Exercícios de Estatística (1991- 2007) – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

QUESTÃO 2 – 1991 Com respeito às distribuições de freqüência pode-se afirmar que:

(0) É sempre verdade que a média está localizada entre a mediana e a moda.(1) O coeficiente de variação, / é sempre maior do que um.(2) A mediana é menos sensível que a média a valores extremos (ou discrepantes).(3) O coeficiente de correlação é uma medida independente de escala.(4) A diferença entre o terceiro e o primeiro quartil, chamada de intervalo interquartil, é uma medida de dispersão.

QUESTÃO 5 – 1991

Seja uma amostra aleatória x x xn1 2, ,..., de uma população com média e variância 2 .

Considere os estimadores para a média:

1 = x1 , 2 = 1

1nxi

i

n

, 3 = x n( / )2 .

onde x n( / )2 corresponde ao (n/2)-ésimo elemento da amostra após a ordenação da mesma em

forma crescente.

(0) Os três estimadores da média são não tendenciosos.

(1) Para n 2 tem-se que a relação entre as variâncias é dada por: var(1 ) < var(3)

var(2 ).

(2) Se o tamanho da amostra cresce o único estimador consistente é 2 .

(3) Se o tamanho da amostra cresce todos os estimadores têm distribuição normal.(4) Se a distribuição da população é normal, para n fixo, as distribuições dos estimadores

1 , 2 , 3 também são normais.

QUESTÃO 7 – 1991Com respeito aos testes de hipóteses pode-se afirmar que:

(0) O nível de significância de um teste é a probabilidade de cometer erro do tipo I, isto é, a probabilidade de aceitar a hipótese nula, quando ela é falsa.

(1) O valor 1 - é o poder do teste, onde é a probabilidade do erro do tipo II, isto é, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

(2) Se x xn1 ,..., é uma amostra aleatória de uma população normal com média e variância

conhecida 2 , para testar

H0 : 0 contra H1 : 0

usa-se a distribuição t de Student.(3) Dada uma população de indivíduos de tamanho n, deseja-se verificar se a população de

empregados é de 0,5. Esta verificação pode ser feita através do teste de hipóteses:

H0 : p 1 2/ contra H1 : p 1 2/

usando-se, para tanto, a distribuição normal como aproximação da binomial.(4) Uma empresa afirma que 60% dos seus empregados são ligados à produção. Para verificar esta

afirmativa, o sindicato decide usar uma amostra de 200 trabalhadores e observa que 105 deles estão ligados à produção. Ao nível de significância de 5% pode-se afirmar que o número de empregados ligados à produção é inferior a 60%.

QUESTÃO 11 – 1991

Considere uma amostra aleatória y yn1 ,..., de uma variável normal Y de média e variância 2 .

Definem-se os seguintes estimadores:

yyi

n , s

yi y

n2

2

( )

Pode-se então afirmar que:

(0) E(s2) = 2 .

(1) Var(y) = 2s2 /n.

(2) y é um estimador não tendencioso de e de variância mínima.

(3) ns2 / 2 tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

(4) y tem distribuição normal.

QUESTÃO 14 – 1991O lucro Y de uma empresa em função do tempo, X, tem distribuição normal com média seguindo

a estrutura linear de regressão + X e variância, por pressuposição, constante. Ajustando-se esse modelo por mínimos quadrados a uma série de 5 anos obtiveram-se os somatórios abaixo:

X = 15, Y = 38, X 2 = 55, Y 2 = 362, XY = 141.

Pode-se afirmar que, exceto por erro de arredondamento,

(0) A estimativa do termo constante é -0,5.

(1) O quadrado do coeficiente de correlação múltipla R 2 é 80%.

(2) A estimativa do coeficiente de X é 1,4.(3) A estimativa da variância do erro estocástico é 0,10.(4) A soma dos quadrados explicada pelo modelo é 85,6.

QUESTÃO 15 – 1991

Ainda em relação à questão anterior pode-se concluir que, exceto por erro de arredondamento:

(0) O erro padrão da estimativa de é igual a 0,77.(1) O erro padrão da estimativa de é igual a 0,10.(2) A previsão do lucro para X = 10 é 26,5 milhões de cruzeiros.(3) O coeficiente do tempo é altamente significativo produzindo um valor observado da estatística t

de Student de 27.(4) A estatística F de adequação do modelo é 729.

QUESTÃO 4 – 1992Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas, então:

(0) Se elas forem independentes, E(XY) = E(X)E(Y).(1) Se elas forem independentes, Cov(XY) = 0.(2) Se elas forem independentes, V(X/Y) = V(X)/V(Y).

(3) O coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y é dado por Cov X Y V X V Y( , ) / ( ) ( )

.(4) Se o coeficiente de correlação for nulo, isto indica que X e Y são independentes.

QUESTÃO 5 – 1992Qual o menor valor que k pode assumir, de acordo com o Teorema de Tchebycheff, para que

[ ( ) , ]P k x k 0 06 , isto é, a probabilidade de x estar entre k e k seja maior ou

igual a 0,06?QUESTÃO 7

As distribuições Normal, t, F e x 2 são muito utilizadas em Econometria. sobre elas pode-se

afirmar que:

(0) Somente a Normal é simétrica.(1) Todas têm como parâmetro o número de graus de liberdade.(2) Todas são limitadas na reta real.

(3) A variável x 2 resulta da soma de variáveis aleatórias independentes que têm distribuição Normal

padronizada.(4) A F é, por definição, a razão de duas variáveis qui-quadrado.

QUESTÃO 8 – 1992Sejam duas variáveis aleatórias X e Y quaisquer provenientes de distribuições com médias

x ye e variâncias x ye2 2 respectivamente. Pode-se afirmar então que:

(0) Se a correlação entre X e Y for zero, então elas são independentes.

(1) Para verificar se o coeficiente de correlação é significativo a estatística do teste a ser utilizado tem distribuição t de Student.

(2) Se as variáveis X e Y forem independentes, então a soma aleatória das distribuições das duas

variáveis terá uma população de média x y x y e variância x y x y 2 2 2 .

(3) Se as variáveis X e Y forem independentes, então a população resultante da diferença entre as

duas variáveis terá média x y x y e variância x y x y 2 2 2 .

