Potenziale vettore

F i s i c a s p e r i m e n t a l e I IC . d . l . C h i m i c a

Per risolvere semplici problemi “basta” la legge di Ampere

In generale occorrerà seguire la stessa linea usata nel caso elettrostatico

Si era introdotto il potenziale elettrostatico, da cui, attraverso derivazioni, ricavare il campo elettrico

∇ ×B =

1ε0c

2

J

∇ ⋅B = 0

Dovremo partire dalle:

Da:

∇ ⋅B = 0

segue che:

B =∇ ×A

Potenziale vettore

Una delle equazioni servirà per introdurre la funzione potenziale e l’altra per valutare detta funzione una volta

dato il sistema di correnti

Se ad A aggiungiamo il gradiente di uno scalare il rotore non cambia

A1 =

A +∇Φ

∇ ×A =∇ ×A1

Quindi danno luogo allo stesso campo magnetico

Se hanno lo stesso rotore, non è detto che abbiano la stessa divergenza

∇ ⋅A1 =

∇ ⋅A +∇Φ( ) = ∇ ⋅

A +∇2Φ

Abbiamo quindi un numero enorme di possibili funzioni tra loro equivalenti

La scelta del potenziale non è unica

Come possiamo classificare le varie funzioni?

Utilizzeremo detta situazione per scegliere funzioni che semplifichino i calcoli

In genere, in magnetostatica questo significa scegliere funzioni tali che:

∇ ⋅A = 0

Scelta di calibro

Prima di tutto un esempio

Quale sarà il potenziale vettore che da luogo ad un campo magnetico uniforme?

Ovviamente il potenziale vettore non è univocamente determinato

B = B0

k

Le condizioni si A saranno:

Bx =∂∂yAz −

∂∂zAy = 0

By =∂∂zAx −

∂∂xAz = 0

Bz =∂∂xAy −

∂∂yAx = B0

Cerchiamo delle soluzioni semplici

Bx =∂∂yAz −

∂∂zAy = 0

By =∂∂zAx −

∂∂xAz = 0

se: Az =0 , Ax ed Ay non dipendono da z

Per semplificare al massimo si potrebbe prendere:

Ax =0

Ottenendo: Bz =∂∂xAy −

∂∂yAx = B0 =

∂∂xAy

E quindi: Ay = B0 x

Riassumendo, una possibile scelta è:

A = 0,B0 x,0( )

Se avessimo scelto: Ay =0

Avremmo ottenuto:

A = −B0 y,0,0( )

Bz =∂∂xAy −

∂∂yAx = B0 = −

∂∂yAx

Da cui:

Evidentemente una qualunque combinazione lineare, normalizzata ad 1, delle due soluzioni andrà ugualmente bene.

Quella più immediata è:

A =

B02⋅ −y, x,0( )

Come si vede si hanno infinite possibili scelte e tutte danno luogo allo stesso campo magnetico

Si vede inoltre che:

A = 0,B0 x,0( )

A =

B02⋅ −y, x,0( )

A = −B0 y,0,0( )

sono tutti a divergenza nulla

Disegniamo le linee di:

A =

B02⋅ −y, x,0( )

sono circonferenze parallele al piano xy

Lungo la circonferenza il modulo del potenziale è

costante

A =

B02⋅ y2 + x2( ) = B0

2r2 sin θ( )2

In generale varrà pure la:

A ⋅d

Γ∫

l =

∇ ×A( )

S∫ ⋅ n ds =

B

S∫ ⋅ n ds

quindi:

A ⋅d

Γ∫

l = ΦS

B( )

Conosciuto il potenziale vettore, tramite l’operazione “rotore” si determina il campo magnetico.

Come determinare il potenziale vettore?

