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Cap. 7 - FONDAMENTI DI TEORIA A BANDE DEI SOLIDI Introduzione. Un solido cristallino può essere considerato come un sistema costituito da elettroni e nuclei; siano

r r i le coordinate generalizzate che individuano le

posizioni degli elettroni e quelle dei nuclei. L'equazione di Schroedinger è HΨ=EΨ , dove

r R α

H= Te +Tz +Ue +Uz +Uez +V e Ψ=Ψ ( r r i ,

r R α ).

L'operatore hamiltoniano comprende:

1) energia cinetica degli elettroni : T e = T i

i∑ = −

h 2

2m∇ i

2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

i∑

,

con 2

2

2

2

2

22

iiii zyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇

2) energia cinetica dei nuclei: ∑∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−==

αα

ααα

22

2MTTz

h

,

con ∇α

2 =∂ 2

∂X 2 +∂ 2

∂Y 2 +∂ 2

∂Z 2

3) energia d'interazione degli elettroni:

U e =12

ke 2

r r i −

r r ji,i≠ j

∑ =12

U ij∑

4) energia d'interazione dei nuclei:

U z =12

ke 2 Z α Z βr R α −

r R βα ≠β

∑ =12

Uαβ∑

5) energia d'interazione tra elettroni e nuclei:

∑∑ =−

−= αα α

αi

i iez U

RrZke

U,

2

rr

V.AUGELLI - Fisica degli stati condensati. Cap.7 - Teoria delle bande nei solidi. 1

6) campo esterno applicato: V = V (r r i ,

r R α )

Il numero di variabili è: 3N (nuclei) + 3ZN (Z elettroni per nucleo) = 3(Z+1)N e sarebbe impensabile risolvere l'equazione di Schroedinger. Se le particelle fossero indipendenti, l'hamiltoniana totale sarebbe la somma delle hamiltoniane delle singole particelle, la Ψ sarebbe il prodotto delle Ψ di ciascuna particella e la E la somma delle energie delle particelle. E' fondamentale fare, perciò, delle approssimazioni. Assumiamo, innanzitutto, nullo il campo esterno. Se assumiamo i nuclei fermi, Tz=0 e Uz=cost; con una opportuna scelta dell'origine si può avere Uz=0. L'equazione di Schroedinger diventa:

−h 2

2m∇ i

2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +

18πε o

e 2

r r i −

r r j

−1

4πε o

Ze 2

r r i −

r R α

oi,α∑

i ≠ j∑

i∑

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ ψ e = E eψ e

oRα

r

non sono più variabili, Ee è l'energia degli elettroni in moto nel campo prodotto da nuclei fissi (approssimazione statica). Se i siti reticolari, invece di considerarli fissi in posizioni di equilibrio, si considerano muoversi lentamente

per cui le quantità r

sono parametri variabili, l'approssimazione si dice adiabatica.

R α

La periodicità del potenziale cristallino implica la periodicità dell'hamiltoniana dell'elettrone, per cui le autofunzioni ϕ r (

r r ) e ϕ r (

r r +

r n ) sono autofunzioni

dello stesso autovalore dell'energia, E r e quindi le autofunzioni possono differire solo per un fattore costante, cioè:

ϕ r (r r +

r n ) = λ (

r n )ϕ r (

r r ) = ei(

r k ⋅

r n )ϕ r (

r r ) . Infatti,

se poniamo r n =

r n ' +

r n ' ' , avremo ϕ r (

r r +

r n ' +

r n ' ' ) = λ(

r n ' +

r n ' ' )ϕ r (

r r ) ovvero

ϕ r (r r +

r n ' +

r n ' ' ) = λ(

r n ' ' )ϕ r (

r r +

r n ' ) = λ(

r n ' ' )λ(

r n ' )ϕ r (

r r )

per cui λ (r n ' +

r n ' ' ) = λ (

r n ' ' )λ (

r n ' )

Tale relazione è soddisfatta dalla funzione esponenziale. Affinchè ϕ non

aumenti indefinitamente con traslazioni ripetute deve essere λ = e ir k ⋅

r n = 1 e

quindi k dev'essere reale.

Un teorema fondamentale che riguarda gli elettroni nei cristalli fu dimostrato da Bloch nel 1928. Questo stabilisce che le funzioni d’onda degli elettroni nei cristalli devono avere la forma delle funzioni di Bloch

Ψk(r) = eik.r uk(r)


dove uk(r) è una funzione che ha la periodicità del reticolo cristallino, cioè

uk(r) = uk(r + R)

dove R è un qualunque vettore di traslazione reticolare. Questa funzione dipende dal vettore d’onda k. Una funzione di Bloch ha la corretta simmetria traslazionale ed è una funzione d’onda da elettrone libero, exp(ik.r), modulata da una funzione che ha la periodicità del reticolo; è quindi una onda piana modulata. In una dimensione possiamo scrivere

Ψ(x) = exp (ikx) uk(x)

Se uk(x) è una costante, si riottiene la funzione d’onda per l’elettrone libero, con la stessa condizione su k. Il valore di k è cioè

k = 2πm/Na

con m intero. Poiché, in meccanica quantistica, un'onda piana descrive il moto di un elettrone libero, possiamo considerare un elettrone in un cristallo come 'quasi libero', anche se, in realtà, ciò dipende da u(

r r ) . Essendo la probabilità di trovare un

elettrone di un cristallo nell'elemento di volume dr r , ϕ

* ϕdr r = u *ud

r r , la

probabilità è periodica come la funzione u per cui esistono punti equivalenti nel cristallo in cui l'elettrone ha la stessa probabilità di trovarsi. L'elettrone è quindi non localizzato. Bande di energia. Ogni orbitale atomico (OA) di un singolo atomo isolato dà origine, nel cristallo, ad una banda costituita da tanti livelli energetici quanti sono gli atomi del cristallo. Il numero di bande è pari al numero di livelli del singolo atomo e in ogni banda possono esserci 2N elettroni. La differenza di energia tra le varie bande e la distribuzione elettronica in queste bande determina le proprietà del cristallo.


La separazione fra le diverse bande è tanto minore quanto minore è la differenza di energia fra gli orbitali atomici dei singoli atomi e quanto minore è la distanza fra atomi adiacenti nel cristallo.

