Complementi ed esercizi di Fisica2O: Circuiti in corrente alternata

Nella precedente scheda sono stati già trattati alcuni casi di circuiti in corrente alternata, anche se in essi non era compresa una sorgente di f.e.m. Ora viene considerato un circuito alimentato da una f.e.m. la cui legge temporale e di tipo sinusoidale, ossia

0( ) sint tωΞ = ΞIl regime stazionario è ora determinato da un oscillazione permanente alla frequenza ω imposta dalla sorgente di f.e.m. La difficoltà nell’affrontare questo argomento la prima volta è dovuta alla complicazione riguardante gli sfasamenti tra corrente e le d.d.p. ai capi dei vari elementi elettrici del circuito. Restano ferme alcune conclusioni della precedente scheda che possono fare da guida nella trattazione che segue. Il modo più semplice per introdursi in questa parte della fisica è trattare con le funzioni complesse, in particolare con gli esponenziali complessi che, tramite le trasformazioni di Eulero, sono collegate alle funzioni sinusoidali. Queste funzioni sono state già introdotte nella precedente scheda verranno ora riprese con maggiore dettaglio

Cenni sui numeri complessiValgono le seguenti relazioni (che discendono da quelle presentate nella scheda precedente: lo studente può verificarle)

cos sinie iα α α= +cos sinie iα α α− = −

dove 1i = − è l'unità immaginaria. Di conseguanza valgono

2i

e iπ

=

2i

e iπ−

= −usando le quali si può constatare che

22iii iie e e e

ππ αα α

+ ÷ = =

22iii iie e e e

ππ αα α

−− ÷ − = =

Si consideri un qualunque numero complesso

c a ib= +

dove a e b sono due numeri reali. Il numero complesso ha modulo 2 2c a b= + e fase ϕ tale che

cos ; sin ;a b btgc c a

ϕ ϕ ϕ= = =

Pertanto, si può scrivere

( )cos sin cos sin ic c i c c i c e ϕϕ ϕ ϕ ϕ= + = + =

Tutte queste relazioni suggeriscono che ai numeri complessi si puo dare una rappresentazione vettoriale sul piano complesso (piano di Gauss: due assi ortogonali, uno per la parte reale e l'altro per la parte immaginaria).Questa rappresentazione si applica anche per la somma dei numeri complessi

( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2;c a ib c a ib c c a a i b b= + = + → + = + + +

Sarà utile considerare l'operazione di razionalizzazione dei numeri complessi. Sia dato il numero complesso

( ) ( ) 2 2 22 2

1 1 1 a ib a ib a ib a ib a bd ic a ib a ib a ib a ib a ib a b c c c

− − − −= = = = = = = −+ + − + − +

Dunque

2 2

1 1 ' ' ; ' ; 'a bd a ib a bc a ib c c

= = = + = = −+

Il numero complesso *c a ib= − è detto complesso coniugato di c: 2*cc c= , così che si può ancora scrivere

2

*cdc

=

Uso degli esponenziali complessi nell'analisi dei circuitiE' evidente che la forza elettromotrice è una quantità reale, e cosi anche la corrente. Di ciò occorrerà tenerne conto quando si utilizzeranno gli esponenziali complessi. Ad esempio, considerando le parti reali o immaginarie di una quantità complessa in conclusione dei calcoli. Gli esponenziali complessi non potranno essere usati laddove, ad esempio, si rappresentano grandezze oscillanti che hanno valore medio non nullo.Equazione del CircuitoIn generale l'equazione di un circuito con una sorgente Ξ si può ridurre nella forma

*2Z I I Z

Z ZΞ ΞΞ = → = =

dove Z è detta impedenza. Sia 0i te ωΞ = Ξ , segue che

( ) ( )* 02 2 2 2cos sin i ti iI Z Z i Z Z e Z e e

ZZ Z Z Zω ϕϕ ϕϕ ϕ −− − ΞΞ Ξ Ξ Ξ= = − = = =

Considerando la parte immaginaria del risultato ottenuto

( ) ( )0 0Im sini tI e tZ Z

ω ϕ ω ϕ− Ξ Ξ= = −

Dunque la corrente ha ampiezza 00I

ZΞ= e fase ϕ− rispetto a Ξ dove .immag

reale

Ztg

Zϕ =

Tutto ciò dimostra l'immediatezza delle operazioni con i numeri complessi.

Reattanza, resistenza e impedenza*) Si definisce reattanza capacitiva e si misura in Ohm la quantità dipendente dalla frequenza

1CX

Cω=

*) Si definisce reattanza induttiva e si misura in Ohm la quantità dipendente dalla frequenzaLX Lω=

*) Si definisce impedenza del condensatore C CZ iX= −*) Si definisce impedenza dell'induttore L LZ iX=*) L'impedenza del resistore è semplicemente la resistenza RZ R=*) L'impedenza di N elementi elettrici passivi collegati in serie è la somma delle impedenze

1

N

ii

Z Z=

= ∑*) L'impedenza di N elementi elettrici passivi collegati in parallelo è ottenibili dalla relazione

1

1 1N

i iZ Z=

= ∑*) L'impedenza del circuito RLC. L'impedenza del collegamento in serie di un resistore, un condensatore e un induttore è

( ) 1R C L C LZ Z Z Z R i X X R i i L

Cω

ω= + + = + + = − +

Il modulo dell'impedenza è2

2 1Z R LC

ωω

= + − + ÷ La fase dell'impedenza è

1 LCtgR

ωωϕ

− + ÷ =

*) Risonanza del circuito RLC

Essendo( )0 i tI e

Zω ϕ−Ξ=

si noterà che l'ampiezza della corrente è massima quando 0 1/ LCω ω= = :

00I

RΞ=

è la fase 0ϕ = . Questa è la condizione di risonanza del circuito RLC (dove il circuito si comporta come puramente resistivo: si veda la figura estratta da H. Ohanian, Fisica vol.2, Zenichelli).