(4) Se admitirmos que , coeficiente de correlação populacional é igual a zero ( = 0), a distribuição amostral de r, coeficiente de correlação amostral, é simétrica em relação a zero.

QUESTÃO 9 – 1992

Considere x x xn1 2, , , uma amostra aleatória extraída de uma população que tem distribuição

Normal com média e variância 2 . Pode-se dizer que:

(0) xxi

n

_

é um estimador não-viesado em .

(1) Sxi x

n2

2

1

( )_

é um estimador não-viesado de 2 .

(2) x_

tem distribuição Normal com média e variância unitária.

(3) S 2 tem distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.

(4) P[-x_

< < x_

] = 68%.

QUESTÃO 10 – 1992O intervalo de confiança permite avaliar a precisão de um estimador. Sobre ele é possível afirmar

que:

(0) O nível de confiança indica a probabilidade do parâmetro populacional estar dentro do intervalo estabelecido.

(1) O tamanho do intervalo varia inversamente com o tamanho da amostra.(2) Dado um tamanho de amostra, quanto maior o nível de confiança, menor o erro amostral

permitido.

(3) O intervalo com 100% de confiança para a variância 2 estende-se de - a +.

QUESTÃO 11 – 1992Economistas afirmam que o salário médio anual de advogado é maior do que o salário médio

anual de economista.

(0) Para testar a afirmação dos economistas é necessário apenas a hipótese de que as populações originais sejam normais.

(1) A estatística do teste tem distribuição normal.

(2) A hipótese alternativa deverá ser Ha A E: .

(3) Rejeitar a hipótese nula implica em aceitar a veracidade da afirmativa.

(4) A hipótese nula deverá ser H A E0: .

QUESTÃO 9 – 1993 O Teorema Central do Limite (TCL), resultado maior dentre os teoremas da teoria da

probabilidade, nas versões estudadas na graduação, estabelece condições que asseguram a convergência de somas de variáveis aleatórias, convenientemente padronizadas, à distribuição normal.

(0) Esta convergência se dá em probabilidade, ou seja, é a mesma da Lei Fraca dos Grandes Números.(1) As variáveis aleatórias utilizadas na composição da soma não precisam ser independentes.

(2) Se as variáveis aleatórias, atendendo às hipóteses do TCL, tem a mesma média e variância 2 , o

teorema garante que a soma das n primeiras, subtraídas de n, e dividida por n, converge para uma distribuição normal com média 0 e variância 1 (N(0,1)).

(3) A convergência de uma distribuição binomial (n,p), onde n é o número de ensaios de Bernouilli e p é a probabilidade de sucesso em cada um, quando n aumenta, pode ser provada como um simples caso particular do TCL.

QUESTÃO 10 – 1993Quanto à desigualdade de Tchebyshev, supondo-se que uma variável aleatória tenha média e

variância finita, ela assegura que a probabilidade:

(0) da variável assumir um valor maior ou igual a n é menor ou igual à variância mais a média

divididos por n2 .

(1) da variável ultrapassar a média de um valor maior ou igual n vezes o desvio padrão é menor ou

igual ao inverso de n2 .

(2) da variável ultrapassar a média de um valor maior ou igual a n é menor ou igual ao inverso de n2 .

(3) da variável ultrapassar a média de um valor maior ou igual a n é menor ou igual ao segundo

momento dividido por n2 .

QUESTÃO 13 – 1993Com relação às distribuições t, Qui-quadrado e F pode-se afirmar que:

(0) A soma de normais com média 0 e variância 1 dá sempre uma Qui-quadrado.(1) Uma F com m e n graus de liberdade resulta da divisão de uma Qui-quadrado com m graus de

liberdade por uma Qui-quadrado com n graus de liberdade, sendo ambas independentes.

(2) A Qui-quadrado com m graus de liberdade resulta da soma de m normais independentes, de média zero, ao quadrado.

(3) A distribuição t de n graus de liberdade coincide com a de F com 1 e n graus de liberdade.(4) A raiz quadrada de uma Qui-quadrado com 2 graus de liberdade dividida por dois distribui-se com

uma distribuição normal com média 0 e variância 1.

QUESTÃO 14 – 1993Dada uma população finita, de tamanho N, e uma amostra aleatória de tamanho n,

(0) a média amostral é um estimador não viesado da média da população somente se a amostragem for feita com reposição.

(1) a variância da média amostral será igual à variância da população sobre n somente se a amostragem for feita com reposição.

(2) 2 multiplicado por N

N 1 é sempre um estimador não viesado da variância da população.

(3) intervalos de confiança para a média da população podem ser obtidos, na maioria dos casos, i.e. n maior que 40, com o auxílio da distribuição normal.

QUESTÃO 1 – 1994Um comerciante atacadista vende determinado produto em sacas que deveriam conter 16 kg. A

pesagem de uma amostra aleatória com 100 sacas revelou os resultados descriminados na tabela a seguir:

PESOS (EM KG) NÚMERO DE SACAS

14,75 ├── 15,25 5

15,25 ├── 15,75 10

15,75 ├── 16,25 45

16,25 ├── 16,75 30

16,75 ├── 16,75 10

TOTAL 100

(0) A média da pesagem das sacas é exatamente 16 kg.(1) Sendo o desvio-padrão da amostra de sacas igual a 0,477 kg, o valor do coeficiente de variação é

2,95%.(2) A percentagem de sacas com peso inferior a 15,75 kg é de 15%.(3) Se o comerciante aumentar em 2,00 kg o conteúdo de cada saca, a média das 100 sacas pesadas

não se alterará.(4) Se o comerciante aumentar em 2,00 kg o conteúdo de cada saca, o desvio-padrão dessa amostra

aumentará em 2,00 kg.

QUESTÃO 6 – 1994Seja X uma variável aleatória que representa o valor das vendas de um determinado produto em

um mês. X é normalmente distribuída com média $500 e desvio padrão $50. Podemos afirmar que:

(0) A probabilidade do valor das vendas ser superior a $600 é 5,3%.(1) No intervalo (450 ── 550) então contidas 68,3% de todos os possíveis valores das vendas mensais

do produto.(2) Em 20% dos casos as vendas são inferiores a $458.(3) A distribuição normal é plenamente especificada pelo seu parâmetro média.(4) A distribuição é contínua e simétrica em relação ao valor de vendas $500 e a moda divide a área

sob a curva em duas metades iguais.