Esempio dell’atomo di sodio


Se mettiamo insieme un certo numero di atomi per formare un piccolo cristallo, l’andamento del potenziale sarà del tipo in figura. Gli elettroni di valenza non appartengono più ad un atomo particolare, ma al cristallo come un tutto.

In realtà, quando il numero di atomi è molto grande, come quello di un cristallo, si formano le bande energetiche come in figura. L’atomo di sodio è monovalente; se vi sono N atomi, avremo N elettroni di valenza. La banda 3s è quindi piena per metà. Nel sodio vi è una sovrapposizione tra la banda 3p e quella 3s.


Nel rame la situazione è più complicata. In un atomo di rame isolato i livelli energetici sono riempiti fino al livello 3d; il 4s ha l’ultimo elettrone e quindi è riempito per metà.

Nell’ossido di rame, la distanza tra due atomi di rame vicini è più grande che nel rame metallico e quindi le bande 3d e 4s non si sovrappongono.


Teoria della massa effettiva. Per descrivere il moto degli elettroni in un cristallo è necessario calcolare la velocità, l'accelerazione in un campo esterno, la corrente, come valori di aspettazione dei corrispondenti operatori quanto-meccanici. Per calcolare la velocità, si considera l'operatore impulso:

∇=i

p h

e si calcola

r v =

r p m

=1m

h

iϕ*∫ ∇ϕd

r r

1

1 Calcoliamo la velocità dell'elettrone in moto sotto l'azione del campo periodico del cristallo. L'equazione del moto è quella di Schroedinger:

H − E(k)[ ]ϕ(

r r ,

r k ) = −

h2

2m∇2 + V(

r r ) − E(k)

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ϕ(

r r ,

r k ) = 0

(1)


Si può dimostrare che

r v =

1h

∇ r k E n (

r k )

, essendo n l’indice che individua la zona di Brillouin. La velocità media di un elettrone in un cristallo risulta pertanto

completamente definita dalla forma della superficie di energia . Il valore della velocità dipende dal livello energetico in cui l'elettrone si trova. Con riferimento alla figura, essendo l'energia una funzione pari di

E n (r k )

r k , cioè

, la superficie di energia è simmetrica rispetto a E (r k ) = E( −

r k )

r k =0, e quindi

a ciascun corrisponderà un -r v

r v e generalmente essa è nulla agli estremi della

k l

H

Differenziando la (1) rispetto a , si ha: ∂ϕ∂kl

=∂E∂k l

ϕ + E∂ϕ∂kl (2)

Essendo ϕ = eir k ⋅

r r u , possiamo scrivere:

∂ϕ∂kl

= ix l ϕ +ϕu

dudk l e la (2) diventa:

H − E[ ] ix lϕ +

ϕu

dudk l

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

∂E∂k l

ϕ

∇2 x lϕ( ) = xl∇2ϕ + 2

(3) ∂ϕ∂xl , la quantità Essendo H − E[ ] x lϕ( )

H − E[ ] xl ϕ( ) = xl H − E[ ]ϕ −h 2

m

vale:

∂ϕ∂xl

= −h 2

m∂ϕ∂xl

dove si è tenuto conto della (1). Moltiplichiamo la (3) per ϕ*

∂E∂kl

e integriamo sul volume Ω, tenendo conto che la ϕ è normalizzata:

= ϕ *

Ω∫ H − E[ ]ϕ

ududkl

d3r r +h 2

imϕ*

Ω∫

∂ϕ∂xl

d3r r =h2

imϕ*

Ω∫

∂ϕ∂xl

d3r r

Ω∫ = N ϕ*

Ω O

∫ H − E[ ]

(4) essendo il primo integrale uguale a zero perché l'integrando ha la periodicità del reticolo e quindi può scriversi come:

ϕu

dudk l

d3r r = Nϕu

dudk l

H − E[ ]ϕ *

ΩO

∫ d3r r = 0

o

1h

essendo N il numero di celle e Ω il volume della cella elementare. Considerando la definizione di v, la (4) si scrive:

∂E∂k l

=1m

h

iϕ*

Ω∫

∂ϕ∂xl

d3r r = vl

r v =

1h

Vettorialmente si ottiene pertanto:

∇ r k E n (

r k )

dove l'indice n si riferisce alla zona di Brillouin.


banda. In una banda completamente piena, vi sono perciò tanti elettroni con velocità positiva e tanti con velocità negativa per cui non vi può essere un trasporto netto di carica.

Sulla base dell’espressione di v, se si considera δk = π / a , a=2 10-8 cm e

10 eV, si ha v=10δE ≈ 8 cm/s. Consideriamo un elettrone soggetto ad un campo esterno E. L’incremento di energia subito dalla particella è

dtdkdEedtvexdedk

dkdEdE

h

rrrr EEE −=⋅−=⋅−==

da cui

F

dtpde

dtkd rrrr

h ==−= E

essendo p l’impulso cristallino o quasi-impulso dell’elettrone nel cristallo. Consideriamo la derivata della velocità in una dimensione:

dtdk

dkEd

dkdE

dtd

dtdv

2

211hh

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ma F

dtdk

=h, per cui possiamo definire la massa effettiva dell’elettrone

2

2

2

1*

1dk

Edm h

=

Più in generale, se poniamo dtdv

mF jjj*=

, possiamo assegnare una massa effettiva alla quasi-particella nella direzione j. L'elettrone di massa m è


soggetto, oltre che alla forza esterna, anche alla forza esercitata dal reticolo, cioè -grad V, per cui l'equazione classica è:

dtdv

mdxdVF j

jj =−

dove m è la massa dell’elettrone libero. Da un punto di vista quanto-meccanico, bisogna considerare i valori di aspettazione. Dividendo Fj per F, si ha:

jjj xV

Fmm

∂∂11* −=

essendo rd

dxdV

xV

jj

r3* ϕϕ∂∂

∫= e consideriamo costante la forza. In dipendenza del

valore di jxV

∂∂

, può essere positiva o negativa. Se si considera l’espressione per la velocità:

*jm

∑∑==

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

3

1

2

2

3

1

2321 11),,(1

ii

ij

i

i ijj

j FkkE

dtdk

kkE

kkkkE

dtd

dtdv

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

hhh Introduciamo il tensore simmetrico massa efficace

(m* )−1 =1h 2

∂ 2 E∂k 1

2

∂2 E∂k1 ∂k 2

∂ 2 E∂k1∂k 3

∂ 2 E∂k 2∂k 1

∂2 E∂k 2

2

∂ 2 E∂k 2 ∂k 3

∂ 2 E∂k 3∂k 1

∂2 E∂k3 ∂k 2

∂ 2 E∂k 3

2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

per cui possiamo scrivere:

dr v dt

=1

m*

r F

Essendo 1/m* un tensore, non è detto che l'accelerazione sia parallela alla forza. Tramite trasformazioni di coordinate si può fare in modo che solo gli elementi della diagonale principale siano diversi da zero. A seconda della dipendenza dell'energia da k la massa effettiva può essere positiva, nulla o negativa, proprietà questa decisamente non usuale per una massa. Per quanto riguarda la massa effettiva si può notare che: a) vi sono punti all'interno della zona di Brillouin in cui m diventa infinita, b) m* assume valori *


negativi in certe regioni, cioè, l'applicazione di una forza esterna provoca una accelerazione in verso opposto ovvero si ha una riflessione dell'elettrone. In figura sono riportati gli andamenti di E, velocità di gruppo, vg e m . *

L’uso della massa effettiva è molto comodo per descrivere il moto dell’elettrone in un solido, ci permette di tener conto del potenziale cristallino semplicemente scambiando la massa dell’elettrone con quella effettiva. Essendo l’elettrone caratterizzato da un ben definito vettore d’onda k, per il principio d’indeterminazione, esso è praticamente delocalizzato. Ciò spinge all’uso dello spazio k piuttosto che quello reale per la descrizione del moto degli elettroni, assunti indipendenti, in un solido. Abbiamo definito nel cap. 4 lo spazio reciproco e definita la prima zona di Brillouin come la cella unitaria del reticolo reciproco. Ma per comprendere il significato fisico della zona di Brillouin è necessario interpretarla in termini di legge di Bragg.

Considereremo ora in via qualitativa gli effetti collegati alla periodicità della struttura cristallina. Gli elettroni, oltre a comportarsi come particelle discrete, possiedono un carattere ondulatorio (de Broglie). Consideriamo un reticolo unidimensionale, con cella unitaria di dimensione a, e immaginiamo di far crescere


lentamente l’energia e corrispondentemente k. Quando k diventa abbastanza grande (λ abbastanza piccola) l’onda elettronica andrà incontro ad una riflessione di Bragg, come succede ai raggi X. Ricordiamo che la legge di Bragg è 2d sinθ = nλ, e per il caso unidimensionale d = a (la spaziatura fra gli atomi); quindi, in una dimensione, le riflessioni si hanno quando

k = nπ/a n = ±1, ±2 ...

Infatti k = 2π/λ, e per valori k = nπ/a si ha

2a = nλ

che rappresenta la condizione di Bragg nel caso unidimensionale.

La stessa riflessione di Bragg si verifica quando k raggiunge nπ/a da valori superiori. Qualunque tipo di onda propagantesi in un mezzo periodico subisce lo stesso fenomeno (Brillouin). La Figura a lato mostra l’andamento di E(k) contro k sia nel caso degli elettroni liberi sia in presenza di un mezzo periodico (cristallo). Come vedremo, per k = nπ/a si

determinano gaps di energia dovuti a queste riflessioni. Questi limiti separano zone o bande distinte. L’intervallo per k = ±π/a prende il nome di prima zona di Brillouin. Esternamente a questa vi è la seconda zona di Brillouin, e così via.

Consideriamo il numero di valori di k permessi nell’intervallo tra le riflessioni di Bragg (k = ±π/a). Per il caso unidimensionale, sono ammessi valori di k che siano multipli interi di 2π/L. Quindi vi è un numero enorme di valori di k ammessi perchè L=Na è grande. La curva E(k) è quasi continua. Poichè vi è un valore k per ogni multiplo intero di 2π/L, il numero totale di stati ammessi tra le riflessioni di Bragg a k = -π/a e +π/a (∆k = 2π/a) sarà

(2π/a)/(2π/L) = L/a =N, numero totale di celle primitive


In tre dimensioni si ottiene L3/a3, che è ancora il numero di celle primitive nel cristallo. Se vi sono N celle primitive nel cristallo, vi sono N valori consentiti di k in ogni banda. Ogni banda poi può contenere 2N elettroni. Per meglio capire i gaps di energia, dobbiamo considerare che le interferenze costruttive (le riflessioni) si verificano per k = nπ/a sia per onde viaggianti verso sinistra che verso destra. Cioè, l’onda con k = +π/a sarà riflessa e avrà quindi k = -π/a, che sarà a sua volta riflessa; vi è quindi un cambio di fase di π tra le onde riflesse dagli atomi.

Le soluzioni per questi valori di k sono costituite da uguali componenti di onde viaggianti verso sinistra, k = -π/a, e verso destra, k = +π/a. Dalle onde viaggianti exp(±ikx) si possono formare combinazioni lineari che danno due onde stazionarie

Ψ- = (1/L1/2)( eiπx/a – e-iπx/a) = (2i/L1/2) sin πx/a

Ψ+ = (1/L1/2)( eiπk/a + e-iπk/a) = (2/L1/2) cos πx/a

Il fatto che la prima sia immaginaria non è importante perchè la densità di carica, ρ(x) = -e|Ψ|2, è reale.

