F128 - Exerc­cios Resolvidos - Cap. 9A - Centro ... Uma barra com sec§£o ortogonal de...

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    F128 - Exerccios Resolvidos - Cap. 9A

    Exerccio 1Uma barra com seco ortogonal de rea uniforme A e comprimento L feita de modo que adensidade (x) ao longo da mesma varia linearmente do valor 1 na extremidade esquerda aovalor 2 na extremidade direita. Determine a posio do seu centro de massa.

    Neste caso, como no Exerccio 1, aproveitamos a simetria do problema e notamos que o centrode massa estar em algum ponto na linha central que atravessa a barra. Em relao a uma dasextremidades da barra a posio do centro de massa dada por:

    xCM =1M

    L0xdm (x)

    Neste caso, como a densidade varia linearmente ao longo da barra temos:

    (x) = 1 + (2 1)x

    L

    E a massa da barra deve ser calculada somando-se a massa de cada plaquinha de dimensesA dx que, unidas, formam a barra:

    M = L

    0dV =

    L0 (x)Adx

    = A L

    0

    [1 + (2 1)

    x

    L

    ]dx

    = A[1L+ (2 1)

    1L

    L2

    2

    ]

    = AL2 (1 + 2)

    Voltando expresso para o centro de massa:

    xCM =1M

    L0x (x)Adx

    = 1M

    L0x[1 + (2 1)

    x

    L

    ]Adx

    = 1M

    [1L2

    2 + (2 1)1L

    L3

    3

    ]A

    = 2AAL (1 + 2)

    (16L

    21 +13L

    22

    )

    = L3

    (1 + 221 + 2

    )

    c2015 Resolvido por Douglas D. Souza.Para aulas particulares na UNICAMP: delgadosouza@gmail.com

  • 2

    Exerccio 2Um cachorro de 4, 5kg est em p sobre um barco de 18kg e se encontra a 6, 10m da margem.Ele anda 2, 4m no barco em direo margem, e ento para. O atrito entre o barco e a gua desprezvel. A que distncia da margem est o cachorro quando ele para?

    Como no existem foras externas atuando sobre o sistema o centro de massa permanece namesma posio. Antes do movimento o centro de massa est localizado em:

    xCM =1

    MT otal

    j

    xjmj =mcxi +mb (xi L/2)

    mc +mb

    Aps o deslocamento do cachorro temos:

    xCM =mcxf +mb (xf + x L/2)

    mc +mb

    Comparando estas quantidades e separando a posio final do cachorro xf encontramos:

    xf = xi mbxmc +mb

    = 4, 18m

    Exerccio 3No sistema representado na figura abaixo, os atritos so desprezveis. Em t = 0 (com o sistemaem repouso) comunica-se ao carrinho de massa m1 uma velocidade instantnea v0 = 2, 0m/s paraa direita.

    c2015 Resolvido por Douglas D. Souza.Para aulas particulares na UNICAMP: delgadosouza@gmail.com

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    Dados: m1 = 0, 2kg; m2 = 0, 3kg; k = 50N/m:a) Qual ser a compresso mxima da mola, no decorrer do movimento posterior do sistema?Notemos que no existem foras dissipativas no sistema, isso implica que a energia mecanica

    total conservada durante todo o movimento. Alm disso, notemos que no existem forasexternas atuando na horizontal. Isso implica que o momento linear total na horizontal constante durante todo o movimento.

    Para resolvermos este problema de forma simples usamos os dois fatos anteriores para calcu-larmos as quantidades pedidas.

    Instante inicial

    Energia mecnica totalA energia mecanica total inicial a soma da energia cintica dos blocos m1 e m2 e daenergia da mola. Inicialmente a mola est relaxada (Umola = 0) e apenas o bloco m1 estem movimento, temos assim:

    E0 =12m1v

    20

    Componente horizontal do momento linear totalDevemos somar os momentos de cada elemento do sistema. Como apenas o bloco m1 estse movendo temos:

    Px0 = m1v0

    Instante posterior, em que a mola est comprimida ao mximo

    Energia mecnica totalQuando a mola est maximamente comprimida, com uma compresso x, sua energia po-tencial Umola = 12kx

    2. Neste instante interessante notar que um bloco est paradoem relao ao outro, caso contrrio a mola estaria se distendendo ou comprimindo, o quecontraria a nossa suposio inicial de que a mola est maximamente comprimida1. Vamoschamar a velocidade comum aos dois blocos de vf e escrever a energia mecnica total nese

    1Segue abaixo uma argumentao detalhada para justificar porque os blocos esto parados um em relao aooutro (ou seja, os dois esto com a mesma velocidade) quando a mola est maximamente comprimida:Se os blocos estivessem se aproximando, bastaria ento esperar um pouco mais para que a mola estivesse mais

    comprimida, isso vai contra a suposio inicial de que ela j est comprimida ao mximo no instante escolhido. Seos blocos estivessem se afastando, isto implicaria que em um momento anterior a mola estava mais comprimida, oque tambm contraria a nossa escolha do instante atual como sendo o que a mola est maximamente comprimida.

    c2015 Resolvido por Douglas D. Souza.Para aulas particulares na UNICAMP: delgadosouza@gmail.com

  • 4

    instante:

    Ef =12m1v

    2f +

    12m2v

    2f +

    12kx

    2

    Componente horizontal do momento linear totalComo os dois blocos se movem com a mesma velocidade vf temos:

    Pxf = m1vf +m2vf

    Resolvendo o problema

    Lembrando que E0 = Ef e Px0 = Pxf obtemos:

    12m1v

    20 =

    12 (m1 +m2) v

    2f +

    12kx

    2

    m1v0 = (m1 +m2) vf

    Destas duas equaes podemos encontrar as duas incgnitas: x e vf .