QUESTÃO 7 – 1994De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia, retirou-se uma amostra aleatória de 400

válvulas e verificou-se que a vida média era de 800 horas, com um desvio-padrão de 100 horas.

(0) A estimativa da média populacional pertence ao intervalo (787,1 ── 812,9) com uma confiança de

99%.(1) Com uma confiança de 95% poderíamos afirmar que a vida média está no intervalo [(800 - 12) ──

(800 + 12)].(2) Para que seja de 95% a confiança na estimativa [(800 - 7,84) ── (800 + 7,84)] a amostra deve ser

composta por 625 válvulas.(3) O nível de confiança na estimação por intervalo (por exemplo 95%) significa que, construídos

todos os intervalos possíveis, 95% dos casos conterão o parâmetro populacional.(4) Quanto mais alto o grau de confiança, mais estreito é o intervalo de confiança correspondente.

QUESTÃO 8 – 1994Com relação aos testes de hipóteses, podermos afirmar que:

(0) O erro tipo I ou de primeira espécie consiste em se aceitar a hipótese nula ( )H0 quando ela é

falsa.(1) Os testes de hipóteses dizem respeito a regras de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese

estatística com base nos elementos amostrais.(2) A probabilidade de cometer o erro tipo II aumenta à medida que o valor do parâmetro se afasta

do valor testado.(3) Num teste de hipóteses para a média, quando a variância populacional é desconhecida, devemos

utilizar a estatística Z que tem distribuição N(0,1).(4) Sejam duas amostras provenientes de duas populações normais independentes. Se as variâncias

populacionais são iguais porém desconhecidas, a estatística a ser utilizada no teste de igualdade de médias é a “t” de Student com (n+m-2) graus de liberdade, onde n e m são os tamanhos das amostras e (n + m) < 30.

QUESTÃO 10 – 1994Deseja-se investigar a afirmação de que o salário médio anual dos economistas em São Paulo é

maior do que o salário médio anual dos economistas no Rio de Janeiro. Pode-se afirmar que:

(0) É necessário apenas que a amostra em cada população inclua os economistas com mais de 10 anos de profissão.

(1) É necessário assumir que os salários em ambas as populações seguem uma distribuição normal.

(2) A hipótese nula deverá ser H RJ SP0: em que RJ é a média populacional dos salários no

Rio de Janeiro e SP é a média populacional dos salários em São Paulo.

(3) Se o teste for estatisticamente significante podemos concluir que os economistas paulistas, na média, recebem um salário significante superior aos seus colegas cariocas.

(4) Quanto maior o tamanho da amostra, para um mesmo nível de significância, maior a possibilidade de se rejeitar a hipótese nula.

QUESTÃO 13 – 1994Suponha que uma certa distribuição com média desconhecida tenha variância igual a um. Quanto

deve ser o tamanho da amostra de forma que a probabilidade que a média amostral X difira da média populacional em 1/2, seja pelo menos 0.95?

QUESTÃO 2 – 1995

Sejam ( , , , )X X X n1 2 uma amostra aleatória com n elementos de certa população e um

parâmetro dessa população. Pode-se afirmar que:

(0) Um estimador T do parâmetro é função de ( , , , )X X X n1 2 .

(1) T será um estimador não-viesado de se E(T) = .

(2) A variância amostral, definida por ( )X X

n

ii

n

2

1 , é um estimador não-viesado da variância

populacional.

(3) {Tn } será uma seqüência consistente de estimadores de se: lim ( )n

nE T

0 e

lim ( ) .n

nVar T

1

(4) Se T1 e T2 são dois estimadores não-viesados de um mesmo parâmetro , e se Var(T1) < Var(T2

), então T1 é menos eficiente que T2 .

QUESTÃO 7 – 1995Pode-se afirmar que:

(0) O histograma relaciona graficamente duas variáveis.

(1) A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada na prática por ser insensível à dispersão dos valores observados.

(2) O desvio-padrão tem a mesma unidade de medida da variável original.(3) O coeficiente de assimetria é adimensional.(4) O coeficiente de variação é a razão entre a média aritmética e o desvio padrão.

QUESTÃO 9 – 1995Com relação aos testes de hipóteses, pode-se afirmar que:

(0) A probabilidade do erro tipo I, ou de primeira espécie, é denominada de nível de significância do teste.

(1) O erro tipo II, ou de segunda espécie, consiste em aceitar a hipótese nula ( H0 ) quando esta é

falsa.(2) Quanto menor for o nível de significância de um teste, mais extremo deve ser o valor calculado da

estatística do teste para que se rejeite ( H0 ).

(3) Em um teste de hipóteses para comparação de duas médias provenientes de populações normalmente distribuídas com variâncias iguais e desconhecidas, a estatística utilizada é a “t” de Student.

QUESTÃO 13 – 1995Quando se realiza um teste de hipótese, convém saber que:

(0) A conclusão do teste é sensível à forma como se define a hipótese nula.(1) A região de rejeição da hipótese nula deve abranger todos os valores que a estatística de teste não

pode assumir.(2) Sempre que possível, deve-se adotar nível de significância de zero por cento.(3) O poder do teste é dado pela probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta é falsa.(4) A estatística do teste a ser utilizada depende da distribuição do estimador.

QUESTÃO 14 – 1995O representante de um grupo comunitário informa a uma pessoa interessada em estabelecer um

centro comercial que a renda média familiar na área é de R$ 15.000. Suponha que, para a área em questão, seja possível admitir que a renda média familiar tem distribuição aproximadamente normal, e que se possa aceitar o desvio-padrão como sendo R$ 2.000 (com base em um estudo anterior). Para uma amostra aleatória de 16 famílias, a renda média familiar foi de R$ 15.500. O centro comercial só será construído se o nível médio de renda familiar () for maior que o informado.

(0) A hipótese nula deve ser H R0 000: $15. .