In Figura sono illustrate le ρ (x) per le due onde stazionarie; le densità sono uguali eccetto per il fatto che sono spostate lungo l’asse x di a/2. ρ+ è massima, in corrispondenza degli ioni, cioè per x=a, dove ρ- è nulla. Nell’approssimazione dell’elettrone libero queste due funzioni d’onda hanno la stessa energia. Quando, invece, si considera la periodicità del cristallo esse differiscono energeticamente. Ψ+ ha una energia più bassa dello stato Ψ-. Ciò significa che, per lo stesso valore di k, vi sono due stati a diversa energia, ciò che determina la discontinuità nella curva di E vs k. Tale discontinuità si ha solo per quei valori di k per i quali si ha la riflessione di Bragg. Abbiamo visto che le proprietà di m* sono dettate dal reticolo, che determina E(k) e quindi la sua derivata d2E/dk2. La Figura mostra la situazione di un cristallo unidimensionale. Vicino al centro della prima zona (k = ±π/a) 1/m* ≈ 1/m. In questa regione il reticolo ha poco


effetto sugli elettroni, che rispondono alle sollecitazioni del campo elettrico esterno come fossero elettroni liberi. La curvatura di E(k) cambia significativamente dalla curvatura della parabola procedendo dal

centro della banda verso i bordi. Poichè d2E/dk2 va a zero e quindi diventa negativa mentre k si avvicina a ciascuno dei due bordi della prima zona, 1/m* si comporta allo stesso modo. Dove 1/m* è zero una data forza applicata (qE) non determina alcuna accelerazione dell’elettrone, e dove 1/m* è negativo la forza causa una accelerazione in direzione opposta a quella attesa per un elettrone libero. Nella parte inferiore della banda corrispondente alla seconda zona di Brillouin, 1/m* è positivo ma significativamente maggiore di 1/m (m*< m), così che la forza applicata produce una relativamente grande accelerazione degli elettroni nel reticolo. Supponiamo di applicare un campo elettrico. Nella parte inferiore della prima zona, dove |k| ≈ 0, non si ha alcuna riflessione perchè si è ben lontani dalla condizione di Bragg (k = ±π /a). Quando viene applicato il campo elettrico, questo aumenta il momento e l’energia dell’elettrone, come nel caso dell’elettrone libero. Nella parte superiore della banda, dove |k| è più vicino al valore critico di Bragg, π/a, la riflessione comincia a diventare apprezzabile. Nel punto in cui 1/m* = 0, il guadagno dell’impulso positivo dovuto al campo elettrico è esattamente compensato dal guadagno dell’impulso negativo dovuto alla aumentata riflessione dell’elettrone da parte degli ioni reticolari. La variazione netta della velocità dell’elettrone è nulla, e, dal punto di vista della risposta al campo applicato, l’elettrone presenta una massa infinita, 1/m* = 0. Al bordo superiore della banda 1/m* è grande e negativo, perchè l’aumento della riflessione, che risulta dalla quasi perfetta aderenza alla condizione di Bragg, è dominante. Passando alla parte inferiore della banda successiva la situazione è completamente invertita, e 1/m* è grande e positivo. Se la curvatura di E(k) è grande, se cioè E cresce rapidamente al crescere di k, 1/m* è grande. Poichè i valori di k sono distribuiti in modo uniforme sull’asse k, la densità dei corrispondenti livelli energetici sull’asse E sarà bassa. Se la curvatura di E(k) è piccola, la densità dei livelli sarà relativamente alta e 1/m* risulterà relativamente piccolo. Il concetto di massa effettiva può essere utile per comprendere una conducibilità più o meno alta di un metallo. La teoria classica della conduttività, σ,


prevede che questa sia inversamente proporzionale alla massa dei portatori di carica. Nel caso del ferro gli elettroni di valenza occupano parzialmente la banda 3d. Poichè questa è stretta, la densità dei livelli è alta, e 1/m* è piccolo (circa 0.1/m). Quindi il metallo non è un conduttore particolarmente buono. Il rame, d’altro canto, è un buon conduttore elettrico. La ragione è che nel rame la banda 3d è piena, e gli elettroni di conduzione sono i 4s, che occupano una banda molto larga (sovrapposta alla 3d), che presenta una bassa densità di livelli e una alta massa effettiva (1/m* è circa uguale a 1/m). Come risultato la conducibilità del rame è maggiore di un ordine di grandezza della conducibilità del ferro.

Schema della Zona ridotta.

Dalla periodicità delle funzioni di Bloch si può desumere che il valore di k è periodico nello spazio-k, modulo 2π/a, cioè che un valore k può essere sempre sostituito da k + 2πm/a (con m intero). Quindi, la periodicità suggerisce di restringere i valori di k ad un intervallo di lunghezza 2π/a . Per convenienza l’intervallo è scelto simmetrico attorno a k = 0, cioè

-π/a ≤ k ≤ π/a


Indice di Banda.

L’intervallo -π/a ≤ k ≤ π/a è l’analogo 1D di quella che è detta la prima zona di Brillouin. Se vogliamo che le funzioni d’onda elettroniche siano espresse con un valore di k nell’intervallo ristretto, dobbiamo aggiungere un indice di banda alla funzione di Bloch per specificare a quale banda la funzione appartenga. In tre dimensioni avremo

Ψkn(r) = eik.r ukn(r)

con [ [∞∈ ,1n Zone di Brillouin Abbiamo introdotto le zone di Brillouin nello spazio-k per il caso unidimensionale. Si tratta ora di passare a più dimensioni. Come vedremo, l’analisi della forma delle zone di Brillouin può essere complicata e può influenzare in modi inconsueti il moto elettronico. Poichè la costruzione delle zone di Brillouin è intimamente collegata al reticolo reciproco, cominceremo col richiamare questo argomento.

La condizione di Bragg per una riflessione, cioè per una interferenza costruttiva, si verifica, come già visto, quando la differenza tra vettore d’onda uscente ed incidente (k’ – k) coincide con un vettore del reticolo reciproco Km:

(k’ – k) = Km

Poichè k e k’ devono avere lo stesso modulo in uno scattering elastico, ne segue che la componente del vettore d’onda incidente k lungo la direzione di un vettore del reticolo reciproco Km è pari alla metà della lunghezza di Km, cioè

k.Km = (Km/2)Km = (1/2)Km2

Quindi, si verificano riflessioni di Bragg ogni volta che un vettore k finisce su di un piano bisettore perpendicolare di un qualsiasi vettore del reticolo reciproco (Figura).


Posto in questi termini, la condizione di Bragg si realizza quando k finisce sul piano bisettore di un vettore reciproco, come K = 1a* (a* è un vettore base del reticolo reciproco), ed, essendo a*= 2π/a, k deve essere uguale a π/a (Figura).

Zona ridotta in 3D.