*) L'impedenza del circuito RL. Sia ben chiaro che se si pone C=0 nell'espressione dell'impedenza del circuito RLC, il risultato ottenuto risulta ovviamente infinito perchè l'operazione al limite equivale ad una interruzione del circuito. Se si vuole l'impedenza del circuito RL

R LZ Z Z R i Lω= + = +

LLtg

Rωϕ ω τ= =

Si noti che nel caso R=0, / 2tgϕ ϕ π= + ∞ → = . Pertanto,

20i t

I eL

πω

ω

− ÷ Ξ=

cioè la corrente è in ritardo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla f.e.m. Daltra parte la caduta di

potenziale dell'induttore 2i

L LV Z I i LI LIeπ

ω ω∆ = = = è in anticipo di fase di un quarto di ciclo

rispetto alla corrente, e quindi in fase con la f.e.m.

*) Si sottolinea che la caduta di potenziale dell'induttore è sempre in anticipo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla corrente.

*) L'impedenza del circuito RC1

R CZ Z Z R iCω

= + = −

1 1

C

tgRC

ϕω ω τ

= − = −

Nel caso R=0, / 2tgϕ ϕ π= − ∞ → = − . Pertanto,

20

i tI C e

πωω

+ ÷ = Ξcioè la corrente è in anticipo di fase rispetto alla f.e.m. Daltra parte la caduta di potenziale del

condensatore 2i

C CI IV Z I i eC C

π

ω ω−

∆ = = − = è in ritardo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla

corrente, e quindi in fase con la f.e.m.

*) Si sottolinea che la caduta di potenziale del condensatore è sempre in ritardo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla corrente.

Gli argomenti sopra trattati trovano una rappresentazione grafica mediante l'uso dei vettori simbolici detti fasori che nulla hanno a che fare con i vettori del piano di Gauss. Questo punto è di scarso interesse nel contesto di questi appunti. Comunque, per completezza, se ne dà conto mostrando di seguito alcune figure estratte da “H. Ohanian, Fisica vol.2, Zanichelli”, con la didascalia di accompagnamento che si spiega da sé e non richiede commenti aggiuntivi.

*) Potenza erogata dalla sorgente La potenza erogata al circuito è una grandezza che, in generale, ha valore medio non nullo e non può essere adeguatamente rappresentata mediante gli esponenziali complessi.Perciò, sia

( ) ( ) ( )00 0sin sin sint I I t t

Zω ω ϕ ω ϕΞΞ = Ξ = − = −

La potenza istantanea erogata al circuito è

( ) ( )20 sin sinP I t t

Zω ω ϕΞ= Ξ = −

Usando le formule di sottrazione, si può trasformare( ) ( ) ( )sin sin cos cos sint t tω ϕ ω ϕ ω ϕ− = −

( ) ( ) ( )2 2

20 0sin cos sin cos sinP I t t tZ Z

ω ϕ ω ω ϕΞ Ξ= Ξ = −

Il valore medio

( ) ( ) ( )2 2 2

20 0 01sin cos sin cos sin cos2

P t t tZ Z Z

ω ϕ ω ω ϕ ϕΞ Ξ Ξ= − =

essendo ( ) ( ) ( )2 1sin ; sin cos 02

t t tω ω ω= =

Il risultato trovato mostra che ci sono casi in cui la potenza erogata al circuito è nulla, nonostante il

circuito sia alimentato. Infatti, ciò accade quando R=0, ossia cos 0ϕ = (2πϕ = ± ) che è pertinente i

circuiti puramente reattivi. Il fattore cosϕ è detto fattore di potenza.

Nel caso più semplice del circuito puramente resistivo il fattore di potenza è uguale a uno e l'impedenza è semplicemente la resistenza

201

2P

RΞ=

Nell'ambito della teoria dei circuiti in corrente alternata è d'uso considerare i valori efficaci delle correnti elettriche

2 20 0

2 2eff effII I Ξ= = Ξ = Ξ =

Per cui

2

cos coseffeff effP I

Zϕ ϕ

Ξ= Ξ =

Si propone il seguente problema -esempio tratto da “H. Ohanian, Fisica vol.2 , Zanichelli”

Si tenga presente che, come spiegato precedentemente,

( )

[ ] ( )

22 20 0

0 0Im sin cos2

i ti ii tL L L

L L

V Z I i LI LIe V LI e e LI e

V LI t X I t

ππ π ω ϕω ϕω ω ω ωπω ω ϕ ω ϕ

− + ÷− ∆ = = = → ∆ = = →

∆ = − + = − ÷

L'equazione 51 corrisponde in questi appunti all'equazione 00I

ZΞ= con

22 1Z R L

Cω

ω = + − + ÷