(1) A hipótese alternativa deve ser H R1 000: $15. . (2) Não pode ser realizado qualquer teste pois o número de elementos da amostra é pequeno.(3) A estatística que deve ser utilizada para a elaboração do teste é a Z, que tem distribuição N(0,1).

(4) Um teste feito ao nível de significância de 5% permite concluir que a condição para a construção do centro será satisfeita.

QUESTÃO 6 – 1996

Pode-se afirmar que:

(0) O coeficiente de variação é uma medida de tendência central.

(1) Se uma distribuição é bimodal, então seu coeficiente de assimetria é zero.

(2) A média aritmética é uma medida de tendência central mais sensível à presença de observações aberrantes do que a mediana.

(3) O coeficiente de assimetria tem a mesma unidade que o desvio padrão (amostral).

________________________________________________________________________________QUESTÃO 8 – 1996 Sejam X1, X2, ... , Xm e Y1, Y2, ... , Yn variáveis aleatórias independentes tais que

Xi~N(,2) e Yj~N(n,t2). Podemos afirmar que:

(0) Se num teste de hipótese com H0: =0 e H1: 0 e nível de significância de 5% rejeitamos H0, então o intervalo de confiança para a média, com nível de confiança igual a 95%, não irá conter o número zero.

(1) Se dispomos de dois testes (T1 e T2, digamos) apropriados para testar a hipótese H0: =n e precisamos escolher um deles, então se a potência (ou poder) de T1 é sempre superior à do teste T2 e ambos tem o mesmo nível de significância, é preferível usar o teste T2.

(2) Só podemos testar a hipótese H0: =n quando m=n.

(3) Só podemos usar o teste F para a hipótese H0: 2=t2 quando sabemos de antemão que =n

________________________________________________________________________________

QUESTÃO 9 – 1996

Seja . Considere o problema de estimação de a partir de uma amostra aleatória

e considere os três estimadores abaixo:

Podemos afirmar que:

(0) é tendencioso.

(1) é tendencioso e é não-tendencioso.

(2) Somente é não-tendencioso.

(3) é o melhor estimador linear não-tendencioso.

(4) e são não-eficientes.

(5) é consistente.______________________________________________________________________________

QUESTÃO 13 – 1996

Suponha que X1, X2, ... , Xn sejam identicamente distribuídas, tendo valor esperado e variâncias

comuns dados por e 2, respectivamente. Defina a variância amostral como

e considere as seguintes assertivas:

(I) A média amostral é um estimador consistente de .

(II) A variável (n-1)S2/2 tem distribuição de qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

(III) S2 é estimador não-tendencioso de 2.(IV) A média amostral tem distribuição normal.

Podemos afirmar que:

(0) Se X1, X2, ... , Xn são normalmente distribuídas, somente (II) está errada.

(1) A assertiva (III) é correta mesmo sem a hipótese de normalidade de X1, X2, ... , Xn.

(2) A assertiva (I) é conseqüência da Lei Fraca dos Grandes Números.

(3) Se X1, X2, ... , Xn são normalmente distribuídas, então a variável tem

distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, mesmo quando é diferente de zero.

_____________________________________________________________________________

QUESTÃO 14 – 1996

Considere a distribuição seguinte:

Valores de Y

0 1 f(x)

Valores de X

1

2

3

0

1/3

0

1/3

0

1/3

1/3

1/3

1/3

f(y) 1/3 2/3 1

Calcule Cov(X,Y).

_____________________________________________________________________________

QUESTÃO 1: 1997Com relação à Estatística Descritiva, podemos afirmar que:

(0) a média aritmética, a mediana e o decil de ordem 2 são as principais medidas de tendência central.(1) sob condições de regularidade usuais, se quisermos minimizar a soma do quadrado dos desvios em

relação a um determinado parâmetro, esse parâmetro é a média da distribuição.

(2) se a distribuição de um conjunto grande de dados é simétrica, o intervalo ( ; )x x inclui

aproximadamente 95% das observações do conjunto, onde x = média aritmética e = desvio padrão.(3) o conjunto {3, 3, 3, 4, 4, 9, 9, 18, 18, 18} é um exemplo de distribuição bimodal.(4) se uma distribuição é simétrica, então a média, a mediana e a moda coincidem.QUESTÃO 5: 1997A nota média de um exame de seleção para um emprego foi de 50, com desvio padrão de 10. Se os resultados estão normalmente distribuídos e se a nota mínima para ser contratado no emprego corresponde ao percentil de ordem 80, qual a nota mínima que o candidato deve obter para conseguir o emprego? (Considere apenas a parte inteira da resposta)

QUESTÃO 8: 1997Com relação a um estimador do parâmetro populacional , pode-se afirmar que:

(0) é dito consistente quando seu valor esperado é igual a , mesmo para amostras de tamanho pequeno.

(1) o melhor estimador de sob o critério de êrro quadrático médio mínimo não é necessàriamente não-tendencioso.

(2) um estimador de é chamado linear se é uma função linear das observações amostrais.(3) um estimador de é considerado relativamente eficiente se: a) é consistente; b) sua variância é menor

do que a variância de qualquer outro estimador consistente de .

QUESTÃO 9: 1997Com base na Teoria da Estimação, temos:

(0) Se é o parâmetro populacional e seu estimador, dizemos que é um estimador não-tendencioso ou não-viesado de se, e somente se, em média, tem o mesmo valor de .

(1) Com base numa amostra aleatória de duas observações ( X1 e X2 ) de uma distribuição populacional

com média , se W = 1 / 3 X + 2 / 3 X1 2 , então W é um estimador tendencioso de .

(2) Dada uma amostra aleatória de n observações, dizemos que é um estimador consistente do parâmetro populacional se

lim | |n

P

1 para qualquer > 0.

(3) Seja X uma variável aleatória com média e variância 2. Pela desigualdade de Tchebycheff temos que

P X kk

| | . 2

2 0 se k

QUESTÃO 10: 1997Seja X1,...,XN uma amostra aleatória de uma população com média e variância 2 . Sejam W e Z

estimadores de dados por:

Wi X

i

ii

N

i

N

1

1

; Z

X

N

ii

N

1 .