    Compresso mxima da mola:

    Tomando o quadrado da segunda equao, multiplicando por 12(m1+m2) e substituindo na primeiraobtemos:

    12m1v

    20 =

    12

    m21(m1 +m2)

    v20 +12kx

    2

    kx2 = m1v20 m21

    (m1 +m2)v20

    x2 = 1k

    [m21 +m1m2 m21

    m1 +m2

    ]v20

    x =

    m1m2k (m1 +m2)

    v0

    Usando os valores numricos obtemos x = 0, 098m = 9, 8cm.b) No instante de compresso mxima, qual a velocidade de cada bloco?Os dois blocos possuem a mesma velocidade neste instante, dada por:

    vf =m1

    m1 +m2v0

    Usando os valores numricos temos vf = 0, 8m/s.c) Que frao da energia cintica inicial foi usada apara comprimir a mola?

    c2015 Resolvido por Douglas D. Souza.Para aulas particulares na UNICAMP: delgadosouza@gmail.com

  • 5

    A energia cintica total inicial era de

    K0 =12m1v

    20 = 0, 4J

    A energia acumulada na mola no instante de mxima compresso

    Umola =12kx

    2 = 0, 24J

    E isto implica que houve uma converso de 60% da energia cintica inicial em energia potencialda mola, restando apenas 0, 16J para a energia de movimento destes corpos.

    Exerccio 4Um bloco de massa m est em repouso sobre uma cunha de massa M que, por sua vez, estsobre uma mesa horizontal, conforme figura abaixo. Todas as superfcies so lisas (sem atrito).O sistema parte do repouso, estando o ponto P do bloco distncia h acima da mesa. Qual avelocidade da cunha no instante em que o ponto P tocar a mesa?

    Neste problema novamente no existem foras dissipativas, ou seja, temos a conservao daenergia mecnica total. E novamente no temos foras externas atuando na horizontal, o queimplica na conservao da componente horizontal do momento linear total.

    Instante inicial

    Energia mecnica totalA energia mecnica total inicial composta apenas pela energia potencial gravitacionalacumulada no bloquinho m, j que est tudo parado inicialmente. Sendo h a alturainicia dobloquinho temos:

    E0 = mgh

    Componente horizontal do momento linear totalComo tudo est parado inicialmente temos:

    Px0 = 0

    c2015 Resolvido por Douglas D. Souza.Para aulas particulares na UNICAMP: delgadosouza@gmail.com

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    Instante posterior, quando o bloquinho m toca a mesa

    Energia mecnica totalPara um observador externo2 que permaneceu parado, o bloquinho desceu e moveu-se paraa direita enquanto a cunha foi para a esquerda. Chamando de ~V e ~v a velocidade final dacunha e do bloquinho, conforme vista por este observador parado, a energia mecnica total dada por:

    Ef =12MV

    2 + 12mv2

    Sabemos que ~V horizontal e ~v faz um ngulo (que ainda no conhecemos) com a horizontal.Vamos apenas escrever a energia total em termos das componentes das velocidades:

    Ef =12MV

    2 + 12m(v2x + v2y

    )

    Componente horizontal do momento linear totalAdotando como positivo o sentido da esquerda para a direita, o momento total na horizontal dado por:

    Pxf = MV +mvx

    Vnculo do movimento e resoluo

    preciso notar que , que o ngulo da cunha, o ngulo que a velocidade do bloquinho emrelao cunha faz com a horizontal. Isto , no referencial da cunha o bloquinho desce em umadireo que faz um ngulo com a horizontal. Este ngulo diferente para um observador externoparado. Para um observador externo o ngulo que a velocidade do bloquinho faz com a horizontal maior, pois a cunha est movendo-se para trs naquele instante e temos uma composio vetorialde velocidades:

    ~v = ~vBC + ~V

    2Note que no caso inicial o observador escolhido est parado em relao ao centro de massa do sistema. Nopodemos mudar de observador se quisermos usar conservao de energia e momento para resolvermos o problema.Alm disso, o observador precisa estar parado ou em movimento constante. Por exemplo, mudar de referencial eescolher a cunha como referencial para escrevermos a energia e o momento errado, pois a cunha acelerada paraa esquerda e no referencial inercial.

    c2015 Resolvido por Douglas D. Souza.Para aulas particulares na UNICAMP: delgadosouza@gmail.com

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    As componentes de ~vBC so aquelas observadas no referencial da cunha:

    vBCx = vBC cos vBCy = vBCsen

    Podemos ento escrever as componentes da velocidade do bloquinho no referencial so observa-dor externo:

    vx = vBC cos Vvy = vBCsen

    Como energia mecnica e momento linear na horizontal se conservam, temos:

    E0 = Ef

    mgh = 12MV2 + 12m

    (v2x + v2y

    )mgh = 12MV

    2 + 12m[(vBC cos V )2 + (vBCsen)2

    ]mgh = 12MV

    2 + 12m[v2BC 2V vBC cos + V 2

    ]

    e

    Px0 = Pxf0 = MV +mvxvx =

    M

    mV

    vBC cos V =M

    mV

    vBC =M +mm cos V

    Substi