Lista de Exercícios - Espaço Vetorial

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               V  = { (x, y) ∈ R 2 |  y ≥ 0}   R 2  V     (x, y) + (x , y ) = ( x + x , yy )   λ(x, y) = (λx, λy)   R 2    R    V  = { (x, y) ∈ R 2 |  x, y ∈  R}   R    (x 1 ,y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1  + x 2 , y 1  + y 2 )  α(x, y) = (x, αy)  (x 1 ,y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 , y 1 )  α(x, y) = ( αx, αy)  (x 1 ,y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (2x 1  − 2y 2 , x 2  + y 1 )  α(x, y) = (x, αy)  (x 1 ,y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1  + x 2  − 1, y 1  + y 2  − 1)  α(x, y) = (αx α + 1, αy α + 1)  V  = { x ∈ R|  x > 0} x + y  =  xy   α(x, y) = x α α ∈ R  V    R    n × n    a a + b a b :  a, b ∈ R  V  = { (a,a,...,a) ∈ R; a ∈ R}  {(1,a,b) :  a, b ∈ R}  {(x, x + 3); x ∈ R}  {(a, 2a, 3a) :  a ∈ R}  S    V   V  = R 3  S  = { (x,y,z) ∈ R 3 |  x  = 0}  V  = R 3  S  = { (x,y,z) ∈ R 3 |  x   }  V  = M (2, 2)   S  = { A ∈ M (2, 2) |  A   }  V  = P 3   S  = {  p ∈ P 3  |  p (t) ≥ 0, t ∈ R}  V  = P   S  = {  p ∈ P  |  p (0) = 2  p(1)}  R 4  W  = { (x,y,z,t) ∈ R 4 |  x  + y  = 0  e z − t = 0}  U  = { (x,y,z,t) ∈ R 4 |  2 x + y t = 0  e z = 0}  M (2, 2)  V  = {  a b c d   a,b,c,d ∈ R   b = c}  W  = {  a b c d   a,b,c,d ∈ R   b = c + 1}  W  = { (x, y) ∈ R 2 |  ( x 1)(y 1) = 1}   R 2  

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Transcript of Lista de Exercícios - Espaço Vetorial

  • Universidade Federal Rural do Semi-rido

    Departamento de Cincias Exatas e Naturais

    Disciplina: lgebra Linear Perodo: 2013.2

    Prof

    a

    : Suene Campos

    Lista 1: Espaos Vetoriais

    1. Seja V = {(x, y) R2| y 0}, com as operaes usuais do R2. o conjunto V um espao vetorial?2. Com relao s operaes (x, y) + (x, y) = (x+ x, yy) e (x, y) = (x, y), seria o R2 um espaovetorial sobre R?

    3. Verique se V = {(x, y) R2| x, y R} um espao vetorial sobre R com as operaes de adioe de multiplicao por escalar dadas por:

    (a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); (x, y) = (x, y).

    (b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1); (x, y) = (x, y).

    (c) (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 2y2,x2 + y1); (x, y) = (x, y).(d) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 1, y1 + y2 1); (x, y) = (x + 1, y + 1).4. Seja V = {x R| x > 0} com as operaes de adio e de multiplicao por escalares dadas por:

    x+ y = xy e (x, y) = x, R

    Verique que V um espao vetorial sobre R.

    5. Verique se os conjuntos abaixo so espaos vetoriais reais, com as operaes usuais. No caso

    armativo, exiba uma base e d a dimenso.

    (a) Matrizes diagonais n n(b)

    {(a a+ ba b

    ): a, b R

    }.

    (c) V = {(a, a, ..., a) R; a R}.(d) {(1, a, b) : a, b R}.(e) A reta {(x, x+ 3);x R}.(f) {(a, 2a, 3a) : a R}6. Verique se S um subespao vetorial do espao vetorial V nos seguintes casos:

    (a) V = R3 e S = {(x, y, z) R3 | x = 0}(b) V = R3 e S = {(x, y, z) R3 | x um nmero inteiro }.(c) V =M(2, 2) e S = {A M(2, 2) | A invertvel }.(d) V = P3 e S = {p P3 | p(t) 0,t R}.(e) V = P e S = {p P | p(0) = 2p(1)}.7. Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 so subespaos.