Pode-se afirmar que:

(0) W é não-tendencioso.(1) W é tendencioso, e Z é não-tendencioso.(2) Z é consistente.(3) W é consistente.(4) se N > 2 , Z é relativamente mais eficiente que W.

QUESTÃO 11: 1997

A vida útil de um tubo de televisão tem distribuição Normal com desvio padrão (conhecido) de 500 horas. O fabricante afirma que a vida útil média dos tubos é de, no mínimo, 9.000 horas. Sabendo-se que a vida útil média encontrada para uma amostra aleatória de 16 tubos foi de 8.800 horas, podemos afirmar que:

(0) Para verificar a veracidade da informação do fabricante através de um teste estatístico de hipóteses, as hipóteses são:

Hipótese nula : H0: = 9.000 horasHipótese alternativa : H1: > 9.000 horas

(1) Ao nível de significância de 5%, não podemos contestar a afirmação do fabricante.(2) Se a informação amostral fosse obtida de uma amostra de 36 tubos, ao nível de significância de 2,5%

também não podemos contestar a afirmação do fabricante.(3) O tamanho mínimo da amostra para uma estimativa por intervalo da vida média dos tubos deveria ser

de 50 tubos, de modo que o erro da estimativa não excedesse a 100 horas, com uma probabilidade de 95%.

(4) Caso desconheçamos o desvio padrão populacional é impossível testar a validade da afirmação do fabricante.

QUESTÃO 12: 1997Com base na Inferência Estatística, podemos fazer as seguintes afirmações:

(0) A redução da probabilidade de erro do tipo I não tem qualquer efeito sobre a probabilidade de erro do tipo II.

(1) Sob condições bastante gerais, à medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição de probabilidade da média da amostra torna-se mais concentrada em torno da média populacional e o intervalo de confiança torna-se menos amplo e mais preciso.

(2) Quando desejamos estimar a média populacional , se estamos trabalhando com amostras pequenas, com a variância populacional desconhecida, devemos utilizar a estatística “t” de Student, qualquer

que seja a distribuição de probabilidade da população, sendo tXS

n

, onde X = média amostral;

S = desvio padrão amostral; e n = tamanho da amostra.(3) Sejam: H0 a hipótese nula e H1 a hipótese alternativa de uma teste estatístico. Testar H0 consiste

essencialmente em determinar uma região crítica para a estatística em estudo, de forma que a probabilidade da estatística cair na região crítica, sendo H0 verdadeira, é um valor fixo , concordando em rejeitar esta hipótese se, e somente se, o valor da estatística cair na região crítica.

(4) É possível reduzir as probabilidades dos erros do tipo I e II com o aumento da amostra.

QUESTÃO 1: 1998Pode - se afirmar que:

(0) Multiplicando (ou dividindo) por um valor constante e arbitrário, c, cada elemento de um conjunto de números, o desvio padrão deste conjunto fica multiplicado (ou dividido ) pela constante c.

(1) No caso de dois conjuntos de e valores, onde e são,

respectivamente, suas variâncias e e suas médias, a variância combinada , , destes dois

conjuntos quando, , é igual a .

(2) Quando dois conjuntos de valores são expressos em unidades de medidas diferentes, é mais justificável o uso do desvio padrão (dispersão absoluta) do que o coeficiente de variação de Pearson, para efeito de comparação.

(3) Quando uma distribuição de frequência apresenta M (Moda) > M (Mediana) > (Média aritmética) ,

ela diz-se assimétrica a direita e, assimétrica a esquerda, em caso contrário. QUESTÃO 5: 1998Verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas.

(0)A variável aleatória “t” é definida como , onde Z tem distribuição normal-padrão e

2 é uma distribuição qui-quadrado com (n - 1) graus de liberdade.

(1) A distribuição “t” de Student tem média igual a (n - 1) e variância igual a (n - 1)/(n - 3).

(2) A distribuição de uma razão de duas variáveis aleatórias qui-quadrado independentes, divididas cada uma pelo seu respectivo número de graus de liberdade, é chamada de distribuição “F”.

(3) A estatística “F” pode ser utilizada para verificar a igualdade de duas variâncias provenientes de duas populações quaisquer.

QUESTÃO 6: 1998Seja o estimador do parâmetro :

(0)O erro quadrático médio é igual a variância do estimador se for um estimador não-tendencioso de .

(1) Um estimador é dito eficiente se for não-tendencioso e Var( ) Var ( ), onde é outro

qualquer estimador não-tendencioso de .

(2) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média e variância 2. Sejam x1 e x2 duas

observações de uma amostra aleatória de tamanho 2. Podemos afirmar que é um

estimador tendencioso de .

(3) Se é consistente, então é não tendencioso.QUESTÃO 7: 1998Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações :

(0) Se é um parâmetro populacional e seu estimador, a afirmação de que é um estimador

consistente de se para todo quando , é equivalente a afirmação de

que se e quando , então será um estimador consistente de .

(1) Se x é uma variável aleatória com E(X) = e variância , então a média amostral, , será um

estimador consistente da média populacional .

(2) A estatística, , baseada em uma amostra aleatória x , x ,x

,....,x é um estimador não tendencioso da variância populacional.

(3) A estatística, , baseada em uma amostra aleatória x , x ,x

,....,x é um estimador inconsistente da variância populacional.

QUESTÃO 9: 1998Uma máquina está sendo examinada com o objetivo de substituir a máquina antiga de certa indústria. Segundo o fabricante da nova máquina, a proporção (P) de peças defeituosas produzida é de 3% ou menos. Uma amostra de 2.000 peças foi examinada e foram encontradas 74 peças defeituosas.

(0) As hipóteses para um teste estatístico de hipóteses devem ser H0: P = 0,03 e HA: P < 0,03.

(1) Ao realizarmos o teste de hipóteses para o problema, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula deve ser rejeitada.

(2) Utilizando a proporção de peças defeituosas encontradas na amostra, a estimativa por intervalo para a verdadeira proporção de peças defeituosas produzida pela nova máquina, utilizando uma confiança de 95%, é ( 2,87%; 4,53%).

(3) Admitindo que a verdadeira proporção de peças defeituosas seja 3%, seria necessário uma amostra de 3.000 peças para que o erro máximo admissível entre a proporção estimada e a verdadeira não excedesse a 1%, com probabilidade de 95%.

