Exercícios de triangulos

21
Resolução lista FGV – Aula 05 1. (FUVEST - 2010) No triangulo ABC da figura, a mediana AM , relativa ao lado BC , e perpendicular ao lado AB . Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se α e a medida do angulo A ˆ B C, determine a. sen α. b. o comprimento AC. c. a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB . d. a área do triangulo AMC. Resolução: a. sen b. Lei dos cossenos no triângulo AMC

Transcript of Exercícios de triangulos

Resolução lista FGV – Aula 05

1. (FUVEST - 2010) No triangulo ABC da figura, a mediana AM , relativa ao lado BC , e perpendicular

ao lado AB . Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se α e a medida do angulo A B C, determine

a. sen α.

b. o comprimento AC.

c. a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB .

d. a área do triangulo AMC.

Resolução:

a.

sen

b.

Lei dos cossenos no triângulo AMC

c.

d.

2. (FUVEST - 2010) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola

vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir.

Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola

vermelha.

Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de

incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca?

Resolução:

+ { -

-

-

-

-

-

3. (FGV - 2010) Bem no topo de uma arvore de 10,2 metros de altura, um gavião casaca-de-couro, no

ponto A da figura, observa atentamente um pequeno roedor que subiu na mesma árvore e parou

preocupado no ponto B, bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em relação ao chão. Junto à

árvore, um garoto fixa verticalmente no chão uma vareta de 14,4 centímetros de comprimento e,

usando uma régua, descobre que a sombra da vareta mede 36 centímetros de comprimento.

Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra do gavião percorrer 16 metros em linha reta e

ficar sobre a sombra do roedor, que não se havia movido de susto.

Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de voar para capturar o roedor, se ele voa

verticalmente de A para B?

Resolução:

4. (FGV - 2010) Seja ABC um triângulo retângulo em B tal que 7 3

AC2

e BP = 3, onde BP é a altura

do triângulo ABC pelo vértice B.

A menor medida possível do ângulo tem aproximação inteira igual a

Dado:

tg Valor aproximado de em graus

2

3 25,2º

2

2 35,3º

3

2 40,9º

2 2

3 43,3º

2 3

3 49,1º

a. 25º b. 35º. c. 41º. d. 43º. e. 49.

Resolução:

( √

)

√ √

Como deve ter a menor medida possível, tg deve ser o menor possível.

Alternativa: c

5. (UNICAMP - 2010) O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um

brinquedo muito comum no Brasil. A figura a seguir mostra as dimensões de um papagaio simples,

confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de

bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da

folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e

tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.

a. Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio.

b. Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.

Resolução:

a) é equilátero

CE= √

Área =

( √ )

Área = (√ ) √

b) Seja O o centro da circunferência do arco .

Como AD e AB são tangentes, OD e OB são perpendiculares a AD e AB,

respectivamente.

Portanto o arco é um quarto da circunferência de centro em O e raio

OB.

√ √

6. (FGV - 2010) O perímetro de um triângulo equilátero, em cm, é numericamente igual à área do

círculo que o circunscreve, em cm².

Assim, o raio do círculo mencionado mede, em cm,

a. 3 2

b.

3 3

c. 3 d.

6

e.

3

2

Resolução:

Alternativa: b.

7. (FGV - 2010) A figura indica uma circunferência de diâmetro AB = 8 cm, um triângulo equilátero

ABC, e os pontos D e E pertencentes à circunferência, com D em AC e E em BC .

Em cm², a área da região hachurada na figura é igual a

a. 64. b. 8. c. 8 3 .3

d. 4 3 .

3

e. 4 3 .

2

Resolução:

√ √

(√

)

Alternativa: c.

8. (FGV - 2010) Em um triângulo ABC, o lado AC e a mediatriz de BC se interceptam no ponto D,

sendo que BD é bissetriz do ângulo . Se AD = 9 cm e DC = 7 cm, a área do triângulo FIGURA D,

em cm2

, é

a. 12. b. 14. c. 21. d. 28. e. 14 5 .

Resolução:

( )

temos

Alternativa: e

9. (FGV - 2009) Sejam a, b e c retas paralelas e distintas, com b entre a e c, tais que a distância entre a

e b seja 5, e a distância entre b e c seja 7. A área de um quadrado ABCD em que A a, B b e C c

é igual a:

a. 35 b. 42 c. 50 d. 74 e. 144

Resolução:

Alternativa: d

10. (FUVEST - 2008) O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo equilátero DEF. Um círculo de

raio r está no interior do triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo,

conforme a figura.

Assim, determine

a. a razão entre R e r .

b. a área do triângulo DEF em função de r .

