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DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia

Exercícios Resolvidos Parte III


1. Verifique a equação que dá o número médio de

mensagens chegando no intervalo de tempo T.

[ ] ( ) TtnPNEn

n λ== ∑∞

=0

E N!" #$= nPn T( )n=0

∞

∑ = nλT( )

ne−λT

n!n=0

∞

∑ = e−λTλT( )

n

n−1( )!n=1

∞

∑

= e−λT λT +λT( )

2

1!+λT( )

3

2!+ ...

(

)

***

+

,

---= e−λTλT 1+

λT( )1

1!+λT( )

2

2!+ ...

(

)

***

+

,

---

= e−λTλTeλT = λT


2. Em uma fábrica chegam em média 7 pedidos por semana. Qual a probabilidade

de ocorrer a chegada das quantidades de pedidos abaixo em uma mesma semana?

a)  zero pedidos:

b) 7 pedidos:

c) Até 7 pedidos:

d) Acima de 7 pedidos:

Pn t( ) =λt( )

ne−λt

n!

P0 t( ) =7( )0e−7

0!≅ 0,001

P7 t( ) =7( )7e−7

7!≅ 0,149

P≤7 t( ) = P0 t( )+ P1 t( )+ P2 t( )+ P3 t( )+ P4 t( )+ P5 t( )+ P6 t( )+ P7 t( )

=7( )0e−0

0!+7( )1e−7

1!+7( )2e−7

2!+7( )3e−7

3!+7( )4e−7

4!+7( )5e−7

5!+7( )6e−7

6!+7( )7e−7

7!≅ 0,598

P>7 t( ) =1− P≤7 t( ) =1−0,598 = 0,402


3. Considere um sistema de fila M/M/1 com taxa de chegada de λ clientes/s.

a)  Encontre a taxa de serviço necessária tal que a fila média seja de 5 clientes.

b)  Encontre a taxa de serviço necessária para que a fila que se forma de

tempos em tempos tenha média 5.

Nq =ρ 2

1− ρ( )= 5⇒ ρ 2 +5ρ −5= 0 ρ =

−5± 52 − 4 ⋅ −5( )2

=−5± 452

=−5,854

0,854

#$%

&%

ρ =λµ= 0,854 ⇒ µ =1,17λ

P Nq = j | Nq > 0!" #$=P Nq = j!" #$

P Nq > 0!" #$=1− ρ( )ρ j

ρ= 1− ρ( )ρ j−1

E Nq | Nq > 0!" #$= jP Nq = j | Nq > 0!" #$j=1

∞

∑ = j 1− ρ( )ρ j−1 =11− ρj=1

∞

∑ = 5

5−5ρ =1 ⇒ ρ = 45= 0,8 ⇒ λ

µ= 0,8 ⇒ µ =1,25λ


4. Uma empresa possui um sistema com 4 linhas telefônicas conectando duas

de suas localidades. Suponha que requisições para estas linhas cheguem de

acordo com um processo de Poisson a uma taxa de uma chamada a cada 2

minutos e que as durações das chamadas sejam distribuídas

exponencialmente com média igual a 4 minutos. Quando todas as linhas

estão ocupadas, o sistema atrasa (isto é, filas) as requisições de chamadas

até que uma linha se torne disponível. Encontre a probabilidade de esperar

por uma linha.

λ =12

chamadas/minuto

µ =14

chamadas/minuto

ρ =λµ=1 21 4

= 2


Probabilidade de ter que esperar:

p0 =ρ n

n!+ρm

m!1

1− ρ /m( )n=0

m−1

∑#

$%%

&

'((

−1

= 1+ 2+ 22

2+23

6+1624

1

1− 24

)

*

++++

,

-

.

.

..

#

$

%%%%

&

'

((((

−1

=323

P entrar na fila!" #$=

ρm

m!1

1− ρ m( )ρ n

n!+ρm

m!1

1− ρ m( )n=0

m−1

∑=

24

4!1

1− 2 4( )233

= 0,1739


5. Suponha que o sistema M/M/1 seja usado para modelar um sistema com

capacidade K e que a probabilidade de rejeitar clientes seja aproximada para

P[N = K]. Compare esta aproximação com o valor exato de probabilidade

para o modelo M/M/1/K.

Para M/M/1:

Para M/M/1/K:

Para ρ < 1 e K grande, a aproximação P[N’=K] = P[N=K] é boa.

Se ρ > 1, a aproximação para o sistema M/M/1 não é possível pois a

probabilidade se torna negativa.