(4) Se as probabilidade de que um intervalo de confiança contenha o verdadeiro parâmetro populacional é igual a (1 - ), isto significa que se retirássemos um número infinito de amostras da população em estudo e se para cada uma das amostras calculássemos o intervalo de confiança do parâmetro , então em (1 - )% destes intervalos conteriam o verdadeiro parâmetro .

QUESTÃO 6 – 1999

Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações :

(0) De acordo com o critério de eficiência, medido pela comparação entre as variâncias dos

estimadores, a média amostral é preferível a primeira observação como estimador da média

populacional, supondo-se que seja a variância da população.

(1) Seja um estimador não-viciado de . Se g( ) é uma função do parâmetro , então E[g( )]

g[E( )] com a igualdade ocorrendo somente quando g( ) for uma função linear.

(2) A função densidade de probabilidade da variável aleatória x é dada por para

e 0 para outros valores. Assim sendo, considerando-se uma amostra aleatória de tamanho ,

, o estimador de Máxima Verossimilhança de será igual ao Mínimo de

.

(3) Dado que as variâncias das estatísticas e são,

respectivamente , iguais a e , então é mais preciso do que embora seja uma

estatística viciada.

QUESTÃO 8 – 1999

Deseja-se estimar o faturamento médio, , de uma empresa. A informação que se tem é de que o desvio padrão dos valores das faturas desta empresa é de R$25,00. Se existem 500 faturas desta empresa, encontre o tamanho da amostra necessário para estimar, , com um limite sobre o erro de estimação de R$5,00. Considere somente a parte inteira da resposta.

QUESTÃO 9 – 1999

Podemos afirmar que:

(0) Pelo Teorema do Limite Central podemos afirmar que se a variável aleatória X tem uma distribuição qualquer com média e variância 2, então a distribuição de X (média da amostra) aproxima-se da distribuição normal com os mesmos parâmetros média e variância 2, quando o tamanho da amostra aumenta.

(1) Sejam as variáveis aleatórias X i (i= 1, 2, …, 10) independentes e normalmente distribuídas com

média = 10 e desvio padrão = 2. Então, se Y X ii

1

10

podemos afirmar que, a medida que n

cresce, Y tende para uma distribuição normal com média E(Y) = 1 e V(Y) = 0,2.

(2) Uma distribuição binomial tende a uma distribuição normal quando o número n de provas independentes de Bernoulli cresce.

(3) Se a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é conhecida, podemos calcular sua esperança e sua variância, se existirem. Embora a recíproca não seja verdadeira, poderemos estabelecer um limite superior (ou inferior) muito útil para as probabilidades da distribuição através do uso da desigualdade de Tchebycheff.

(4) Para qualquer tamanho de amostra, a distribuição amostral de proporções de uma amostra de sucessos é mais dispersa quando a proporção populacional é igual ½ e é menos dispersa quando a proporção populacional é igual a zero ou a um.

QUESTÃO 10 – 1999

Com relação a teoria de Teste de Hipóteses, pode-se afirmar que :

(0) Se o objetivo é testar a hipótese Nula , , contra a hipótese Alternativa de que,

, então deve-se rejeitar quando onde, o valor crítico, , é

determinado da distribuição t-Student ou da distribuição Normal em função do nível de significância .

(1) Um teste de hipótese é dito o mais poderoso se tem o maior poder do que qualquer outro teste, ainda que os níveis de significâncias sejam diferentes.

(2) Um teste de hipótese é não-viciado se seu poder é maior ou igual do que a probabilidade do erro do tipo I para todos os valores dos parâmetros.(3) A estatística t-Student é utilizada nos testes de hipóteses para a média populacional quando a variância

dos elementos da população, ,não é conhecida.

QUESTÃO 04 – 2000 Seja X1, X2 , ..., Xn uma amostra aleatória da densidade Normal(0,) e seja T= 1/n

. É correto afirmar que:

(0) T é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de .(1) T é um estimador tendencioso de .

(2) A variável aleatória Z = tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.

(3) E ( ) = 2.

(4) T é um estimador eficiente de .

QUESTÃO 05 – 2000Dadas as seguintes afirmativas sobre testes de hipóteses, é correto dizer que:

(0) A probabilidade do erro tipo I é calculada utilizando-se a estatística de teste, para cujo cálculo presume-se que a hipótese nula é falsa.

(1) Uma vez definida a região de confiança para um determinado parâmetro da população, várias hipóteses nulas podem ser testadas utilizando-se este intervalo de confiança.

(2) Quanto maior o p-valor, maior a credibilidade da hipótese alternativa.(3) A aceitação de determinada hipótese nula implica que esta hipótese seja verdadeira.(4) O poder de um teste é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa.QUESTÃO 07 – 2000

Seja Y uma variável aleatória contínua com distribuição de probabilidade f(y;), em que = (1,2 ,...,p). Considere uma amostra aleatória de Y, com tamanho n. Com relação à função de verossimilhança L(), é correto afirmar que:

(0) l()= ln L() = , em que ln é o logaritmo natural.

(1) A função de verossimilhança é também uma função de densidade de probabilidade, que possui, assim, todas as propriedades matemáticas associadas à uma função de densidade de probabilidade.

(2) Uma condição necessária a que os estimadores de máxima verossi- milhança devem

satisfazer é que a matriz { } i,j = 1, 2, ..., p, avaliada no ponto de máximo,

seja negativa definida. (3) Sendo Tn o estimador de máxima verossimilhança do parametro escalar 1, segue-se que Tn

apresenta a seguinte propriedade:

, > 0.

(4) Sendo = g(1), em que g(.) é uma função um a um de 1, e Tn é o estimador de máxima verossimilhança de 1, segue-se que o estimador de máxima verossimilhança de será Gn

= g(Tn )[d/d1] , em que a derivada é avaliada em 1= Tn.

QUESTÃO 08 – 2000

Sejam e dois estimadores do parâmetro p da distribuição Binomial, em que Y é a

variável desta distribuição e n o tamanho da amostra:

.

é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p.

Sob o critério do erro quadrado médio, para pequenas amostras, não há supremacia de um estimador sobre o outro.