Abbiamo visto che in una dimensione tutte le funzioni possono essere riferite a valori di k nell’intervallo -π/a ≤ k ≤ π/a. Per valori esterni può essere operato un trasporto sostituendo k con k + 2πn/a dove n è intero, come visto in una dimensione. Questa è esattamente una traslazione con un vettore del reticolo reciproco in 1D, poichè 2π/a è il vettore base del reticolo reciproco in questo caso. In tre dimensioni si applica un procedimento analogo. Si noti che exp(i Km.r) ha la periodicità del reticolo reale

exp[ i Km.(r + R)] = exp(i Km.r) exp(i Km.R) = exp(i Km.r)

perchè exp(i Km.R) = 1.

Una funzione di Bloch, Ψk’(r) = exp (ik'.r)uk’(r) definita con k’ fuori della zona ridotta può essere spostata nella zona per traslazione con un opportuno vettore del reticolo reciproco. Infatti, sostituendo k’ con k + K, sarà

Ψk’(r) = eik'.r uk’(r)= eik.r [eiK.r uk’(r)]= eik.r uk(r) = Ψk(r)

Anche le energie En(k) sono funzioni periodiche nel reticolo reciproco, En(k) = En(k + K).

Zone di Brillouin in più dimensioni


Se vi sono N1, N2 e N3 celle primitive nelle tre direzioni le condizioni al contorno sono

Ψ(r + N1a) = Ψ(r) Ψ(r + N2b) = Ψ(r) Ψ(r + N3c) = Ψ(r)

Una cella primitiva del reticolo reciproco contiene una alta densità uniforme di stati k permessi, pari al numero delle celle elementari del cristallo. Vi è però nello spazio reciproco la possibilità di costruire una cella primitiva più naturale in cui è rappresentata la zona ridotta. Questa è una cella simmetrica attorno a k = 0. E’ la cella di Wigner-Seitz del reticolo reciproco è prende proprio il nome di prima zona di Brillouin.

La cella contiene un punto reticolare ed ha lo stesso volume della cella primitiva originale. La cella di Wigner-Seitz per un reticolo di Bravais cubico a facce centrate è mostrata in Figura. La stessa serie di operazioni condotta per il reticolo reciproco porta al poliedro che rappresenta la prima zona di Brillouin.

Chiaramente è centrata a k = 0, presenta la simmetria dello spazio-k (che è la stessa dello spazio diretto), e contiene N valori di k come la cella primitiva originale del reticolo reciproco.

Esempi di zone di Brillouin

Casi in due dimensioni. Esaminiamo il reticolo reciproco illustrato in Figura (a).


Le linee attorno all’origine sono le bisettrici perpendicolari dei vettori reciproci ±a*, ±b*, ± (a* - b*). In due dimensioni queste linee svolgono il ruolo dei piani prima definiti per il caso tridimensionale. Queste linee determinano la prima zona di Brillouin. L’area di questa cella è uguale a quella della cella primitiva nella parte superiore destra della Figura (a) , pari a (a*.b*). Si noti che la prima zona

di Brillouin ha la stessa simmetria binaria del reticolo reciproco. In Figura (b) è mostrato come i diversi "pezzi" della cella primitiva possono essere traslati mediante vettori del reticolo reciproco nella

prima zona di Brillouin. Le traslazioni per le parti 1', 2', e 3' sono -b*, -a*- b*, e -a*, rispettivamente. Nella Figura (c), riferita allo stesso reticolo reciproco, sono mostrate molte altre linee, ciascuna bisettrice perpendicolare di un vettore reciproco. Attorno alla prima zona di Brillouin (in bianco) si vede la seconda, poi la terza. Ciascun pezzo della seconda zona può essere traslato, mediante un vettore reciproco Km opportuno, nella prima zona (la soluzione del puzzle è mostrata), e così via. Le linee di separazione rappresentano discontinuità energetiche. Come secondo esempio consideriamo un reticolo 2D rettangolare, con a = 2b; il reticolo reciproco, Figura (a)(sotto a sinistra), ha 2a* = b*. E’ abbastanza banale ottenere la prima zona di Brillouin, come pure le successive (seconda, terza e quarta).


L’ ultimo esempio 2D (Figura, b) è quello di un reticolo quadrato, il cui reticolo reciproco è pure quadrato. La Figura mostra le prime quattro zone complete e "pezzi" della quinta e sesta. Curve E(k) in tre dimensioni Per rappresentare la struttura a bande in tre dimensioni esistono molte complicazioni. Si usa generalmente riportare in grafico, nella zona ridotta, i valori En(k) contro k lungo particolari linee dello spazio-k, che congiungono punti situati in diverse posizioni della prima zona di Brillouin [vedi Figura, (a) reticolo bcc, (b) reticolo fcc]. Ad esempio, il punto Γ corrisponde sempre a k = 0.


Un esempio di grafico E(k) in 3D, per un reticolo fcc, è mostrato in Figura. Pur essendo le curve costruite col più semplice modello dell’elettrone libero, il diagramma risulta complesso. Le energie sono rappresentate lungo linee nella prima zona di Brillouin che congiungono i punti Γ, K, L, W e X. Le linee orizzontali rappresentano i livelli di Fermi per diversi numeri di elettroni per atomo per

cella primitiva.

Modello di Kronig – Penney. Consideriamo il moto di un elettrone in un potenziale periodico nell’approssimazione di elettrone singolo.


Il potenziale di un elettrone in un atomo d'idrogeno è V=-C/r; l'energia potenziale in funzione della distanza per un cristallo unidimensionale di idrogeno, di costante reticolare L, è del tipo di quello riportato a pag. 4 per il sodio. Se idealizziamo la curva e la sostituiamo con una di forma rettangolare, possiamo calcolare gli autovalori dell'energia dell'elettrone in moto in un tale potenziale.

