le 4 dita indicheranno

l’orientamento delle linee del campo magnetico concentriche al filo

Campo entrante

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Campo magnetico attorno ad un filo rettilineo infinitamente lungo percorso da corrente continua

∫∫×

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ll rrsdiBdB 3

0

4

rrrr

πµ

diB

πµ2

0=r

30

4 rrsdiBdrrr ×

⋅=πµ

43421

r

θ

πµ

cos

22220

4 dxd

dxdxiBd

++⋅=

( ) cdxd

xdxdx ++

=+∫−

22223

22

( ) 202

3220 2

44 diddxdxidB ⋅=+⋅= ∫

+∞

∞−

−

πµ

πµr

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= θπθ

2sincos

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Campo magnetico al centro di una spira percorsa da corrente

∫∫×

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ll rrsdiBdB 3

0

4

rrrr

πµ

20

4 rrdiBd θ

πµ

⋅=r

∫⋅=π θ

πµ 2

02

0

4 rrdiB

r

riB

20µ=

r

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Campo magnetico sull’asse di una spira percorsa da corrente

∫∫×

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ll rrsdiBdB 3

0

4

rrrr

πµ

( )

22

cos

220

4 xRRd

xRRiBd

+⋅

+⋅=

θπµ

α43421

r

( ) ∫∫−

+⋅=+

⋅+

⋅=ππ

θπµθ

πµ 2

0

23

22202

02222

0

44dxRRi

xRRd

xRRiB

r

( ) 23

2220

2−

+⋅= xRRiB µr

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Esperienza di Oerstedinterazione corrente – ago magnetico

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Esperienza di Faradayinterazione campo magnetico – filo percorso da corrente

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Esperienza di Ampereinterazione coppia di fili percorsi da corrente

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ldiikF 21=

27

0 AN104 −×= πµ

πµ2

0=k

27

AN102 −×=k

ldiiF 210

2πµ

=

Definizione dell’AmpereDati due fili percorsi da corrente, la forza con cui interagiscono è data dalla relazione

e ponendo

(permeabilità magnetica del vuoto)avrò

e quindi infine

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Forza su filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico

BliFrrr

×=

ldiiF 210

2πµ

=

21 BliFrrr

=

2Br

Considero due fili percorsi da corrente e utilizzando le relazioni

e

mi riprometto di dare una relazione che mi consenta di valutare il campo magnetico prodotto all’intorno di un filo percorso da corrente.Avrò per il filo 1

dove

esprime il campo magnetico generato dal filo 2

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ldiiF 210

2πµ

=

ldiiBli 210

21 2πµ

=rr

diB 20

2 2πµ

=r

diB

πµ2

0=r

Forza su filo percorso da corrente immerso in un campo magneticoD’altra parte la forza i interazione fra i due fili sarà

quindi si dovrà avere

da cui semplificando

o in generale il modulo del campo magnetico a distanza d all’intorno di un filo percorso da corrente i sarà

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ar

l

ilr

∆

ilr

∆

iar

ii larr ∆⋅

CircuitazioneConsidero un campo vettoriale

e una curva chiusa

stabilisco un verso di percorrenza di che assumo indicare il verso positivo delle tangenti.Suddivido la curva chiusa in n segmenti , orientati come indicato dal verso positivo della curva chiusa

per ogni

considero il corrispondente vettore

calcolo il prodotto scalare

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ar

l

( ) ∑=

∆⋅=Γn

iii laa

1

rrr

( ) ∫∑ ⋅=∆⋅=Γ=∞→ l

n

iii

nldalaarrrrr

1lim

Si dice circuitazione del campo vettoriale sulla curva chiusa orientata

la sommatoria

Al solito per il calcolo esatto della circuitazione si dovrebbe passare al limite per una suddivisione in infiniti segmenti

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( ) iddildBB 0

0 22

µππµ

===Γ ∫rrr

( ) ∑∑∫ ===Γk

kk

k iildBB 00 µµrrr

( ) 0=Φ BS

r

Pur dovendo essere maggiormente approfondito, consideriamo la circuitazione del campo magnetico attorno al filo, calcolata sulla circonferenza di raggio dSi avrà

Se all’interno della circonferenza passano più fili percorsi da corrente si avrà

Questa relazione va sotto il nome di teorema di AmpereEsiste un analogo del teorema di Gauss per il campo magnetico e ci dice che

come conseguenza dell’assenza delle cariche magnetiche.

Teorema di Ampere

Teorema di Gauss per il campo magnetico

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Campo magnetico all’interno di un conduttore percorso da corrente i

( ) ∑∑∫ ===Γk

kk

k iildBB 00 µµrrr

2

2

02RrirB

ππµπ =

r

rRiB 20 2π

µ=r

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Solenoide

( ) ∑∑∫ ===Γk

kk

k iildBB 00 µµrrr

( ) inhihBBk

k 00 µµ ===Γ ∑rr

inhhB 0µ=r

inB 0µ=r

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Toroide o Toro

( ) ∑∑∫ ===Γk

kk

k iildBB 00 µµrrr

( ) NiirBBk

k 002 µµπ ===Γ ∑rr

rNiB

πµ2

0=r

Nel toro il campo non è uniforme ma diminuisce all’aumentare del raggio

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