O viés do estimador é dado por .

QUESTÃO 09 – 2000Uma urna contém bolas azuis e bolas verdes. Para testar a hipótese de que a proporção

de bolas azuis é igual a proporção de bolas verdes, obteve-se uma amostra de 64 bolas, com reposição, anotando-se as cores das bolas retiradas e adotando-se a seguinte regra: aceitar a hipótese de que a urna possui iguais proporções de bolas azuis e verdes se forem retiradas entre 28 e 36 (inclusive os extremos) bolas de uma mesma cor; rejeitá-la caso contrário. Calcule a probabilidade de se cometer um erro do tipo I. (Multiplique o resultado por 100 e arredonde).

QUESTÃO 03 – 2001 Uma amostra de tamanho n foi selecionada de uma população de m elementos. Pode-se afirmar que :

Ⓞ A média amostral é um estimador não tendencioso e eficiente da média populacional se todos

elementos de m tiverem a mesma probabilidade de serem selecionados .

① A variância da distribuição amostral de é se a população for infinita ou se a amostragem for

com reposição.

② Se a população for finita, a variância da distribuição amostral de é porque as

observações da amostra são independentes.

③ Se for uma variável aleatória qualquer a distribuição de será normal com média e variância

.

④ Se , então é um estimador assintoticamente não tendencioso.

QUESTÃO 05 – 2001Ao testar a significância do coeficiente angular ß de um modelo de regressão linear simples

encontrou-se valor-p = 3x10 . Pode-se afirmar que:

Ⓞ O erro tipo II será igual a 3x10 .

① A probabilidade de o verdadeiro valor do parâmetro encontrar-se no intervalo é

99,7%.

② O mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada é 3x10 .

③ O coeficiente é significante a 99% de confiança.④ A potência do teste é definida por (1 – 0,003).

QUESTÃO 06 – 2001Em relação ao intervalo de confiança estatístico pode-se afirmar:Ⓞ Utiliza-se a distribuição normal z padronizada para estimar-se o intervalo de confiança da média

populacional somente quando a população for normalmente distribuída.① Emprega-se um fator de correção para a estimativa do desvio-padrão quando a população é finita, ou a

amostra é extraída sem reposição.② Para aumentar a precisão de uma estimativa por intervalo, o pesquisador deve aumentar o intervalo de

confiança de 95% para 99%, por exemplo.③ Aumentando-se o tamanho da amostra, aumenta-se a precisão de uma estimativa por intervalo. ④ Sendo = 14 a média de uma amostra aleatória de 36 elementos extraída de uma população normal

cujo desvio padrão é = 2, o intervalo de confiança da média populacional, a 95%, será 14 0,55. Use a tabela da distribuição Normal em anexo.

QUESTÃO 07 – 2001Sobre testes de hipóteses, pode-se afirmar que:Ⓞ O erro do tipo I consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.① Nível de significância é a probabilidade de se cometer erro do tipo II.② Por potência do teste entende-se a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa. ③ A opção pelo teste unilateral ou bilateral decorre da expectativa teórica sobre o parâmetro que estiver

sendo testado. ④ Um intervalo de confiança de 100(1-)% também pode ser utilizado para o teste de

significância de um parâmetro populacional, caso o teste seja bilateral.

QUESTÃO 13 – 2001

Sabe-se que certa característica de uma população tem distribuição Qui-quadrado com 18 graus de liberdade. Tendo sido extraída uma amostra de 25 elementos desta população, estime a probabilidade de que a média amostral esteja no intervalo 15 21. Use a tabela da distribuição Normal em anexo. Resposta em percentagem, aproximando para o inteiro superior mais próximo.

QUESTÃO 04 – 2002 Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade que dependa do parâmetro desconhecido , tal que E(X) = . Seja também x1, x2, ..., xn uma amostra aleatória de X.

Ⓞ Para amostras suficientemente grandes, o estimador de máxima verossimilhança de , caso exista, segue uma distribuição Normal.

① Se é um estimador de , este não será viciado desde que . Além do mais, terá

variância mínima se ci=1/n para todo i.

② Se é um estimador não viciado de , então também será um estimador não viciado de

.

③ Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [0,], com > 0, então

máximo[x1, x2, ..., xn] não é um estimador consistente de .

④ Se e são dois estimadores do parâmetro em que E ( ) = 1 e E ( ) 2 mas Var ( ) < Var (

), então o estimador deve ser preferível a .

QUESTÃO 05 – 2002Indique se as seguintes considerações sobre a teoria dos testes de hipótese são verdadeiras (V) ou falsas (F).

Ⓞ O erro do tipo II é definido como a probabilidade de não se rejeitar uma hipótese nula quando esta for falsa e o erro do tipo I é definido como a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for verdadeira.

① No teste de hipótese para proporções, se a variância da proporção populacional for desconhecida, a estatística t de Student com n-1 graus de liberdade (n é o tamanho da amostra) é a indicada para o teste.

② Num teste de hipótese bi-caudal, o valor-p (ou valor de probabilidade) é igual a duas vezes a probabilidade da região extrema delimitada pelo valor calculado da estatística do teste.

③ Não se pode realizar um teste de hipótese para a variância populacional pois a estatística do teste, que segue uma distribuição Qui-quadrado com n -1 graus de liberdade (n é tamanho da amostra), não é simétrica.

④ No teste de hipótese para a média (H0: = 0 contra Ha: 0), ao nível de significância , se o intervalo de confiança com 1- de probabilidade não contiver = 0, não se poderá rejeitar H0.

QUESTÃO 02 – 2003Sejam: X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média e

variância 2; ; e , em que . É correto afirmar que:

Ⓞ é um estimador tendencioso da média ;

① Z é uma variável aleatória com distribuição com n graus de liberdade;

② é um estimador tendencioso da variância 2;

③ é uma variável aleatória normalmente distribuída com média n e variância 2;

④ a variável aleatória possui distribuição F com n1 e n2 graus de liberdade, em que n1 = 1 e n2

= 2n.