    (a) W = {(x, y, z, t) R4 | x+ y = 0 e z t = 0}(b) U = {(x, y, z, t) R4 | 2x+ y t = 0 e z = 0}8. Responda se os subconjuntos abaixo so subespaos deM(2, 2). Em caso armativo exiba geradores.

    (a) V = {(a bc d

    )com a, b, c, d R e b = c}

    (b) W = {(a bc d

    )com a, b, c, d R e b = c+ 1}

    9. Mostre que W = {(x, y) R2 | (x 1)(y 1) = 1} no um subespao vetorial do R2.1

  • 10. Por que o subconjunto W = {(x, y, z) R3 | x+ y z = 1} no um subespao vetorial?11. Seria W = {(x, y, z) R3 | x2 + y2 = 1} um subespao vetorial do R3? Por que?12. Expresse o vetor v = (1, 1, 2,1) como combinao linear dos vetores

    v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 0), v4 = (1, 0, 0, 1)

    13. Identique o subespao W de M(2, 2) gerado pelo vetores

    v1 =

    (0 10 0

    ), v2 =

    (0 00 1

    ), v3 =

    (1 01 0

    )

    14. Identique o subespao W do R3 gerado pelo conjunto

    S = {(1, 0, 0), (1, 0, 1)}

    15. Encontre um conjunto gerador do subespao W = {(x, y, z) R3 | x+ y + z = 0}.16. Verique que os vetores 1, 1 t, (1 t)2 e (1 t)3 geram o espao P3.17. Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se adbc = 0, mostre que eles so LD. Se adbc 6= 0,mostre que eles so LI.

    18. Considere o subespao do R4

    S = [(1, 1,2, 4), (1, 1,1, 2), (1, 4,4, 8)]

    O vetor (2/3, 1,1, 2) pertence a S? O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?

    19. Seja W o subespao de M(2, 2) denido por

    W =

    {(2a a+ 2b0 a b

    )| a, b R

    }

    (a)

    (0 20 1

    )W?

    (b)

    (0 23 1

    )W?

    20. SejaW o subespao deM(3, 2) gerado por

    0 01 10 0

    , 0 10 1

    1 0

    e

    0 10 00 0

    . O vetor

    0 23 45 0

    pertence a W?

    21. Quais so as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relao base = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0,1)}?22. Seja V =M(2, 2), e seja W o subespao gerado por(

    1 54 2

    ),

    (1 11 5

    ),

    (2 45 7

    ),

    (1 75 1

    )Encontre uma base, e a dimenso de W .

    23. Considere o subespao de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (2, 2, 1, 1, )e v4 = (1, 0, 0, 0).

    (a) O vetor (2,3, 2, 2) [v1, v2, v3, v4]? Justique.(b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual a dimenso?

    (c) [v1, v2, v3, v4] = R4? Por que?2

  • 24. Considere o subespao de R3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,1, 1) e v3 = (1, 1, 1).[v1, v2, v3] = R3? Por que?

    25. Seja W = [v1, v2, v3] o subespao do R3, gerado pelos vetores

    v1 = (2, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (1, 1, 1)(a) Determine uma base e a dimenso de W .

    (b) Determine o valor de para que o vetor v = (, 2,2) pertena W .26. No espao vetorial P2 dos polinmios de grau 2, verique se os vetores so LI ou LD.(a) p1(t) = 1 + 2t+ t

    2, p2(t) = 2 + 4t+ 2t2.

    (b) p1(t) = t+ t2, p2(t) = 2, p3(t) = 1 + 2t

    2.

    (c) p1(t) = 1 + t, p2(t) = 2 + t, p3(t) = 2t2.

    27. Mostre que = {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} uma base do subespao W = {(x, y, z) R3 | x = 0}.28. Determine a dimenso do subespao do R3 gerado pelo conjunto de vetores

    S = {(1, 0, 2), (0,1, 2), (2, 1, 1), (2, 2, 2)}

    29. Verique se os vetores

    v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3, 2), v3 = (2, 5, 6, 4), v4 = (2, 6, 8, 5)

    formam uma base do R4. Se no, encontre a dimenso e uma base do subespao gerado por eles.