∇ ×B =

1ε0c

2

JDalla:

c2∇ ×B = c2

∇ ×

∇ ×A( ) = 1

ε0

J

Avremo:

∇ ×

∇ ×A( ) = ∇ ∇ ⋅

A( ) − ∇2 Adato che:

c2∇∇ ⋅A( ) − ∇2 A( ) = 1

ε0

JSi perviene a:

Si vede subito il vantaggio di scegliere potenziali a divergenza nulla

In tal caso infatti:

c2∇2 A = −1ε0

J

Notiamo come questa equazione sia formalmente identica all’equazione di

Laplace trovata in elettrostatica∇2φ = −

1ε0

ρ

Ne consegue che pure le sue soluzioni saranno simili a quelle dell’equazione di Laplace

Se in elettrostatica: φ =14πε0

ρrV∫ dv

Avremo:

A =

14πε0c

2

JrV∫ dv

Esplicitando, componente per componente:

Ax =1

4πε0c2

JxrV

∫ dv Ay =1

4πε0c2

JyrV

∫ dv Az =1

4πε0c2

JzrV

∫ dv

L’analogia formale si può esprimere dicendo:

La componente ima del potenziale vettore è numericamente uguale al valore del

potenziale elettrostatico dovuto ad una densità di carica di valore pari a: ρ =

Jic2

Nel caso di conduttori percorsi da corrente:

J =

iSdldl

=idvdl

A =

14πε0c

2

JrV∫ dv =

14πε0c

2

i dl

dvrV∫ dv =

14πε0c

2

irΓ

∫ dl

Se avessimo tanti circuiti percorsi da corrente:

A =

14πε0c

2 ik1rkΓk

∫ dlk

k∑

Filo infinito percorso da corrente

scegliendo l’asse “z” in direzione della corrente:

A r( ) = (0,0,Az

r( ))

Siamo, formalmente, nella stessa situazione di quando si voleva valutare il potenziale di un filo

uniformemente carico

Azr( ) = 1

4πε0c2 i

dlr −l−∞

+∞

∫

per cui, da:

Φ r( ) = 12πε0

λ ln ∞( ) − ln d( ){ }→ −12πε0

λ ln d( )

distanza dal filo

Azr( ) = −

12πε0c

2 i ln d( ) = −1

2πε0c2 i ln x2 + y2( )

si ha:

Per il campo magnetico:

Azr( ) = 1

4πε0c2 i

dlr −l−∞

+∞

∫

Φ r( ) = 14πε0

λ dlr −l−∞

+∞

∫

Bx =dAzdy

= −i

2πε0c2

1x2 + y2

12 x2 + y2

2y = −i

2πε0c2

1x2 + y2

y = −i

2πε0c2

yd 2

By = −dAzdx

=i

2πε0c2

xd 2

Bz = 0

B =

12πε0c

2

id

come si era trovato

Un importante e semplice esempio

Dipolo magnetico

Il problema è quello di trovare il campo magnetico prodotto da un circuito a grande distanza da esso

Consideriamo una piccola spira rettangolare

A =

14πε0c

2

JrV∫ dv

Jz = 0 Az = 0

Ax =1

4πε0c2

JxrV

∫ dv

correnti dirette lungo “x” si hanno solo su due lati della spira

Axr( ) = 1

4πε0c2 i

dlr+Γ+

∫ −dlr−Γ−

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Si tratta della stessa espressione che si trova nel caso di valutazione del potenziale elettrostatico dovuto a

due sbarrette cariche di segno opposto

Φ r( ) = 14πε0

ρ+S( ) dlr+Γ+

∫ −dlr−Γ−

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

che, a grande distanza, è approssimativamente dato da:

Φ r( ) = 14πε0

p ⋅ err2

con

p = − ρ+S( )ab j

Quindi:

Axr( ) = 1

4πε0c2 i

dlr+Γ+

∫ −dlr−Γ−

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Φ r( ) = 14πε0

ρ+S( ) dlr+Γ+

∫ −dlr−Γ−

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Φ r( ) = −14πε0

ρ+S( )ab j ⋅ err2

Axr( ) = −

14πε0

ic2abj ⋅ err2

Analogamente:

Ayr( ) = 1

4πε0

ic2abi ⋅ err2

Le linee di “A” sono circonferenze giacenti in piano paralleli al piano “xy” che è il piano della spira

Sostituzione fisica: µ = i abarea della spira

se diamo al momento dipolare carattere vettoriale:

momento dipolare magnetico

µ = i ab n

normale al piano della spira, valutata secondo la regola della mano destra

A =

14πε0c

2

µr3

−yi + xj( ) = 1

4πε0c2

µ × rr3

B =∇ ×APer il campo magnetico:

Bx =dAy

dz−dAzdy

=dAy

dz=

14πε0c

2 µddz

xr−3( )

Bx =1

4πε0c2 µ

ddz

xr−3( ) = 14πε0c

2 µx(−3)r−4 ddz

x2 + y2 + z2( )

Bx = −3 14πε0c

2 µxr−4 12r−12z = −

14πε0c

2 µ3xzr5

By =1

4πε0c2 µ3yzr5

Analogamente:

Bz =1

4πε0c2 µ3z2 − r2

r5

Nota: sono le stesse espressioni del campo elettrico di un dipolo elettrico

Unica differenza:

p⇒µc2

Una spira percorsa da corrente non solo genera un campo magnetico,ma

se posta in un campo magnetico esterno, è soggetta a forze ed a momenti di forza

da:

F = i d

l ×B

segue subito per il momento di forza:

τ =µ ×B

in perfetta analogia con il momento di forza agente su di un dipolo elettrico

Energia di un dipolo magnetico posto in un campo magnetico

Lavoro che occorre fare per portare la spira in posizione partendo da una situazione prefissata:

Posizione iniziale:

Spira all’infinito , ove il campo magnetico è nullo

Posizione finale:

Spira in un campo uniforme di valore B0, con la normale

formante un angolo θ con il campo magnetico

Supponiamo di procedere come segue:

1) mantenendo la spira all’infinito, orientiamola in modo che la sua normale sia parallela al campo esistente nella posizione

finale,e con due suoi lati nella direzione del punto finale

2) trasciniamola nella posizione finale

3) una volta in posizione, ruotiamola nel modo desiderato

Il lavoro totale sarà la somma dei lavori eseguiti nelle tre fasi

Nella prima non si compie lavoro

nella seconda compiremo lavoro, in quanto il campo non sarà nullo nella regione attraversata

Dato che lo spostamento avviene lungo l’asse della “x”

al lavoro contribuiranno solo le componenti “x” delle forze

Dette componenti si avranno solo sui tratti della spira diretti come “y”

Esse saranno legate solo alla componente “z” del campo locale

F = i d

l ×B

Fx = i a Bz

La forza da noi esercitata è uguale ed opposta, per cui:

dL = −i a Bz x( ) − Bz x − b( )( )dxL = −i a Bz x( ) − Bz x − b( )( )dx

−∞

x finale

∫

L = −i a Bz x( )dx−∞

x finale

∫ − Bz x − b( )dx−∞

x finale

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

L = −i a Bz x( )dx−∞

x finale

∫ − Bz x( )dx−∞

x finale −b

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= −i a Bz x( )dx

x finale −b

x finale

∫

L = −i abB0 = −µB0

Terza fase: orientazione nel campo

dL = −τ ⋅dθ

τ =µ ×Bove

L = −τ ⋅dθ

0

θ finale

∫ = −µ ×B ⋅dθ

0

θ finale

∫

L = µB0 sin θ( ) ⋅dθ0

θ finale

∫ = −µB0 cos θ finale( ) −1( ) = −µ ⋅B + µB0

Sommando quindi tutti i contributi: L = −

µ ⋅B

come nel caso del dipolo elettrico

Sembrerebbe quindi di poter concludere, in analogia con il caso elettrostatico:

U = −µ ⋅B

Questa conclusione è errata, e va capito il motivo!