QUESTÃO 05 – 2003Com relação a testes de hipótese, é correto afirmar que:Ⓞ o p-valor de um teste representa a probabilidade de aceitação da hipótese nula;① o nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo I;② a potência do teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo II;③ em um modelo de regressão linear utiliza-se um teste bilateral para verificar se determinado

coeficiente é estatisticamente diferente de zero;④ o nível de significância de um teste de hipótese cresce com o tamanho da amostra.

QUESTÃO 02 – 2004Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média e

variância 2. Em relação ao teste de hipótese da média contra , são corretas as

afirmativas:

Ⓞ Se o p-valor do teste for menor que o nível de significância, α, a hipótese deve ser rejeitada.

① Se a variância for conhecida, a estatística do teste segue a distribuição t-Student. Caso contrário, a

distribuição do teste será a Normal Padrão.

② Dados os parâmetros da população: e = 900, suponha que a média de uma amostra aleatória

de tamanho 36 retirada desta população seja . Neste caso, o nível de significância do teste, α, será igual a 0,2743.

③ A função-potência para este teste de hipótese será uma função decrescente da média .

④ Se a hipótese alternativa fosse , ainda assim a função-potência seria decrescente com a

média .

QUESTÃO 06 – 2004Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média e variância conhecida 2 =1, da qual se obtém a amostra aleatória X1, X2, ..., Xn (com n observações). É correto afirmar que:Ⓞ A média amostral é uma variável aleatória normalmente distribuída com média e variância 1/n.

① A probabilidade de o intervalo de confiança conter a média da

população, , é de 95%.

② A probabilidade de o intervalo de confiança conter a média amostral é

de 95%.③ O intervalo de 95% para a média populacional independe do tamanho da amostra.④ Em um intervalo de confiança de 95% para a média populacional, μ, espera-se que, extraindo-se todas

as amostras de mesmo tamanho dessa população, esse intervalo conterá μ 95% das vezes.

QUESTÃO 08 – 2004Com respeito a inferência e estimação de parâmetros populacionais, é correto afirmar:

Ⓞ Suponha que a variável X tenha distribuição exponencial com densidade . As

estatísticas e mínimo[ ] são estimadores não-viciados de 1/, mas a segunda é

preferível à primeira por apresentar menor variância.

① O valor esperado da estatística é igual a , em que é a variância da

população. Então, um estimador não-tendencioso de será .

② Suponha que a variável aleatória x seja uniformemente distribuída no intervalo [0, ], em que é um

parâmetro desconhecido. O estimador de máxima verossimilhança de será =mínimo[

].

③ Se dois intervalos de confiança que estão sendo comparados apresentam o mesmo coeficiente de confiança, então se deve preferir aquele que apresenta a maior amplitude.

④ Suponha que x tenha distribuição N( ) em que seja desconhecido. O intervalo de confiança

para a média da população, , será em que (z) é a função

de distribuição Normal Padrão.

QUESTÃO 04 – 2005Duas fábricas, A e B, produzem determinado tipo de lâmpada. Um comprador dessas lâmpadas decide verificar a origem de seu estoque. Para isso, seleciona uma amostra aleatória de 100 unidades (de seu estoque) e verifica a duração de cada uma delas. Se a duração média for maior do que 170 horas, conclui que a lâmpada foi fabricada pela empresa B; caso contrário, que a lâmpada veio da empresa A. Os dois fabricantes asseguram que a duração de suas lâmpadas segue distribuição normal: a de A com média A = 169 horas e a da B com média B = 171 horas. As duas distribuições têm o mesmo desvio padrão = 10 horas. Usando a tabela da normal padrão, anexa, julgue as afirmativas:Ⓞ A probabilidade do erro Tipo I é 0,1587.① A probabilidade do erro Tipo II é diferente de 0,1587.② A regra de decisão, ao nível de significância de 5%, será: se a duração média for maior

que 170,64 horas, as lâmpadas foram fabricadas pela empresa B; do contrário, pela empresa A.

③ A probabilidade do erro do Tipo II, para o nível de significância de 5%, é 0,70.④ Para este teste de hipótese, a função poder do teste é crescente com a média , da distribuição sob a

hipótese nula.QUESTÃO 06 – 2005

Seja uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal com média

e variância . Julgue as afirmativas:

Ⓞ A probabilidade de a média populacional, , estar contida no intervalo de confiança

é igual a 95%.

① Se a variância é desconhecida, o intervalo de confiança de 95% para a média será

, em que s é o desvio padrão da amostra, é calculado de forma que

, e segue uma distribuição de Student com n -1 graus de liberdade.

② Se construirmos vários intervalos de confiança para a média com amostras de idêntico

tamanho, mesma variância e mesma margem de confiança, estes terão extremos

aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.

③ Num teste de hipótese: contra , se o intervalo de confiança estimado para a

média não contiver o valor de , então deve-se aceitar a hipótese de que .

④ Se a amostra aleatória não provém de uma distribuição normal, não se pode

construir um intervalo de confiança para a média , ainda que a amostra seja muito grande.

QUESTÃO 04 – 2006Com relação a testes de hipóteses, julgue as afirmativas:Ⓞ Em um teste de hipóteses, comete-se um erro do tipo I quando se rejeita uma hipótese nula

verdadeira.① O poder de um teste de hipóteses é medido pela probabilidade de se cometer o erro tipo II.② A soma das probabilidades dos erros tipo I e tipo II é igual a 1.③ Quanto maior for o nível de significância de um teste de hipóteses maior será o valor-p a ele

associado.④ Se o valor-p de um teste de hipóteses for igual 0,015, a hipótese nula será rejeitada a 5%, mas não a

1%.

2007

QUESTÃO 11 – 2007Julgue as afirmativas:Ⓞ O valor p de um teste de hipótese é a probabilidade de a hipótese nula ser rejeitada.① O poder de um teste de hipótese é a probabilidade de se rejeitar corretamente uma

hipótese nula falsa.② Considere n variáveis aleatórias independentes. Pela Lei dos Grandes Números,

quando n cresce, a média amostral converge em distribuição para uma variável aleatória qui-quadrada.③ Pela desigualdade de Chebyshev, a probabilidade mínima de que o valor de uma variável

aleatória X esteja contido no intervalo ④ Se duas variáveis aleatórias X e Y têm covariância nula, então elas são independentes.