P N = K!" #$= 1− ρ( )ρK

P !N = K"# $%=1− ρ( )ρK1− ρK+1

= 1− ρ( )ρK 1+ ρK+1 + ρ 2K+2 + ρ3K+3 + ..."#

$%


6. Encontre a probabilidade de equilíbrio P(n) de que a rede está no estado n = (n1, n2, n3) para a rede aberta de filas abaixo:

λ

1

µ1 3

µ3

2

µ2 1/2

1/2

1/2

1/2

λ1 = λ

λ2 =12λ +12λ3 =

32λ

λ3 = λ2 +12λ = 2λ

ρ1 =λµ1

ρ2 =3λ2µ2

ρ3 =2λµ3

Assumindo que ρi < 1, i = 1, 2, 3, então pelo teorema de Jackson:

P n1, n2 , n3!" #$= P n1

!" #$P n2!" #$P n3

!" #$= 1− ρ1( )ρ1n1 1− ρ2( )ρ2

n2 1− ρ3( )ρ3n3 n1, n2 , n3 ≥ 0


7. Encontre p[n ≥ m + k] para uma sistema M/M/m.

pn =ρ n

n!p0 para n ≤m

pn =ρ n

m! mn−mp0 para n ≥m

p0 =ρ n

n!+

ρ n

m!mn−mn=m

∞

∑n=0

m−1

∑$

%&

'

()

−1

=ρ n

n!+ρm

m!1

1− ρ /m( )n=0

m−1

∑$

%&&

'

())

−1

p n ≥m+ k"# $%=ρ n

m!mn−mn=m+k

∞

∑ p0 =ρ n+m+k

m!mn+kn=0

∞

∑ p0

=ρm+k

mm+kρ n

m!mn−mn=0

∞

∑ p0

=ρm+k

mm+kρm

m!1

1− ρ /m( )p0


p n ≥m+ k"# $%=ρm+k

mm+kρm

m!1

1− ρ /m( )p0

=ρm+k

mm+kρm

m!1

1− ρ /m( )1

ρ n

n!+ρm

m!1

1− ρ /m( )n=0

m−1

∑

=ρ 2m+k

m!mm+k 1− ρ /m( ) ρ n

n!+mm+kρm

n=0

m−1

∑


8.  Encontre o tempo médio de espera e o atraso médio em um sistema M/G/1 no

qual o tempo de serviço é uma variável aleatória m-Erlang com média 1/µ.

Compare os resultados com os sistemas M/M/1e M/D/1.

V.a. m-Erlang:

f X x( ) =λe−λx λx( )

m−1

m−1( )!; x > 0,m > 0

E X!" #$=mλ

Var X!" #$=mλ 2


E X!" #$=kλ=

1µ

⇒ λ = kµ

Média = 1/µ, então

Atraso médio:

Var X!" #$=kλ 2

=k

kµ( )2=1kµ 2

Cb2 =

σ b2

1 µ 2=1 kµ 2

1 µ 2=1k

T = 1λE N!" #$=

1λρ + ρ 2

1+Cb2

2 1− ρ( )!

"&&

#

$''

T = ρλ1+ ρ

1+Cb2

2 1− ρ( )"

#$$

%

&''=1µ1+ kµ

µ

1+ 1k

2 1− kµµ

(

)*

+

,-

"

#

$$$$

%

&

''''

=1µ3− k2 1− k( )


Para M/M/1:

Para M/D/1:

Então, TM/D/1 < TM/M/1 < TM/G/1

T = 1µ1+ ρ1− ρ

"

#$

%

&'=1µ1+ k1− k

"

#$

%

&'=1µ11− k

T = 1λE N!" #$=

1λρ + ρ 2

1+02 1− ρ( )

!

"&&

#

$''=1kµ

k + k 2 1+02 1− k( )

!

"&&

#

$''=1µ1+ k2 1− k( )

!

"&&

#

$''

=1µ

2 1− k( )+ k2 1− k( )

!

"&&

#

$''=1µ

2− k2 1− k( )!

"&&

#

$''


λ

1

µ1 3

µ3

2

µ2 1/2

1/2

1/4

1/2

4

µ4

1/4

1/4

1/4

9. Encontre a probabilidade de equilíbrio P(n) de que a rede está no estado n = (n1, n2, n3, n4) para a rede aberta de filas abaixo:


λ1 = λ

λ2 =12λ1 +

14λ3 =

12λ +12λ = λ

λ3 = λ2 +14λ1 +λ4 = 2λ

λ4 =14λ3 +

14λ1 =

12λ +14λ =

34λ

ρ1 =λµ1

ρ2 =λµ2

ρ3 =2λµ3

ρ4 =3λ4µ4

Assumindo que ρi < 1, i = 1, 2, 3, 4, então pelo teorema de Jackson:

P n1, n2 , n3, n4!" #$= P n1

!" #$P n2!" #$P n3

!" #$P n4!" #$

= 1− ρ1( )ρ1n1 1− ρ2( )ρ2

n2 1− ρ3( )ρ3n3 1− ρ4( )ρ4

n4 n1, n2 , n3, n4 ≥ 0

P n1, n2 , n3, n4!" #$= 1−λµ1

&

'(

)

*+λµ1

&

'(

)

*+

n1

1− λµ2

&

'(

)

*+λµ2

&

'(

)

*+

n2

1− 2λµ3

&

'(

)

*+2λµ3

&

'(

)

*+

n3

1− 3λ4µ4

&

'(

)

*+3λ4µ4

&

'(

)

*+

n4

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