Infatti:

Se quanto sopra è vero, come è possibile aver ottenuto un valore finito per il lavoro appena calcolato?

Una caratteristica della forza di Lorentz è quella di non compiere lavoro

La forza agente su di un filo uguaglia la somma delle forze di Lorentz agenti sui portatori interni al filo

L’errore commesso consiste nell’aver supposto costante il valore della corrente durante tutto il trasferimento della spira

La corrente non poteva restare invariata

A causa della velocità di rotazione, sui portatori posti nel tratto verticale agisce una forza

entrante, che tende quindi ad aumentare la velocità di deriva

A causa della velocità di rotazione, sui portatori posti nel tratto verticale agisce una forza

uscente, che tende quindi ad aumentare la velocità di deriva

Cosa accade?

La forza agente su ciascun portatore è: qv ×

B

Forza applicata dall’esterno: −qv ×

B

La potenza applicata sarà: W = −q v ⋅ v ×

B( )

Come si vede : W = −q v ⋅ v ×

B( ) = 0

Ora la velocità del portatore origina da due fatti: 1) la velocità di deriva lungo il filo2) il filo si muove

v = vd +vf

W = −q vd +

vf( ) ⋅ vd + vf( ) × B( ) = 0sviluppando:

W = −q vd ⋅

vf ×B( ) − q vf ⋅ vd × B( ) = 0

Cosa rappresenta il secondo termine, una volta sommato su tutte le particelle in moto?

q vf ⋅

vd ×B( )∑ = vf ⋅ qvd∑ ×

B( ) = vf ⋅ i dl × B( )

Esso è il termine usato nel calcolo

Il calcolo è errato in quanto è stato omesso il primo

Cosa rappresenta ? q vd ⋅

vf ×B( )

Esso è finito se la forza qvf ×

B

ha componente lungo il filo

Se questo accade essa farà variare la velocità di deriva e quindi la corrente

Agendo dall’esterno del filo, non avremmo mai modo di poterci opporre a tale forza, e quindi non potremmo mai

esercitare sui portatori di carica una forza uguale e contraria a quella di Lorentz

Per mantenere costante la corrente, è quindi necessario inserire nel circuito un apparato in grado di scambiare energia con i

portatori.

Esso dovrà estrarre energia quando questa tenda ad aumentare e fornirne qualora tenda a diminuire.

Un tale apparato prende il nome di “generatore di corrente”

La somma dei lavori fatti dal generatore e da chi sposta il circuito è nulla, non i lavori che separatamente i due soggetti

compiono

Lm = −

µ ⋅BLavoro meccanico

Lavoro generatore Lg = +

µ ⋅B

Dovremmo concludere che la variazione di energia del sistema è nulla?

No! in quanto vi è una ulteriore grandezza che abbiamo erroneamente supposto costante a prescindere da

opportuni interventi

Essa è il campo magnetico esterno

Il campo sarà infatti generato da circuiti elettrici.

I portatori di carica presenti in essi subiscono delle forze a causa dell’avvicinarsi della spira.

Un secondo generatore di corrente è quindi necessario per mantenere costante il campo

Avremo quindi:

U = Ltot = Lspira + Lg.B = Lm + Lg( ) + Lg.BSe, invece di spostare la spira verso il generatore di campo magnetico, avessimo spostato il generatore di campo verso

la spira avremmo avuto:

U = Ltot = Lspira + Lg.B = Lg + Lm + Lg.B( )Da cui si vede come Lg.B = −Lm

Si ricava quindi: U = Lm + Lg( ) + Lg.B = 0 + Lg.B = −Lm = +

µ ⋅B

Concludendo: U = +

µ ⋅B

Che significato dare a ?

rappresenta l’energia del sistema

−µ ⋅B

Rappresenta il solo lavoro meccanico

Rappresenta l’intera energia quando vi siano motivi fisici che impediscano ai momenti di dipolo magnetico di cambiare