Potenziale periodico unidimensionale di altezza Vo e larghezza b

Nelle regioni 0< x < a e -b< x <0, l'equazione di Schroedinger si scrive, rispettivamente:

d 2 ψdx 2 + α 2 ψ = 0

d 2 ψdx 2 − β 2ψ = 0

dove 22

22 )(2

,2hh

oVEmmE −== βα

. Essendo il potenziale periodico, per il teorema di Bloch

ψ (x ) = u (x )e ikx

con u(x) periodica. Se sostituiamo nelle precedenti equazioni, otteniamo: d 2 udx 2 + 2 ik

dudx

+ (α 2 − k 2 ) u = 0, (0 < x < a )


)0(,0)(2 222

2

<<−=−++ xbukdxduik

dxud

β

Le soluzioni sono: u 1 = Ae i(α − k )x + Be −i(α +k )x

xkixki DeCeu )()(

2+−− += ββ

Imponiamo le condizioni al contorno:

dxdu

dxduuu )0()0( ),0()0( 21

21 ==

u 1 (a) = u 2 (−b), du1 (a)

dx=

du2 (−b)dx

Inserendo le soluzioni nelle condizioni al contorno si hanno quattro equazioni omogenee nelle incognite A, B, C, D:

A + B = C + D

i(α-k)A – i(α+k)B = i(β-k)C – i(β+k)D

Aexp(i(α-k)a + Bexp(-i(α+k)a = Cexp(-i(β-k)b + Dexp(-i(β+k)b

i(α-k) Aexp(i(α-k)a - i(α+k) Bexp(-i(α+k)a = i(β-k) Cexp(-i(β-k)b – i(β+k) Dexp(-i(β+k)b

Ponendo uguale a zero il determinante dei coefficienti, si ha:

)(coscoscossinsin2

22

bakabab +=+− αβαβαβ

αβ

per E>V0

Per E<V0, β è immaginario. Essendo sin ix = i sinh x , cos ix = cosh x, sostituendo β con iγ, otteniamo

)(coscoscoshsinsinh

2

22

bakabab +=+− αγαγαγ

αγ

per E<V0 (elettroni in stati legati) Poiché cos ( kL ) può variare tra -1 e 1 (per una funzione di Bloch, k dev’essere reale) un valore di E esiste se il primo membro (L(E)) ha valore nello stesso


intervallo. In figura, si è assunto

mV o a2

h 2 = 72 e b/a=1/24; come si può vedere,

esistono bande di energia permesse e bande di energia proibite.

Se si risolve l'equazione con E in funzione di k, si ottiene la figura b) tenendo conto che quando cos ( kL ) ha valore 1, k=0 e quando ha valore -1, k=π/L. I materiali che alla temperatura di 0 K hanno gli elettroni con energie corrispondenti a quelle permesse in una certa banda e nessun elettrone nella banda immediatamente superiore, sono detti isolanti; la banda piena è detta di valenza e quella vuota di conduzione. Un elettrone che acquista energia nella banda di valenza, salta in quella vuota (di conduzione) dove può muoversi liberamente. I materiali che hanno una banda permessa solo parzialmente occupata sono conduttori e il livello occupato energeticamente più alto è il livello di Fermi.


Approssimazione dell'elettrone quasi libero (Nearly free electron model). Un potenziale periodico qualunque, e quindi anche la funzione d’onda, può essere sviluppato in serie di Fourier. Consideriamo il caso unidimensionale. L’equazione di Schroedinger è:

[ ] 0)(222

2

=Ψ−+Ψ xVEm

dxd

h Sia f(x) una funzione avente la stessa periodicità del potenziale, per cui si possa scrivere:


)()(22 xfxVm

γ=−h

Posto 202

2 kmE=

h , l’equazione di Schroedinger si scrive:

[ ] 0)(202

2

=Ψ++Ψ xfk

dxd

γ

Sviluppiamo la funzione periodica in serie di Fourier:

∑+∞

−∞=

−=n

n ainxCxf )/2exp()( π

essendo a il periodo spaziale del potenziale. I coefficienti Cn sono dati da:

∫=a

n dxainxxfa

C0

)/2exp()(1 π

Anche le funzioni d’onda elettroniche devono soddisfare il teorema di Bloch ed essere periodiche:

)()( ruer nkikr

nk =Ψ Trascureremo in seguito l’indice di banda, n. Sviluppiamo anche u in serie di Fourier:

)/2exp()( ainxbxun

nk π−= ∑+∞

−∞= Se γ=0, il potenziale è nullo e la soluzione è la solita onda piana: .

xikebx 00)( =Ψ

Se γ è piccolo (potenziale debole) la funzione d’onda può essere scritta(ridefinendo I coefficienti della serie) come:

)/2exp()(0

0 ainxbeebxn

nikxikx πγ −+=Ψ ∑

≠ cioè somma di un’onda piana e una parte periodica che rappresenta una piccola correzione (perciò modello dell’elettrone quasi-libero). Sostituendo nell’equazione di Schroedinger si ha:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

∑

∑∑

≠

≠≠

)/'2exp(

)/2exp()/2exp(0

0''0

0

20

002

2

axinbeeb

ainxCkainxbeebdxd

nn

ikxikx

nn

nn

ikxikx

πγ

πγπγ

Eseguendo la derivata seconda e riarrangiando I termini si ottiene:

( ) ( ) [ ] [ ]

[ ]xankiba

nkanx

an

ankiCb

xankiCbxankibkkebkk

nn

nn

nn

nn

nn

ikx

)/2(exp44)'22(exp

)/2(exp)/2(exp0

02

22

0 0''

2

00

0

2200

220

πππγππγ

πγπγ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−+

+−+−−+−=

∑∑∑

∑∑

≠≠ ≠

≠≠


Calcoleremo la funzione d’onda al primo ordine e trascureremo il termine in γ2.

Posto ankk n

π2+=

, la somma tra il II e l’ultimo termine è:

( ) [ ] [ ]

[ ] ( )

[ ]( )220

0

2

2222

00

02

22

0

220

)/2(exp

44)/2(exp

)/2(exp44)/2(exp

nn

n

nn

nn

nn

kkxankib

ank

ankkxankib

xankiba

nkanxankibkk

−−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−

∑

∑

∑∑

≠

≠

≠≠

πγ

πππγ

πππγπγ

L’equazione di Schroedinger diventa:

( ) ( )[ ] [ ]xankiCbbkkebkkn

nnnikx )/2(exp0

00

2200

220 πγ −+−+−= ∑

≠

Moltiplichiamo per exp(-ikmx), con amkkm

π2−=

e integriamo sul periodo 0-a:

( ) ( )[ ]∫∑∫ −

≠

+−+−=a

axnmi

nnnn

ikxa

xik dxeCbbkkdxeebkk m

0

/)(2

00

220

00

2200 πγ

ovvero

( ) ( )[ ]∫∑∫ −

≠

+−+−=a

axnmi

nnnn

aaimx dxeCbbkkdxebkk

0

/)(2

00

220

0

/20

2200 ππ γ

Se m=0:

000

/2 ≠=∫ − nsedxea

ainx π

00

/2 ==∫ − nseadxea

ainx π

mnsea

mnsedxea

axnmi

==

≠=∫ −−

00

/)(2π

La precedente relazione diventa, per m=0:

( ) abkk 022

00 −= mentre per m=n:

( )[ ]aCbbkk mmm 022

00 +−= γ da cui


220

kkCb

bm

mm −

=

essendo dalla relazione precedente k0=k. La funzione d’onda può quindi scriversi come:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=Ψ ∑≠

−

0

/2220 1)(

n

anxi

n

nikx ekk

Cebx πγ

Al I ordine la correzione all’energia è zero perchè k0=k e quindi è l’espressione di

E è quella di una particella libera, . Per valutare la correzione al II ordine dell’energia è necessario considerare il termine in γ

mkE 2/20

2h=2 che prima abbiamo

trascurato. L’espressione dell’energia che si ottiene è:

∑≠

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

+=0

22

22

222

2

2

2

2 n

n

mank

mk

VmkE

πh

h

h

dove nn C

mV

2

22γh−=

. Come si può notare, se k2=kn

2 l’energia diverge e diverge anche la Ψ. Abbiamo

visto che ankk n

π2+=

; se k=-kn, la precedente diventa: k=-k+2πn/a e quindi l’energia diverge per k=πn/a. Se k=kn: k=k-2πn/a e quindi n=0. Perciò l’energia ha dei punti di discontinuità per ak /π∝ . Se si studia il comportamento della Ψ al bordo zona si trova che per k=kn=πn/a, risulta:

nVa

nm

E ±⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

2πh

cioè esiste una gap di 2Vn al limite delle zone di Brillouin. Classificazione dei solidi da un punto di vista elettrico. In molti casi, la conoscenza della struttura a bande del solido permette di comprendere le sue proprietà elettriche. In un solido, riempiendo tutti i livelli energetici con gli elettroni disponibili, in accordo con il principio di Pauli (ciascun livello può essere doppiamente occupato con elettroni di spin opposto), le bande di energia che ne risultano saranno o tutte piene o l'ultima sarà parzialmente occupata. Si parlerà, rispettivamente, di isolante e di metallo. Nel caso di un metallo, una piccola energia proveniente da un campo esterno, permetterà agli elettroni di occupare livelli vuoti vicini e quindi di muoversi determinando una corrente. Nel caso degli isolanti, i livelli vuoti si trovano in una banda superiore per cui l'energia necessaria per raggiungerli può essere notevole e normali


eccitazioni esterne non consentono tali salti. Chiameremo banda di valenza, l'ultima banda piena; la banda superiore, detta di conduzione, è vuota per gli isolanti e parzialmente piena per i metalli. Le bande piene al di sotto delle ultime due non hanno molta influenza sulle proprietà del cristallo in quanto gli elettroni sono strettamente legati ai loro nuclei. Ricordiamo che il numero di bande è pari al numero di livelli dell’atomo isolato. In ogni banda ci saranno N livelli, uno per atomo, e quindi 2N elettroni. Se l’atomo ha un elettrone di valenza, il cristallo sarà un metallo, se ne ha due, ci aspetteremmo che fosse isolante ma non è detto a causa di possibili sovrapposizione, in energia, delle bande. I metalli alcalini, aventi un elettrone nell'ultima orbita, riempiono per metà la banda di conduzione; nel caso dei metalli nobili, parecchie zone energetiche si sovrappongono in banda di conduzione. Sono metalli gli elementi del gruppo I e III che hanno un numero dispari di elettroni per atomo. I gas nobili sono isolanti. Si può avere comportamento metallico nel caso di sovrapposizione di bande piene per atomi con un numero pari di elettroni; ciò accade per elettroni 3d in vari elementi.

In alcuni casi, come nel silicio e germanio, la distanza tra banda di valenza e banda di conduzione è sufficientemente piccola da permettere il salto di elettroni dalla banda piena a quella vuota. Tali materiali sono detti semiconduttori; essi hanno bassa conducibilità elettrica a temperatura ambiente che aumenta con la temperatura. A temperatura diversa dallo 0 K e se l'intervallo proibito di energia è piccolo, un isolante può mostrare una conduzione intrinseca dovuta sia all'elettrone che può muoversi in banda di conduzione, se ha ricevuto l'energia sufficiente per raggiungerla, sia agli elettroni che si trovano in banda di valenza che ora non è più completamente piena. La energy gap dei materiali varia tra 0.1 e 10 eV.


Essendo il libero cammino medio dell'elettrone in un solido dell'ordine di 10-6 cm, per saltare 1 eV serve un campo dell'ordine di 106 V/cm. La funzione che descrive l'occupazione dei livelli energetici è la funzione di Fermi-Dirac:

f ( E − ζ) =

1exp E − ζ( ) / kT[ ]+1

essendo ζ(T ) la energia di Fermi. Se al denominatore della (31), 1 può essere trascurato, si ha la funzione distribuzione di Boltzmann:

f ( E − ζ) = exp − E − ζ( ) / kT[ ]= A(T ) exp( −E / kT) A T=0, il livello energetico ζ = ζo , separa stati occupati da stati non occupati.