Resolução:

a) -

-

-

b)

11. (UNIFESP - 2008) Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura.

Um deles você usa para formar o círculo da figura I, e o outro você corta em 3 partes iguais para

formar os três círculos da figura II.

Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada

por

a. S = 3s. b. S = 4s. c. S = 6s. d. S = 8s. e. S = 9s.

Resolução:

R: raio da circunferência maior

r: raio da circunferência menor

Alternativa e.

12. (Fgv 2007) Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC, e ABM é um triângulo equilátero

cuja medida do lado é 1.

A medida do segmento GN é igual a

a. (2 2)

3. b.

( 6)

3. c.

( 5)

3. d.

( 7)

6. e.

( 6)

6.

Resolução:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABN, temos:

(

)

Mas G é baricentro, então:

Alternativa: d

13. (FUVEST - 2007) A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está

no segmento CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção da diagonal AC com o

segmento BE.

Então a área do triângulo BCF vale

a. 6

5 b.

5

4 c.

4

3 d.

7

5 e.

3

2

Resolução:

Considere A, a área do triângulo, então temos:

Portanto a área do triângulo BCF, fica:

Alternativa: b

14. (FGV - 2007) Na figura, a reta suporte do lado BC do triângulo ABC passa pelo centro da

circunferência. Se A = 15°

, BC = 4 cm, e o raio de ë mede 2 cm, a área sombreada na figura, em

cm2

, é igual a

a. (9 )

3

π .

b. [6 ( 3) 2 ]

3

π.

c. (9 2 )

3

π .

d. [3 ( 3) ]

3

π .

e. [2 ( 6) ]

3

π .

Resolução:

Considere A, a área do triângulo, então temos:

E a área do setor circular, fica:

Portanto:

Alternativa: a

15. (FUVEST - 2007) A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD , inscrito em uma

circunferência cujo centro O está no interior do trapézio.

Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = 3 2 .

a. Determine a altura do trapézio.

b. Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito.

c. Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência.

Resolução:

a.

( √ )

b.

16. (UNICAMP - 2007) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-

se que o ângulo A tem 90°

e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado

em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC = 3.

a. Determine r.

b. Determine AB e AC.

c. Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo.

Resolução:

a.

( ) ( )

( )( )

b.

c.

17. (FGV - 2006) Um fabricante produz um tipo de telha que tem a forma abaixo, cujas medidas estão

expressas em cm na figura 1.

Ele pretende fabricar outro tipo de telha em que, como se observa na figura 2, há semicircunferências

de raio R.

a. Se as áreas A1 e A

2 devem ser iguais para que a vazão de água da chuva se mantenha a mesma,

qual é o valor de R?

b. Qual é a economia de material, expressa em porcentagem, que o fabricante vai obter com a

mudança do tipo de telha? As duas chapas têm larguras iguais, L, e comprimentos diferentes.

Resolução:

a.

Figura A1:

Figura A2:

Portanto, temos:

b.

Na figura 1 é preciso de uma chapa com 40 cm de comprimento.

Na figura 2 é preciso de uma chapa de: cm de comprimento.

Economia de 21,5%

18. (FGV - 2005) Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm, AB = 15 cm e BC = 14 cm.

Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente QR

AR é igual a

a. 0,3. b. 0,35. c. 0,4. d. 0,45. e. 0,5.

Resolução:

Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna no triângulo ABC, temos:

Agora aplicamos o mesmo teorema no triângulo ABQ:

Alternativa c.

19. (UNIFESP - 2005) Com base na figura, o comprimento da diagonal AC do quadrilátero ABCD, de

lados paralelos aos eixos coordenados, é:

a. 2 2 b. 4 2 c. 8 d. 4 5 e. 6 3

Resolução:

Ponto A: {

Ponto B: {

Ponto D: {

√ √ √

Alternativa d.

20. (FGV - 2005) Na figura, ABCD é um quadrado, e M, N e P são pontos médios de AD, BC e CD,

respectivamente:

Sabendo-se que os segmentos de reta BM, BD e NP dividem o quadrado em polígonos de áreas S1, S

2,

S3 e S

4, conforme indica a figura, é correto afirmar que

a. 6 S1 = 6 S

2 = 4 S

3 = 3 S

4

b. 4 S1 = 3 S

2 = 3 S

3 = 5 S

4

c. 3 S1 = 3 S

2 = 2 S

3 = 4 S

4

d. 3 S1 = 3 S

2 = 6 S

3 = 2 S

4

e. 3 S1 = 3 S

2 = 2 S

3 = 6 S

4

Resolução:

Portanto temos:

Alternativa e.