    30. Seja W = [v1, v2, v3, v4] o subespao do R4 gerado pelos vetores

    v1 = (1,1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0)(a) O vetor v = (2,3, 2, 2) est em W?(b) Exiba uma base do espao W?

    (c) W = R4 ou W um subespao prprio do R4.

    31. Sejam W1 e W2 os subespaos do R3 dados por

    W1 = {(x, y, 0) | x, y R} e W2 = {(x, y, x y) | x, y R}(a) Calcule dim(W1 W2) e dim(W1 +W2).(b) O conjunto W1 W2 um subespao vetorial do R3? Se for, qual a dimenso?32. Considere os seguintes subespaos do R4:

    W1 = {(x, y, z, t) R4 : x+ y = z t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) R4 : x y z + t = 0}Determine bases dos subespaosW1,W2,W1W2 eW1+W2. correto armar queW1+W2 = R4?33. No espao M(2, 2), considere os subespaos

    W1 =

    {(a bb a

    ): a, b R

    }e W1 =

    {(x yx y

    ): x, y R

    }(a) Determine bases de W1,W2,W1 W2 e W1 +W2.(b) Exiba um vetor do espao M(2, 2) que no pertena a W1 +W2.

    34. (a) Dado o subespao V1 = {(x, y, z) R3 | x + 2y + z = 0} ache um subespao V2 tal queR3 = V1 V2.(b) D exemplos de dois subespaos de dimenso dois de R3 tais que V1 + V2 = R3. A soma direta?

    3

  • 35. Seja W = [v1, v2, v3] o subespao de P2, gerado pelos vetores

    v1 = 1, v2 = 1 t+ t2 e v3 = 1 2t+ 2t2

    (a) Os vetores v1, v2 e v3 so LI ou LD?

    (b) Determine uma base e a dimenso de W .

    (c) Construa uma base de P2, da qual faam parte os vetores v1 e v2.

    36. Mostre que R3 = [(1, 0, 0)] [(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0,1)].37. Se W1 = {(x, y, z) R3 : x + 2y + z = 0}, encontre um subespao W2, de dimenso 1, tal que

    R3 =W1 W2. Por que dimW2 deve ser igual a 1?38. Sejam {(1, 0), (0, 1)}, 1 = {(1, 1), (1, 1)}, 2 = {(

    3, 1), (

    3,1)} e 3 = {(2, 0), (0, 2)} basesordenadas de R2.

    (a) Ache as matrizes de mudana de base:

    (i)[I]1 (ii)[I]1

    (iii)[I]2 (iv)[I]3

    (b) Quais so as coordenadas do vetor v = (3,2) em relao base:(i) (i)1 (iii)2 (iv)3

    (c) As coordenadas de um vetor v em relao base 1 so dadas por

    [v]1 =

    (40

    )Quais so as coordenadas de v em relao base:

    (i) (ii)2 (iii)3

    39. Se

    [I]

    =

    1 1 00 1 11 0 1

    ache

    (a) [v] onde [v] =

    123

    (b) [v] onde [v] =

    123

    40. Em R3 considere as bases

    = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0,1)} e = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

    (a) Encontre as matrizes de mudana de base [I]

    e [I] e verique que [I]

    [I]

    = I3

    (b) Determine as coordenadas do vetor v = (1, 2,1) nas bases e .41. No espao dos polinmios P2 considere as bases = {1, 1 + t, t2} e = {2,t, 1 + t2}

    (a) Encontre as matrizes de mudana de base [I]

    e [I] e verique que [I]

    [I]

    = I3

    (b) Determine as coordenadas do vetor v = t2 + t 2 nas bases e .42. Determine [v] , sabendo que as coordenadas do vetor v do R3 na base e a matriz de mudana

    [I]

    so dadas por

    [v] =

    123

    e [I] = 1 1 00 1 1

    1 0 1

    4