Posto T o = ζ o / k (temperatura di degenerazione), se T<<T0, bisogna applicare la statistica di Fermi, se T>> T0, si può usare quella di Boltzmann. Nel caso di un

metallo, ζo =5 eV, per cui =58000 K e quindi bisogna sempre usare la statistica di Fermi; per gli isolanti si trova

T o

T o=2 K e quindi si può sempre usare la statistica di Boltzmann. In un sistema in equilibrio, la somma di tutti i vettori k è zero e quindi la corrente è nulla. Se applichiamo un campo elettrico, gli elettroni sono accelerati e ognuno subirà una variazione di vettore d’onda in quando, nello stato finale,

h

rrr tEqkk if

∆+=

. In tal caso, la somma dei vettori kf non sarà più nulla e quindi circolerà una corrente se vi sono stati di k disponibili. Se la banda di valenza è separata da quella di conduzione da una gap, gli elettroni non hanno livelli energetici da poter occupare e non vi può essere corrente a meno che il campo esterno non fornisca energia sufficiente perché l’elettrone salti in banda di conduzione.. Nel metallo gli elettroni hanno a disposizione livelli energetici vuoti immediatamente raggiungibili energeticamente. Oltre alle tre categorie citate, esistono anche i semimetalli. Parleremo di semimetalli quando la banda di conduzione, vuota, si sovrappone alla banda di valenza per cui gli elettroni sotto l’azione di un campo elettrico, occupano livelli vuoti della banda di conduzione e producono corrente. Alla temperatura di 0 K, un semiconduttore è un isolante. A temperature maggiori di 0 K, il numero di elettroni in banda di conduzione dipende dalla temperatura. Essi lasciano dei posti vuoti (vacanze) in banda di valenza. In termini di orbitali di legame, la energy gap può essere pensata come l’energia necessaria per rompere un legame. Più forte è il legame, maggiore è la energy gap.


Lacune. Consideriamo l'equazione del moto di una particella carica in un campo elettromagnetico:

BvEqFrmrrrr

&&r ×+== Se cambiamo i segni della massa e della carica, l'equazione rimane invariata, ma la forza cambia segno e anche il lavoro fatto sulla particella; pertanto, anche la sua energia cambia segno. La stessa cosa succede se si considera l'equazione di Schroedinger:

Hϕ(

r r , t) =

12m

h

igrad −

qc

r A

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+ qU⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ϕ(

r r , t ) = ih

∂ϕ(r r , t )

∂t Un cambio di segno di m e q implica un cambio nell'operatore hamiltoniano da H a

-H* . Se si pone ϕ(

r r , t) = ϕ(

r r ) exp(−

ih

Et ), l'equazione diventa H

* ϕ = − Eϕ ,

cioè si cambia E in -E. Essendo ϕϕ* sempre lo stesso, le leggi della fisica

rimangono invariate se si cambia contemporaneamente il segno alla carica, alla massa e alla energia della particella. Se indichiamo con p l'indice positivo e con n quello negativo, possiamo scrivere:

q p = −q n , m p = − m n , E p = − E n


In accordo alla statistica di Fermi, la probabilità che un livello energetico non sia occupato da un elettrone è:

1 − f ( E n − ς n ) = 1 −1

1 + exp((E n − ς n ) / kT)=

11 + exp((ς n − E n ) / kT)

=

= f (ς n − En ) = f ( E p − ς p ) cioè, la statistica degli stati non occupati ad energia E da particelle (elettroni) di massa m e carica q può essere vista come la statistica degli stati occupati ad energia -E da particelle opposte aventi massa -m e carica -q. A tali particelle si dà il nome di lacune o buche (holes).

Si conviene di misurare E n e ςn dal fondo di una banda verso l'alto e E p e ς p dalla cima verso il basso. Un insieme di lacune nei livelli non occupati da elettroni ha lo stesso effetto come l'insieme degli elettroni nei livelli rimanenti, per cui, danno luogo, per esempio, alla stessa corrente. Se qualche elettrone negli stati alti della banda di valenza salta in banda di conduzione, è più opportuno popolare i livelli vuoti lasciati con buche che considerare tutti gli elettroni rimasti; le buche avranno carica positiva e massa effettiva positiva.

(le linee inferiore e superiore delimitano la banda di energia permessa). La corrente associata agli elettroni nell'ultima banda piena può scriversi, in assenza di campo, come:

I = −e v ii∑ = −e v j + v i

i ≠ j∑

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ = 0

Se l'elettrone j salta nella banda vuota superiore, I' = −e v i

i≠ j∑ = ev j

; quindi potremo valutare tale corrente considerando gli N -1 elettroni rimasti in banda di valenza o considerando la lacuna.


Poiché nella parte superiore della banda, dove mancano gli elettroni, la massa effettiva è negativa, il secondo membro è positivo e la corrente è come se fosse portata da una carica positiva: l'assenza di un elettrone si comporta quindi come una carica positiva con massa effettiva positiva. La lacuna è quindi associata ad uno stato elettronico non occupato; nella parte inferiore della banda di conduzione, l'elettrone ha massa positiva e carica negativa, per cui sotto l'azione di un campo esterno, gli elettroni sul fondo della banda di conduzione e le buche sulla sommità della banda di valenza, si muoveranno in verso opposto, mentre elettroni e buche entrambi alla sommità della banda di valenza si muoveranno nello stesso verso.

Bande di energia nei cristalli reali. La struttura a bande più semplice si ha per superfici di Fermi sferiche, massa efficace scalare, minimi della banda di conduzione in k=0. Spesso, i cristalli reali hanno superfici di Fermi non sferiche, masse efficaci tensoriali, minimo non a


k=0. Nel caso in cui il minimo della banda di conduzione sia a k=0, la dipendenza generale di E da k è

E = E o +

h2

2k 1

2

m 1* +

k 22

m 2* +

k 32

m 3*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

per la banda di conduzione e

E = E o −

h 2

2k 1

2

m 1* +

k 22

m 2* +

k 32

m 3*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

per la banda di valenza se il massimo è a k=0.

Se la simmetria è sferica si ha E = E o ±

h2 k 2

2m * ; se la simmetria è cilindrica si

ha: E = E o ±

h2

2k 1

2

m 1* +

k 22 + k 3

2

m 2*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

. In figura è riportato l'andamento dell'energia per gli elettroni nel litio (metallo) e si può notare che la deviazione dal modello dell'elettrone libero è piccola. La struttura cristallina è bcc.

Per il germanio e il silicio (struttura cubica del diamante), la banda di conduzione ha parecchi minimi e il massimo della banda di valenza è a k=0. Sono semiconduttori a gap indiretta come si può vedere dalle figure; la distanza al punto tra le bande (gap diretta) è nel Ge, di 0.16 eV più grande della gap indiretta.


Avendo entrambi i semiconduttori superfici di energia costante di forma

ellissoidale, si ha E =

h 2

22 k t

2

m t* +

k l2

m l*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

e le masse efficaci trasversali e longitudinali rispetto agli assi dell'ellissoide, valgono, rispettivamente, 0.081 e 1.59 per il Ge, 0.19 e 0.92 per il Si.


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